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高三周末练习10理科


高三周末练习 10 理科
1、复数 z 满足 iz ? A. 1

姓名


一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。

D. ? i ? ? ? ? ? ? ? ? 2、已知向量 a , 满足 a ? b ? a ? b ? 1 ,则向量 a , 夹角的余弦值为( b b<

br />3 3 1 1 B. ? C. D. ? 2 2 2 2 3、已知数列 ?an ? 是等差数列, a3 ? 8 , a4 ? 4 ,则前 n 项和 Sn 中最大的是(

2 ,则复数 z 的虚部是 ( 1? i B. ? 1 C.



A.

) D. S6

A. S 3

B. S4 或 S 5

C. S 5 或 S6

4、数列 {an } 的前 n 项和 Sn 与通项 an 满足关系式 Sn ? nan ? 2n2 ? 2n (n ? N? ) ,则

a100 ? a10 ? (
A. ?90

) C. ?360

D. ?400 ? 3 ? 5 、 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 点 ? ? , 0 ? 对 称 , 且 满 足 ? 4 ?
3 f ( x)? ? f ( x? ,f (?1) ? 1 ,f (0) ? ?2 , f 1 ?() ) ( f 则 ) 2 2

B. ?180

? ?6f ?0 (0) 2

的值为 ( D. 2



A. ?2

B. 0

C. 1

6、某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个 圆弧,则该几何体的体积为( A. 6 ? 3? B. 2 ? 3? ) cm
2

C. 6 ?

3 ? 2

D. 2 ?

3 ? 2

7、若 p : ( x2 ? x ? 1) x ? 3 ? 0, q : x ? ?2 ,则 p 是 q 的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件
2 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

8、函数 f ( x) ? lg(sin x ? cos x) 的定义域

? 3? ? ? A. ? x 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ? ?

? ? 5? ? B. ? x 2k? ? ? x ? 2k? ? ,k ?Z? 4 4 ? ?

C. ? x k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? D. ? x k? ? ? ? x ? k? ? 3? , k ? Z ? ? ? ? ? 4 4 4 4 ? ? ? ? ?2 x ? y ≥ 2 ? 9、已知 x , 满足 ? x ? y ≤ 2 ,且 z ? x ? y 能取到最小值,则实数 a 的取值范围是( y ?y ≥ a x ?1 ? ? ? A. a ? ?1 B. a ≥ 2 C. ?1 ≤ a ? 2



2 10、设非空集合 S ? x m ? x ? n 满足:当 x ? S 时,有 x ? S ,给出如下三个命题:

?

?

①若 m ? 1, 则 S ? ?1? ;②若 m ? ? 其中正确命题的是( A.① B.①② )

1 1 2 1 , 则 ? n ? 1 ; ③若 n ? , 则 ? ? m ? 0. 2 4 2 2
C.②③ D.①②③

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。把答案填在答题卡相应位置 11、若 sin ? ? sin ? ?

2 ,则 cosα +cosβ 的取值范围是 2

12、如图所示,点 P 是函数 y ? 2sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0) 图象的 最高点, M 、 N 是图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则

???? ??? ? ?

?=

.

13、如图所示程序图运行的结果是 14.









P?

??

, ?x

y?

1 ? , y

?

x,? ,

x

y

R

1 ? ? Q ? ?? x, y ? y ? ax ? , x, y ? R ? ,且 P ? Q ? ? ,则实数 a 的取 2 ? ?

值范围是
2 2 15、若直线 2ax ? by ? 2 ? 0 ( a ? 0 , b ? 0 )被圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的

弦长为 4,则

1 3 ? 的最小值为 a b

16、数列{ an }中, a1 = a2 =1, an+2 = an+1 + an ,它的通项公式为

an =

n n 1 ?? 1+ 5 ? ? 1 ? 5 ? ? ? ?? ? ? ,根据上述结论,可以知道不超过实数 ?? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ??
12

1 ? 1+ 5 ? ? ? 的最大整数为 5? 2 ? ? ?
17、在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,若点 P 是棱上一点,则满足 PA ? PC1 ? 2 的点 P 的个数为 三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18、 (本题满分 14 分 )在锐角 ?ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且满 B 足 2sinB(2cos22-1)=- 3cos2B。 (1)求 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值.

