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高中数学必修5知识点总结归纳(超越经典


高中数学必修 5 知识点总结
第一章 解三角形
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C a b c ? ? ? 2R . 的外接圆的半径,则有 sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C (边化角) ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? (角化边) ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? , b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos ? ,
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

cos ? ? 5、 余弦定理的推论:

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 cos C ? cos ? ? , , . 2bc 2ab 2ac

6、 设 a 、b 、c 是 ??? C 的角 ? 、? 、C 的对边, 则: ①若 a 2 ? b2 ? c2 , 则 C ? 90? ; ②若 a 2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90? ;③若 a 2 ? b2 ? c2 ,则 C ? 90? . 类型题; (1)已知两角一边,用正弦定理 (2)已知两边一对角,正弦定理 (3)已知两边和一边对角,正弦定理 (4)已知三边或已知两边一夹角,用余弦定理 例,书 P8-2,P9-A1 (5)判断三角形形状,可以边角互化,可能用到两角和与差公式等 例,书 P10-8,例:acosA=bcosB,判断三角形形状 (6)三角变换,A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC 可能用到两角和与差公式等。 (7)坡角与坡度(坡度=坡角的正切) ,仰角与俯角(见 P16B-3) ,方向角(由 正北顺时针转到目标) ,方位角(如:北偏东 30 度) ,视角(张角,见 P16B-2) (8)大边对大角,两边之和大于第三边 (9),判断三角形解的个数
-1-

例(1)b=11,c=12,B=60 度, (2)b= 2 ,c=1,B=45 度, (3)a= 3 ,b= 2 ,B=45 度, (4)a=10,b=20,B=60 度。 (10) ,边角互化,例,在三角形 ABC 中,若 3b ? c)cos A ? a cos C ,求 cosA (11)活用余弦定理,书 P10-7 (12)应用题,书 P12~14 的例题

第二章
7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列.

数列

11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的 数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1(或前几项)间的关系的 公式.

(一)等差数列
17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这 个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. an?1 ? an ? d 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. a 与 b 的等差中项.若 b ? 2 19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

20、 通项公式的变形: ① an ? am ? ? n ? m? d ; ② a1 ? an ? ? n ?1? d ; ③d ? ④n ?

an ? a1 ; n ?1

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? . n?m d

21、 若 ?an ? 是等差数列, 且 m ? n ? p ? q( m 、n 、p 、 , 则 am ? an q ? ?* )
-2-

? ap ? aq ;

若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an 22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn

? ap ? aq .

?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ;② Sn ? na1 ? 2 2

23、 等差数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2n ? n ? ? * ? , 则 S2n 且 S偶 ? S奇 ? nd ,

? n ? an ? an?1 ? ,

S奇 a ? n . S偶 an?1
S奇 n (其 ? S偶 n ? 1

②若项数为 2n ? 1? n ? ? * ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ?S 偶 ?a n , 中 S奇 ? nan , S偶 ? ? n ?1? an )

(二) .等比数列
24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这 个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
an ?1 ?q an

25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的 等比中项.若 G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项. 26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1qn?1 . 27、通项公式的变形:① an
n?m

? amqn?m ;② a1 ? an q

?? n ?1?

;③ q n ?1 ?

an ; a1

④q

?

an . am

28、 若 ?an ? 是等比数列, 且 m ? n ? p ? q( m 、n 、 p 、q ? ?* ) , 则 am ? an ? a p ? aq ; 若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 an
2

? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
-3-

30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n ? n ? ? * ? ,则 ② Sn?m

S偶 S奇

?q.

? Sn ? qn ? Sm .

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列. 31,类型题 (1)已知 sn 求 a n

s -s ,(n ?2) 公式 a ={ n n-1 n s1,(n ?1)

例: Sn = 3n ? 2 ,求 a n
(2)判断或证明等差数列, 如: an ? 3n ? 9 , sn ? n2 ? 2n (3)在等差数列中, a5 ? 10 若 a12 ? 31 ,求 a25 。若 d=2,求 a10 (4)已知等差数列中 a1 ? 17 ,d=-0.6,问此数列从第几项开始出现负数。 练习:已知等差数列首项为 4,从第 7 项开始小于 0,求 d 的范围。 (5)若 x ? y,且两个数列 x, a 1 , a 2 ,y 和 x, b1 , b2 , b3 ,y 各成等差数列, 求
a 2 ? a1 b2 ? b1

(6)等差数列中, a1 + a4 + a7 =19, a2 ? a5 ? a8 ? 13 ,求 a3 ? a6 ? a9 (7)等差数列中, a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,求 s9 (8)三个数成等差数列,它们的和为 12,首尾两数的积也为 12,求这三个数。 (9)等差数列前 n 项和的最值。 例:已知数列的前 n 项和 sn ? 2n2 -30n ,求通项公式,求使得 s n 最小的 n 值。 练习:在等差数列中, a1 >0, s4 ? s9 ,则 s n 最大时 n 的值为? 练习: s9 <0, s10 >0,则此等差数列中,求 s n 最小的 n 值。

