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高中数学新课程中的向量及其教学


高中数学新课程中的向量及其教学
摘要:向量具有丰富的物理背景,向量既是几何的研究对象,又是代数的研究对象,是沟通代 数、几何的桥梁,是重要的数学模型。在高中数学中学习向量有助于学生体会数学与现实生 活和其他学科的联系,理解数学运算的意义及价值,发展运算能力,掌握处理几何问题的一种 方法,体会数形结合思想,增进付数学本质的理解。向量的教学应突出物理背景,注重向量的 代数性

质及其几何意义,关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用。 关键词:数学新课程;向量;教学 向量是高中数学新课程中的重要内容。 《普通高中数学课程标准(实验)》 (以下简称 《标 准)))中,在必修课程(数学 4)、选修课程(系列 2 一 1)中分别设置了平面向量与空间向量的 内容。笔者在新课程教师培训和实验区听课中了解到,相当一部分数学教师认为高中数学课 程中的向量主要是作为解决几何问题的一种工具,以简化几何证明。 因此,对于向量教学的研 究主要集中于向量在解几何问题中的应用,向量教学的重点放在用向量解几何问题的技巧 上。 本文试图对高中数学新课程中向量内容的定位、 向量的教育价值以及向量教学中应注意 的几个问题做一探讨。 一、对向量的认识 向量早在 19 世纪就已成为数学家和物理学家研究的对象,20 世纪初被引人中学数学。 我国在 1996 年高中数学教学大纲中引人了向量。这次,《标准》中也设置了向量的内容。高 中数学新课程中之所以设置向量的内容,是基于以下几方面的认识。 (一)向量具有丰富的物理背景 矢量是物理学研究的基本量之一,它既有大小,又有方向。如,力、位移、速度、加速度、 动量、电场强度等都是矢量。这些量贯穿于物理学的许多分支,都是数学中的向量的现实原 型,为数学中的向量提供了丰富的物理背景。 (二)向量是几何的研究对象 物体的位置和形状是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置,也是一种几何 图形(有向线段),因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研究对象,向量有方向, 可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系;向量有长度,可以刻画长度、面积、体积 等几何度量问题。 (三)向量是代数的研究对象 运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行加、减、数乘、数量积(点乘)、 向量积(叉乘)等多种运算,这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构,使得向量具有一系 列丰富的性质。向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象。 (四)向量是沟通代数、几何的桥梁 向量作为有向线段,可用来确定位置。但要用向量刻画几何图形的性质,解决几何中的长 度、 角度等度量问题只有有向线段是不够的,必须通过向量的代数运算才能实现。 如,利用向

量的数乘运算可以刻画平行,利用向量的数量积运算可以刻画垂直、角度、三角函数等。因 此,向量集数、形于一身,是数形结合的最好体现,沟通了代数、几何、三角。 (五)向量是重要的数学模型 用 V 表示向量的集合,则 V 对于向量的加法运算构成交换群。(V、R)对于 V 中向量的加 法、实数域 R 中的实数与向量的乘法(数乘)运算构成线性空间。V 中向量的数量积运算可以 刻画向量的长度,给 V 中的向量赋以长度后,(V、 R)对于向量的加法、 实数与向量的乘法运算 构成线性赋范空间。群、线性空间、线性赋范空间都是重要的数学模型,也是抽象代数、线 性代数、泛函分析的重要研究对象。因此,向量为理解抽象代数、线性代数、泛函分析提供 了基本的数学模型。 二、向里的教育价值 (一)有助于学生体会数学与现实生活以及其他学科的联系 向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具,在诸如卫星定 位、飞船设计、可运动机器人设计与操控中有着广泛的应用。向量也是刻画物理量—力、位 移、速度、加速度等的数学工具,它体现了数学与物理的天然联系。力、位移、速度、加速 度这些物理量在实际生活中是随处可见的。 因此,向量的学习,有助于学生认识数学与实际生 活以及物理等学科的紧密联系,体会向量在刻画和解决实际问题中的作用,从中感受数学的 应用价值。 (二)有助于学生理解数学运算的意义及价值,发展运算能力 向量作为代数对象,可以进行运算。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。 数运算,字母、多项式运算,向量运算,函数、映射、变换运算,矩阵运算等是数学中的基本运 算。从数运算,字母、多项式运算到向量运算,是运算的一次飞跃。数运算、多项式运算都是 A×A→A 型的代数运算,数与多项式的运算属于 A×B→B 型的代数运算,而向量运算除了前两 种类型的运算,还有数量积运算,它属于 A×A→B 型的代数运算。 向量的数量积运算可以刻画 向量的长度,从而使得我们可以通过向量的代数运算刻画长度、 面积、 体积等几何度量问题。 向量运算更加清晰地展现了不同类型的代数运算的特征及其功能,同时,向量运算具有与数 运算不同的一些运算律,这对于学生进一步理解其他数学运算、发展学生的运算能力具有基 础作用。向量的学习,有助于学生进一步体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的 作用,为理解函数、映射、变换运算,矩阵运算等奠定了基础。 (三)有助于学生掌握处理几何问题的代数方法,体会数形结合思想 向量既是代数的对象,又是几何的对象。作为代数对象,向量可以进行运算。作为几何 对象,向量有方向,可以刻画直线、 平面、 切线等几何对象;向量有长度,可以刻画长度、 面积、 体积等几何度量问题。 运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实 现的。因此,向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的 工具。 向量集数形于一身,是沟通代数与几何的天然桥梁。 向量的学习,有助于学生掌握处理 几何问题的代数方法,体会数形结合的思想。

