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2013年春高一数学必修5解三角形数列测试题答


鄂州二中 2013 年春高一数学必修 5《解三角形、数列》测试题
全卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2013.3.19

★祝考试顺利★ 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.在 ?ABC 中, a ? 2 3,b ? 2 2,B ? 45? ,则 A 为( A ) A. 6

0?或120?

B.60?

C.30?或150?

D.30?

2. 各项均为实数的等比数列 {an } 前 n 项之和记为 S n .若 S10 ? 10 , S 30 ? 70 ,则 S 40 等于 ( B )
教 育博客

A. ? 200

B. 150

C. 150 或-200 B. 锐角三角形

教育 博客

D. 400 或-50

教育 博客

3、在 ?ABC 中, b cos A ? a cos B ,则三角形的形状为( A. 直角三角形 C.等腰三角形

C



D. 等边三角形

4. 已知数列 ?1, a1, a2 , ?4 成等差数列, ?1, b1, b2 , b3 , ?4 成等比数列,则

a2 ? a1 ?( A ) b2
D.

A.

1 2

B. ?

1 2

C. ? 或

1 2

1 2

1 4

5. 如图: D, C, B 三点在地面同一直线上, DC ? a ,从 C, D 两点测得 A 点仰角分别是 ,则 A 点离地面的高度 AB 等于 ?,? ? ? ?) ( A. A ( D)

a cos? ? sin ? cos?? ? ? ? a sin ? ? cos ? sin ?? ? ? ?
a

B.

a sin ? ? sin ? cos?? ? ? ? a sin ? ? sin ? sin ?? ? ? ?
B

?
C C)

C

D.

?

D

6. 已知 2

? 3,2b ? 6,2c ? 12 ,则 a,b,c 的关系是(

A. 成等比但不成等差 B 成等差且成等比 C、成等差但不成等比 D 不成等比也不成等差 7.如果 a1,a2,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则 A

( B ) D a1a8 ? a4 a5

a1a8 ? a4 a5 B

a1a8 ? a4 a5

C

a1 ? a8 ? a4 ? a5

8. 据科学计算, 运载 “神七” “长征二号” 的 系列火箭, 在点火后第一秒通过的路径为 2km, 以后每秒钟通过的路程增加 2km,在到达离地面 240km 的高度时,火箭与飞船飞离,则这 一过程大约需要的时间是( C ) A.10 秒钟 B.13 秒钟 C.15 秒钟 D.20 秒钟 9.某工厂在 2003 年底制定计划要使 2013 年底总产值在原有基础上翻两番,则年产值的平 均增长率为(D )
[来源:学科网]

A. 2 ? 1

1 11

B. 4 ? 1

1 11

C. 2

1 10

?1

D. 4

1 10

?1
( B ) D.无法确定

10. 已知等比数列 { an } 的首项为 8, s n 是其前 n 项的和,某同学经计算得 S2=20,S3=36, S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为 A.S2 B.S3 C. S4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. 在 ?ABC 中 , _ ? 2,

a ? x , b ? 2 , B ? 60? , 若 ?ABC 有 两 解 , 则 x 的 取 值 范 围 是

? ?

4 ? 3 ? ______. 3 ?

12、已知数列 ?an ? 满足

1 1 1 1 a1 ? 2 a2 ? 3 a3 ? ? ? n an ? 2n ? 1 2 2 2 2 ( ?6 n ? 1 ) 则 ?an ? 的通项公式 an ? ? n?1 ?2 (n ? 2 )

13. 在正项等比数列{an}中, a9· 11=4, 若 a 则数列 log1 an } 19 项之和为 { 前
2

-19

14.已知数列 ?an ? ,若 a1 ?

a 2n ? 1 1 ,且 n ? ,则 ?an ? 的通项公式为 3 an?1 2n ? 1

an ?

1 2n ? 1

15.一般地数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? k (k 为常数) ,数列 ?an ? 叫等和数列,其中 k 为公
和, 设等和数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, 若 公和 k=3, S2013 ? _3019______ 则

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
16、 (本小题满分 12 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n 16.解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 ) 由于 a1 ? 0 ,故 2q 2 ? q ? 0
1 2 1 2 ( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) ? 3 故 a1 ? 4 2 1 n (? ? ) 41( ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? (? ? ) 1( ) 1 3 2 1? ? ) ( 2
又 q ? 0 ,从而 q ? -

17. (本小题满分 12 分) ?ABC 中,a 、b 、c 分别为 A 、B 、C 的对边,如果 a ,b ,c 成等差数列,B ? 30? ,

3 ?ABC 的面积为 ,求 ?ABC 的周长。 2 【解】∵ a , b , c 成等差数列,∴ 2b ? a ? c .??①???2′ 3 1 3 又由 ?ABC 的面积为 ,∴ ac ? sinB ? . 2 2 2 1 1 3 ∴ ac ? ? , ac ? 6 .???5′ 2 2 2 由余弦定理可得: a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac ? cosB ???②???8′ 3 将①式平方代入②式得: 4b 2 ? 2ac ? b 2 ? 2ac ? . 2 2 ∴ b ? 4 ? 2 3 , b ? 1 ? 3 ???11′
∴周长为 a ? b ? c ? 3 ? 3? 3 3 .???12′ b 18 (本小题满分 12 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,an?1 ? 3Sn ,n=1,2,3,??, (1)计算 a2,a3,a4 的值,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 解: (1)由 a1=1, an?1 ? 3Sn ,n=1,2,3,??,得

a2 ? 3S1 ? 3a1 ? 3 ,

a3 ? 3S2 ? 3(a1 ? a2 ) ? 12 ,

a4 ? 3S3 ? 3(a1 ? a2 ? a3 ) ? 48 ,?????????3 分
由 an?1 ? an ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 3an ( n ? 2 ) ,得 an?1 ? 4an ( n ? 2 ) , 又 a2= 3 ,所以 an= 3 ? 4
n? 2

( n ? 2 ),?????????6 分

∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ?

