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上海市虹口区2013届高三数学二模试卷(含答案,理科)


虹口区 2013 年数学学科高考练习题(理科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、函数 f ( x) ? (2k ? 1) x ? 1在 R 上单调递减,则 k 的取值范围是 . 2013.4

(1 ? i) 3 2、已知复数 z ? ,则 z ? 1? i
3、已知



cos? sin ? 1 ? ,则 cos2(? ? ? ) ? sin ? cos ? 3



4、 (1 ? 2 x) n 展开式中二项式系数之和为 an , 设 各项系数之和为 bn , lim 则

a n ? bn ? n ?? a ? b n n



1 x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,且渐近线方程为 y ? ? x ,则此双曲 5、已知双曲线与椭圆 2 16 6
线方程为 . . .

6、如果 loga 4b ? ?1,则 a ? b 的最小值为 7、数列 ?an ? 的通项 a n ? n ? sin 8、设 F1 、 F2 是椭圆

n? ,前 n 项和为 S n ,则 S13 ? 2

? x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且满足 ?F1 PF2 ? ,则 2 4


?F1 PF2 的面积等于
9、从集合 ? , 1

2, 3?的所有非空子集中,等可能地取出一个,记取出的非空子集中元素
. . .

个数为 ? ,则 ? 的数学期望 E? ?

10、 对于 x ? R , 不等式 2 ? x ? 1 ? x ? a 2 ? 2a 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 11、 ?ABC 中,AB ? 1 ,AC ? 2 , AB ? AC) ? AB ? 2 , ?AC 面积等于 在 则 B (

12、将边长为 2 的正方形沿对角线 AC 折起,以 A , B , C , D 为顶点的三棱锥的体积 最大值等于 .

1/8

13、 an ? logn?1 (n ? 2) (n ? N ? ) , a1a2 a3 ?ak 为整数的 k 为 设 称 “希望数” 则在 (1, ,
内所有“希望数”的个数为

2013 )



14、已知函数 f ( x) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 的定义域是使得解析式有意义的 x 的集合,如 2 x 2 ? ax ? 2a


果对于定义域内的任意实数 x , 函数值均为正, 则实数 a 的取值范围是

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、直线 ?

? x ? 1 ? 2t 的倾斜角等于( ?y ? 1? t
B.



A.

? 6

? 3

C. arctan

16、已知函数 y ? 2 sin( x ?

?
2

) cos( x ?

?
2

1 2

D. arctan 2

) 与直线 y ?

1 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向 2

右依次记为 M 1 , M 2 , M 3 ,??,则 M 1 M 13 等于( )

A. 6?
17 、 若 ?

B. 7?

C. 12?

D. 13?

?
2

?? ?

?
2

n , 0 ? ? ? ? , m ? R , 如 果 有 ?3 ? s i? ? m ? 0 ,
) .

(

?
2

? ? ) 3 ? cos ? ? m ? 0 ,则 cos(? ? ? ) 值为(
A. ? 1 B. 0 C.

1 2

D. 1


18、 正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的棱上到异面直线 AB , 1 的距离相等的点的个数为 ( CC ..

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

三、解答题(满分 74 分)

P

PA 19、本题满分 12 分) ( 如图, ? 平面 ABCD , 矩形 ABCD
的边长 AB ? 1 , BC ? 2 , E 为 BC 的中点. (1)证明: PE ? DE ; (2) 如果 PA ? 2 , 求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小.
B A D

E

C

2/8

20、 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,向量

m ? (2 sin B, 2 cos B) , n ? ( 3 cos B, ? cos B) ,且 m ? n ? 1 .
(1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

21、 (本题满分 14 分)已知复数 z n ? an ? bn ? i ,其中 a n ? R , bn ? R , n ? N , i 是虚数 单位,且 z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求和:① a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ;② b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bn bn?1 .

?

22、 (本题满分 16 分)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 交此抛物线于不同的两个 点 A( x1 ,

y1 ) 、 B( x2 ,

y2 ) . 0) 时,证明 y1 ? y 2 为定值;

(1)当直线 l 过点 M ( p,

(2)当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明 理由; (3)如果直线 l 过点 M ( p,

0) ,过点 M 再作一条与直线 l 垂直的直线 l ? 交抛物线 C 于两个

不同点 D 、 E .设线段 AB 的中点为 P ,线段 DE 的中点为 Q ,记线段 PQ 的中点为 N .问 是否存在一条直线和一个定点,使得点 N 到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个 定点;若不存在,请说明理由.

3/8

23、 (本题满分 18 分) 定义域为 D 的函数 f (x) , 如果对于区间 I 内 ( I ? D) 的任意两个数 x1 、

x2 都有 f (

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立,则称此函数在区间 I 上是“凸函数” . 2 2
?

