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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修1-1


3.1.3

导数的几何意义

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 理解导数的几何意义, 初步体会“以直代曲”的辩证思想; 掌握求曲线上一点出的切线 的斜率的方法. 2.过程与方法 培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力;培养学生合作学习、创新能力. 3.情感、态度与价值观 经过 FLASH 动画演示割线“逼近”成切线过程, 让学生感受函数图象的切线“形成”过 程,获得函数图象的切线的意义;增强学生问题应用意识教育,让学生获得学习数学的兴趣 与信心. ●重点、难点 重点:导数的几何意义,求曲线上过一点处的切线方程. 难点: “以直代曲”的数学思想方法; 以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率 与瞬时变化率的近似关系的理解.

(教师用书独具)

●教学建议 为了更好的完成本节课的教学目标,帮助学生理解本节课内容,突出重点,突破难点, 宜设计了如下的教法和学法: (1)教学设计:探讨教学法,即教师通过问题→诱导→演示→讨论→探索结果→归纳总

1

结. (2)学法设计:自主思考,参与探究、合作交流、形成共识. (3)教学手段:以“多媒体辅助教学手段”为辅,以“问题的探讨,学生发言、演板, 老师黑板板书”为主. ●教学流程 创设问题情境,引出问题:导数是否有一定的几何意义呢? 引导学生结合切、割线知识,用“逼近”思想探究出导数的几何意义. 通过引导学生回答所提问题进一步理解导数的几何意义. 通过例1及其变式训练,使学生对导数的几何意义加深理解,为应用埋下伏笔. 通过例2及其变式训练,使学生掌握求曲线的切线方程的方法. 在深入理解导数几何意义的基础上完成例3及其变式训练,学会其几何意义的综合应用. ? 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. ? ? ? ? ? ?

完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正.

(对应学生用书第 49 页)

1.理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程.(重 课标解读 点) 2.理解在某点处与过某点的切线方程的区别.(难点、易混 点)

导数的几何意义 【问题导思】 1.我们知道,导数 f′(x0)表示函数 f(x)在 x0 处的瞬时变化率,反映了函数 f(x)在 x =x0 附近的变化情况,那么,导数 f′(x0)是否有一定的几何意义呢? 【提示】 f′(x0)有几何意义.
2

2.如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4),沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时, 割线 PPn 的变化趋势是什么?

【提示】 点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于过点 P 的切线 PT. 3.第 2 题图中割线 PPn 的斜率 kn= 率与切线 PT 的斜率有何大小关系? 【提示】 kn 无限趋近于切线 PT 的斜率. 1.设点 P(x0,f(x0)),Pn(xn,f(xn))是曲线 y=f(x)上不同的点,当点 Pn(xn,f(xn))(n =1,2,3,4?)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确 定位置的直线 PT 称为过点 P 的切线, 且 PT 的斜率 k=lixn→ m x0

f?xn?-f?x0? ,当点 Pn 无限趋近于点 P 时,此斜 xn-x0

f?xn?-f?x0? =f′(x0). xn-x0

2.函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)) 处切线的斜率,在点 P 的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

导函数的概念 从求函数 f(x)在 x=x0 处导数的过程看到,当 x=x0 时,f′(x0)是一个确定的数;当

x 变 化 时 , f′(x) 是 x 的 一 个 函 数 , 称 为 f(x) 的 导 函 数 , 即 f′(x) = y′ = Δ lim x→0 f?x+Δ x?-f?x? . Δx
【问题导思】 导函数 f(x)与函数在 x=x0 处的导数 f′(x0)相同吗?它们有什么区别与联系? 【提示】 不相同. (1)两者的区别: 由导数的定义知, f′(x0)是一个具体的值, f′(x) 是由于 f(x)在某区间 I 上每一点都存在导数而定义在 I 上的一个新函数,所以两者的区别 是:前者是数值,后者是函数.

3

(2)两者的联系:在 x=x0 处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x)在 x=x0 处的函数值,因此求函 数 数 在 某 一 点 处 的 导 .

