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1-2测试二


高二数学理科周六测试(三)
班级
1.|(3+2i)-(4-i)|等于( A. 58 [答案] B [解析] 原式=|-1+3i|= (-1)2+32= 10. 3.在下列结论中正确的是( ) B. 10 ) C.2 D.-1+3i

姓名

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. )

>
A.在复平面上,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 B.任何两个复数都不能比较大小 C.如果实数 a 与纯虚数 ai 对应,那么实数集与纯虚数集是一一对应的 D.-1 的平方根是 i [答案] A [解析] 两个虚数不能比较大小排除 B,当 a=0 时,ai 是实数,排除 C,-1 的平方根是± i,排除 D, 故选 A. -1+i 3.复数 z= -1 在复平面内所对应的点在( 1+i A.第一象限 C.第三象限 [答案] B -1+i [解析] ∵ -1 1+i = (-1+i)(1-i) 2i -1= -1=-1+i, 2 2 B.第二象限 D.第四象限 )

∴复数 z 对应的点在第二象限. m 5.已知 =1-ni,其中 m、n 是实数,i 是虚数单位,则 m+ni=( 1+i A.1+2i C.2+i [答案] C [解析] 直接推算或对四个选项中的 m、n 值逐一代入条件检验. 由 m m m =1-ni,得 - i=1-ni, 2 2 1+i B.1-2i D.2-i )

m m 则 =1 且- =-n,故 m=2,n=1.故选 C. 2 2

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6.(2008· 山东)设 z 的共轭复数是 z ,若 z+ z =4,z·z =8,则 A.i C.± 1 [答案] D [解析] 设 z=a+bi,∵z+ z =4,∴a=2, 又∵z·z =8,∴b2+4=8,∴b2=4. ∴b=± 2,即 z=2± 2i,故 z z =± i,故选 D. ) B.-i D.± i

z z

等于(

)

3.若 x、y∈R,则“x=0”是“x+yi 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] x=0,y=0 时,x+yi 不是纯虚数.故选 B.

4.复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 相等,则实数 a 的值为( A.1 C.-4 [答案] C B.1 或-4 D.0 或-4

)

[解析] 验证:当 a=0 或 1 时,复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 不相等,排除 A、B、D. 2.已知 a、b∈R,那么在复平面内对应于复数 a-bi,-a-bi 的两个点的位置关系是( A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称 [答案] B [解析] 在复平面内对应于复数 a-bi,-a-bi 的两个点为(a,-b)和(-a,-b)关于 y 轴对称. 4.复数 z=(a2-2a)+(a2-a-2)i 对应的点在虚轴上,则( A.a≠2 或 a≠1 B.a≠2 或 a≠-1 C.a=2 或 a=0 D.a=0 [答案] D
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)

)

[解析] 由题意知 a2-2a=0 且 a2-a-2≠0, 解得 a=0. 1.下列四个图形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4 项,则这个数列的一个通项公式为 ( )

A.an=3n

-1

B.an=3n D.an=3n 1+2n-3


C.an=3n-2n [答案] A

[解析] 由题意知 a1=1,a2=3,a3=9,a4=27, 故猜想 an=3n 1.故选 A.


10.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1)为( A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1 [答案] C B.f(n)+n D.f(n)+n-2

)

[解析] 由凸 n 边形变为凸 n+1 边形后,应加一项,这个顶点与不相邻的(n-2)个顶点连成(n-2)条 对角线,同时,原来的凸 n 边形的那条边也变为对角线,故有 f(n+1)=f(n)+(n-2)+1.故选 C. 3.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理 错误的原因是( )

A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提使用错误 D.使用了“三段论”,但小前提使用错误 [答案] D [解析] 应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论错误. 6.已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,那么 a,b,c 的


值为(

)

1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 B.a=b=c= 4 1 C.a=0,b=c= 4 D.不存在这样的 a、b、c

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[答案] A [解析] 令 n=1,得 1=3(a-b)+c, 令 n=2,得 1+2×3=9(2a-b)+c, 令 n=3,得 1+2×3+3×32=27(3a-b)+c. 3a-3b+c-1 ? ? 即?18a-9b+c=7 ? ?81a-27b+c=34