(1)判断函数 f ( x) ? lg x 在 R 上是否是“凸函数” ,并证明你的结论; (2)如果函数 f ( x ) ? x ?
2

a 在 [1, 2] 上是“凸函数” ,求实数 a 的取值范围; x

(3)对于区间 [c,

d ] 上的“凸函数” f (x) ,在 [c, d ] 上任取 x1 , x2 , x3 ,??, xn .
k ?

① 证明: 当 n ? 2 ( k ? N )时, f (

x1 ? x2 ? ? ? xn 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )]成立; n n

② 请再选一个与①不同的且大于 1 的整数 n , 证明: f (

x1 ? x 2 ? ? ? x n 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x n )]也成立. n n

4/8

虹口区 2013 年数学学科高考练习题答案(理)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、( ? ?,

1 ); 2
7、7;

2、 2;

3、?

7 ; 9
9、

4、? 1 ;

5、

x2 y2 ? ? 1; 8 2

6、1;

8、1;

12 ; 7

10、 [? 1, 3] ; 14、 ? 7 ? a ? 0 或 a ? 2 ;

11、

3 ; 2

12、

2 2 ; 3

13、9;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 C ; 16、A; 17、 B ; 18、 C ;
P

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)连 AE ,由 AB ? BE ? 1 ,得 AE ? 同理 DE ?

2,
A D

2 ,? AE 2 ? DE 2 ? 4 ? AD 2 ,由勾股定理逆定
B

理得 ?AED ? 90? ,? DE ? AE .????????3 分 由 PA ? 平 面 A B C D 得 PA ? DE . 由 DE ? AE , ,
E C

PA ? DE PA ? AE ? A ,得 DE ? 平面 PAE .? PE ? DE .????6 分

NC 、 MN 、AC . NC // AE , MN // PD , (2) PA 的中点 M ,AD 的中点 N , MC 、 取 连 ?

? ?MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小.??????8 分
BC ? 2 , NC ? MN ? 由 PA ? 2 ,AB ? 1 , 得

2, MC ? 6 , cos?MNC ? ?

?MNC ?

2? ? .? 异面直线 PD 与 AE 所成的角的大小为 .????12 分 3 3

1 ?? , 2 2? 2 ? 2

2?2?6

注:用向量解相应给分. 20、 14 分) (1) m ? n ? 1 , 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos B ? 1 , 3 sin 2B ? cos2B ? 2 , ( 解: ? ?
2

sin( 2 B ?

?
6

) ? 1 ,????????5 分

11? ? ? ? ,? 2 B ? ? ,? B ? ??????7 分 6 6 6 6 2 3 ? 2 2 2 2 2 2 2 (2)? b ? 2 , b ? a ? c ? 2ac ? cos B ,? 4 ? a ? c ? 2ac ? cos ,即 4 ? a ? c ? ac ?9 分 3
又 0 ? B ? ? ,? ?

?

? 2B ?

?

?

? 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ,即 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立.?12 分
5/8

S? ?

1 3 ac ? sin B ? ac ? 3 ,当 a ? b ? c ? 2 时, (S?ABC ) max ? 3 .????14 分 2 4

21、 (14 分)解: (1)? z1 ? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 . 由 z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i 得 an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3an ? (bn ? 2) ? i ,

?a n ?1 ? 3a n ??????3 分 ?? ?bn ?1 ? bn ? 2
数列 ?bn ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差数列, ? 数列 ?an ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,

? an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1.????????6 分
(2)①由(1)知 an ? 3n?1 ,?

ak a k ?1 ? 32 ,? 数列 ?an an?1 ? 是以 3 为首项,公比为 32 的等 a k ?1ak
3(1 ? 32 n ) 32 n?1 3 ? ? .??????9 分 1? 9 8 8

比数列.? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ?
? ②当 n ? 2k , k ? N 时,

b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bnbn?1 ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 )
? ?4b2 ? 4b4 ? ? ? 4b2 k ? ?4(b2 ? b4 ? ? ? b2 k ) ? ?4 ? k (b2 ? b2 k ) ? ?8k 2 ? 4k ? ?2n 2 ? 2n 2

? 当 n ? 2k ? 1 , k ? N 时, b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ?? (?1)n?1bnbn?1

? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3b4 ? b4 b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 ) ? b2k ?1b2k ? 2 ? ?8k 2 ? 4k ? (4k ? 1)(4k ? 3) ? 2n 2 ? 2n ? 1
又 n ? 1 也满足上式
? 2 ? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? (?1) n ?1 bn bn ?1 ? ?2n ? 2n ? 1 当n为奇数时???14 分 ? 2 ?? 2n ? 2n 当n为偶数时 ?

22、 分) (1) 过点 M ( p, (16 解: l

? x ? my ? p 0) 与抛物线有两个交点, l : x ? m y ? p , ? 2 设 由 ? y ? 2 px
2

得 y ? 2 pmy? 2 p ? 0 ,? y1 ? y2 ? ?2 p .????????4 分
2 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,其中 k ? 0 (若 k ? 0 时不合题意) .
6/8

由?

