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广西贵港市教研室2011届高三10月教学质量监测模拟考试数学理试题


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2011 届高中毕业班 2010 年 10 月教学质量监测模拟试题



理科) 学(理科)

分钟, (考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷为

第 1 页至第 2 页.第Ⅱ卷为第 3 页至第 4 页.共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项:
1、答卷前,考生先将自己的姓名、考号填写清楚. 2、第Ⅰ卷的每小题选出答案后,把答案标号填涂在答题卡对应的位置上.第Ⅱ卷的每小 题在答题卷对应的位置上作答.在试题卷上作答无效. 3、考试结束后,考生只须将错误!未找到引用源。卷答题卡和错误!未找到引用源。卷 错误!未找到引用源。 错误! 错误 错误 未找到引用源。 答题卷交回.

参考公式:
如果事件 A 、 B 互斥,那么
P( A + B) = P( A) + P( B)

球的表面积公式
S = 4π R2

如果事件 A 、 B 相互独立,那么
P( A ? B ) = P( A) ? P( B)

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
V= 4 π R3 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P , 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次
k 的概率 Pn (k ) = C n P k (1 ? P ) n ? k

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1.已知集合 M = { y | y = x } , N = { y | y = x 2 } ,那么 M ∩ N =
(A )
N

(B )

M

(C )

R

(D )

{ ( 0 , 0 ) , (1 , 1) }

2. sin 23π + cos( ? 26π ) + tan( ? 21π ) =
6 3 4

(A )

1

(B )

0

(C )

3 ?1

(D )

?2

3.若 ( 3x ? 1 ) n 的展开式的各项系数之和为 64,则 x 2 项的系数为
x

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(A )

135

(B )

1215

(C )

?135

(D )

?1215

4.已知 { an } 是等差数列, { bn } 是等比数列,若 b1 = a2 , b2 = a6 , b3 = a14 ,则公比为
(A ) 1 4 (B ) 1 2 (C )

2

(D )

4

5.已知命题 p : | 2 x ? 3 | < 1 , q : x ? 6 < x ,则 ? p 是 ? q 的
(A ) 充分不必要条件 (C ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (D ) 既不充分也不必要条件

6.函数 y = 2 cos x( sin x + cos x ) 的最大值为
(A )

2

(B )

2 ?1

(C )

2 +1

(D )

2

7.半径为 3 的球内接正四面体的体积为
(A ) 8 3 (B ) 4 3 3 (C )

2

(D )

16 3 9

8.非零向量 a 、 b 满足 | a + b | = | a ? b | ,则 a 与 b 的夹角为
(A )

π
6

(B )

π
3

(C )

π
2

(D )

2π 3

9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 2 ) = f ( x ) , x ∈ ( ? 1 , 1 ] 时, f ( x ) = x 2 , 且 若函数 y = f ( x ) 的图象与函数 y = k x 的图象恰有 3 个交点,则实数 k 的取值范围是
1 ( A ) ( , 1) 3 1 1 1 ( B ) ( ? 1 , ? ) ∪ ( , 1 ) (C ) ( ? ∞ , ? ) 3 3 3 1 (D ) ( , + ∞ ) 3

10.过点 ( 2 , ? 1 ) 的直线 l 与圆 x 2 + y 2 ? 2 y = 1 相切,则直线 l 的倾斜角的大小为
( A ) 30° 或 150° ( B ) 45° 或 135° (C ) 75° 或 105° ( D ) 105° 或 165°

11.函数 f ( x ) = 2 ln x + a x 2 ? 4a 2 x ( a ∈ R )在 x = 1 处有极值,则 a 的值为
(A ) ? 1 2 (B )

1

(C )

1 或? 1

2

(D )

0或1

12.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为一同族函数.函 数的解析式为 y = x 2 ,值域为 { 4 , 9 } 的同族函数共有
(A )

7个

(B )

8个

(C )

9个

(D )

10 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答卷中对应的横线上.

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13. lim

x2 ? 1 = x →1 x 2 ? 3 x + 2

14.若 x , y > 0 ,且 1 + 3 = 1 ,则 x + 3 y 的最小值为
x y

15.数列 { an } 满足 an +1 = 2an + 2 n +1 , a1 = 2 ,若 bn =
bn =

an ( n ∈ N*) ,则数列 { bn } 的通项公式为 2n

16. P 是圆 C : ( x + 2 ) 2 + y 2 = 4 上的动点, 点 定点 F ( 2 , 0 ) , 线段 PF 的垂直平分线与直线 CP 的 交点为 Q ,则点 Q 的轨迹方程为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边,且满足 4 sin 2 B + C ? cos 2 A = 7 .
2 2

(1)求角 A 的度数; (2)若 a = 3 , b + c = 3 ,且 b < c ,求 b 、 c 的值.

