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2012届高三数学第一轮复习 第2编 8幂函数课件 新人教B版1


学案8

幂函数

考纲解读 考向预测

填填知学情
课内考点突破 规律探究

? ? ?? ? ? ? ??

考点1
考点2 考点3 考点4

考纲解读 (1)了解幂函数的概念.

幂函数 (2)结合函数y=x,y

=x2,y=x3,y= 1 ,y= 1 x2
x

的图象,了解它们的变化情况.

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考向预测
1.高考以基础知识为主,考查幂函数的图象与性质,多以 选择、填空题形式出现,也有与函数性质、二次函数、方 程、不等式结合的综合性较强的解答题. 2.以常见的5种幂函数为载体,考查求值、单调性、奇 偶性、最值等问题是高考命题的出发点.

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1.一般地,形如 y=xα(α∈R)

的函数称为幂函数,其中 1 1 2,y=x3, y ? α为常数.例如y=x,y=x ,y= x 2 等都是幂 x 函数,而y=2x2,y=x3+1等都不是幂函数. 2.幂函数的性质 一般地,当α>0时,幂函数y=xα有下列性质: (1)图象都通过点 (0,0),(1,1) . (2)在第一象限内,函数值随x的增大而

增大

. 返回目录

(3)在第一象限内,α>1时,图象是 向下凸 的;0<α<1时,图 象 向上凸. 是的 (4)在第一象限内,过(1,1)点后,图象向 当α<0时,幂函数y=xα有下列性质: ①图象都通过点 (1,1) ; 右上方 无限伸展.

②在第一象限内,函数值随x的增大而 下凸 的; 无限地接近;

减小

,图象是向

③在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近,向右与 x 轴 ④在第一象限内,过(1,1)点后,|α|越大,图象下降的速度 越



. 返回目录

3.形如f(x)= x (其中m∈N+,n∈Z)的幂函数的性质
(1)当n为偶数时,f(x)为 偶 函数,图象关于 y轴 对称. (2)当m,n都为奇数时,f(x)为 奇 函数,图象关于原点对称. (3)当m为偶数且n为奇数时,f(x)是 非奇非偶 函数,图 象 只在第一象限内 .

n m

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4.幂函数y=x,y=x2,

1 y=x ,y? y=x3,的图象如图. x

1 2

5.幂函数y=x,y=x2,

1 y ? x , y = , y=x3的性质 x

1 2

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y=x
定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 R R 奇

y=x2
R [0,+∞) 偶

y=x3
R R 奇

y?x

1 2

y = x -1
(-∞,0) ∪(0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞)
奇 (-∞,0)减, (0,+∞)减 (1,1) 返回目录

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 增

(-∞,0)减, 增 增 (0,+∞)增 (0,0)(1,1)

考点1

比较大小

C

?

1 2

[ 【分析】先换为同底的对数,再比较大小. 2 0 1 返回目录

【解析】a=log32= 因为

1 1 1 ,b ? ,c ? log2 3 log2 e 5

.

5 ? log2 3 ? log2 e ? 1 ,
1 1 1 ? ? , 5 log2 3 log2 e

所以

即c<a<b.

故应选C.

化为同底数的对数是本题的关键. 返回目录

比较下列各组数的大小:

(1)3 和3.1 ; 1 (2)- 8 和 - ( ) ; 9 2 2 ?3 ? ?2 (3)(- ) 和( ? ) 3 ; 3 6
? 7 8 7 8

?

5 2

?

5 2

(4)(4.1) ,3.8 和(-1.9) .
返回目录

2 5

-

2 3

?

3 5

【解析】 (1)函数y= x 3<3.1, ∴3
? 5 2
?

?

5 2

在(0,+∞)上为减函数,又

>3.1
7 8

?

5 2

.

