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柳州铁一中学高2013级高考适应性考试数学测试()


柳州铁一中学高 2013 级高考适应性考试数学测试(五) (理科)
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
2 1. 已知集合 A ? {x ?1 ? x ? 1} , B ? {x x ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ?





(A)

[? 1 , 0 ]

(B) [1,2]

(C) [0,1]

(D) (??,1] ? [2, ??)

2. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 (A) 1 ? i (B) 1 ? i
?

2 2 ? z =( ) z (C) ?1 ? i
?

(D) ?1 ? i

3. 已知 a =1, b = 2 ,且 a ? (a ? b ) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为( (A)

?

?

?

?

?



? 6

(B)

? 4

(C)

? 3
2

(D)
2 2

2? 3

bc ? 4 , 4. 已知△ ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? c ? bc , 则△ ABC 的面积为( )
(A)

1 2

(B)1

(C) 3

(D)2

5. 已知 a ???2,0,1,3,4? , b ??1, 2? ,则函数
2 f ( x)? (a ? 2 )x? 为增函数的概率是( b

) (D)

(A)

2 5

(B)

3 5

(C)

1 2

3 10

6. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输出的 S 为

11 ,则判断框中填写的内容可以是( ) 12 (A) n ? 6 (B) n ? 6 (C) n ? 6

(D) n ? 8

7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的体积为( ) (A)

32 3

(B) 64

(C)

32 3 3

(D)

64 3

2 8. 已 知 直 线 y ? 2 2 ( 与 抛 物 线 C : y ? 4 x 交 于 A, B 两 点 , 点 x ? 1)

M (?1, m) ,若 MA ? MB ? 0 ,则实数 m ? (
(A) 2 (B)



2 2

(C)

1 2

(D) 0

1

9. 对定义在 [0,1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x) 称为 M 函数:① 对任意的

x ? [0,1] , 恒 有

f (x ? )

; 0 ②
x

当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 时 , 总 有 ) (D) f ( x) ? x2 ? 1 (C) f ( x) ? ln( x ? 1)
2

f ( 1x ?

2

x )?
2

( f

1

? x )

成立,则下列函数不是 ( f x ) M 函数的是( 2

(A) f ( x) ? x

(B) f ( x) ? 2 ? 1

?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? 10. 在平面直角坐标系中,若 P ( x, y ) 满足 ? 2 x ? y ? 10 ? 0 ,则当 xy 取得最大值时,点 P 的 ?5 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
坐标是( (A) (4, 2) ) (B) (2, 2) (C) (2, 6) (D) ( ,5)

5 2

11. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与函数 y ? x ( x ? 0) 的图象交于点 P . 若函数 a 2 b2 ) y ? x 在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1, 0) ,则双曲线的离心率是( 3 5 ?1 5?2 3 ?1 (A) (B) (C) (D) 2 2 2 2
x ? y ?2

12. 若对 ?x, y ?[0, ??) , 不等式 4ax ? e (A)

1 4

(B)1

? e x? y ?2 ? 2 恒成立, 则实数 a 的最大值是 ( 1 (C)2 (D) 2



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 函数 y ?

? 1 3 sin x ? cos x ( x ? [0, ] )的单调递增区间是__________. 2 2 2
6

14. ? x ?

? ?

1 ? ? 的展开式中常数项为 2x ?



15. 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 单调递增, 且 f (1) ? 0 , 则不等式 f ( x ? 2) ? 0 的 解集是 .

16. 同底的两个正三棱锥内接于同一个球. 已知两个正三棱锥的底面边长为 a, 球的半径为 R. 设 两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 ? 、 ? ,则 tan(? ? ? ) 的值是 .

2

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , 其 前 n 项 的 和 为 Sn , 且 满 足

an ?

2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1

(Ⅰ) 求证:数列 ?

?1? 1 1 1 3 ? 是等差数列;(Ⅱ) 证明:当 n ? 2 时, S1 ? S2 ? S3 ? ... ? S n ? 2 3 n 2 ? Sn ?

3

18.(本题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次,投 中的次数统计如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 4 2号 5 8 3号 7 9 4号 9 7 5号 8 7

(Ⅰ)从统计数据看,甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说明)? (Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的 1 号和 2 号两名同学分别代表自 己的班级参加比赛, 每人投篮一次, 将甲、 乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 X 和 Y , 试求 X 和 Y 的分布列和数学期望.

4

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠DAB= 60 , 平面 ABCD,PD=AD=1,点 E , F 分别为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF // 平面 PEC ;(Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值

?

PD⊥

P

F

D

C

A

E

B

5

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : . 右端点分别为 A 1, A 2 ,且 FA 1 ? FA 2 ? ?1 (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的右焦点 F (1,0) ,长轴的左、 a 2 b2

???? ???? ?

(2)过焦点 F 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,弦 AB 的垂直平分线与 x 轴 相交于 D 点. 试问椭圆 C 上是否存在点 E 使得 四边形 ADBE 为菱形?若存在,求 k 的值;若 不存在,请说明理由.

6

21. (本小题满分 12 分) 已知函 数 f ( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a ln x . (1) 求函数 f ? x ? 在区间 [1, e] 上的最小值; (2)设 g ? x ? ? (1 ? a) x , 其中 0 ? a ? 1 ,判断方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 [1, e] 上的解的个数 (其中 e 为无理数,约等于 2.7182? 且有 e ? 2e ? e ? 1 ).
2

7

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

8


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