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椭圆标准方程及性质练习题


椭圆标准方程及性质练习题
一.选择题
1 椭圆
王新敞
奎屯 新疆

x

2

?

y

2

? 1 上一点

P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为(
? C.4

r />2 2



25

9

? A.5

? B.6
2

? D.10

2. 已知椭圆的方程为 ? A.2
8?m
2

x

?

y m

? 1 ,焦点在 x

轴上,则其焦距为(
2


m ?2 2

8

?

B.2

2

2 ? m

? C.2

m

?8

?

D. 2

3.设 F1 , F 2 为定点,| F1 F 2 |=6,动点 M 满足 | MF 1 A.椭圆
2 2

| ? | MF

2

|? 6

,则动点 M 的轨迹是 D.线段?





B.直线

C.圆

4. 椭圆

x

?

y

16

7

? 1 的左右焦点为 F1 , F 2 ,一直线过 F 1 交椭圆于

A、B 两点,则 ? ABF 2 的周长

为 ( ) A.32 5. 设 ? ∈(0, A.(0, 6. 曲线
x
2

B.16
?
2

C.8
? y
2

D.4 ? 轴上的椭圆,则 ? ∈
?
4

),方程 B.(
?

x

2

sin ?

cos ?

? 1 表示焦点在 x

(

)

?
4
?

]
2

,

?
2
?

)
y
2

? C.(0,

?
4

)

D.[

,

?
2

)?

4
y ?1与 x
2

25

9

25 ? k

9?k

? 1( k ? 9 ) 有相同的(

) D、离心率

A、长轴

B、准线

C、焦点

7. F1、F2 是椭圆的两个焦点,以 F1 为圆心且经过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点 M,F2M 与圆 相切,则椭圆的离心率是( ) A、
3 ?1

B、
2 2

3 ?1 2

C、

3 2

D、 2 ?

3

8. 下列关于椭圆

x

?

y

? 1 的说法正确的有




?

16

9
7

①椭圆的长轴长为 8,短轴长为 6,焦距为 2

;②椭圆的离心率为 e

7

;③椭圆的准线方

1

程为 x

? ?

16 7

;④该椭圆比

x

2

?

y

2

? 1 更接近圆.

(

) D、①②④

16

7

A、①②
2 2

B、①③④

C、①②③

9. 已知椭圆 等于 ( ) (A)2

x

?

y

? 1 上的一点

M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,O 为原点,则|ON|

25

9

(B) 4

(C) 8

(D)

3 2

x2 y2 10. 已知 F1、F2 为椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB, 若△AF1B 的 a b
周长为 16,椭圆的离心率 e=
x
2

3 , 则椭圆的方程为( 2
y
2


x
2

(A)

?

y

2

? 1 (B)

x

2

?

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

?

y

2

?1

4

3

16

3

16

12

16

4

11. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等 、F 腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) (A)
2 2

(B)

2 ?1 2

(C) 2 ? 2

(D) 2 ? 1

12. 如图,AB 是平面 a 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动,使得△ABP 的面积为定 值,则动点 P 的轨迹是( (A)圆 (C)一条直线 13. 椭圆
x a
2 2



(B)椭圆 (D)两条平行直线 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P )
? (D) ? 1 ,1 ? ? ?2 ?

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? ? )

满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是( (A)
? 2? ? 0, ? ? 2 ? ?

(B) ? 0 , 1 ? ? ?
? 2?

(C)

? ?

2 ? 1,1 ?

14. 已知椭圆 C
C

:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a> b> 0 ) 的离心率为

3 2

,过右焦点 F 且斜率为 k ( k> 0 ) 的直线与

相交于 A、 B 两点.若 A F ? 3 F B ,则 k ? ( (B) 2

????

??? ?

) (C)
2

(A)1

3

(D)2

二.填空题
1. 化简方程:
x
2

? ( y ? 3)

2

?

x

2

? ( y ? 3)

2

? 10

______________________

王新敞
奎屯

新疆

(方程 2 ? x ? 2 ?

2

? ? y ? 1? ? x ? y ? 2
2

表示的曲线是_____________________.)

2. 如果方程 x 2

? ky

2

? 2
2

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是______.
y
2

3. 已知椭圆方程为

x

?

? 1 ,那么它的焦距是________________.

20

11 x
2

4. 过点 A(-1,-2)且与椭圆 5. 过点 P( ,-2) Q(-2 ,

?

y

2

? 1 的两个焦点相同的椭圆标准方程是____

王新敞
奎屯

新疆

6
3 3

9

,1)两点的椭圆标准方程是______

王新敞
奎屯

新疆

6. 椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为 1 : 4 ,短轴长为 8,则椭圆的标准方程 是 .
2

7. 椭圆

x

? y ? 1 长轴的一个顶点为
2

A,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角 .

4

形,则该三角形的面积是

8. 已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为__________.
2 2 2 2

9. 在平面直角坐标系中,椭圆 过点 (
a c
2

x a

?

y b

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦距为

2,以 O 为圆心,a 为半径的圆,

, 0 ) 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e =

10. M 是椭圆 大值为
MF 1 ? MA

x

2

?

y

2

16

4

? 1 上任意一点, F 1 、 F 2
2 2 2

是椭圆的左右焦点,则: (1)

MF 1 ? MF

2

的最

; 的最小值为 .

