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对数函数与性质学生版


2.2.2 对数函数及其性质 1.对数函数的概念 (1)定义:一般地,我们把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的特征:

?log x的系数:1 特征?log x的底数:常数,且是不等于1的正实数 ?log x的真数:仅是自变量x
a a a

>判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征. 比如函数 y=log7x 是对数函数,而函数 y=-3log4x 和 y=logx2 均不是对数函数,其原因是 不符合对数函数解析式的特点. 2 【例 1-1】函数 f(x)=(a -a+1)log(a+1)x 是对数函数,则实数 a=__________. 【例 1-2】下列函数中是对数函数的为__________. (1)y=loga x (a>0,且 a≠1);(2)y=log2x+2; (3)y=8log2(x+1);(4)y=logx6(x>0,且 x≠1); (5)y=log6x. 2.对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象与性质 (1)图象与性质

a>1

0<a<1

图 象

(1)定义域{x|x>0} (2)值域{y|y ? R} (3)当 x=1 时,y=0,即过定点(1,0) 性 (4)当 x>1 时,y>0;当 0 (4)当 x>1 时,y<0; 质 <x<1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 (5)在(0,+∞)上是减 (5)在(0,+∞)上是增函数 函数 谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在 y 轴右侧,其单调性取决于底 数.a>1 时,函数单调递增;0<a<1 时,函数单调递减.理解和掌握对数函数的图象和性质的关 键是会画对数函数的图象, 在掌握图象的基础上性质就容易理解了. 我们要注意数形结合思想的应 用.

(2)指数函数与对数函数的性质比较 解析式 y=ax(a>0,且 a≠1) y=logax (a>0,且 a≠1) 定义域 R (0,+∞) 值域 (0,+∞) R 性 过定点 (0,1) (1,0) 质 单调性 单调性一致,同为增函数或减函数 奇偶性 奇偶性一致,都既不是奇函数也不是偶函数 (3)底数 a 对对数函数的图象的影响 ①底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的 “升降” : 当 a>1 时, 对数函数的图象 “上升” ; 当 0<a<1 时,对数函数的图象“下降” . ②底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是 a>1 还是 0<a<1,在第一象限内,自左 向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. 点技巧 对数函数图象的记忆口诀 两支喇叭花手中拿,(1,0)点处把花扎, 若是底数小于 1,左上穿点渐右下, 若是底数大于 1,左下穿点渐右上, 绕点旋转底变化,顺时方向底变大, 可用直线 y=1 来切,自左到右 a 变大. 4 3 1 【例 2】如图所示的曲线是对数函数 y=logax 的图象.已知 a 从 3 , , , 中取值,则 3 5 10 相应曲线 C1,C2,C3,C4 的 a 值依次为( )

4 3 1 , , 3 5 10 4 3 1 C. , 3 , , 3 5 10

A. 3 ,

4 1 3 , , 3 10 5 4 1 3 D. , 3 , , 3 10 5

B. 3 ,

3.反函数 (1)对数函数的反函数 指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数. (2)互为反函数的两个函数之间的关系 ①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域; ②互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称. (3)求已知函数的反函数,一般步骤如下: ①由 y=f(x)解出 x,即用 y 表示出 x; ②把 x 替换为 y,y 替换为 x;

③根据 y=f(x)的值域,写出其反函数的定义域. 【例 3-1】 若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)的反函数, 且 f(2)=1, 则 f(x)=( 1 A.log2x B. x 2 x-2 C. log 1 x D.2
2

)

【例 3-2】函数 f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为( A.(0,+∞) B.(1,9] C.(0,1) D.[9,+∞)

)

【例 3-3】若函数 y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数 y=f(x)的图象必过点( A.(5,1) B.(1,5) C.(1,1) D.(5,5)

)

4.利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值 对数函数的解析式 y=logax(a>0, 且 a≠1)中仅含有一个常数 a, 则只需要一个条件即可确定 对数函数的解析式,这样的条件往往是已知 f(m)=n 或图象过点(m,n)等等.通常利用待定系数法 求解, 设出对数函数的解析式 f(x)=logax(a>0, 且 a≠1), 利用已知条件列方程求出常数 a 的值. 利用待定系数法求对数函数的解析式时,常常遇到解方程,比如 logam=n,这时先把对数式 logam=n 化为指数式的形式 an=m,把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式 m=kn(k>0,且 k≠1),则 解得 a=k>0.还可以直接写出 a ? m ,再利用指数幂的运算性质化简 m .
1 1 ?1? 例如:解方程 loga4=-2,则 a =4,由于 4 ? ? ? ,所以 a ? ? .又 a>0,所以 a ? .当 2 2 ?2? 1 1 1 ? ? ? 1 然,也可以直接写出 a ? 4 2 ,再利用指数幂的运算性质,得 a ? 4 2 ? (22 ) 2 ? 2?1 ? . 2 x 【例 4-1】已知 f(e )=x,则 f(5)=( ) 5 e A.e B.5 C.ln 5 D.log5e
-2

1 n

1 n

?2

?1 ? 【例 4-2】已知对数函数 f(x)的图象经过点 ? , 2 ? ,试求 f(3)的值. ?9 ?