19、 (本题满分 14 分 )如图,在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,所有的棱长都为 2,?A AC ? 60? . 1 1 (1)求证: A1B ? AC ; (2)当三棱柱 ABC ? A B1C1 的体积最大时, 1 求平面 A1B1C 与平面 ABC 所成的锐角的余弦值.

A1 B1

C1

A B

C

3x ? 2 1 , ( x ? ). 2x ?1 2 1 2 2009 ) ? F( ) ??? F( ) 的值; (1)求 F ( 2010 2010 2010
20、 (本题满分 14 分 )已知函数 F ( x) ? (2)已知数列 {an }满足a1 ? 2, an?1 ? F (an ) ,求证数列 ? (3)已知 bn ?

? 1 ? ? 是等差数列; ? an ? 1 ?

2n ? 1 ,求数列 {anbn } 的前 n 项和 S n . 2n

21、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 的图象过点 (?4n, 0) ,且

f ?(0) ? 2n,(n ? N * ) (1)求 f ( x) 的解析式;
(2)若数列 ?an ? 满足
1 1 ? f ?( ) ,且 a1 ? 4 ,求数列 ?an ? 的通项公式; an ?1 an

(3)对于(2)中的数列 ?an ? ,求证:

?a
k ?1

n

k

? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? 5

22(本题满分15分 )已知函数 f ? x ? ? ln x . (1)求函数 g ? x ? ? f ? x ? 1? ? x 的最大值; (2)若 ?x ? 0 ,不等式 f ? x ? ? ax ? x2 ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 x1 ? x2 ? 0 ,求证:
f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 x2 . 2 x ? x2
2 1

高三周末练习 10 答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 B 5 D 6 C 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.)
11

[0,

2 ] 2

12

[-1,1]
16、

13

10

14

13 16
6

15

4?2 3

144

17、

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
B 18、(1)解: 2sinB(2cos22-1)=- 3cos2B?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵ 0<2B<π,∴ 2B= 3 ,∴ 3 B= π (2)由 tan2B=- 3 ? B=3

∵ b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 ∵ABC 的面积 S△ABC=2 acsinB= 4 ac≤ 3 △ ∴ABC 的面积最大值为 3 △ 19 解: 当三棱柱 ABC ? A B1C1 的体积最大时, A 到平面 ABC 的距离最大, 点 1 此时 AO ? 平面 ABC . 1 1


OB, OC, OA1

所 在 的 直 线 分 别 为

x, y , z

轴 , 建 立 直 角 坐 标 系 , 依 题 意 得

O(0,0,0), A(0, ?1,0), B( 3,0,0), C(0,1,0), A1(0,0, 3), C1 (0,2, 3) . ??? ???? ? ? ? 由 AB ? A B1 得 B ( 3,1, 3) ,设平面 A B1C 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) 1 1 1 ? ???? ???? ? ???? ? ? n ? A1C ? 0 ? y ? 3z ? 0 ? ? ,? 而 A B ? ( 3,1,0), AC ? (0,1, 3) ,则 ? ? ???? ,取 n ? (?1, 3,1) ? 1 1 1 ?n ? A1 B1 ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? ???? 而 AO ? 平面 ABC ,则平面 ABC 的一个法向量为 OA ? (0,0, 3) 1 1 ? ???? ? ???? n ? OA1 3 5 ? 于是 cos ? n, OA ?? ? ????? ? , 1 5 5? 3 n ? OA1
故平面

A1B1C 与平面 ABC 所成锐角的余弦值为

5 。 5

20(1)因为 F ? x ? ? F ?1 ? x ? ?

3x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1

.