18. (本小题满分 12 分) 高二某班的一个研究性学习小组在网上查知, 某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概 率为 1 ,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.
2

(1)第一小组做了 5 次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子).求他们的实验 至少有 3 次成功的概率; (2)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子),如果在一次实验中种子发芽 成功就停止实验,否则将继续进行下次实验,直到种子发芽成功为止,但发芽实验的次 数最多不超过 5 次,求第二小组所做种子发芽实验的次数 ξ 的概率分布列和期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,平面 α 、 β , α ⊥ β , α ∩ β = l , A ∈ α , B ∈ β ,点 A 在直线 l 上 的射影为 A1 , B 在 l 上的射影为 B1 , 点 已知 AB = 4 ,AA1 = 2 ,BB1 = 2 2 , 求:
β
l A B1 B

α

A1

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第 19 题

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(1)直线 AB 分别与平面 α , β 所成角的大小; (2)二面角 A1 ? AB ? B1 的大小.

20. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 { an } 中, a1 = 2 ,前 10 项的和等于 15,又记
An = a 2 + a 4 + a8 + ? + a 2n ( n ∈ N * ) .

(1)求数列 { an } 的通项公式; (2)求 An ; (3)求 An 的最大值. (参考数据 ln 2 = 0.6931 )

21. (本小题满分 12 分)
2 y2 已知: F1 、 F2 为椭圆 C : x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左、右两个焦点,直线 l : y = 2 x + 5 与

a

b

椭圆 C 交于两点 P1 、 P2 ,椭圆中心 O 点关于 l 的对称点恰好落在 C 的左准线 l ′ 上. (1)求左准线 l ′ 的方程; (2)若 F1 P ? OF2 , ? 5 a 2 , F2 P2 ? OF2 成等差数列,求椭圆 C 的方程. 1
9

22. (本小题满分 12 分) 已知两条曲线 y = e x , y = ln x ( e 为自然对数的底数) . (1)求过曲线 y = e x 上的点 ( a , e a ) 的切线方程; (2)由(1)求出的切线与曲线 y = ln x 相切,求 a 满足的关系式; (3)在(2)的条件下,若 a ∈ ( t , t + 1 ) , t ∈ Z ,求 t 的值.

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2011 届高中毕业班 2010 年 10 月教学质量监测模拟试题 数学参考答案与评分标准(理科) (理科)

5. p : 1 < x < 2 , q : 0 ≤ x < 9 ,∴ x ∈ ? q ? x ∈ ? p ,但 x ∈ ? p ≠> x ∈ ? q ,即 ? p 是 ? q 的必要 不充分条件,选 (B ) 6. y = 2 cos x( sin x + cos x ) = sin 2 x + cos 2 x + 1 = 2 sin( 2 x + π ) + 1 ,当 sin( 2 x + π ) = 1 时, y 的最 4
4

大值为 2 + 1 ,选 (C ) 7.设正四面体所在的正方体棱长为 a ,正方体外接球半径为 R = 3 ,则由 3a = 2 R 得 a = 2 , 正四面体的体积为 a 3 ? 4 × 1 a 3 = 1 a 3 = 8 ,选 (A )
6 3 3

8.由 | a + b | =| a ? b | 得 | a + b | =| a ? b |
2

2

y
1 -3 -2 -1 0 第9题 1 2 3

? | a |2 +2a ? b+ | b |2 =| a |2 ?2a ? b+ | b |2 ? a ? b = 0 ,选 (C )
9.由 f ( x + 2 ) = f ( x ) 得 f ( x ) 的周期 T = 2 , y = f ( x ) 与 y = k x 的图象如图, 由图可知交点的个数为 3 时, ? 1 < k < ? 1 或 1 < k < 1 ,选 (B ) 3 3

x

10.设直线 l 为 y = k ( x ? 2 ) ? 1 ,代入 x 2 + y 2 ? 2 y = 1 得 (1 + k 2 )x 2 ? 4k ( k + 1)x + 4( k + 1) 2 ? 2 = 0 , 由 ? = 16 k 2 ( k +1)2 ? 4(1 + k 2 ) [ 4( k + 1) 2 ? 2 ] = 0 得 k = ?2 ± 3 ,倾斜角为 105° 或 165° ,选
(D )

11.依题意 x > 0 ,由 f ′( x ) = 2 + 2 ax ? 4 a 2 | x =1 = 2 + 2 a ? 4 a 2 = 0 得 a = 1 或 ? 1 ,当 a = 1 时, 2
x