-4-

(10)两个等差数列 ?an ? ,?bn ? ,前 n 项和分别为 An , Bn (11)等差数列中 sn ? 30, s2n ? 10 ,求 s3n

An 2n ? 3 a ,求 9 ? Bn 3n ? 1 b9

(12)已知等差数列有 10 项,奇数项和 15,偶数项和 30,求公差和首项。 (13)等差数列中 sn ? 10n-n 2 ,数列 ? an ? 的前 n 项和为 Tn ,求 T4 , T16 , Tn (14)在等比数列中 a1 ? 1, an ? 256, q ? 2 ,求 n (15)等比数列中 a3 ? a6 ? 36, a4 ? a7 ? 18 ,求 q (16)等比数列中, a1 ? a2 ? a3 ? 168, a2 ? a5 ? 42 ,求 a1 (17)在递增等比数列中, a4 ? a5 ? 12, a2a7 ? 27 ,求 a11 (18)在 3 和 9 之间插入两个正数,使得前三个成等比,后三个成等差,求插 入的两个数 (19)三个不同的数成等差数列,和为 6,若将这三个数重新排列,又是等比 数列,求这三个数组成的等差数列。 (20)等比数列中, a1 ? 3, an ? 243, q ? 3 ,求 n 和 s n (21)判断等比,如: sn ? 2 ? 5n ? 2 (22)在等比数列中, s10 ? 10, s30 ? 70, 求 s20 (23)等比数列有 2n 项,和为-240,奇数项和与偶数项和的差为 80,求公比。 (24)已知递推公式求通项公式 累加法 例:数列中, an ? an?1 ? 2n ?1,(n ? 2), a1 ? 1 ,求通项公式 累乘法 例:数列中, an ? 2n an?1,(n ? 2), a1 ? 3 ,求通项公式。 构造辅助数列法 例:已知数列中, an ? 2an?1 ? 1,(n ? 2), a1 ? 1,求通项公式 (25)特殊数列求和 分组求和,例: sn ? (2 ? 3? 5?1 ) ? (4 ? 3? 5?2 ) ? (6 ? 3? 5?3 ) ? .... ? (2n ? 3? 5?n )

-5-

裂项求和,例: sn ?

1 1 1 1 ? ? ? .... ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? .... ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 1 1 1 ? ? ..... ? 1? 2 2? 3 n ? n ?1

例: sn ?

例: sn ?

错位相减求和,例: sn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? 6 ? 33 ? ... ? 2n ? 3n 倒序相加求和,例: f ( x) ?
1 2 9 2x ,求 f ( ) ? f ( ) ? .... ? f ( ) x 10 10 10 2 ? 2

第三章

不等式

31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32 、 不 等 式 的 性 质 :
a ?b? a?c ?b?c;

① a ? b ? b ? a ; ② a ? b, b ? c ? a ? c ; ③

④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . 33、 一元二次不等式: 只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b2 ? 4ac
??0 ??0 ??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
一元二次方程
ax2 ? bx ? c ? 0

有两个相异实数 根
?b ? ? x1,2 ? 2a
-6-

? a ? 0? 的根

有两个相等实数 b 根 x1 ? x2 ? ? 2a

没有实数根

? x1 ? x2 ?
ax2 ? bx ? c ? 0

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

一元二次 不等式的 解集

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成 有序数对 ? x, y ? ,所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . 用取点法找不等式表示的平面区域 39、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的 线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. a?b 40、设 a 、 b 是两个正数,则 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 2 a 、 b 的几何平均数. a?b ? ab . 41、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2
a 2 ? b2 42、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R? ;② ab ? ? a, b ? R ? ; 2
2 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ;④ a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
-7-

2

2

43,类型题 (1) 比较大小,如: x 2 -x 与 x-2 (2) f(x)=a x 2 +c,且 1 ? f (1) ? 2,3 ? f (2) ? 4 ,求 f(3)范围 (3) 书 p71,例 3,A2,3,P72,B3,7,8,9,P73,B1,2,3,4,5 (4) 书 P79 练习 B2,3.习题 A2,4,5,6,习题 B,1,3,4,5. (5) 书 P81,例 1,2,3. (6) P91,例 1,2,3 (7) P99,3,4,5,8,11,P100,6,,9,P102,1(2) (3) (5) (6) ,2,3,4
?x ? y ? 5 ? 0 ? (8) 已知 x,y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ?
y y , x 2 ? y 2 的最值。 求 , x x ?1

-8-


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