? y ? kx ? b ? y ? 2 px
2

得 ky 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 .? y1 y 2 ?

2 pb k ? ? p ,从而 b ? ? .???6 分 k 2

从而 y ? kx ?

1 ? k 1 1 ?x ? ,得 ( x ? )k ? y ? 0 ,即 ? 2 ,即过定点 ( , 0) .??????8 分 2 2 2 ?y ? 0 ?

当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 , 设 l : x ? x0 , 代 入 y 2 ? 2 px 得 y 2 ? 2 px0 , y ? ? 2 px0 ,

? y1 y 2 ? 2 px0 ? (? 2 px0 ) ? ?2 px0 ? ? p ,从而 x 0 ?
综上所述,当 y1 y 2 ? ? p 时,直线 l 过定点 ( ,

1 1 1 ,即 l : x ? ,也过 ( , 0) . 2 2 2

1 2

0) .????10 分 1 ( y1 ? y 2 ) ? pm , 2

(3)依题意直线 l 的斜率存在且不为零,由(1)得点 P 的纵坐标为 y P ?
2 2 代入 l : x ? m y ? p 得 x P ? pm ? p ,即 P( pm ? p,

pm) .

由于 l ? 与 l 互相垂直,将点 P 中的 m 用 ?

1 p p 代,得 Q( 2 ? p, ? ) .????12 分 m m m

设 N ( x,

1 p ? 2 ? x ? 2 ( m 2 ? p ? pm ? p ) p ? 2 消 m 得 y ? ( x ? 2 p ) ??????14 分 y) ,则 ? 2 ? y ? 1 ( pm ? p ) ? 2 m ?
15 p 17 p , 0) ,点 N 到它们的距离相等.???16 分 ,点 ( 8 8
?

由抛物线的定义知存在直线 x ?

23、 (18 分)解: (1)设 x1 , x2 是 R 上的任意两个数,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 x ? x2 4 x1 x2 ) ? lg x1 ? lg x2 ? 2 lg 1 ? lg ? lg1 ? 0 2 2 ( x1 ? x2 ) 2

? f(

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] .? 函数 f ( x) ? lg x 在 R ? 上是 “凸函数” .??4 分 2 2

(2)对于 [1,

2] 上的任意两个数 x1 , x2 ,均有 f (

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立,即 2 2

(

x1 ? x 2 2 a 1 a a 1 2 2 2 ) ? ? [(x12 ? ) ? ( x 2 ? )] , 整理得 ( x1 ? x 2 ) a ? ? ( x1 ? x 2 ) x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 2 2 2 x1 x2 2

??????7 分 若 x1 ? x 2 , a 可以取任意值.
7/8

若 x1 ? x 2 ,得 a ? ?

1 1 x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ,? ? 8 ? ? x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) ? ?1 ,? a ? ?8 . 2 2

综上所述得 a ? ?8 .??????10 分 (3)①当 k ? 1 时由已知得 f (

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 成立. 2 2

假设当 k ? m (m ? N ? ) 时, 不等式成立即 f ( 成立. 那么,由 c ?

x1 ? x 2 ? ? ? x 2k 2
m ?1

)?

1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2m )] 2m

x1 ? x 2 ? ? ? x 2m 2
m

? d ,c ?

x 2m ?1 ? x 2m ? 2 ? ? ? x 2m ? 2m 2m

?d

得 f(

x1 ? x 2 ? ? ? x 2m ?1 2 m?1

1 x1 ? x 2 ? ? ? x 2m x 2m ?1 ? x 2m ? 2 ? ? ? x 2m ? 2m ) ? f{ [ ? ]} 2 2m 2m

x1 ? x 2 ? ? ? x 2m x m ? x2m ? 2 ? ? ? x 2m ? 2m 1 ? [f( ) ? f ( 2 ?1 )] 2 2m 2m
1 1 1 ? { m [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2m )] ? m [ f ( x 2m ?1 ) ? f ( x 2m ? 2 ) ? ? ? f ( x 2m ?1 )]} 2 2 2 1 ? m ?1 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2m ?1 )] . 2
即 k ? m ? 1 时,不等式也成立.根据数学归纳法原理不等式得证.????????15 分 ②比如证明 n ? 3 不等式成立.由①知 c ? x1 ? d , c ? x2 ? d , c ? x3 ? d , c ? x4 ? d , 有 f(

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] 成立. 4 4

1 ? c ? x1 ? d , c ? x2 ? d , c ? x3 ? d , c ? ( x1 ? x 2 ? x3 ) ? d , 3 x1 ? x2 ? x3 ? x1 ? x2 ? x3 x ?x ?x x1 ? x2 ? x3 1 3 ? f( )? f( ) ? [ f ( 1 2 3 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x4 )] , 4 3 3 4
从而得 f (

x1 ? x 2 ? x3 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 )] .??????18 分 3 3

8/8


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