1 1 ∴a= ,b=c= .故选 A. 2 4 1.定义 A*B、B*C、C*D、D*B 分别对应下列图形(左) ,那么下列图形(右)中,可以表示 A*D、A*C 的分别是( )









(1)

(2)

(3)

(4)

A、 (1) (2) B、 (2) (3) C、 (2) (4) 1.实数 a,b,c 不全为 0 的含义是( ) A.a,b,c 均不为 0 B.a,b,c 中至多有一个为 0 C.a,b,c 中至少有一个为 0 D.a,b,c 中至少有一个不为 0 [答案] D [解析] “不全为 0”即“至少有一个不为 0”.

D、 (1) (4)

2.命题“△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b”的结论的否定应该是( A.a<b C.a=b [答案] B 3.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( A.无解 C.至少两解 [答案] D 4.“M 不是 N 的子集”的充分必要条件是( A.若 x∈M 则 x?N B.若 x∈N 则 x∈M C.存在 x1∈M?x1∈N,又存在 x2∈M?x2?N ) B.两解 D.无解或至少两解 B.a≤b D.a≥b

)

)

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D.存在 x0∈M?x0?N [答案] D [解析] 按定义,若 M 是 N 的子集,则集合 M 的任一个元素都是集合 N 的元素.所以,要使 M 不是 N 的子集,只需存在 x0∈M 但 x0?N.选 D. 5.设 a、b、c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、Q、R 同时大于 零”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 首先若 P、Q、R 同时大于零,则必有 PQR>0 成立. 其次,若 PQR>0,且 P、Q、R 不都大于 0,则必有两个为负,不妨设 P<0,Q<0,即 a+b-c<0,b +c-a<0,∴b<0 与 b∈R+矛盾,故 P、Q、R 都大于 0.故选 C. 6.下列命题错误的是( )

A.三角形中至少有一个内角不小于 60° B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间[a,b]上的单调函数 f(x)至多有一个零点 D.设 a,b∈Z,若 a+b 是奇数,则 a、b 中至少有一个为奇数 [答案] D 1 7.0<a≤ 是函数 f(x)=ax2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上为减函数的( 5 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A 8.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中或都是奇数或至少有两个偶数 [答案] D [解析] 当“a,b,c 恰有一个偶数”否定后,则或者 a,b,c 都是奇数,或者 a,b,c 中有两个或三 个偶数.故选 D.
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)

)

9.已知 x>0,y>0,x+y≤4,则有( 1 1 A. ≤ x+y 4 C. xy≥2 [答案] B 1 1 B. + ≥1 x y 1 D. ≥1 xy

)

1 1 1 1 [解析] 由 x>0,y>0,x+y≤4 得 ≥ ,A 错;x+y≥2 xy,∴ xy≤2,C 错;xy≤4,∴ ≥ , 4 xy 4 x+y D 错. 10.已知数列{an},{bn}的通项公式分别为:an=an+2,bn=bn+1(a,b 是常数),且 a>b,那么两个 数列中序号与数值均相同的项的个数是( A.0 个 C.2 个 [答案] A [解析] 假设存在序号和数值均相等的两项, 即存在 n∈N*, 使得 an=bn, 但若 a>b, n∈N*, 恒有 a· n>b· n, 从而 an+2>bn+1 恒成立.∴不存在 n∈N*,使得 an=bn.故应选 A. B .1 个 D.无穷多个 )

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分. )
11. (2009· 江苏, 1)若复数 z1=4+29i, z2=6+9i, 其中 i 是虚数单位, 则复数(z1-z2)i 的实部为________. [答案] -20 [解析] 本题主要考查复数的概念及运算. ∵z1=4+29i,z2=6+9i, ∴(z1-z2)i=[(4+29i)-(6+9i)]i=-20-2i. ∴复数(z1-z2)i 的实部为-20. 12.关于 x 的不等式 mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为(-1,2),则复数 m+pi 所对应的点位于复平 面内的第________象限. [答案] 二 [解析] ∵mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(-1,2),

? ?(-1)+2= n m ∴? p ? ?(-1)×2=m

m<0

,即 m<0,p>0.