(对应学生用书第 49 页)

导数几何意义的理解 若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,

b]上的图象可能是(

)

【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么?(2)y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增 函数,说明 y=f(x)图象的切线有什么特点? 【自主解答】 因为函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)在[a,b]上是增函数,由导数的 几何意义可知,在区间[a,b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的,只有 A 选项符合. 【答案】 A

1.f′(x0)即为过曲线 y=f(x)上点 P(x0,f(x0))切线的斜率. 2. 若曲线 y=f(x)在(a, b)上任一点处的导数值都大于零, 可以判断曲线 y=f(x)在(a,

b)上图象呈上升趋势,则函数 y=f(x)在(a,b)上单调递增.而若 y=f(x)在(a,b)上任一
点处的导数都小于零,则函数 y=f(x)的图象在(a,b)上呈下降趋势,y=f(x)在(a,b)单 调递减.当函数 y=f(x)在(a,b)上的导数值都等于零时,函数 y=f(x)的图象应为垂直于
4

y 轴的直线的一部分.

已知 y=f(x)的图象如图 3-1-1 所示,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是(

)

图 3-1-1 A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)=f′(xB) C.f′(xA)<f′(xB) D.f′(xA)与 f′(xB)大小不能确定 【解析】 由 y=f(x)的图象可知,kA>kB,根据导数的几何意义有:f′(xA)>f′(xB). 【答案】 A

求曲线的切线方程 (1)求曲线 y=x +x+1 在点(1,3)处的切线方程. (2)求过点(-1,0)与曲线 y=x +x+1 相切的直线方程. 【思路探究】 (1)所给点是切点吗?(2)若是切点, 该如何求切线方程?若不是切点该 怎么办? 【自主解答】 (1)y′=Δ lim x→0 =2x+1,∵(1,3)在曲线上, ∴切线斜率 k=y′|x=1=2×1+1=3. ∴所求切线方程为 y-3=3(x-1),即 3x-y=0. (2)y′=2x+1,∵点(-1,0)不在曲线上,设切点坐标为(x0,y0), 则切线斜率为 k=2x0+1= ∵y0=x0+x0+1, ∴x0=0 或 x0=-2. 当 x0=0 时,切线斜率 k=1,过(-1,0)的切线方程为 y-0=x+1,即 x-y+1=0, 当 x0=-2 时,切线斜率 k=-3,过(-1,0)的切线方程为 y-0=-3(x+1),即 3x+y +3=0, 故所求切线方程为 x-y+1=0 或 3x+y+3=0.
2 2 2

?x+Δ x? +?x+Δ x+1?-?x +x+1? Δx

2

2

y0

x0+1

.

5

1.如果所给点 P(x0,y0)就是切点,一般叙述为“在点 P 处的切线”,此时只要求函数

f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0),即得切线的斜率 k=f′(x0),再根据点斜式得出切线方程.
2.如果所给点 P 不是切点,应先设出切点 M(x0,y0),再求切线方程.要特别注意“过 点 P 的切线”这一叙述,点 P 不一定是切点,也不一定在曲线上.

1 1 求曲线 y= 在点 A( ,2)处的切线的斜率,并写出切线方程. x 2 1 1 【解】 ∵Δ y=f( +Δ x)-f( ) 2 2 = ∴ 2 -4Δ x -2= , 1+2Δ x 1+2Δ x Δy -4 = , Δ x 1+2Δ x

1 -4 ∴切线的斜率 k=y′|x= =Δ lim =-4. x→0 1+2Δ x 2 1 ∴切线方程为 y-2=-4(x- ),即 4x+y-4=0. 2

导数几何意义的综合应用 抛物线 y=x 在点 P 处的切线与直线 4x-y+2=0 平行,求 P 点的坐标及切线 方程. 【思路探究】 设切点P?x0,y0? → 求导数y′=f′?x? → 由k=4,求x0
2

→ 确定切点P?x0,y0? → 求切线方程 【自主解答】 设 P 点坐标为(x0,y0),

y′=Δ lim x→0
=Δ lim x→0

Δy ?x+Δ x? -x =lim Δ x Δ x→0 Δx
2

2

2

2x·Δ x+?Δ x? Δx

=Δ lim (2x+Δ x)=2x. x→0 ∴y′|x=x0=2x0, 又由切线与直线 4x-y+2=0 平行, ∴2x0=4,∴x0=2, ∵P(2,y0)在抛物线 y=x 上,∴y0=4, ∴点 P 的坐标为(2,4),
2

6

∴切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.

