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广东省六校联合体(宝安中学 潮阳一中 南海中学普宁二中 中山一中 仲元中学 )高二级联考文科数学试题


宝安中学
广东省

潮阳一中 中山一中

南海中学 仲元中学
六校联合体

普宁二中

2011-2012 学年度上学期联合考试

高 二 数 学(文科)
命题、审题:普宁二中 陈左华、林建庭

一、选择题(本题共 10 小题;每小

题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 I ? {1,2,3,4} , A ? {1} , B ? {2,4} , 则 A ? ( A. {1} B . {3} C . {1,3} D. {1,2,3}
I

B)=

2.已知 a ? R 且 a ? 0 ,则“ A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ? 1 ”是 “ a >1”的 a B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.某路段 200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速 超过 60km/h 的汽车数量为 A.65 辆 B.76 辆 C.88 辆 D.95 辆

4.如图表示一个几何体的三视图及相应数据,则该几何体的体积是 4? 4? 10? A. 8 ? B. 4 ? C 8 ? 4? D. 3 3 3

A

B D

C

(第 3 题图) (第 4 题图) (第 5 题图) ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ? 5.如图,已知 AB ? a, AC ? b, BD ? 3DC ,用 a, b 表示 AD ,则 AD ?
? 3? A. a ? b 4 1? 1? 1? 3? 3? 1? B . a ? b C. a ? b D. a ? b 4 4 4 4 4 4

6. 函数 f ( x) ? x5 ? x ? 3 的零点落在的区间是

1

A. [0,1]

B. [1, 2]

C. [2,3]

D. [3, 4]

7.在钝角△ABC 中,已知 AB= 3 , AC=1,∠A=30°,则△ABC 的面积是 A.
3 4

B.

3 2

C.

3 2

D.

3 4

8.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin( 2 x ?

?

? ?
3 6

) )

B. y ? sin( 2 x ?

?

3

对称的是

x ? D. y ? sin( ? ) 2 6

6

)

9. 等差数列 {an }中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27, 则数列 an }前9 项的和 S9 等于 { A. 99 B. 66 C. 144 D. 297

10. 两个正数 a、b 的等差中项是
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 的离心率为

9 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则双曲线 2

A.

5 3

B.

41 4

C.

5 4

D.

41 5

二、填空题: (本题共 4 小题,满分 20 分) 11. 奇函数 f ( x) 在区间 [3,7] 上是增函数, 在区间 [3,6] 上的最大值为 8 , 最小值为 ?1 ,
3) 则 2 f ( ?6) ? f( ? ? __________。

12. 过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得 的弦长为__________ 13.如图,是一程序框图,则输出结果为 .

14. 已知 x>0,y>0 且 x+y=5,则 lgx+lgy 的最大值是

2

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. ) 15. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3sin 2x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)若点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上,求 f (? ) 的值; (Ⅱ)若 x ? [?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域. 6 3

16. (本小题满分 12 分)由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下 降,现从某中学随机抽取 16 名学生,经校医用对数视力表检查得到每个学 生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字 为叶)如下:

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若视力测试结果不低于 5.0,则称为“good sight” ,若校医从“good sight” , 中随机选取 2 人,试求抽到视力有 5.2 的学生的概率。

17. (本小题满分 14 分)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为
D1 A1 E B1 C1

DD1 、 DB 的中点.
(Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ;

D F A B

C

3

18. (本小题满分 14 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电 力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示: 产 品 甲产品(每吨) 乙产品(每吨) 资源限额(每天) 消耗量 资源 煤(t) 9 4 360 电力(kw·h) 4 5 200 劳动力(个) 3 10 300 利润(万元) 6 12 问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大? 19. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 x 2 ? 6 y 的焦点为 F,椭圆 C:
e? 3 , P 是它们的一个交点,且 | PF |? 2 . 2
x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 a2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 已知 O(0, 0) ,点 A, 为椭圆 C 上的两点, B 且弦 AB 不平行于对称轴,M 是
AB 的中点,试探究 k AB

? kOM

是否为定值,若不是,请说明理由。

20. (本小题满分 14 分) 1 1 7 数列 bn+ 1 = bn + ,且 b1 = , Tn 为 {bn } 的前 n 项和. 2 4 2 1 (Ⅰ)求证:数列 {bn - } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; 2 (Ⅱ)如果对任意 n ? N * ,不等式 围.
12k ? 2n ? 7 恒成立,求实数 k 的取值范 (12 ? n ? 2Tn )

4

2012-2013 学年度联合考试高二文科数学答案
一、选择题(本题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分) 1 答案:C 5 答案:C 9 答案:A 2 答案:B 6 答案:B 10 答案:D. 12 答案: 2 3 14.答案:6 3. 答案:B 7 答案:A 4 答案:A 8 答案:B

二、填空题: 11. 答案:-15 . 13 答案:
5 11

三、解答题 15(1)因为点 P(1, ? 3) 在角 ? 的终边上, 所以 sin ? ? ?
1 3 , cos ? ? , 2 2

??????2 分 ??????4 分 ????5 分 ………………6 分 ??????8 分

所以 f (? ) ? 3sin 2? ? 2sin 2 ? ? 2 3sin ? cos ? ? 2sin 2 ?
? 2 3 ? (? 3 1 3 ) ? ? 2 ? (? ) 2 ? ?3 . 2 2 2

2) f ( x) ? 3sin 2x ? 2sin 2 x ? 3sin2x ? cos 2x ?1
? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6

?

