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第六次每日一题


1.

解:(1)当 k ? ?2 时, A(1, ?2) A 在反比例函数图像上
? 设反比例函数为 x , 代入 A 点坐标可得 k ? ?2 ?2 ?y ? ...........................2分 x
y? k

(2)要使得反比例函数与二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大, ? k ?

0............................3分 (图为一种可能的情况) 1 x?? 2 而对于二次函数 y ? kx ? kx ? k ,其对称轴为 2, 要使二次函数满足上述条件,在 k ? 0 的情况下, 则 x 必须在对称轴的左边, 即 x ? ? 2 时,才能使得 y 随着 x 的增大而增大………………..4 分 1 x?? 2 ? 综上所述,则 k ? 0 ,且
1 5 Q(? , ? k ) (3)由(2)可得 2 4 ?ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形 A 点与 B 点关于原点对称,所以原点 O 平分 AB 又 直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半 ?OQ ? OA ? OB...........................5分 作 AD ? OC , QC ? OC
1

OQ ? CQ 2 ? OC 2 ?

1 25 2 ? k 4 16

而 OA ? AD2 ? OD2 ? 1? k 2

?

1 25 2 ? k ? 1? k 2 , 4 16 2 2 3 ,或 k ? ? 3...................................7分 则k ? 3 3

2.二次函数 y1 ? x 2 ? x ? n ? 的图象与 x 轴只有一个交点;另一个二次函数

3 4 y2 ? nx2 ? 2(m ?1) x ? m2 ? 4m ? 6 的图象与 x 轴交于两点,这两个交点的横坐标都

是整数,且 m 是小于 5 的整数. 求(1)n 的值; (2)二次函数 y2 ? nx2 ? 2(m ?1) x ? m2 ? 4m ? 6 的图象与 x 轴交点的坐标.

解:(1)∵ y1 ? x 2 ? x ? n ?

3 的图象与 x 轴只有一个交点, 4 ∴令 y1 ? 0 ,即

3 ? 0 .……………………………………………1 分 4 3? ? ∴ ?1 ? 1 ? 4 ? n ? ? ? 0 . 4? ? 解得 n=1.………………………………………………………………………2 分 (2)由(1)知, y2 ? x2 ? 2 ? m ?1? x ? m2 ? 4m ? 6 . x2 ? x ? n ?

∵ y2 ? x2 ? 2 ? m ?1? x ? m2 ? 4m ? 6 的图象与 x 轴有两个交点, ∴ ? 2 ? ? ?2(m ? 1) ? ? 4(m 2 ? 4m ? 6)
2

? 8m ? 20 . ∵ ?2 ? 0 ,


5 .……………………………………………………………………………3 分 2 又∵ m ? 5 且 m 是整数, ∴m=4 或 3.…………………………………………………………………………5 分 当 m=4 时, y2 ? x2 ? 6x ? 6 的图象与 x 轴的交点的横坐标不是整数; m?

当 m=3 时, y2 ? x2 ? 4x ? 3 ,令 y2 ? 0 ,即 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x2 ? 3 . 综上所述,交点坐标为(1,0),(3,0).

3.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? mx2 ? 2mx ? n 与 x 轴交于 A 、 B 两点, 点 A 的坐标为 ( ?2,0) . (1)求 B 点坐标; 1 (2)直线 y = x + 4 m + n 经过点 B . 2 ①求直线和抛物线的解析式; ②点 P 在抛物线上,过点 P 作 y 轴的垂线 l ,垂足为 D(0, d ) .将抛物线在 直线 l 上方的部分沿直线 l 翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象
G .请结合图象回答:当图象 G 与直线 y =

1 x + 4 m + n 只有两个公共点时, d 2

的取值范围是.