1.导数的几何意义是曲线的切线的斜率,已知切点可以求斜率,反过来,已知斜率也 可以求切点. 2.导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导,注意灵活利用题目提供 的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题.

已知曲线 C:y=x .求: (1)曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程; (2)(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点? 【解】 (1)将 x=1 代入曲线 C 的方程,得 y=1, ∴切点为 P(1,1). ∵y′=Δ lim x→0
2

3

Δy ?x+Δ x? -x = lim Δ x Δ x→0 Δx
2 3

3

3

=Δ lim x→0

3x Δ x+3x?Δ x? +?Δ x? Δx
2 2 2

=Δ lim [3x +3xΔ x+(Δ x) ]=3x , x→0 ∴y′|x=1=3. ∴过 P 点的切线方程为 y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0.
?3x-y-2=0, ? (2)由? 3 ? ?y=x ,

可得(x-1) (x+2)=0,

2

解得 x1=1,x2=-2. 从而求得公共点为 P(1,1)或 P(-2,-8). 说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外,还有另外的点(-2,-8).

(对应学生用书第 51 页)

错把所给点当作切点致误

7

已知曲线 y=2x -7,求曲线过点 P(3,9)的切线方程. 【错解】 f′(3)=Δ lim x→0
2

2

Δy Δx
2

=Δ lim x→0

[2?3+Δ x? -7]-?2×3 -7? Δx

=Δ lim (12+2Δ x) x→0 =12. 故切线斜率为 12. 由直线的点斜式方程,得切线方程为 y-9=12(x-3), 即 12x-y-27=0. 【错因分析】 点 P 不是切点,故切线斜率不是在 x=3 处的导数. 【防范措施】 求曲线的切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,否则极易出错. 【正解】 f′(x0)=Δ lim x→0
2

Δy Δx
2

=Δ lim x→0

[2?x0+Δ x? -7]-?2×x0-7? Δx

=Δ lim (4x0+2Δ x)=4x0. x→0 由于 2×3 -7=11≠9,故点 P(3,9)不在曲线上. 设所求切线的切点为 A(x0,y0),则切线的斜率 k=4x0, 故所求的切线方程为 y-y0=4x0(x-x0). 将 P(3,9)及 y0=2x0-7 代入上式,得 9-(2x0-7)=4x0(3-x0). 解得 x0=2,或 x0=4.所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为 8x-y-15=0,或 16x-y-39=0.
2 2 2

1.函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的
8

斜率.也就是说,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0),相应地,切线 的方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

2.导数 f′(x),是针对某一区间内任意点 x 而言的,函数 f(x)在区间(a,b)内每一点 都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′(x0), 根据函数的定义,在区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是函数 f(x)的导函数 f′(x).

(对应学生用书第 51 页)

1.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( A.不存在 C.与 x 轴垂直 【答案】 B B.与 x 轴平行或重合

)

D.与 x 轴斜交

2.如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( A.f′(x0)>0 C.f′(x0)=0 1 【解析】 由 x+2y-3=0 知斜率 k=- , 2 1 ∴f′(x0)=- <0. 2 【答案】 B 3.抛物线 y=2x 在点 P(1,2)处的切线 l 的斜率为____.
2

)

B.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在

9

【解析】 k=f′(1)=4 【答案】 4 1 4. 已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1, f(1))处的切线方程为 y= x+2.求 f(1)与 f′(1) 2 的值. 1 5 【解】 由题意 f(1)= ×1+2= . 2 2

由 1 2

















f′(1)



k

= .