(四)有助于增进学生对数学本质的理解 向量是重要的数学模型,它来源于力、位移、速度等现实原型。向量及其运算构成的数学 系统又为群、线性空间、线性赋范空间等抽象数学系统提供了原型。向量的运算使得向量的 集合具有特定的数学结构。如,引人向量的加法后,向量连同其加法运算一起构成群结构;引 人数与向量的乘法后,向量连同加法、 数乘运算一起构成线性空间结构;引人向量的数量积运 算后,向量连同加法、数乘、数量积运算一起构成线性赋范空间结构。群、线性空间结构是 典型的代数结构。 向量的数量积运算,可以赋予向量以长度,从而产生一种拓扑结构。 线性赋 范空间是代数结构与拓扑结构交叉形成的一种数学结构。正是由于这种数学结构,才使得运 用向量的运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题成为可能。因此,向量的学习有 助于学生认识数学概念形成过程中的多层次抽象性以及数学运算对于建构数学系统、 刻画数 学对象的重要性,进而理解数学的本质。 三、向量教学应注意的问题 基于高中数学新课程中对向量的定位以及对向量教育价值的分析,向量教学中应注意以 下几个问题。 (一)突出物理背景 向量具有丰富的物理背景。力、位移、速度、加速度等物理量是向量的原型,这些物理量 是学生在日常生活中能够经常感受到的,这为理解向量的概念、向量的运算提供了直观、现 实的背景。在教学中,应注重突出向量的这些物理背景。例如,在引入向量的加法运算时,可
?

以位移的合成为背景,这种方式比较直观。假设一个人从 A 位移到 B( AB ),再从 B 位移到
? ?

C( BC ),则这两次位移的结果就产生了从 A 到 C 的位移( AC )(如图 1),这个位移是两次位 移确定的总位移,把它看成前两个位移的和是自然的。这就引人了向量的加法以及加法的三 角形法则。有了三角形法则很容易引出平行四边形法则。在引入数与向量的乘法运算时,可 以位移的倍数或速度的倍数为背景。位移与速度的倍数仍然表示位移与速度,这样可使学生 对于数与向量的数乘运算的结果仍然是一个向量有直观的认识。 在引人向量的数量积运算时, 可以力做的功为背景。 一个物体受到力 F 的作用,如果在力的作用方向上发生一段位移 S,我 们就说这个力对物体做了功。如果力 F 的方向与位移 S 的方向相同,则功的大小就等于力 F 的大小与位移 S 大小的乘积,即}F}}S}。如果力 F 的方向与位移 S 的方向成 ? 角(如图 2),则 与位移 S 方向相同的分力为 F1 ? FS cos ? 物体在力 F1 的方向上产生了位移 S,因而对物体做 的功为 FS cos ? 。总之,力所做的功是一个标量,它是由两个向量—力和位移所决定的,这正 是向量的数量积的意义。在引人向量的一些运算律时,也可以力做功为背景。当力扩大 ? 倍 时,力所做的功也相应扩大 ? 倍,两个力的合力所做的功等于这两个力分别所做的功的和。 由 此可引出,向量的数乘运算与数量积运算满足结合律: (?a )b ? ? (ab) 向量的数量积运算对 于向量的加法运算满足分配律: a (b ? c) ? ab ? ac .