因为 x ? [?

? ?
,

1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 6

6 3

] ,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? , 6

??????10 分 ??????11 分, ??????12 分 ?????3 分

f ( x) 的值域是 [?2,1] .

16 解: (1)由图可知,众数:4.6 和 4.7;中位数:4.75

(2)解:由图可知视力测试结果不低于 5.0 共 4 人,把视力 5.0,5.1,5.1,5.2 的学生对其分别编号为 A,B,C,D. 则从 4 人中抽取 2 人共(A,B),(A,C),(A,D)(B,C)(B,D),(C,D)共 6 种, 抽到视力有 5.2 的学生共有(A,D) (B,D),(C,D)3 种 则抽到视力有 5.2 的学生的概率为
3 1 ? 6 2

?????9 ?????12

17.证明: (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

5

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B

?????6 分

(Ⅱ)
? ? B1C ? BC1 ? ? ? B1C ? 面ABC1 D1 AB, B1C ? 平面ABC1D1 ? ? AB ? BC1 ? B ? B1C ? AB

????9 分

B1C ? 平面ABC1D1 ? ? ? B1C ? BD1 BD1 ? 平面ABC1 D1 ?
B1C ? BD1 ? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ?

????11 分

????14 分

18 解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品 x 吨、y 吨. 获得利润 z 万元 ?9 x ? 4 y ? 360 ?4 x ? 5 y ? 200 ? ? 依题意可得约束条件: ?3x ? 10 y ? 300 ?x ? 0 ? ?y ? 0 ? 作出可行域如右图 ????8 分 利润目标函数 z=6x+12y 由几何意义知当直线 l:z=6x+12y,经过可行域上的点 M 时,z=6x+12y 取 最大值.

?3x ? 10y ? 300 解方程组 ? ,得 M(20,24) ?4 x ? 5 y ? 200

????13 分

答 : 生 产 甲 种 产 品 20t , 乙 种 产 品 24t , 才 能 使 此 工 厂 获 得 最 大 利 润 ????14 分 19 解: 解: (I)设将 P( x p , y p ) ,根据抛物线定义, y p ? ,∴ x p ? ? 3 , ……(2 分)
3 b2 3 x2 y2 ,即 1 ? 2 ? ,∴ a 2 ? 4b 2 ,椭圆是 2 ? 2 ? 1, ………(4 分) 4b b 2 a 2 x2 1 把 P(? 3, ) 代入,得 a=2,b=1,椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 …………(6 分 4 2

1 2

∵e ?

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) M ( x0 , y0 ) ,
x0 ? x1 ? x 2 y ? y2 , y0 ? 1 …(7 分) 2 2
6

? x1 2 2 ? y1 ? 1?? (1) ? ? 4 又 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) ,? ? 2 , ? x 2 ? y 2 ? 1?? (2) 2 ? 4 ?
(1)-(2)可得:

x1 ? x2 2 2 ? y1 ? y 2 ? 0 4
2 2

……(10 分)

整理得:

y1 ? y 2 y1 ? y 2 1 ? ?? x1 ? x2 x1 ? x2 4
…………(13 分)

又 k AB ?

y1 ? y 2 y ? y 2 y0 , k OM ? 1 ? x1 ? x2 x1 ? x2 x0

1 故 k AB ? k OM ? ? 为定值 …………(14 分) 4 (方法不唯一) 1 1 1 1 1 20 解: (Ⅰ) 对任意 n ? N* ,都有 bn ?1 ? bn ? ,所以 bn ?1 ? ? (bn ? ) 2 4 2 2 2
1 1 1 则 {bn ? } 成等比数列,首项为 b1 ? ? 3 ,公比为 …………4 分 2 2 2

所以 bn ?

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) n ?1 , bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? …………6 分 2 2 2 2

1 1 (Ⅱ) 因为 bn ? 3 ? ( ) n ?1 ? 2 2

1 3(1 ? n ) 1 1 1 n 2 ? n ? 6(1 ? 1 ) ? n …………8 分 所以 Tn ? 3(1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 ) ? ? 1 2 2 2 2 2 2n 2 1? 2 2n ? 7 12k 因为不等式 对任意 n ? N* 恒成立 ? 2n ? 7 ,化简得 k ? n 2 (12 ? n ? 2Tn )
………10 分 设 cn ?
2n ? 7 2(n ? 1) ? 7 2n ? 7 9 ? 2n ? ? n ?1 …………11 分 ,则 cn ?1 ? cn ? n 2 2n ?1 2n 2

当 n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为单调递减数列,当 1 ? n ? 5 , cn?1 ? cn , {cn } 为单调递增数列
1 3 3 ? c4 ? c5 ? ,所以, n ? 5 时, cn 取得最大值 …………13 分 16 32 32 2n ? 7 3 所以, 要使 k ? 对任意 n ? N* 恒成立, k ? …………14 分 n 2 32

7


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