故复数 m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限. z2-3z+6 13.已知复数 z=1+i,则复数 的模为______. z+1 [答案] 2

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[解析] =

z2-3z+6 (1+i)2-3(1+i)+6 = z+1 (1+i)+1

2i-3-3i+6 3-i = =1-i,故 1-i 的模为 2. 2+i 2 +i

z1 14.若 z1=a+2i,z2=3-4i,且 为纯虚数,则实数 a 的值为________. z2 [答案] 8 3

z1 [解析] 设 =bi(b∈R 且 b≠0),∴z1=bi· z2, z2 即 a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.
?a=4b ? 8 ∴? ?a= . 3 ?2=3b ?

11.设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有一个数不小于________. [答案] 1 3

1 [解析] 假设 a、b、c 都小于 ,则 a+b+c<1. 3 1 故 a、b、c 中至少有一个数不小于 . 3 12.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________. [答案] 存在一个三角形,其外角至多有一个钝角 13.用反证法证明命题“如果 AB∥CD,AB∥EF,那么 CD∥EF”,证明的第一个步骤是________. [答案] 假设 CD 与 EF 不平行 14.用反证法证明命题:“a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有一个能被 5 整除”时,假 设的内容应为__________________. [答案] 假设 a、b 都不能被 5 整除 12.观察下列等式:
1 5 C5 +C5 =23-2, 1 5 9 C9 +C9 +C9 =27+23, 1 9 13 11 5 C13 +C5 13+C13+C13=2 -2 , 1 9 13 17 15 7 C17 +C5 17+C17+C17+C17=2 +2 ,

? 由以上等式推测到一个一般的结论:
1 5 9 4n 1 对于 n∈N*,C4 n+1+C4n+1+C4n+1+?+C4n+1=________.


[答案] 24n 1+(-1)n22n


-1

[ 解析 ]

由归纳推理,观察等式右边 23-2,27+ 23,211 - 25,215+ 27,?,可以看到右边第一项的指数

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3,7,11,15,?成等差数列,公差为 4,首项为 3,通项为 4n-1;第二项的指数 1,3,5,7,?,通项为 2n-1. 故得结论 24n 1+(-1)n22n 1.
- -

12.已知 a>0,b>0,m=lg [答案] m>n

a+ b a+b ,n=lg ,则 m 与 n 的大小关系为________. 2 2

[解析] ∵( a+ b)2=a+b+2 ab>a+b, ∴ a+ b a+b > ,∴m>n. 2 2

12.函数 y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数 y=f(x+2)是偶函数,则 f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 ________________. [答案] f(3.5)<f(1)<f(2.5) [解析] 由已知 f(x)关于 x=2 对称,又 f(x)在(0,2)上是增函数, ∴结合 f(x)图象得 f(3.5)<f(1)<f(2.5).

14.已知数列{an}的通项公式 an=

1 (n∈N*),记 f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)?(1-an),通过计算 (n+1)2

f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值,由此猜想 f(n)=________________________. [答案] n+2 2n+2

1 1 1 1 [解析] ∵a1= 、a2= 、a3= 、a4= , 4 9 16 25 n+ 2 3 2 4 5 3 6 ∴f(1)= 、f(2)= = 、f(3)= 、f(4)= = ,于是猜想 f(n)= . 4 3 6 8 5 10 2n+2

三、解答题(本答题共 6 小题,满分 75 分。解答须写出文字说明、或演算步骤)

16. (本小题满分 12 分)
9 =z2,证明:- ≤λ≤7. 16 [解析] 由复数相等的条件,
? ?m=2cosθ 得? , 2 ?4-m =λ-3sinθ ?

