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湖北省武汉市部分重点中学2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理试题 Word版含答案


湖北省部分重点中学 2013-2014 学年度上学期高二期末考试

数 学 试 卷
命题人:武汉中学 陈国刚 审题人:洪山高中:徐义武
一、 选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 两个三角形全等是这两个三角形相似的( ) (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 2. 命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是( ) (A)所有实数的平方是负实数 (B)不存在一个实数,它的平方是负实数 (C)存在一个实数,它的平方是负实数 (D)不存在一个实数它的平方是非负实数 3. 若椭圆经过原点,且焦点分别为 F1 (0,1), F2 (0,3) ,则其离心率为( )

( A)

3 4

( B)

2 3

(C )

1 2

( D)

1 4

4. 若双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是( ) 4 k
( B)( ?3, 0) (C )( ?12, 0) ( D)( ?60, ?12)

( A)(??, 0)

5. 已知 (1 ? 2 x) 7 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 ,那么

a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ( )
( A) ? 2 ( B)0 (C )2 ( D)1

6. 三名学生与两名老师并排站成一排。如果老师甲必须排在老师乙的左边,且两名老师必 须相邻,那么不同的排法共有( )种。

( A)60

( B)48

(C )36

( D)24

7. 若 X 是 离 散 型 随 机 变 量 , P ( x ? x1 ) ?

2 1 , P( x ? x2 ) ? , 且 x1 ? x2 , 又 已 知 3 3

4 2 E ( x) ? , D( x) ? ,则 x1 ? x2 ? ( ) 3 9 5 7 11 ( A) ( B) (C )3 ( D) 3 3 3
8. 如果方程

x2 y 2 ? ? 1( p ? 0, q ? 0) 表示双曲线,那么下列椭圆中,与这个双曲线共焦点 ?p q

的是( )

( A)

x2 y2 ? ?1 2q ? p q

( B)

x2 y2 ? ? ?1 2q ? p p

(C )

x2 y2 ? ?1 2p ? q q

( D)

x2 y2 ? ? ?1 2p ? q p
2 2 2

9. 在平面直角坐标系中, 若方程 m( x ? y ? 2 y ? 1) ? ( x ? 2 y ? 3) 表示的曲线为椭圆, 则m 的取值范围是( )

( A)(0,1)

( B)(1, ??)

(C )(0,5)

( D)(5, ??)

x2 y 2 10. 若椭圆 ? ? 1 上有 n 个不同的点 P ? 组成公差 1, P 2, P 3 ,? P n , F 为右焦点, ? PF i 4 3
d? 1 的等差数列,则 n 的最大值为( ) 100
( B)200 (C )99 ( D)100

( A)199

二、 填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 与 双 曲 线 x ? 4 y ? 4 有 共 同 的 渐 近 线 , 并 且 经 过 点 (2,3) 的 双 曲 线
2 2





x2 y 2 12. 椭圆 点 P 在椭圆上, 如果线段 PF1 的中点在 y 轴上, ? ? 1 的焦点分别为 F1 和 F2 , 12 3
那么 cos ?F1 PF2 ? 。
2

13. 某 班 有 50 名 学 生 , 一 次 考 试 的 数 学 成 绩 ? 服 从 正 态 分 布 N (100,10 ) , 已 知

P(90 ? ? ? 100) ? 0.3 ,估计该班学生成绩在 110 以上的人数为
14. ( x ?

人。

1 8 ) 的展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 4 x
(用数字作答) 。

15. 圆 x ? y ? r (r ? 0) 经过椭圆
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点 F1 , F2 ,且与该椭圆 a 2 b2

有四个不同交点, 设 P 是其中的一个交点, 若 ?PF1 F2 的面积为 26 , 椭圆的长轴长为 15 , 则a?b?c ? ( c 为半焦距) 。 三、 解答题(共 75 分) 16. (12 分)设命题 p : ?x ? R, x ? x ? a; 命题 q : ?x0 ? R,
2

x0 2 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ,如果命题 p 真且命题 q 假,求 a 的取值范围。

17. (12 分)一动圆截直线 3 x ? y ? 0 和直线 3 x ? y ? 0 所得弦长分别为 8, 6 ,求动圆圆心 的轨迹方程。 18. ( 12 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : 4 x ? 5 y ? 40 ? 0. AB 是直线 l 上的线段,且 25 9