2( x ? 1 ) 2 2 + 2x ? 4 = > 0 , f ( x ) 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数, 即 没有极值; a = ? 1 时, 当 x x 2 ?( x + 2 )( x ? 1 ) 2 f ′( x ) = ? x ? 1 = = 0 的解为 x = 1 , f ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 上是增函数, ( 1 , + ∞ ) 且 在 x x 上是减函数,有极大值 f ( 1 ) ,选 (A ) f ′( x ) =

12.由 x 2 = 4 得 x = ± 2 ,由 x 2 = 9 得 x = ± 3 ,定义域的元素个数可为 2,3,4,同族函数个数
1 2 1 1 2 2 2 为 C2C1 + C2 C2 + C2C2 + C2 C2 = 9 ,选 (C ) 2

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. lim
x 2 ? 1 = lim x + 1 = ?2 . x →1 x ? 2 x →1 x ? 3 x + 2
2

1 3 3 x 3 y 10 + 2 9 = 16 ≥ 14. x + 3 y = ( x + 3 y ) ? 1 = ( x + 3 y ) ? ( + ) = 10 + + ,当 x = y = 4 时,取得 x y y x

最小值为 16.
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15.由 bn =

an a 得 an = 2 n bn ,∴ 2 n +1 bn +1 = 2 ? 2 n bn + 2 n +1 ,即 bn +1 ? bn = 1 ,又 b1 = 1 = 1 , n 2 2 ∴ bn = b1 + n ? 1 = n .

16.依题意有 | QP | = | QF | ,∴ || QC | ? | QF || = | CP | = 2 ,又 | CF | = 4 > 2 ,故点 Q 的轨迹是以 C 、
F 为焦点的双曲线, a = 1 , c = 2 ,∴ b 2 = 3 ,所求轨迹方程为 x 2 ? y2 =1. 3

三、解答题: (共 6 小题,第 17 题 10 分,第 18-22 题每题 12 分,共 70 分) 1 ? cos( B + C ) 7 ? 2 cos 2 A + 1 = ,…………3 分 17.解: (1)由 4 sin 2 B + C ? cos 2 A = 7 得: 4 ?
2 1 即 4 cos A ? 4 cos A + 1 = 0 ,∴ cos A = ,∴ A = 60° ; 2 2 2
2
2 2 2

2

………………………5 分

(2)由余弦定理有 a = b + c ? 2bc ? cos A ,且 a = 3 得:
3 = ( b + c ) 2 ? 2bc ( 1 + cos A ) ,解得: bc = 2 ,

………………………………………7 分 …………………………………10 分

联立方程组 ?bc = 2
?b < c ?

?b + c = 3 ?

,解得: b = 1 , c = 2 .

18. (1)至少有 3 次发芽成功,即有 3 次,4 次,5 次发芽成功, 所以所求概率为 P = C 53 ( ) 5 + C 54 ( ) 5 + C 55 ( ) 5 = (2) ξ 可取的值为:1,2,3,4,5,
P( ξ = 1 ) =
1 2 1 2 1 2 1 ; 2

………………………………6 分 ………………………………7 分

1 , P ( ξ = 2 ) = ( 1 ) 2 = 1 , P ( ξ = 3 ) = ( 1 )3 = 1 , 2 2 4 2 8 1 4 1 1 4 1 1 1 P( ξ = 4 ) = ( ) = , P( ξ = 5 ) = ( ) ( + ) = , ………………………………9 分 2 16 2 2 2 16 ξ 的概率分布列为:

ξ
P

1
1 2

2
1 4

3
1 8

4
1 16

5
1 16

…………………10 分

Eξ = 1 × 1 + 2 × 1 + 3 × 1 + 4 × 1 + 5 × 1 = 31 . 2 4 8 16 16 16 19.解法一: (1)连结 A1 B , AB1 ,∵ α ⊥ β , α ∩ β = l ,

………………………12 分
α
A l F A1 B
第 19 题

AA1 ⊥ l , BB1 ⊥ l ,∴ AA1 ⊥ β , BB1 ⊥ α ,则 ∠BAB1 , ∠ABA1 分别是 AB 与 α 和 β 所成的角,

………………3 分

E B1

BB Rt?BB1 A 中,BB1 = 2 2 , AB = 4 ,∴ sin ∠BAB1 = 1 = 2 , AB 2

∴ ∠BAB1 = 45° , Rt?AA1 B 中, AA1 = 2 , AB = 4 ,
AA1 1 ∴ sin ∠ABA1 = = ,∴ ∠ABA1 = 30° ,故 AB 与平面 AB 2

β

α 、 β 所成的角分别是 45° 、 30° ;