【例 4-3】已知对数函数 f(x)的反函数的图象过点(2,9),且 f(b)=

1 ,试求 b 的值. 2

5.对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0,+∞). (2)在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于 0,底数大于 0,且不等于 1.若底数和真 数中都含有变量, 或式子中含有分式、 根式等, 在解答问题时需要保证各个方面都有意义. 一般地, 判断类似于 y=logaf(x)的定义域时,应首先保证 f(x)>0. (3)求函数的定义域应满足以下原则:

①分式中分母不等于零; ②偶次根式中被开方数大于或等于零; ③指数为零的幂的底数不等于零; ④对数的底数大于零且不等于 1; ⑤对数的真数大于零,如果在一个函数中数条并存,求交集. 【例 5】求下列函数的定义域. (1)y=log5(1-x);(2)y=log(2x-1)(5x-4); (3) y ? log 0.5 (4 x ? 3) .

6.对数型函数的值域的求解 (1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法. (2)对于形如 y=logaf(x)(a>0,且 a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下: ①分解成 y=logau,u=f(x)这两个函数; ②求 f(x)的定义域; ③求 u 的取值范围; ④利用 y=logau 的单调性求解. (3)对于函数 y=f(logax)(a>0,且 a≠1),可利用换元法,设 logax=t,则函数 f(t)(t ? R) 的值域就是函数 f(logax)(a>0,且 a≠1)的值域. 注意:(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考查其单调性,就必须 对底数进行分类讨论. (2)求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时,有时需 讨论参数的取值范围. 【例 6-1】求下列函数的值域: (1)y=log2(x2+4);(2)y= log 1 (3+2x-x 2 ) .
2

【例 6-2】已知 f(x)=2+log3x,x ? [1,3],求 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及相应的 x 的值.

7.对数函数的图象变换及定点问题 (1)与对数函数有关的函数图象过定点问题 对数函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)过定点(1,0), 即对任意的 a>0, 且 a≠1 都有 loga1=0. 这 是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键. 对于函数 y=b+klogaf(x)(k,b 均为常数,且 k≠0),令 f(x)=1,解方程得 x=m,则该函数 恒过定点(m,b).方程 f(x)=0 的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数. (2)对数函数的图象变换的问题 向左(b>0)或向右(b<0) ①函数 y=logax(a>0,且 a≠1) ― ― ---------------→ 函数 y=loga(x+b)(a>0,且 a≠1) 平移 |b|个单位长度 向上(b>0)或向下(b<0) ②函数 y=logax(a>0,且 a≠1) 平移 ― ― --------------→ 函数 y=logax+b(a>0,且 a≠1) |b|个单位长度 当x>0时,两函数图象相同 ③函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)当x<0时,将 ― ---------------― → y轴对称函数 y=loga|x|(a>0, x>0时的图象关于 且 a≠1) 保留x轴上方的图象 ④函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)同时将 ― ― ---------------------------------------→ 函数 y=|logax|(a x轴下方的图象作关于x轴的对称变换 >0,且 a≠1) 【例 7-1】若函数 y=loga(x+b)+c(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数 b,c 的 值分别为__________. 【例 7-2】作出函数 y=|log2(x+1)|+2 的图象.

8.利用对数函数的单调性比较大小 两个对数式的大小比较有以下几种情况: (1)底数相同,真数不同. 比较同底数(是具体的数值)的对数大小,构造对数函数,利用对数函数的单调性比较大小. 要注意: 明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值; 明确对数函数的底数与 1 的大小关 系;最后根据对数函数的单调性判断大小. (2)底数不同,真数相同.若对数式的底数不同而真数相同时,可以利用顺时针方向底数增大 画出函数的图象,再进行比较,也可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)底数不同,真数也不同.对数式的底数不同且指数也不同时,常借助中间量 0,1 进行比较. (4)对于多个对数式的大小比较,应先根据每个数的结构特征,以及它们与“0”和“1”的大 小情况,进行分组,再比较各组内的数值的大小即可. 注意:对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于 1 进行分类讨论.

【例 8-1】比较下列各组中两个值的大小.

(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ ,loga3.141.