MF 1

? MF

的最小值为

; (2)已知 A ?1,1 ? ,则 。 (3) ? F1 MF 2 的最大值

,最大值为



3

11. 椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的焦点为

Fl、F2,点 P 为其上动点,当

9

4

? F1 PF 2 为钝角时,点

P 横坐标

的取值范围是_______.
2 2 2 2

12. 已 知

F1



F2

是椭圆

x a

?

y b

? 1( a ? b ? 0 )

的两个焦点,椭圆上存在一点

P

使

? F1 PF 2 ? 90 ? ,求椭圆离心率 e

的取值范围_______.

13. 若椭圆
B

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的焦点在 x

轴上,过点 ( 1,

1 2

) 作圆 x

2

? y

2

? 1 的切线,切点分别为 A



,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

.

14. 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 B F 的延长线交 C 于点 D , 且
uur uur BF ? 2FD

,则 C 的离心率为
7 18

.

15. 在 △ A B C 中, A B 离心率 e
?

? BC

, cos B

? ?

.若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的

.

三.解答题
? 1. 在直角坐标系 x O y 中, P 到两点 (0, 点 3 ) ,0, 3 ) 的距离之和等于 (

4, 设点 P 的轨迹为 C ,
??? ? ? OB

直线 y

? kx ? 1 与

C 交于 A,B 两点. (Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)若 O A

??? ?

,求 k 的值

(1.椭圆 a x 2

? b y ? 1 与直线 x ? y ? 1 交于
2

A、B 两点,C 是线段 AB 的中点,且

AB ? 2

2



OC 的斜率为

2 2

,求椭圆的长轴长及短轴长。

2.已知椭圆中心在坐标原点,一个焦点为 ? 0 , 5 AB 中点 M 的横坐标为
1 2

2

? ,直线 y ? 3 x ? 2 与椭圆交于 A、B 两点,

,求椭圆方程。

4

3. 已知椭圆中心在坐标原点,焦点在 x 轴,椭圆上的点到焦点的最大、最小值是 3. (1)求椭圆方程; (2)直线 y
? kx ? m

与椭圆交于 A、B(A、B 不是右顶点),且以 AB 为

直径的圆过右顶点。证明 AB 直线过定点。 )

2. 已知菱形 A B C D 的顶点 A, C 在椭圆 x 2

? 3 y ? 4 上,对角线 B D
2

所在直线的斜率为 1. (Ⅰ)

当直线 B D 过点 (0, 时,求直线 A C 的方程; (Ⅱ)当 ? A B C 1) 大值.
? ?

? 60

?

时,求菱形 A B C D 面积的最

3. 如题(20)图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e 求该椭圆的标准方程;(Ⅱ) 设动点 P 满足: O P 线 O M 与 O N 的斜率之积为 ? 存在,求
F? , F ?
? ?

?

,一条准线的方程为 x

? ?

?

.(Ⅰ)

uuu r

uuur uuu r ? O M ? ? O N ,其中 M , N

是椭圆上的点,直 为定值?若

,问:是否存在两个定点 F? , F ? ,使得

P F? ? P F?

的坐标;若不存在,说明理由.[来源:高考资源网 KS5U.COM]

(4) 4. 椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点, 并与 x 轴交于点 P, 直线 AC 与直线 BD 交于点 Q. (Ⅰ) | C D| 当 当点 P 异于 A、B
??? ???? ? 两点时,求证: O P ? O Q
? 3 2 2

时, 求直线 l 的方程; (Ⅱ)

为定值.

5. 已知椭圆 C

:

x m

2 2

? y ? 1 (常数 m ? 1 ) P ,
2

是曲线 C 上的动点, M 是曲线 C 上的右顶点,
?3

定点 A 的坐标为 ( 2 , 0 ) (1)若 M 与 A 重合,求曲线 C 的焦点坐标; (2)若 m 大值与最小值; (3)若
PA

,求

PA

的最

的最小值为

MA

,求实数 m 的取值范围.

5

6.在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的左顶点、下顶点,过坐标原点的

4

2

直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延 长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB.

7. 已知椭圆 G

:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的离心率为

6 3

,右焦点为( 2

2

,0) ,斜率为 I 的直线 l

与椭圆 G 交与 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (I)求椭圆 G 的方程; (II)求 ? P A B 的面积.
2 2 2 2

8. 已知椭圆

x a

?

y b

? 1 (a>b>0)的离心率

e=

3 2

,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积

为 4.(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标 为(-a,0).(i)若| A B| =
???? ??? ?

4 5

2

( ,求直线 l 的倾斜角; (ii)若点 Q 0 , y 0)在线段 AB 的垂直

平分线上,且 Q A ?Q B = 4 .求 y 0 的值.

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 ?
1 3

.

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面 积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

10.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( ?

2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) ,离心率是

6 3

,直线 y=t 椭圆 C

交与不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。

11. 椭圆 E 经过点 A ? 2, 3 ? ,对称轴为坐标轴,焦点 F1 , F 2 在 x 轴上,离心率 e 圆 E 的方程;(Ⅱ)求 ? F1 A F 2 的角平分线所在直线的方程。
6

?

1 2

。 (Ⅰ)求椭

12. 设椭圆 C:

x

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左焦点为
???? ??? ? ? 2FB

F, 过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A, 两点, B
15 4

a

直线 l 的倾斜角为 60o, A F 方程.

.(1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=

,求椭圆 C 的

13.已知 m>1,直线 l : x ? m y ?

m 2

2

? 0

,椭圆 C

:

x m

2 2

? y ? 1 , F1, F 2
2

分别为椭圆 C 的左、右焦点.

V (Ⅰ) 当直线 l 过右焦点 F 2 时, 求直线 l 的方程; Ⅱ) ( 设直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点, A F1 F 2 , V B F1 F 2

的重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段 G H 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

7


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