已知复数 z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ-3sinθ)i(λ∈R).若 z1

3?2 9 ∴λ=4-4cos2θ+3sinθ=4? ?sinθ+8? -16, 3 9 9 当 sinθ=- 时,λmin=- ;当 sinθ=1 时,λmax=7.∴- ≤λ≤7. 8 16 16

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17. (本小题满分 12 分)
实数 m 的值.

已知 M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若 M∪P=P,求

[解析] ∵M∪P=P,∴M?P ∴由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
?m2-2m=-1 ? 得? 2 ,解之得 m=1. ? ?m +m-2=0

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i
2 ? ?m -2m=0 得? 2 解之得 m=2. ?m +m-2=4 ?

综上可知 m=1 或 m=2.

18. (本小题满分 12 分)已知 a∈R,问复数 z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i 所对应的点在第几象
限?复数 z 对应点的轨迹是什么? [解析] 由 a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1 得 z 的实部为正数,虚部为负数. ∴复数 z 的对应点在第四象限.
?x=a2-2a+4 ? 设 z=x+yi(x、y∈R),则? 2 ? ?y=-(a -2a+2)

消去 a2-2a 得 y=-x+2 (x≥3), ∴复数 z 对应点的轨迹是一条射线,其方程为 y=-x+2 (x≥3).

19.(本小题满分 13 分) 17.已知 f(x)=x2+px+q.
(1)求证:f(1)-2f(2)+f(3)=2; 1 (2)求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 [证明] (1)f(1)-2f(2)+f(3)=1+p+q-2(4+2p+q)+9+3p+q=2. 1 (2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 ,则有 2 1 1 1 |f(1)|< ,|f(2)|< ,|f(3)|< . 2 2 2 ∴|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2.又|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|>f(1)-2f(2)+f(3)=2, 这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2 矛盾.
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∴假设不成立,从而原命题成立. 1 ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 . 2

20.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x ?x 5

1 3

?

1 3

, g ( x) ?

x ?x 5

1 3

?

1 3

.

(1) 证明 f ( x) 是奇函数,并求 f ( x) 的单调区间. (2) 分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值, 由此概括出涉及函数 f ( x) 和 g ( x) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明. 分析 (1)略; (2)分别计算得 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值都为零,由此概

括出对所有不等于零的实数 x 有: f ( x 2 ) ? 5 f ( x) ? g ( x) ? 0. 如果将式子
f ( x 2 ) ? 5 f ( x) ? g ( x) ? 0 中的 5 改成字母 ? (? ? 0) ,可进一步推广 f ( x 2 ) ? ? f ( x) ? g ( x) ? 0 .
3-i (i 为虚数单位). 2 +i

21. (本小题满分 13 分)在复数范围内解方程|z|2+(z+ z )i=

[解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,由于|z|2+(z+ z )i=a2+b2+2ai, 3-i (3-i)(2-i) = =1-i, 2+i 22+12 所以 a2+b2+2ai=1-i,
2 2 ? ?a +b =1 1 3 1 3 ? 根据复数相等,得 ,解得 a=- ,b=± ,因此 z=- ± i. 2 2 2 2 ?2a=-1 ?

18.(18 分)已知 b ? ?1, c ? 0, 函数 f ( x) ? x ? b 的图像与函数 g ( x) ? x 2 ? bx ? c 的图象相切. (Ⅰ)求 b 与 c 的关系式(用 c 表示 b) ; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? f ( x) g ( x) , (ⅰ)当 c ? 4 时,在函数 F ( x) 的图像上是否存在点 M ( x0 , y0 ) ,使得 F ( x) 在点 M 的切线斜 b 率为 ,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由. 3 (ⅱ)若函数 F ( x) 在 (??, ??) 内有极值点,求 c 的取值范围。 1? b 18. 解: (Ⅰ)依题意,令 f ?( x) ? g ?( x), 得2 x ? b ? 1, 故x ? . 2 1? b 1 ? 2b 由于f ( ) ? g( ), 得(b ? 1) 2 ? 4c.? b ? ?1, c ? 0,? b ? ?1 ? 2 c . ……4′ 2 2 3 2 2 2 2 (Ⅱ) F ( x) ? f ( x) g ( x) ? x ? 2bx ? (b ? c) x ? bc.F ?( x) ? 3x ? 4bx ? b ? c. 3 2 (ⅰ)当 c ? 4 时, b ? 3 , F ( x) ? f ( x) g ( x) ? x ? 6 x ? 13x ? 12.
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F ?( x) ? 3x 2 ? 12 x ? 13 ,若存在满足条件的点 M,则有: 2 F ?( x)? 3x ? 1 2x? 1 3 ? ? 1 x ? ,?y 2 ? 2 ,即这样的点 M 存在,且坐标为 (?2, 2)
………12′ 3 2 2 2 2 (ⅱ) F ( x) ? f ( x) g ( x) ? x ? 2bx ? (b ? c) x ? bc.F ?( x) ? 3x ? 4bx ? b ? c. 令 F / (x)=0,即 3x2+4bx+b2+c=0;而 ? =16b2-12(b2+c)=4(b2-3c), 若 ? =0,则 F / (x)=0 有两个相等的实根,设为 x0,此时 F / (x)的变化如下: x

