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2014-2015学年辽宁省锦州一中高一(下)期中数学试卷


2014-2015 学年辽宁省锦州一中高一(下)期中数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. ) 1. (5 分) (2015 春?锦州校级期中)下列给出的赋值语句正确的是( ) A. 6=A B. M=﹣M C. B=A=2 D. x+5y=0 考点: 赋值语句. 专题: 简易逻辑

. 分析: 根据赋值语句的功能,我们逐一分析四个答案中四个赋值语句,根据赋值号左边只能 是变量,右边可以是任意表达式,即可得到答案. 解答: 解:6=A 中,赋值号的左边是常量,故 A 错误; M=﹣M 是正确的赋值语句,B 正确; B=A=2 中,赋值语句不能连续赋值,故 C 错误; x+5y=0 中,赋值号的左边是表达式,故 D 错误; 故选 B 点评: 本题考查的知识点是赋值语句,其中熟练掌握赋值语句的功能和格式,是解答本题的 关键. 2. (5 分) (2015 春?锦州校级期中)如图所示的程序框图的运行结果是( )

A. 2 B. 2.5 C. 3.5 D. 4 考点: 顺序结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序框图的功能进行运行即可. 解答: 解:a=2,b=4,则 S= =2.5,

故选:B 点评: 本题主要考查程序框图的运算,比较基础. 3. (5 分) (2015 春?锦州校级期中)当 a=1,b=3 时,执行完下面一段程序后 x 的值是( )

A. 1 B. 3 C. 4 D. ﹣2 考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序代码,可得程序代码的功能是计算并输出 x= b=3,即可计算求解. 解答: 解:模拟执行程序代码,可得程序代码的功能是计算并输出 x= 的值, 的值,由 a=1,

当 a=1,b=3 时,满足条件 a<b,故执行完程序后 x 的值是:x=a+b=1+3=4. 故选:C. 点评: 算法及程序代码是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度 重视,属于基础题.

4. (5 分)函数 f(x)= A. B. π C. 2π D. 4π

的最小正周期为(



考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题. 分析: 直接利用正弦函数的周期公式 T= 解答: 解:函数 f(x)= ,求出它的最小正周期即可. 由 T= =| |=4π,故 D 正确.

故选 D. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的周期的求法,考查计算能力. 5. (5 分) (2015?赫章县校级模拟)为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编 号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进行检验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样 方法确定所选取的 5 袋奶粉的编号可能是( ) A. 5,10,15,20,25 B. 2,4,8,16,32 C. 1,2,3,4,5 D. 7,17,27,37,47 考点: 系统抽样方法.

专题: 常规题型. 分析: 将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,系统抽样又称 等距抽样,这时间隔一般为总体的个数除以样本容量,若不能整除时,要先去掉几个个体. 解答: 解:从编号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中抽取 5 袋进行检验, 采用系统抽样间隔应为 =10,

只有 D 答案中的编号间隔为 10, 故选 D. 点评: 一般地, 要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本, 可将总体分成均衡的若干部分, 然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本. 6. (5 分) (2013?辽宁)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的 分组一次为[20,40) ,[40,60) ,[60,80) ,[80,100) .若低于 60 分的人数是 15 人,则该班 的学生人数是( )

A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 由已知中的频率分布直方图,我们可以求出成绩低于 60 分的频率,结合已知中的低 于 60 分的人数是 15 人,结合频数=频率×总体容量,即可得到总体容量. 解答: 解:∵成绩低于 60 分有第一、二组数据, 在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为 0.005,0.01, 每组数据的组距为 20, 则成绩低于 60 分的频率 P=(0.005+0.010)×20=0.3, 又∵低于 60 分的人数是 15 人, 则该班的学生人数是 =50.