AB ? 2 41, P 是椭圆上一点,求 ?ABP 面积的最小值。
19. (12 分) 在 10 个同样型号的产品中, 有 8 个是正品,2 个是次品, 从中任取 3 个, 求 (1) 其中所含次品数 ? 的期望、方差; (2)事件“含有次品”的概率。 20. (13 分) 以椭圆 x ? a y ? a (a ? 1) 的一个顶点 C (0,1) 为直角顶点作此椭圆的内接等
2 2 2 2

腰直角三角形 ABC ,试问: (1)这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,写出一个 等腰直角三角形两腰所在的直线方程。若不存在,说明理由。 (2)这样的等腰直角三角 形若存在,最多有几个? 21. (14 分)已知常数 a ? 0 ,向量 m ? (0, a ), n ? (1, 0) ,经过定点 A(0, ? a ), 以 m ? ? n 为 方向向量的直线与经过定点 B (0, a ) 以 n ? 2? m 为方向向量的直线相交于 P ,其中

??

?

??

?

?

??

??R , (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)若 a ?
???? ? ???? M , N 两点,求 EM ? EN 的取值范围。

2 ,过 E (0,1) 的直线 l 交曲线 C 于 2

湖北省部分重点中学 2013-2014 学年度上学期高二期末考试

数 学 试 题 参 考 答 案
命题人:武汉中学 陈国刚 四、 选择题 审题人:洪山高中:徐义武

1.A 2.C 五、 填空题 11.

3.C

4.C

5.A

6.D 7.C 8.D

9.D

10.B

y 2 x2 ? ?1 8 32

12.

1 7

13. 10

14. 72

15. 13 ? 26

六、 解答题 16.解:因为命题 p 为真命题,所以 ?x ? R, x ? x ? a;
2

? ? x2 ? x ?

min

1 1 ? ? ,? a ? ? 4 4
2

因为命题 q 为假命题,所以 ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0

?? ? 4a 2 ? 4 ? (2 ? a) ? 0 ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ? ?2 ? a ? 1
所以 a 的取值范围是 ?2 ? a ? ?

1 。 4

17.解:设动圆圆心 M 点的坐标为 ( x, y ) , ? M 分别截直线

3 x ? y ? 0 和 3 x ? y ? 0 所得弦分别为 AB, CD ,则 AB ? 8 ,
CD ? 6 ,过 M 分别作直线 3 x ? y ? 0 和 3 x ? y ? 0 的垂线,垂足分别为 E , F ,则 AE ? 4 ,

CF ? 3 , ME ?

3x ? y 10
2

, MF ?

3x ? y 10



? AE ? ME ? CF ? MF , ?16 ?
动圆圆心的轨迹方程是 xy ?

2

2

2

35 (3 x ? y ) 2 (3 x ? y ) 2 , ? xy ? ,所以 ? 9? 6 10 10

35 6

18.解:由直线 l 的方程和椭圆的方程易知,直线 l 与椭圆不相交,设直线 m 平行于直线 l ,则 直线 m 的方程可以写成 4 x ? 5 y ? k ? 0 ??(1)

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 由 ? x2 y 2 消去 y 得 25 x 2 ? 8kx ? k 2 ? 225 ? 0 ??(2) ? ?1 ? ? 25 9
令方程(2)的根的判别式 ? ? 0 得 64k ? 4 ? 25(k ? 225) ? 0
2 2

解之得 k ? 25 或 k ? ?25 , 容易知道 k ? 25 时,直线 m 与椭圆的交点到直线 l 的距离最近,此时直线 m 的方程为

4 x ? 5 y ? 25 ? 0

直线 m 与直线 l 间的距离 d ?

40 ? 25 4 2 ? 52

?

15 41 41

所以 ? S ?ABP ?min ?

1 1 15 41 AB d ? ? 2 41 ? ? 15 2 2 41

19.解:依题意可知随机变量 ? 的一切可取值为 0,1, 2 ,则

P ?? ? 0 ? ?

1 1 2 C83 C82C2 7 7 C8 C2 1 ? , P ? ? 1 ? ? , P ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 3 3 3 C10 15 C10 15 C10 15

(1) E ( x) ? 0 ?
2

7 7 1 9 3 ? 1? ? 2 ? ? ? 15 15 15 15 5
2 2

3? 7 ? 3? 7 ? 3 ? 1 140 28 ? D( x) ? ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 5 ? 15 ? 5 ? 15 ? 5 ? 15 375 75 ?
(2)设 A ? 抽取的3件产品中含有次品 , 则 P ? A ?=P ??= 1? ? P ??=2 ?=

?