(对应学生用书第 105 页)

一、选择题 1.(2013·临沂高二检测)设函数 f(x)满足Δ lim x→0 =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是( A.2 B.-1 C. 1 2 )

f?1?-f?1-Δ x? =-1,则曲线 y Δx

D.-2

【解析】 ∵Δ lim x→0

f?1?-f?1-Δ x? =f′(1)=k=-1, Δx

∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是-1. 【答案】 B 2.过点(-1,0)作抛物线 y=x +x+1 的切线,则其中一条切线为( A.2x+y+3=0 C.2x+y+1=0
2 2

)

B.3x-y+5=0 D.x-y+1=0

【解析】 ∵点(-1,0)不在抛物线 y=x +x+1 上,故点(-1,0)不是切点,但此点在 切线上,应满足切线方程,经验证,只有 D 符合. 【答案】 D 3.函数 y=f(x)的导函数 f′(x)的图象如图 3-1-2 所示,则在 y=f(x)的图象上 A,

B 的对应点附近,有(

)

10

图 3-1-2 A.A 处下降,B 处上升 B.A 处上升,B 处下降 C.A 处下降,B 处下降 D.A 处上升,B 处上升 【解析】 ∵所给图象的导函数的图象,且 A 点处 y<0,B 点处 y>0,故原函数图象 上 A 处下降,B 处上升. 【答案】 A 4.(2013·鹤壁高二检测)如图 3-1-3 所示,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方 程是 y=-x+8,则 f(5)+f′(5)=( )

图 3-1-3 A. 1 2 B.1 C.2

【解析】 由图象知 f(5)=-5+8=3. 由导数几何意义知 f′(5)=-1. ∴f(5)+f′(5)=3-1=2. 【答案】 C 4 5.(2013·黄冈高二检测)已知曲线 y= 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为

x

17,则直线 l 的方程为( A.4x-y+9=0

)

B.4x-y+9=0 或 4x-y+25=0 C.4x+y+9=0 或 4x+y-25=0 D.以上均不对 【解析】 y′=Δ lim x→0 Δy =-4,∴k=-4,∴切线方程为 y-4=-4(x-1),即 4x+ Δx

11

y-8=0,设 l:4x+y+c=0,由题意 17=
【答案】 C 二、填空题

|c+8| 4 +1
2

2

,∴c=9 或-25,应选 C.

6.已知 y=ax +b 在点(1,3)处的切线斜率为 2,则 =________. 【解析】 由题意Δ lim x→0
2

2

b a

a?1+Δ x?2+b-a-b =Δ lim (aΔ x+2a)=2a=2,∴a=1,又 x→0 Δx

3=a×1 +b,∴b=2,∴ =2. 【答案】 2 7. (2013·杭州高二检测)曲线 f(x)=3x+x 在点(1, f(1))处的切线方程为__________. 【解析】 k=Δ lim x→0 ∵f(1)=4. 由点斜式得 y-4=5(x-1),即 y=5x-1. 【答案】 y=5x-1 8.y=f(x),y=g(x),y=α (x)的图象如图 3-1-4 所示: 3?1+Δ x?+?1+Δ x? -3-1 =5. Δx
2 2 2

b a

图 3-1-4 而下图是其对应导数的图象:

则 y=f(x)对应________;y=g(x)对应________;y=α (x)对应________. 【解析】 由导数的几何意义,y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变, 则 y=f(x)对应 B.y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无 限,故 y=g(x)对应 C.y=α (x)图象上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故 y= α (x)对应 A. 【答案】 B 三、解答题 9.已知函数 f(x)=x +2. (1)求 f′(x);(2)求 f(x)在 x=2 处的导数.
12
2

C A

【解】 (1)∵Δ y=f(x+Δ x)-f(x) =(x+Δ x) +2-(x +2) =(Δ x) +2x·Δ x, ∴ Δy =2x+Δ x. Δx Δy =2x. Δx
2 2 2