故选:B. 点评: 本题考查的知识点是频率分布直方图,结合已知中的频率分布直方图,结合频率=矩 形的高×组距,求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键. 7. (5 分) (2015 春?锦州校级期中)若样本 1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn 的平均数是 10,方 差为 2,则对于样本 2+x1,2+x2,…,2+xn,下列结论正确的是( ) A. 平均数为 10,方差为 2 B. 平均数为 11,方差为 3 C. 平均数为 11,方差为 2 D. 平均数为 12,方差为 4

考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可. 解答: 解:∵样本 1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn 的平均数是 10,方差为 2, ∴1+x1+1+x2+1+x3+…+1+xn=10n, 即 x1+x2+x3+…+xn=10n﹣n=9n, 方差 S = [(1+x1﹣10) +(1+x2﹣10) +…+(1+xn﹣10) ]= [(x1﹣9) +(x2﹣9) +…+ (xn﹣9) ]=2, 则 (2+x1+2+x2+…+2+xn)=
2 2 2 2 2 2 2 2

=11,
2 2 2

样本 2+x1,2+x2,…,2+xn 的方差 S = [(2+x1﹣11) +(2+x2﹣11) +…+(2+xn﹣11) ] = [(x1﹣9) +(x2﹣9) +…+(xn﹣9) ]=2, 故选:C. 点评: 本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算,根据相应的公式进行计算是解决本题 的关键. 8. (5 分) (2013 秋?荔城区校级期末)下表是 x 与 y 之间的一组数据,则 y 关于 x 的回归直 线必过( ) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A. 点(2,2) B. 点(1.5,2) C. 点(1,2) D. 点(1.5,4) 考点: 线性回归方程. 专题: 图表型. 分析: 根据回归直线方程一定过样本中心点,先求出这组数据的样本中心点,即横标和纵标 的平均数分别作横标和纵标的一个点,得到结果. 解答: 解:∵回归直线方程必过样本中心点, ∵ , ∴样本中心点是( ,4) ∴y 与 x 的回归直线方程 y=bx+a 必过定点( ,4) 故选 D. 点评: 本题考查线性回归方程的性质,本题解题的关键是根据所给的条件求出直线的样本中 心点,线性回归方程一定过样本中心点是本题解题的依据,本题是一个基础题.
2 2 2

9. (5 分) (2010?北京)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取 一个数为 b,则 b>a 的概率是( ) A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有 5×3 种 结果,而满足条件的事件是 a=1,b=2;a=1,b=3;a=2,b=3 共有 3 种结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, ∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有 5×3 种结果, 而满足条件的事件是 a=1,b=2;a=1,b=3;a=2,b=3 共有 3 种结果, ∴由古典概型公式得到 P= = ,

故选 D. 点评: 本题考查离散型随机变量的概率问题,先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找 出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 10. (5 分) (2015 春?安溪县校级期中)若 sinx?cosx<0,则角 x 的终边位于( ) A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知不等式可知 sin x 与 cos x 异号,根据三角函数在各象限的符号判断. 解答: 解:因为 sinx?cosx<0,所以 或者 ,

所以角 x 的终边位于第二、四象限; 故选:C. 点评: 本题考查了由三角函数的符号判断角度位置;关键是明确各象限的三角函数符号.

11. (5 分)将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动

个单位长度,再把所得各点的横 ) ) D. y=sin( x﹣ )

坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是( A. y=sin(2x﹣ ) B. y=sin(2x﹣ ) C. y=sin( x﹣

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 分析法. 分析: 先根据左加右减进行左右平移, 然后根据横坐标伸长到原来的 2 倍时 w 变为原来的 倍 进行横向变换.

解答: 解:将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 解析式为 y=sin(x﹣ )

个单位长度,所得函数图象的

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 所得图象的函数解析式是 y=sin ( x ﹣ ) .

故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的平移变换.平移的原则是左加右减、上加下减. 12. (5 分) (2015 春?锦州校级期中)若 sin x>cos x,则 x 的取值范围是( A. {x|2kπ﹣ C. {x|kπ﹣ <x<2kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z} B. {x|2kπ+ <x<2kπ+
2 2



,k∈Z}

,k∈Z} D. {x|kπ+

<x<kπ+

,k∈Z}

考点: 余弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 利用二倍角的余弦公式可得 cos2x<0,所以, 到 x 的范围. 解答: 解:由 sin x>cos x 得 cos x﹣sin x<0,即 cos2x<0,所以, k∈Z, ∴kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z,
2 2 2 2

+2kπ<2x<

+2kπ,k∈Z,从而得

+2kπ<2x<

+2kπ,

故选 D. 点评: 本题考查二倍角的余弦公式的应用,以及余弦函数的图象性质. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2008?湖北)一个公司共有 1 000 名员工,下设一些部门,要采用分层抽样方法 从全体员工中抽取一个容量为 50 的样本,已知某部门有 200 名员工,那么从该部门抽取的工 人数是 10 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 先计算抽样比为 ,某部门有 200 名员工,乘以抽样比即为所求. =10

解答: 解:由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足 200×

故答案为:10 点评: 本题考查分层抽样知识,抓住每层中个体被抽到的可能性相等进行计算.