图l图2 (二)注重向量的代数性质及其几何意义 向量的代数性质主要表现在向量的运算及其运算律方面。运算是贯穿于中学数学中的 一条主线,学生最先学习的运算是数的运算,向量的运算与数运算既有联系又有区别。例如, 向量的加法运算与数的加法运算从代数运算的角度看是一致的,都是 A×A→A 型的运算。但 是,向量的加法运算的法则是三角形或平行四边形法则,这与数的加法运算的法则不同。 向量 的数乘运算不同于数的乘法运算,它扩展了运算的对象与运算的类型,属于 A×B→B 型的运 算。向量的数量积运算也不同于数的乘法运算,它是 A×A→B 型的运算。 在向量的教学中,应关注运算的意义和运算律。运算与运算律赋予向量集特定的结构, 产生群、线性空间、线性赋范空间等不同的数学模型。例如,向量集 V 对于向量的加法(+) 运算满足结合律、交换律、有零元(存在零向量)、有负元(每个向量都有与其方向相反、长 度相等的向量),这是构成交换群的基本性质;V 中向量的加法、实数域 R 中的实数与向量的 数 乘 运 算 满 足 数 乘 对 向 量 加 法 的 分 配 律 ( (?a )b ? ? (ab) 、 数 乘 对 数 加 法 的 分 配 律

(? ? ? )a ? ?a ? ?a 数乘运算的结合律 (?? )a ? ? (?a) 等,这是构成线性空间的基本性质。在
教学中,应引导学生在具体运算的基础上总结这些运算律,认识这些运算律对于研究向量和 运用向量解决问题以及建构数学体系的重要意义。 在向量的教学中,特别要重视向量的数乘运算、数量积运算与数的乘法运算的区别与联系, 应将向量的运算及运算律与数的运算及运算律行比较,帮助学生理解向量运算的意义及其运 算律,为进一步理解其他代数运算奠定基础。例如,对于数运算来说,O 是唯一的加法“零 元”,1 是唯一的乘法“单位元” 。对于向量的加法运算来说,零向量 O 也是唯一的加法“零 元” ,对于任何向量 a ? 0 ? a ? a 但是向量的数乘运算与数量积运算则具有不同于数运算的运 算律:对于任何向量 a ? 0a ? 0 ?1a ? a ? 0a ? 0 。虽然也有单位向量的概念,但单位向量不是 数量积运算的单位元.即 ea ? a ,而且单位向量也不唯一。若把单位向量的起点放在同一点, 则何 ? ac . ? 0 , ? c 。 , 都 c 是 (bc) 是a一 c 与 ) 也向 ? ac ? 0 , ? 0 但? c 。 所数 有a 单, 位b 向c 量 (ab)c?若 构 ab 成 一 个 单 位 圆 (、 球 )去 ;, 数 的 乘 法 运 算 满 足 结 合 律 消 即 对 于 任 且 则 对 bc 是 于 向 量 的 数 积 运 算 来 说 , 是 因 为 , 数 , ab) 与 ca 方 向 相 同 或 反 的 向 量 , 与与 ab) a (bc 不量 a c( 方不 向定 相共 同线 或, 反使 的共 向线 量, ,即 而 一, 定ab 相 等 。 若 向 量 a零 、 b则 c 是 三 个 互 相 垂 直 的 非 且 因 此 ,生 向 量 的 数 积 运 算 不 满 足 结 合 律 、 消 去 。 在 教 学 中 ,量 应 让 明 确 向 量 运 算 与 数 的 这 些 区 别 , 样 才 能 对 向 运 算 乃 至 代 数 有 深 人 的 认 识 。 a b ab 实 a b (ab)c?这 ( a ? ac . ? 0 , ? c 。 , 都 c 是 (bc) 是a一 c 与 ) 也向 ? ac ? 0 , ? 0 但? c 。算 , b c 且 则 对 bc 是 于 向 量 的 数 量 积 运 算 来 说 ,ab 是 因 为 , 实 数 , ab) 与 ca 方 向 相 同 或 相 反 的 向 量 , 与与 ab) a (bc 不量 a c( 方不 向定 相共 同线 或, 反使 的共 向线 量, ,即 而 一, 定ab 相 等 。 若 向 量 a零 、 b则 c 是 三 个 互 相 垂 直 的 非 且 因与 此数 ,律量 向的 量这 的些 数区 积别 运,运 算这 不样 满才 足能 结对 合向 、运 消算 去乃 。代 在数 教算 学有 中深 ,至 应人 让的 学认 生识 明。 确 向 量 运 ab a b a b (ab)c?若 (ab)c?这 ( 是实数, (ab)c 是与 c 方向相同或相反的向量, a (bc) 是与 a 方向相同或相反的向量,而 a 与 c 不一定共线,即使共线, (ab)c 与 a (bc) 也不一定相等。若向量 a、b、c、是三个互相垂直的 非零向量,则 ab ? ac ? 0 ,且 a ? 0 但 b ? c 。因此,向量的数量积运算不满足结合律、消去 律。 在教学中,应让学生明确向量运算与数运算的这些区别,这样才能对向量运算乃至代数运 算有深人的认识。 在向量的教学中,还应注意揭示向量代数性质的几何意义。向量代数性质的几何意义对