1 - 8 ? -( ) 8 , (2) 8

7

函数y= x

7 8

在(0,+∞)上为增函数.
7 7

7 7 1 1 1 8 1 8 ? 1 8 又 8 ? 9 ,则 ( 8 ) ? ( 9 ) ,从而 ? 8 8 ? ?( ) . 9

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2 ?3 2 ?3 ? ?3 ? ?3 (3) (- ) ? ( ) , (- ) ? ( ) . 3 3 6 6 2 ? 函数 y= x 3 在(0,+∞)上为减函数,
2 2 2 2



2 ? ? 3 6

,∴
2 5

2 ?3 ? ?3 (- ) ? (- ) . 3 6
2 2

(4) (4.1) ? 1 ? 1,0 ? 3.8 ? 1 ? 1, (-1.9) ? 0, ? (-1.9) ? (3.8) ? (4.1) .
? 3 5 ? 3 5 2 5 ? 3 5

2 5

?

2 3

?

2 3

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考点2

幂函数的定义

当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实 数m的值为 A.m=2 C.m=-1或m=2
1? 5 D.m≠ 2

( B.m=-1

)

【分析】首先利用幂函数的定义,确定m的范围,其 次再依据幂函数的性质,在第一象限是减函数,确定指数 小于零. 返回目录

【解析】 解法一:依题意y=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数,故 m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 又∵函数在(0,+∞)上是减函数, ∴-5m-3<0,即m> ?
3 , 5

故m=-1舍去,∴m=2.故应选A.

解法二:特值验证法,验证当m=-1,2时,是否满足题意
即可. 当m=2时,函数化为y=x-13符合题意;

而当m=-1时,y=x2不符合题意,故排除B,C,D.故应选A.

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解决此类问题的关键就是紧扣幂函数的定义,x的系数 必须为1,指数是实数即可,若有其他性质问题可依据幂函数 的图象与性质进一步求解.

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已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时,f(x):

(1)是幂函数;
(2)是幂函数,且是(0,+∞)上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5)是二次函数. (1)因为f(x)是幂函数, 故m2-m-1=1,即m2-m-2=0, 解得m=2或m=-1. 返回目录

(2)若f(x)是幂函数且又是(0,+∞)上的增函数, 则

?

m2-m-1=1

∴m=-1.

-5m-3>0,

(3)若f(x)是正比例函数,则-5m-3=1, 解得m=4 4 ,此时m2-m-1≠0,故m=- . 5 5

(4)若f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1, ∴m=2 2 ,此时m2-m-1≠0,故m=- . 5 5

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(5)若f(x)是二次函数,则-5m-3=2,
即m=-1,此时m2-m-1≠0,故m=-1.

综上所述,当m=2或m=-1时,f(x)是幂函数;
当m=-1时,f(x)既是幂函数,又是(0,+∞)上的增函数;
4 当m=- 时,f(x)是正比例函数; 5 2 当m=- 时,f(x)是反比例函数; 5

当m=-1时,f(x)是二次函数.

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考点3

幂函数的图象

1 若点( 2 ,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2, )在幂函 4

数g(x)的图象上, 定义h(x)=

?

f(x),f(x)≤g(x) g(x),f(x)>g(x),

试求函数h(x)的最大值以及单调区间. 【分析】先根据幂函数f(x)和g(x)分别过点(2,2)和 (-2,
1 4

)求得f(x)和g(x)的解析式,然后根据h(x)的定义

求得h(x)的解析式,最后借助函数h(x)的图象求解. 返回目录

【解析】 (1)设f(x)=xα, ∵点( 2 ,2)在f(x)的图象上,

∴ ( 2)α=2, 即f(x)=x2;

1 又设g(x)=xβ,点(-2,4 )在g(x)的象上, 1 β= ∴ (-2) , ∴ β=-2. 4

即g(x)=x-2.

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在同一坐标系中,作出f(x)=x2与g(x)=x-2的图象,如图所

示.

则有h(x)=

x-2, x<-1 x2, -1≤x≤1 x-2, x>1.

根据图象可知函数h(x)的最大值等于1,单调递增区间 是(-∞,-1)和(0,1);递减区间是(-1,0)和(1,+∞). 返回目录

利用函数图象可以很直观判断函数的最值和单调区间.

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若上题中的点( 2 ,2)改为(2,8),探求h(x)的单调性及奇 偶性.

【解析】设f(x)=xα,∵过点(2,8),∴α=3,∴f(x)=x3.
由上题知,g(x)=x-2.