解:(1)依题意,可得抛物线的对称轴为 x ? ? 分

?2 m ? 1 .………………………1 2m

∵抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点,点 A 的坐标为 ( ?2,0) , ∴点 B 的坐标为 (4,0) .………………………2 分 (2)∵点 B 在直线 y = ∴ 0 ? 2 ? 4m ? n ①. ∵点 A 在二次函数 y ? mx2 - 2mx ? n 的图象上, ∴ 0 ? 4m ? 4m ? n ②.………………………3 分 由①、②可得 m ?
1 n ? ?4 . ………………………4 分 2,
1 2

1 x + 4 m + n 上, 2

∴抛物线的解析式为 y= x 2 ? x ? 4 ,直线的解析式为 y=
1 x ? 2 .……………5 分 2

(3) ?

5 ? d ? 0 .………………………7 分 2

4.已知二次函数 y ? x2 ? 2 ? k ? 1? x ? 4k 的图象与 x 轴分别交于点 A ? x1,0? 、

B ? x2 ,0? ,且 ? < x1 < ? .
(1)求 k 的取值范围; (2)设二次函数 y ? x2 ? 2 ? k ? 1? x ? 4k 的图象与 y 轴交于点 M,若
OM ? OB ,求二次函数的表达式;

3 2

1 2

(3)在(2)的条件下,若点 N 是 x 轴上的一点,以 N、A、M 为顶点作平行四 边形,该平行四边形的第四个顶点 F 在二次函数 y ? x2 ? 2 ? k ? 1? x ? 4k 的图象上,请直接写出满足上述条件的平 7 行四边形的面积.

解:(1)令 y ? 0 ,则 x2 ? 2 ? k ?1? x ? 4k ? 0 解方程得: x ? 2k 或 x ? 2 ,………………1 分; 由题意得: A ? 2k, 0? , 0? , B ? 2,
3 1 ? 2k ? ? , 2 2 3 1 ∴? ? k ? ? . 4 4

∴-

………………2 分;

(2)令 x ? 0 ,则 y ? 4k , ∴ M ? 0, 4k ? , ∵ OM ? OB , ∴ ?4k ? 2 ,………………3 分;
1 ∴k ? ? , 2

∴ y ? x2 ? x ? 2 . 或∵ OM ? OB , B ? 2, 0? , ∴ M ? 0,- 2? ,

………………4 分;

把点 M 的坐标分别代入 y ? x2 ? 2 ? k ? 1? x ? 4k 中, ∴ 4k ? ?2 ,………………3 分;
1 ∴k ? ? , 2

∴ y ? x2 ? x ? 2 .

………………4 分;

(3) 2 , 5 ? 17 , 5 ? 17 . (每个答案各 1 分)

5.已知关于 x 的方程 mx2 ? (3m ? 2) x ? 2m ? 2 ? 0 (1)求证:无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根. (2)若关于 x 的二次函数 y ? mx2 ? (3m ? 2) x ? 2m ? 2 的图象与 x 轴两个交点的 横坐标均为正整数,且 m 为整数,求抛物线的解析式.

解:(1)证明:①当 m ? 0 时,方程为 ?2 x ? 2 ? 0 ,所以 x ? 1 ,方程有实数 根.…… 1 分 ②当 m ? 0 时, ? ? ? ?(3m ? 2) ? ? 4m(2m ? 2)
2

= 9m2 ? 12m ? 4 ? 8m2 ? 8m = m 2 ? 4m ? 4 = (m ? 2)2 ? 0 ………………………………2 分 所以,方程有实数根 综①②所述,无论 m 取任何实数时,方程恒 有实数根…………3 分 (2)令 y ? 0 ,则 mx2 ? (3m ? 2) x ? 2m ? 2 ? 0 2 解关于 x 的一元二次方程 ,得 x1 ? 1 , x2 ? 2 ? ……………………5 分 m 二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为正整数,且 m 为整数, 所以 m 只能取 1,2 所以抛物线的解析式为 y ? x2 ? 5x ? 4 或 y ? 2 x2 ? 8x ? 6


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