于运用向量刻画几何对象是非常重要的。例如,向量数乘运算而的几何意义是与“平行的向 量,也可以表示一点和一个方向向量 a 所确定的直线,两个不共线向量 a 与 b 的线性组合而

?a ? ?b ,表示向量“与 b 所确定的平面。这就把向量的线性运算与直线、平面联系起来了。
aa 的几何意义就是向量 a 的长度的平方,这就把向量的数量积运算与向量的长度联系起来, 从而,也就把向量的数量积运算与两点间的距离公式联系起来了。ab ? 0 的几何意义是向量 a 与 b 垂直,这就把向量的数量积运算与向量的位置关系联系起来,从而,也就把向量的数量 积运算与直线的位置关系以及点到直线的距离联系起来了。设。是单位向量,则“表示向量 u 在单位向量。上的投影的长度,这就把向量的数量积运算与向量夹角的三角函数联系起来 了。 在教学中,应帮助学生将向量代数运算与它的几何意义联系起来,这样才能运用向量代数 性质更好地刻画几何对象.从而体会代数与几何的联系。 (三)关注向量在物理、数学、现代科学技术中的应用 物理中的矢量是向量的原型,向量及其运算是物理中矢量及其运算的抽象。 因此,向量在 物理中有广泛应用是不言而喻的。在教学中,应引导学生有意识地运用向量及其运算的性质 刻画和解决物理学科中的问题。向量在数学中有着广泛的应用,向量及其代数运算可以刻画 几何对象以及几何度量问题,可以表示三角函数、 证明三角函数的公式.可以表示重要的不等 式。 例如,向量的线性运算可以刻画直线与平面以及平行、 共面等关系,向量的数量积运算可 以刻画角度、长度、面积、体积等几何度量问题以及相交、垂直等关系;运用向量的数量积 也可以定义三角函数(设( e1 , e2 )是平面上的标准正交基,a 是平面上的向量,a 与 e 的夹角为

? ,则可以定义三角函数如下: cos ? ?

ae1 ae ae , sin ? ? 2 , tan ? ? 2 。运用向量的数量积也 a a ae1

很容易推导出两角差的余弦公式 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;向量的数量积还 蕴涵着一个重要的不等关系 ab ? a b ,这个不等关系可用来证明数学中的许多不等式。 向量 在机器人设计与操控、卫星定位、飞船设计等现代技术中也有着广泛的应用。因此,在向量 的教学中,应注意体现向量在物理、数学、现代科学技术中的广泛应用性。特别应注意不能 把向量的应用只局限在解决几何问题中。向量是解决几何问题的一种有效工具,但高中数学 新课程中设置向量内容有着更为广泛的目的,而不仅仅是为了解决几何问题、 简化几何证明。

参考文献: [1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[S〕.北京:人民教育出版社.2003. [2] 数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准(实验)解读[M].南京:江苏教育出版社,2004 [3] 刘绍学.章建跃.儿何中的向量方法[J].数学通报,2004,(3). [4] 韩文美.向量学习的“四注意”和?四不能”[J].中学数学,2001,(10).


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