在同一平面直角坐标系
中画出y=f(x)与y=g(x) 的图象,如图,

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从图中及h(x)的定义可知

x-2,x≥1
h(x)= x3,x<1,

且在定义域(-∞,1)上h(x)为增函数,在[1,+∞)上h(x)为减 函数. 又∵h(-2)=(-2)3=-8,h(2)=2-2=
1 4

,

∴h(-2)≠h(2),且h(-2)≠-h(2),
∴h(x)为非奇非偶函数.

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考点4

幂函数的性质

已知幂函数f(x)=

x

m 2 - 2m - 3

(m∈Z)为偶函数,且在区间

(0,+∞)上是单调减函数. (1)求函数f(x); (2)讨论F(x)= a f(x) - b 的奇偶性. xf(x) 【分析】 先求m,然后根据奇偶性的定义判断.

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【解析】 (1)∵f(x)是偶函数,∴m2-2m-3应为偶数, 又∵f(x)在(0,+∞)上是单调减函数, ∴m2-2m-3<0,即-1<m<3. 又m∈Z,∴m=0,1,2. 当m=0或2时,m2-2m-3=-3不是偶数,舍去;

当m=1时,m2-2m-3=-4,
∴m=1,即f(x)=x-4.

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a a 3,∴F(-x)= 3 (2)F(x)= 2 -bx 2 +bx . x x
①当a≠0,b≠0时,F(x)为非奇非偶函数;
②当a=0,b≠0时,F(x)为奇函数; ③当a≠0,b=0时,F(x)为偶函数; ④当a=0,b=0时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.

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本题考查了偶函数的定义、幂函数的图象以及分类

讨论的思想.利用偶函数及幂函数在区间(0,+∞)上是减函
数,结合m的取值范围,解出m值,从而求出f(x).在第(2)问 中,当不能准确判断F(-x)与F(x)是否相等时,自然想到对 a,b进行分类讨论.

x 2 ? 4x ? 5 . 2 x ? 4x ? 4 (1)求f(x)的单调区间; (2)比较f(-π)与f(-

已知函数f(x)=

2 )的大小. 2

x 2 ? 4x ? 5 ? 1 ? ( x ? 2) ? 2 (1)解法一:f(x)= 2 x ? 4x ? 4

其图象可由幂函数y=x-2向左平

移2个单位 , 再向上平移 1 个单
位而得到 ,如图 , 所以该函数在 (-2,+∞)上是减函数 , 在(-∞,-2) 上是增函数. 返回目录

x 2 ? 4x ? 5 解法二:f(x)= 2 =1+(x+2)-2, x ? 4x ? 4 设x1<x2,x1,x2∈R,则

f(x2)-f(x1)=[1+(x2+2)-2]-[1+(x1+2)-2]

1 1 (x1 - x 2 )(x1 ? x 2 ? 4) ? ? 2 2 (x2 ? 2) (x1 ? 2) (x2 ? 2)2 (x1 ? 2)2
当x1,x2∈(-∞,-2)时,f(x2)-f(x1)>0,y=f(x)在(-∞,-2)上是增 函数,即增区间为(-∞,-2); 当x1,x2∈(-2,+∞)时,f(x2)-f(x1)<0,y=f(x)在(-2,+∞)上是减 函数,即减区间为(-2,+∞). (2)∵图象关于直线x=-2对称,

又∵-2-(-π)=π-2<-

2 -(-2)=22

2 ,∴f(-π)>f(2

2 ). 2

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1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不 会出现在第四象限内, 至于是否出现在第二、三象限内, 要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现 在两个象限内 ;如果幂函数的图象与坐标轴相交,则 交点一定是原点.

2.幂函数的定义域的求法可分5种情况,即①α为零;
②α为正整数;③α为负整数;④α为正分数;⑤α为负分数.

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3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、

单调性、奇偶性等,只要作出幂函数在第一象限内的
图象,然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域 内完整的图象. 4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判 断复合函数的单调性及幂函数在实际问题中的应用等

类型的题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等的
数学思想和方法.

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