所以设 S= F (

1 2 2009 ) ? F( ) ??? F( ) 2010 2010 2010

S= F (

2009 2008 1 ) ? F( ) ??? F( ) 2010 2010 2010 .

(1)+(2)得:

2S ? {F (

1 2009 2 2008 2009 1 ) ? F( )} ? {F ( ) ? F( )}? ? {F ( ) ? F( )} 2010 2010 2010 2010 2010 2010 6027 = 3 ? 2009 ? 6027 , 所以 S= . 2

(2)由 an?1 ? F ? an ? 两边同减去 1,得 an ?1 ? 1 ?

3an ? 2 a ?1 ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1 .

所以

1 an?1 ? 1
?

?

2an ? 1 2 ? an ? 1? ? 1 1 , ? ? 2? an ? 1 an ? 1 an ? 1

所以

? 1 ? 1 1 ? 2,? ? 1 为首项的等差数列. 10分 ? 是以 2 为公差以 an?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

1

(3)因为

1 2n 1 ? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 . an ? 1
-------------------12分 (3) (4)

因为 bn ?

2n ? 1 n ,所以 an bn ? n ?1 n 2 2 1 2 3 n S n = 0 ? 1 ? 2 ? ??? ? n ?1 2 2 2 2 1 1 2 3 n S n = 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n 2 2 2 2 2

由(3)-(4)得

1 1 1 1 1 1 n 1 n S n = 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 ? n = 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2?n 所以 S n = 4 ? n ?1 2
21、解(1)由 f ?( x) ? 2ax ? b ,∴ ? ?
?b ? 2n ?16n 2a ? 4nb ? 0 ?

解之得 a ? 1 , b ? 2n
2

1 即 f ( x) ? x 2 ? 2nx(n ? N * ) ; 2

(2)由 由累加得

1 an ?1
1

?
?

1 an

? 2n



1 an?1

?

1 an

? 2n

4 (n ? N * ) ; 2 an (2n ? 1) 1 1 1 1 (3) ak ? ? ? ? (k ? 2) 1 k (k ? 1) k ? 1 k k (k ? 1) ? 4
1 ? n2 ? n 4

∴ an ?

当 n ? 1 时,显然成立;
n 1 1 1 1 1 1 当 n ? 2 时, ? ak ? 4 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 5 ? ? 5 ;… 2 2 3 n ?1 n n k ?1

22 解: (1) g ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? ?1? ,则 g ? ? x ? ?

1 ?x . ?1 ? x ?1 x ?1

当 x ? ? ?1,0 ? 时, g ? ? x ? ? 0 ,则 g ? x ? 在 ? ?1,0? 上单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, g ? ? x ? ? 0 ,则 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减,
ln x ? ?a ? x ? (2)由条件得 ? 在x?0 ?a ? x ? 1 ? x ?

所以, g ? x ? 在 x ? 0 处取得最大值,且最大值为 0.

上恒成立.

设 h ? x? ?

ln x 1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? . x x2

1 当 x ? ?1, e ? 时, h? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? e, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 ,所以, h ? x ? ? . e 1 要使 f ? x ? ? ax 恒成立,必须 a ? . e
要使 ax ? x 2 ? 1 恒成立,必须 a ? 2 .
?1 ? 所以,满足条件的 a 的取值范围是 ? , 2 ? . ?e ?

另一方面,当 x ? 0 时, x ?

1 ?2, x

(3)当 x1 ? x2 ? 0 时,不等式

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

x1 ?2 x 2 x2 x1 x2 2t ? 2 ? 2 等 价 于 ln ? . 令 t ? 1 , 设 ? ? t ? ? ln t ? 2 ?t ? 1? , 则 2 x1 2 x2 x1 ? x2 x2 t ?1 ( ) ?1 x2 2
2

? ? ?t ?

?t ?

2

t ? t 2 ? 1?

? 1? ? t ? 1?
2

? 0 ,? ? ? t ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,? ? ? t ? ? ? ?1? ? 0 ,

所以,原不等式成立.


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