?

8 。 15

20. 解: (1)这样的等腰直角三角形存在。因为直线 y ? x ? 1 与直线 y ? ? x ? 1 垂直,且关于

y 轴对称,所以直线 y ? x ? 1 与直线 y ? ? x ? 1 是一个等腰直角三角形两腰所在的直线方程。
(2)设 A, B 两点分别居于 y 轴的左,右两侧,设 CA 的斜率为 k ,则 k ? 0 , CA 所 在的直线方程为 y ? kx ? 1 ,代入椭圆的方程并整理得 (a k ? 1) x ? 2a kx ? 0 ,? x ? 0 或
2 2 2 2

x??

2a 2 k 1 ? k 2 2a 2 k 2a 2 k ? CA ? , 的横坐标为 , , ? ? A a2k 2 ? 1 a2k 2 ? 1 a2k 2 ? 1

2a 2 1 ? k 2 同理可得 CB ? ,所以由 CA ? CB 得 a2 ? k 2
k 1 2 2 ,? (k ? 1)[k ? (a ? 1)k ? 1] ? 0?? (1) , ? 2 2 2 a k ?1 a ? k
2

当 1 ? a ? 3 时, (1)的解是 k ? 1, k ? (a ? 1)k ? 1 ? 0 无实数解;
2 2 2 2 当 a ? 3 时, (1)的解是 k ? 1, k ? (a ? 1)k ? 1 ? 0 的解也是 k ? 1 ;当 a ? 3 时, (1)的

解除 k ? 1 外,方程 k ? (a ? 1)k ? 1 ? 0 有两个不相等的正根,且都不等于 1 ,故(1)有 3 个
2 2

正根。

所以符合题意的等腰直角三角形一定存在,最多有 3 个。 21. 解: (1)设 P 点的坐标为 ( x, y ) ,则

??? ? ??? ? AP ? ( x, y ? a ), BP ? ( x, y ? a ) ,
又 m ? (0, a ), n ? (1, 0) ,? m ? ? n ? (0, a ) ? ? (1, 0) ? (? , a ) ,

??

?

??

?

? ?? n ? 2? m ? (1, 0) ? 2? (0, a) ? (1, 2? a) ,
又因为向量 AP 与向量 m ? ? n 平行,所以 ax ? ? ( y ? a ) ? 0 向量 BP 与向量 n ? 2? m 平行, 所以 2? ax ? ( y ? a ) ? 0 , 两式联立消去 ? 得 P ( x, y ) 的轨迹方 程为 ( y ? a )( y ? a ) ? 2a x ,即
2 2

??? ?

??

?

??? ?

?

??

y 2 x2 ? ? 1。 a2 1 2

(2)因为 a ?

y 2 x2 2 ,所以 P 的轨迹 C 的方程为 ? ? 1, 1 1 2 2 2

此时点 E (0,1) 为双曲线的焦点。 (I)若直线 l 的斜率不存在,其方程为 x ? 0 ,

l 与双曲线 2 y 2 ? 2 x 2 ? 1 的两焦点为 M (0,

2 2 ), N (0, ? ), 2 2

此时 EM ? EN ? (

???? ? ????

2 2 1 1 ? 1)(? ? 1) ? 1 ? ? 2 2 2 2

(II)若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 1 ,

由?

? y ? kx ? 1 ? 2(k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 1 ? 0 ,设交点为 2 2 2 y ? 2 x ? 1 ?
, 则

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

x1 ? x 2 ?

?2k 1 , x 1x 2 ? 2 k ?1 2(k 2 ? 1)



???? ? ???? EM ? EN ? ( x1 , y1 ? 1)( x2 , y2 ? 1) ? ( x1 , kx1 )( x2 , kx2 )
? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? 1 2 (1 ? 2 ) 2 k ?1

当 ?1 ? k ? 1 时, k 2 ? 1 ? 0 , EM ? EN ?

???? ? ????

1 2 1 (1 ? 2 ) ? ? ; 2 k ?1 2

当 k ? 1 或 k ? ?1 时, k 2 ? 1 ? 0 , EM ? EN ?

???? ? ????

1 2 1 (1 ? 2 ) ? ; 2 k ?1 2

???? ? ???? EM ? EN 的取值范围是 (??, ? 1 ) ? ( 1 , ??) 。 综上可知, 2 2


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