? 1 n?2 ?3 ? 4

n ?1 n?2

;?????????7 分

(2) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1; 当 n ? 2 时, Tn ? 1 ? 6 ? 40 ? 9 ? 41 ? ? ? 3n ? 4n?2 ,????①

4Tn ? 4 ? 6 ? 41 ? 9 ? 42 ? ?? 3n ? 4n?1 ,?????????②
① ? ② 得: -3Tn ? 3 ? 3? 41 ? 3? 42 ? ?? 3? 4n?2 ? 3n ? 4n?1

-3Tn ? 3 ?

1? (1 ? 4n?1 ) ? 3n ? 4n?1 =(1-3n) 4n?1 ? 1 .?????10 分 ? 1? 4

1 ? 1? ?Tn ? ? ? n ? ? 4n?1 (n ? 2) . 3 ? 3?
又?T1 ? a1 ? 1 也满足上式,?Tn ? 19. (本小题满分 12 分) 某企业 2010 年的纯利润为 5000 万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降,若不进 行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 200 万元,今年初该企业一次性投入 资金 6000 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为第 一年)的利润为 5000(1 ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 4n?1 (n ? 2) .???????12 分 3 ? 3?

1 ) 万元(n 为正整数). 2n

(1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技术改造 后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金),求 An , Bn 的表达式 (2).依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不 进行技术改造的累积纯利润. 19..解 依题设, An ? (5000 ? 200) ? (5000 ? 400) ? ?? (5000 ? 200n) ? 4900n ?100n2 ; (1)

1 1 5000 ?) ? 2 ?) ? ? 1 (1 ? ( ?) ]= 50000 0 n ? 1000 . 60 n? n 2 2 2 5000 5000 2 2 (2) Bn ? An ? (5000n ? n ? 1000) ? (4900n ? 100n ) = 100n ? 100n ? n ? 1000 2 2 50 50 = 100[n(n ? 1) ? n ? 10] ,因为函数 y ? x( x ? 1) ? x ? 10在(0, ? ?)上为增函数, 2 2 50 50 50 ? 当 ? n ? 3时, n(n ? 1) ? n ? 10 ? 12 ? ? 10 ? 0; 当n ? 4时, n(n ? 1) n ? 10 ? 1 2 8 2 50 20 ? ? 10 ? 0. 因此当 n ? 4时,Bn ? An . 16
20. (本小题满分 13 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2, q ? 0 ) . (1)设 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

1 Bn ? 5 0 0 0 [ ?1 ( 2

(2)求数列 {an } 的通项公式; (3)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的
*

等差中项. 20.(Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2 ) ,得

an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,即 bn ? qbn?1 , n ? 2 .
又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅱ)解法:由(Ⅰ) ?? ( . an ? an?1 ? q2 , n ? 2 ) 将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? ?? qn?2 ( n ? 2 ) .

a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? q ,

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? 所以当 n ? 2 时, an ? ? 1? q ? n, ?
上式对 n ? 1 显然成立.

q ? 1, q ? 1.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,当 q ? 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ? 1 . 由 a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q ? q ? q ? q ,由 q ? 0 得 q ?1 ? 1 ? q ,
5 2 2 8 3 6 3 2 3 3 3



整理得 (q ) ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 或 q ? 1 (舍去) .于是 q ? ? 3 2 .

q n? 2 ? q n?1 q n?1 3 另一方面, an ? an?3 ? ? (q ? 1) , 1? q 1? q an?6 ? an ? q n?1 ? q n?5 q n?1 ? (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q
*

由①可得 an ? an?3 ? an?6 ? an , n ? N . 所以对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.
*

21(本小题满分 14 分)
x 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的图像上一点.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为

1 3

f (n) ? c .数列 ?bn ? (bn ? 0) 的首项为 c,且前 n 项和 s n 满足 sn ? sn?1 ? sn ? sn ?1 (n≥2)
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;

(2)若数列 ?

? 1 ? 1000 的最小正整数 n 是多少? ? 的前 n 项和为 Tn ,问满足 Tn > 2009 ? bnbn ?1 ?

1 1 21.解 ? f (1) ? a ? , ? f(x)=( ) x 3 3 1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? . ? ? ? ? 27 4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27

a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3? 3?
Q Sn ? Sn?1 ?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
1? ?? 3? 1 1 ?1 ?1 1 ? 1 1 ? ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?K ? ? ? 2 3 ?5 ?2 5 ? 7 n 1 ? 1 ? ? 2?2 n? 2

1? ? ?1 ? 2?

1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009


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