14. (5 分) (2014?新城区校级四模)在面积为 S 的△ ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△ PBC 的面积大于等于 的概率是 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 首先分析题目求在面积为 S 的△ ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△ PBC 的面积大于等 于 的概率,可借助于画图求解的方法,然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度 量是什么.再根据几何关系求解出它们的比例即可. 解答: 解:记事件 A={△ PBC 的面积大于等于 的概率}, 基本事件空间是线段 AB 的长度, (如图) 因为 化简记得到: ,则有 , ; ;

因为 PE 平行 AD 则由三角形的相似性 所以,事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度, 因为 AP= , .

所以 P(A)=

故△ PBC 的面积大于等于 的概率的概率为 故答案为: .



点评: 解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积,并且 熟练记忆有关的概率公式.

15. (5 分)如果 cosα= ,且 α 是第四象限的角,那么

=



考点: 象限角、轴线角;同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.

专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式化简 ,根据 α 是第四象限的角,求出 sinα 的值即可.

解答: 解:已知 cosα= ,且 α 是第四象限的角, ; 故答案为: .

点评: 本题考查象限角、轴线角,同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值, 考查计算能力,是基础题.

16. (5 分) (2015 春?锦州校级期中)函数 f(x)=3sin(2x﹣ ①图象 C 关于直线 x= ②函数 f(x)在区间(﹣ 对称; , )内是增函数 个单位长度可以得到图象 C.

)的图象为 C,

③由 y=3sin2x 的图象向右平移

以上三个论断中,正确的是 ①② . 考点: 复合三角函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin (ωx+?) 的对称性和单调性可得①②确, 再根据函数 y=Asin (ωx+?) 的图象变换规律可得③不正确,从而得出结论. 解答: 解:∵函数 f(x)=3sin(2x﹣ 把 x= 令 2kπ﹣ )的图象为 C, 对称,故①正确.

代入可得 f(x)=﹣3,为最大值,故图象 C 关于直线 x= ≤2x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,可得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈z,

故函数的增区间为 (kπ﹣ 由 y=3sin2x 的图象向右平移

) ,k∈z,故②正确.

个单位长度可以得到图象 C,故③不正确,

故答案为:①②. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,函数 y=Asin(ωx+?)的对称性 和单调性,属于中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分) (2015 春?韶关校级期中)甲、乙两台机床同时加工直径为 100 mm 的零件,为了 检验产品的质量,从产品中各随机抽取 6 件进行测量,测得数据如下(单位 mm) : 甲:99,100,98,100,100,103

乙:99,100,102,99,100,100 (1)分别计算上述两组数据的平均数和方差; (2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求. 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 计算题. 分析: (1)根据所给的两组数据,分布求出两组数据的平均数,结果两组数据的平均数相 等,再利用方差公式求两组数据的方差,得到甲的方差大于乙的方差. (2)对于两组数据的平均数和方差进行比较,知道两组数据的平均数相等,甲的方差大于乙 的方差,说明乙机床生产的零件质量比较稳定. 解答: 解: (1) = S
2


= =100mm,
2 2

=100mm,

= [(99﹣100) +(100﹣100) +(98﹣100) +(100﹣100) +(100﹣100) +(103﹣
2 2

2

2

2

100) ]= mm . S
2


= [(99﹣100) +(100﹣100) +(102﹣100) +(99﹣100) +(100﹣100) +(100﹣
2 2

2

2

2

2

2

100) ]=1mm . 2 2 (2)因为两个机床产品的平均数相等,且 S 甲>S 乙,说明甲机床加工零件波动比较大, 因此乙机床加工零件更符合要求. 点评: 本题考查两组数据的平均数和方差,对于两组数据通常要求它们的平均数和方差,来 比较两组数据的平均水平和波动大小,本题是一个基础题. 18. (12 分) (2015 春?锦州校级期中)某学校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学 生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100) ,[100,110) ,…,[140,150)后得到如 下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在[120,130)内的频率,并补全这个频率分布直方图(直接画在图形上) ; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分.