…………………………………………6 分

(2)∵ BB1 ⊥ α ,∴

平面 ABB1 ⊥ α ,在平面 α 内过 A1 作 A1 E ⊥ AB1 交 AB1 于 E , ………………………9 分

则 A1 E ⊥ 平面 ABB1 ,过 E 作 EF ⊥ AB 交 AB 于 F ,连结 A1 F ,则由三垂线定 理得 A1 F ⊥ AB ,∴ ∠A1 FE 是所求二面角的平面角, 在 Rt?ABB1 中, ∠BAB1 = 45° ,∴ AB1 = BB1 = 2 2 ,在 Rt?AA1 B1 中, AA1 = A1B1 = 2 ,
∴ A1 E = 1 AB1 = 2 ,在 Rt?AA1B 中, A1B = 2

AB2 ? AA2 = 16? 4 = 2 3 , 1

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由 AA1 ? A1 B = A1F ? AB ,得 A1F =
sin ∠A1 FE =

AA1 ? A1 B 2 × 2 3 = = 3 ,在 Rt?A1 EF 中, AB 4

A1E 6 ,所以二面角 A ? AB ? B 的大小为 arcsin 6 . = 1 1 3 A1F 3

…………12 分

解法二:如图,建立坐标系,则 A1 ( 0 , 0 , 0 ) , A( 0 , 0 , 2 ) , AB1 = 16 ? 8 = 2 2 ,
A1B1 = 8 ? 4 = 2 ,∴ B1 ( 0 , 2 , 0 ) , B( 2 2 , 2 , 0 ) , ……2 分
A v l A1 u B1 y B
第 19 题

z

(1) AB = ( 2 2 , 2 , ? 2 ) ,平面 α 的法向量为 m = ( 1 , 0 , 0 ) ,
∴ cos < AB , m >= AB ? m = 2 2 = 2 ,即 < AB , m >= 45° , 4 2 | AB | ? | m |

α

故 AB 与平面 α 所成的角是 45° ,

…………………4 分

平面 β 的法向量为 n = ( 0 , 0 , 1 ) ,∴ cos < BA , n >= BA ? n | BA | ? | n |
= 2 1 ,即 < BA , n >= 60° ,故 AB 与平面 β 所成的角是 30° ; = 4 2

β

x

…………………6 分

(2) A1 B = ( 2 2 , 2 , 0 ) , AB1 = ( 0 , 2 , ? 2 ) ,设平面 A1 AB 、平面 B1 AB 的法向量分别 为 u 、 v ,则由 ?u ? AA1 = 0 得 u = ( ? 1 , 2 , 0 ) ,由 ?v ? AB1 = 0 得 v = ( 0 , 1 , 1 ) , ………10 分 ? ?
?u ? A1 B = 0 ? ?v ? B1 B = 0 ?
∴ cos < u , v >= u?v = | u|?| v | 2 3 ,所以二面角 A ? AB ? B 的大小为 arccos 3 .12 分 = 1 1 3 3 3× 2

?

?

20.解: (1)由 S 10 = 10 a1 + 10 × 9 × d = 10 × 2 + 45 d = 15 得 d = ? 1 , 9 2
∴ a n = a1 + ( n ? 1 ) d = 2 + ( n ? 1 )( ? 1 ) = 19 ? n ; 9 9

……………………………………4 分

(2) An = na1 + d [ 1 + 3 + 7 + ? + ( 2 n ? 1 ) ] = na1 + d ( 2 + 22 + 23 + ?+ 2n ? n )
= 2n ? 1 2 ? 2 n +1 1 ( ? n ) = ( 19 n + 2 ? 2 n +1 ) ; 9 1? 2 9

…………………………………………8 分

(3) An = f ( n ) = 1 ( 19n + 2 ? 2 n +1 ) , f ′( n ) = 1 ( 19 ? 2 n +1 ln 2 ) ,
9 9

由 ln 2 = 0.6931 计算得 f ′( 3 ) > 0 , f ′( 4 ) < 0 ,

…………………………10 分

所以极大值点 n0 满足 3 < n0 < 4 ,但 n ∈ N * ,所以只需要比较
f ( 3 ) 与 f ( 4 ) 的大小: f ( 3 ) = 43 , f ( 4 ) = 46 ,∴ 9 9
( An ) max = A4 = 46 . 9

…………12 分

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∴ x1 + x 2 = ?

80 ,∴ ? 80 = ? 40 , 20 ? c 9 20 ? c

…………………………………10 分 ……………………12 分

2 y2 ∴ c = 2 ,此时 ? > 0 ,∴ 所求椭圆方程为 x + =1. 8 4

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