(??, x0 )

x0

( x 0 ,?? )

F ?( x) + 0 + 于是 x ? x0 不是函数 F ( x) 的极值点. 若? ? 0, 则F ?( x) ? 0有两个不相等的实根x1 , x2 ( x1 ? x2 )且F ?( x) 的变化如下:
x

F ?( x) + 0 0 — 由此, x ? x1是函数F ( x)的极大值点, x ? x2是函数F ( x) 的极小值点. . 综上所述,当且仅当 ? ? 0时,函数F ( x)在(??,??)上有极值点

(??, x1 )

x1

( x1 , x 2 )

x2

( x 2 ,?? ) +

由? ? 4(b 2 ? 3c) ? 0得b ? ? 3c或b ? 3c . ? b ? ?1 ? 2 c ,? ?1 ? 2 c ? 3c或 ? 1 ? 2 c ? 3c . 解之得0 ? c ? 7 ? 4 3或c ? 7 ? 4 3. 故所求c的取值范围是(0,7 ? 4 3 ) ? (7 ? 4 3 ,??).
28.设 M 是由满足下列条件的函数 f ( x) 构成的集合:“①方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根; ②函数 f ( x) 的导数 f ?( x) 满足 0 ? f ?( x) ? 1 .” (I)判断函数 f ( x) ? ………18′

x sin x 是否是集合 M 中的元素,并说明理由; ? 2 4

(II)集合 M 中的元素 f ( x) 具有下面的性质:若 f ( x) 的定义域为 D,则对于任意 [m,n] ? D,都存在 x 0 ? [m,n],使得等式 f (n) ? f (m) ? (n ? m) f ?( x0 ) 成立”, 试用这一性质证明:方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根. 解: (1)因为 f ?( x) ?

1 1 ? cos x , 2 4 1 3 所以 f ?( x) ? [ , ] 满足条件 0 ? f ?( x) ? 1, 4 4
又因为当 x ? 0 时, f (0) ? 0 ,所以方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根 0. 所以函数 f ( x) ?

x sin x 是集合 M 中的元素. ? 2 4

(2)假设方程 f ( x) ? x ? 0 存在两个实数根 ? , ? (? ? ? ) , 则 f (? ) ? ? ? 0, f ( ? ) ? ? ? 0 ,
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不妨设 ? ? ? ,根据题意存在数 c ? (? , ? ), 使得等式 f (? ) ? f (? ) ? (? ? ? ) f ?(c) 成立 因为 f (? ) ? ? , f ( ? ) ? ? , 且? ? ? ,所以 f ?(c) ? 1 与已知 0 ? f ?( x) ? 1 矛盾,所以方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根.

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七年级数学第二单元2.1-2.5测试题(精选)

七年级第二单元 2.1—2.5 测试卷姓名 班级 成绩 、选择题(每题只有个正确答案,每题 2 分,共 26 分。 ) 1、任何个有理数的绝对值一定是( A、...


选修1-2、4-4测试卷

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高中数学选修1-2综合测试题(附答案)

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