∴f′(x)=Δ lim x→0

(2)f′(2)=f′(x)|x=2=2×2=4. 1 3 8 10.已知曲线 y= x 上一点 P(2, ),求: 3 3 (1)点 P 处的切线的斜率; (2)点 P 处的切线方程. 1 3 【解】 (1)由 y= x , 3 得 y′=Δ lim x→0 Δy Δx

1 1 3 3 ?x+Δ x? - x 3 3 =Δ lim x→0 Δx 1 3x Δ x+3x?Δ x? +?Δ x? = Δ lim 3 x→0 Δx 1 2 2 = Δ lim [3x +3xΔ x+(Δ x) ] 3 x→0 =x ,
2 2 2 3

y′|x=2=22=4.
所以点 p 处的切线的斜率等于 4. 8 (2)在点 p 处的切线方程为 y- =4(x-2), 3 即 12x-3y-16=0. 11.已知 f(x)=x ,g(x)=x . (1)求 f′(x),g′(x),并判断 f′(x)和 g′(x)的奇偶性; (2)若对于所有的实数 x,f′(x)-2<ag′(x)恒成立,试求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)由导数的定义知,
2 3

f′(x)=Δ lim x→0 g′(x)=Δ lim x→0

?x+Δ x? -x =2x; Δx ?x+Δ x? -x 2 2 2 =Δ lim [3x +3x·Δ x+(Δ x) ]=3x . x→0 Δx
3 3

2

2

13

f′(x)和 g′(x)的定义域为 R,故定义域关于原点对称,
∵f′(-x)=-2x=-f′(x), ∴f′(x)为奇函数. ∵g′(-x)=3(-x) =3x =g′(x), ∴g′(x)为偶函数. (2)由 f′(x)-2<ag′(x),得 3ax -2x+2>0 对任意实数 x 恒成立, ①当 a=0 时,转化为-2x+2>0 恒成立,即 x<1,不合题意; ②当 a≠0 时,由 3ax -2x+2>0 对所有实数 x 都成立得,
? ?a>0, ? 2 ?Δ =?-2? -4×2×3a<0, ?
2 2 2 2

解 ∞).



a



1 6

.







a













(

1 6





(教师用书独具)

在曲线 y=x 上过哪一点的切线, (1)平行于直线 y=4x-5; (2)垂直于直线 2x-6y+5=0; (3)与 x 轴成 135°的倾斜角. 【解】 f′(x)=Δ lim x→0 =2x, 设 P(x0,y0)是满足条件的点. (1)因为切线与直线 y=4x-5 平行,所以 2x0=4,x0=2,y0=4,即 P(2,4). (2)因为切线与直线 2x-6y+5=0 垂直, 1 3 9 3 9 所以 2x0· =-1,得 x0=- ,y0= ,即 P(- , ). 3 2 4 2 4 (3)因为切线与 x 轴成 135°的倾斜角,所以其斜率为-1.
14
2 2 f?x+Δ x?-f?x? ?x+Δ x? -x =Δ lim x→0 Δx Δx

2

1 1 1 1 即 2x0=-1,得 x0=- ,y0= ,即 P(- , ). 2 4 2 4

直线 l:y=x+a(a≠0)和曲线 C:y=x -x +1 相切. (1)求 a 的值; (2)求切点的坐标. 【解】 设直线 l 与曲线 C 相切于 P(x0,y0)点.

3

2

f′(x)=Δ lim x→0
=Δ lim x→0
2

f?x+Δ x?-f?x? Δx
3 2 3 2

?x+Δ x? -?x+Δ x? +1-?x -x +1? Δx

=3x -2x. 1 2 由题意知,k=1,即 3x0-2x0=1,解得 x0=- 或 x0=1. 3 1 23 于是切点的坐标为(- , )或(1,1). 3 27 1 23 23 1 32 当切点为(- , )时, =- +a,a= . 3 27 27 3 27 当切点为(1,1)时,1=1+a,a=0(舍去). 32 1 23 所以 a 的值为 ,切点坐标为(- , ). 27 3 27

15


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