【例 8-2】若 a2>b>a>1,试比较 log a

a b , log b ,logba,logab 的大小. b a

9.利用对数函数的单调性解对数不等式 (1)根据对数函数的单调性,当 a>0,且 a≠1 时,有 ①logaf(x)=logag(x) ? f(x)=g(x)(f(x)>0,g(x)>0); ②当 a>1 时,logaf(x)>logag(x) ? f(x)>g(x)(f(x)>0,g(x)>0); ③当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x) ? f(x)<g(x)(f(x)>0,g(x)>0). (2)常见的对数不等式有三种类型: ①形如 logaf(x)>logag(x)的不等式, 借助函数 y=logax 的单调性求解, 如果 a 的取值不确定, 需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论. ②形如 logaf(x)>b 的不等式,应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式,再借助函数 y=logax 的单调性求解. ③形如 logaf(x)>logbg(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值,利用 对数函数的单调性来脱去对数符号,同时应保证真数大于零,取交集作为不等式的解集. ④形如 f(logax)>0 的不等式, 可用换元法(令 t=logax), 先解 f(t)>0, 得到 t 的取值范围. 然 后再解 x 的范围. 【例 9-1】解下列不等式: (1) log 1 x ? log 1 (4 ? x) ;
7 7

(2)logx(2x+1)>logx(3-x).

2? ? 【例 9-2】若 ? log a ? <1,求 a 的取值范围. 3? ?

2

10.对数型函数单调性的讨论

(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键:一是看底数是否大于 1,当底数未明确 给出时, 则应对底数 a 是否大于 1 进行讨论; 二是运用复合法来判断其单调性; 三是注意其定义域. (2)关于形如 y=logaf(x)一类函数的单调性,有以下结论: 函数 y=logaf(x)的单调性与函数 u=f(x)(f(x)>0)的单调性,当 a>1 时相同,当 0<a<1 时相反. 例如:求函数 y=log2(3-2x)的单调区间. 分析:首先确定函数的定义域,函数 y=log2(3-2x)是由对数函数 y=log2u 和一次函数 u=3 -2x 复合而成,求其单调区间或值域时,应从函数 u=3-2x 的单调性、值域入手,并结合函数 y =log2u 的单调性考虑. 3? ? 解:由 3-2x>0,解得函数 y=log2(3-2x)的定义域是?-∞, ?. 2? ? 3? ? 设 u=3-2x,x ? ?-∞, ?, 2? ? 3? ? ∵u=3-2x 在?-∞, ?上是减函数,且 y=log2u 在(0,+∞)上单调递增, 2? ? 3? ? ∴函数 y=log2(3-2x)在?-∞, ?上是减函数. 2? ? 3? ? ∴函数 y=log2(3-2x)的单调减区间是?-∞, ?. 2? ? x 【例 10-1】求函数 y=loga(a-a )的单调区间.

1? ? 【例 10-2】已知 f(x)= log 1 (x2-ax-a)在 ? ??, ? ? 上是增函数,求 a 的取值范围. 2? ? 2

11.对数型函数的奇偶性问题 判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是: (1)求函数的定义域,当定义域关于原点不对称时,则此函数既不是奇函数也不是偶函数,当 定义域关于原点对称时,判断 f(-x)与 f(x)或-f(x)是否相等; (2)当 f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数;当 f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数; (3)当 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数又是偶函数; (4)当 f(-x)≠f(x)且 f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数. 例如,判断函数 f(x)= log a ( x 2 ? 1+x) (x ? R,a>0,且 a≠1)的奇偶性. 解:∵f(-x)+f(x)= log a ( x 2 ? 1 ? x) + log a ( x 2 ? 1+x) )=loga(x2+1-x2)=loga1=0, ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)为奇函数.

【例 11】已知函数 f(x)= log a

1? x (a>0,且 a≠1). 1? x

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围.

12.对数型函数模型的实际应用 地震震级的变化规律、溶液 pH 的变化规律、航天问题等,可以用对数函数模型来研究.此类 题目,通常给出函数解析式模型,但是解析式中含有其他字母参数. 其解决步骤是: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,抓住关键的词和量,理顺数量关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,求出函数解析式模型中参数的值; (3)求模:求解函数模型,得到数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论. 由此看,直接给定参数待定的函数模型时,利用待定系数法的思想,代入已知的数据得到相关 的方程而求得待定系数.一般求出函数模型后,还利用模型来研究一些其他问题.代入法、方程思 想、对数运算性质,是解答此类问题的方法精髓. 【例 12】我国用长征二号 F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船,实现了中国历史 上第一次的太空漫步, 令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中, 翟志刚完全出舱,刘伯明的头部和手部部分出舱).在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大 速度 y(单位: km/s)关于燃料重量 x(单位: 吨)的函数关系式为 y=kln(m+x)-kln( 2m )+4ln 2(k ≠0),其中 m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和.当燃料重量为( e -1)m 吨时,火箭的最 大速度是 4 km/s. (1)求 y=f(x); (2)已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479.8 吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料), 火箭的最大速度为 8 km/s,求装载的燃料重量(e=2.7,精确到 0.1).


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