考点: 频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题;概率与统计.

分析: (1)利用频率=小矩形的高×组距与所有小矩形的面积之和为 1 求分数在[120,130) 内的频率及对应小矩形的高,补全频率分布直方图; (2)根据数据的平均数为各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形的面积之和,计算平 均分. 解答: 解: (1) 、 分数在[120, 130) 内的频率为 1﹣ (0.010+0.015+0.015+0.025+0.005) ×10=0.3, ∴小矩形的高为 0.030,补全频率分布直方图如图:

(2)数据的平均数为 95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121(分) . 点评: 本题考查了由频率分布直方图求平均数, 在频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距, 所有小矩形的面积之和为 1. 19. (12 分) (2014?南昌模拟)设关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率. (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;几何概型. 专题: 计算题. 分析: 首先分析一元二次方程有实根的条件,得到 a≥b (1)本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数,满足条件的 事件在前面列举的基础上得到结果数,求得概率. (2)本题是一个几何概型,试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},满足 条件的构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},根据概率等于面积之比,得到概 率. 解答: 解:设事件 A 为“方程有实根”. 当 a>0,b>0 时,方程有实根的充要条件为 a≥b (1)由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的基本事件共 12 个: (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2,2) (3,0) (3,1) (3, 2) 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件, ∴事件 A 发生的概率为 P= =
2 2

(2)由题意知本题是一个几何概型, 试验的全部结束所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2} 满足条件的构成事件 A 的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}

∴所求的概率是 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,考查几何概型及其概率公式,本题把两种概率放在 一个题目中进行对比,得到两种概率的共同之处和不同点. 20. (12 分) (2015 春?锦州校级期中)已知 tan α=2,求下列代数式的值. (1)
2


2

(2) sin α+ sin αcos α+ cos α.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用同角三角函数的基本关系,求得所给式子的值. (2) 把要求的式子的分母看成 1, 再利用同角三角函数的基本关系化为关于正切 tanα 的式子, 从而求得它的值. 解答: 解: (1) (2) sin α+ sin αcos
2

=

=



α+ cos α=

2

=

=



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题. 21. (12 分) (2013 秋?萝北县校级期末)已知 α 为第三象限角,f(α) = (1)化简 f(α) ; (2)若 cos(α﹣ )= ,求 f(α)的值. .

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)f(α)利用诱导公式化简即可得到结果; (2)已知等式利用诱导公式化简求出 sinα 的值,进而求出 cosα 的值,代入计算即可求出 f (α)的值. 解答: 解: (1)f(α)= =﹣ ;

(2)∵cos(α﹣

)= ,

∴﹣sinα= ,即 sinα=﹣ , 又 α 为第三象限角, ∴cosα=﹣ =﹣ ,

则 f(α)=

=﹣2



点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 22. (12 分) (2009?陕西) 已知函数 ( f x) =Asin (ωx+φ) , x∈ R (其中 的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 . (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 ,求 f(x)的值域. ,且图象上一个最低点为



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)根据最低点 M 可求得 A;由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离可求得 ω;进而 把点 M 代入 f(x)即可求得 φ,把 A,ω,φ 代入 f(x)即可得到函数的解析式. (2)根据 x 的范围进而可确定当 和最小值.确定函数的值域. 解答: 解: (1)由最低点为 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 即 T=π, 由点 故 又 (2)∵ ,∴ ,∴ 在图象上的 ∴ 得 A=2. 得 = , 的范围,根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值

当 即

=

,即

时,f(x)取得最大值 2;当

时,f(x)取得最小值﹣1,

故 f(x)的值域为[﹣1,2] 点评: 本题主要考查本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式的问题及正弦 函数的单调性问题.属基础题.


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