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2014广东数学理科高考数学试题及解答


2014 广东数学理科高考数学试题及解答

选择题答案:B A C D B A D D
解:2. (3-4i)(3+4i)z=25(3-4i), z=3-4i 3. m=3,n=-3 时,m-n=6 4.∵ 0< < 9 ∴
2 25

?

2 9? 2

=

1 是双曲线, 2 =34? 2

2 25 ? 2

?

2 9

= 1 也是双曲线, 2 =34? 2 ∴焦距相等。
1 2

5.∵ 1,0, ? 1 ? 1, ? 1,0 = 1 = 2 2 ∴cosα =



6.学生总数 10000,抽 2%, 共 200 名,其中高中生 40 名,近视 50%,20 名 ∴ A 7. D

8. 没限制时,每个有 3 种选法,∴ 共有35 个不同的集合。其中不合要求的集合有: (1) 全为 0 的集合:1 个 1 (2) 中有 1 个为 0 的集合:0 有5 个选法,另 4 个位,有24 个选法,共 80 个不 同集合。(3) 中没有 0 的集合:有25 个选法,共 32 个不同集合。 ∴ 所求的集合个数为:243?80 ? 32 ? 1 = 130 二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 不等式 ? 1 + + 2 ≥ 5 的解集为 解:∵ ≥ 1 2 + 1 ≥ 5 ?2 ≤ < 1 < ?2 1≥5 ?1 ? 2 ≥ 5

∴ x ≥ 2 或 x ≤ ?3 是所求。 10. 曲线 y = ?5 + 2 在点(0,3)处的切线方程为 , 解:∵ ′ = ?5 ?5 , =0 = ?5 ∴切线为 y = ?5x + 3 11. 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为
6 解: 3 = 10

3

20 120

=6


1

12. 在?ABC中,角 A,B,C 所对应的边分别为a, b, c,已知 bcosC+ccosB=2b,则 = 解:∵ a=bcosC+ccosB=2b, ∴


=2

13. 若等比数列 的各项均为正数,且10 11 + 9 12 = 2 5 , 则 ln1 + 2 + ? + 20 = 解:∵ 正项等比数列中1 20 = 2 19 = ? = 9 12 = 10 11 ∴ ln1 + 2 + ? + 20 = ln1 2 … 20 = (1 20 )10 = ln 50 = 50

解: ? 2 = cos? 化为 2 = , ρsin? = 1 化为 y = 1 . ∴ 交点的直角坐标为(1,1)

解:∵ EB=2AE, ∴AB=3AE=DC, ∴? = ( )2 = 9
?



( )2

解:(1)∵ f( π) =
12

5

3 2

∴ =
3

2

3 2




3 2

=

3 2

, = 3
3

(2) f ? + f ?? = 3 sin ? + 4 + 3 ? + 4 = 2 3 cos 4 = 6 = 2 =
6 4

, ∵ ∈ 0, 2 ∴ =



10 4

∴f

3 4

? = 3 sin ? = 3 =

30 4

解:(1) 1 = 7, 1 = 0.28; 2 = 2, 2 = 0.08 (2) 略
4 4 (3) 任取 4 人:25 ,在(35,40]中没有人的抽法有20 ∴P=
4 ? 4 25 20 4 25

=0.6170
20 25

(注意:有一种解法:选 4 人均不在(30,35]中时,第 1 人不在的概率为 =0.8 第 2 人不在的概率不应是 是错误的) 18. 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC = 30。 ,AF ⊥ PC 于点 F FE∥CD ,交 PD 于点
20 25

,而应是

19 24

? ? , ∴ 4 人均不在的概率为(0.8)4

(1)证明:CF⊥平面 ADF (2) 求二面角 D-AF-E 的余弦值。 解:(1)证:∵ PD⊥平面 ABCD ∴ PD⊥DA ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ CD⊥DA ∵ PD∩CD=D ∴ AD⊥平面 PCD ∴ AD⊥PC ∵ AF ⊥ PC 于点 F, AF∩ AD = A , ∴ CF⊥平面 ADF (2)解:设 AD=1,则 CD=1 , ?PDC 中,∠DPC = 30。 ∠PDC= 90。 ∴ PC=2, PD= 3 , ∵CF⊥平面 ADF, ∴CF⊥DF, DF= ∵ FE∥CD, ∴EF⊥DP,且
3 2

CF=

1 2

=



,DE=

×

=

3 4

,EF=

3 4

以 D 为坐标原点,DP 为 x 轴正向建立空间直角坐标系。则: D(0,0, 0),P( 3,0,0), C(0,1,0) ,E(
3 3 4

, 0, 0) , (
3 4

3 4

, ,0),A(0,0,1)
4

3

= ( 3,-1,0), = ( 4 , 0, ?1) , = (0, 是平面 AED 的法向量, = (x, y, 1)是平面 AEF 的法向量, ∴

, 0)

· = (, , 1) ·( 4 , 0, ?1)= 4 ? 1 = 0 · = , , 1 · 0,
3 4

3

3

,0 =

3 4

= 0

∴ x=

4 3 3

, y=0 ,∴ = (

4 3 3

, 0,1)
·

与 的夹角为 α,cosα =

| || 2



|

=

4 2×
57 3

=

2 19

57

即二面角 D-AF-E 的余弦值为:19 57, 19.数列 的前 n 项和 = 2 +1 ? 32 ? 4 (n ∈ +),且3 = 15 (1)求1 , 2 , 3 的值 (2)求数列 的通项公式 解:(1)∵ = 2 +1 ? 32 ? 4 ∴3 = 64 ? 39 = 15 4 = 9 2 = 43 ? 20

3 = 35 ? 43 3 = 7 1 = 22 ? 7 2 = 15 ? 22 2 = 5 1 = 3 (2) = 2 +1 ? 32 ? 4 ∴ ?1 = 2( ? 1) ? 3( ? 1)2 ? 4(-1) ∴ = 2 +1 ? 2 ? 1 ? 6 ? 1 +1 =
2?1 2

+

6 +1 2

由(1)猜想 = 2 + 1,即数列 是首项1 = 3,公差为 2 的等差数列。 下面用数学归纳法证明: n = 1时,1 = 3 = 2 × 1 + 1,命题成立。 设n = k 时 = 2 + 1 成立,
1 6 +1 2?1 6 +1 4 那么n = k + 1 时, +1 = 2? + = 2 + 1 + = 2 2 2 2
2 ?1+6 +1

2

= 2 + 3

命题也成立。 ∴ 数列 的通项公式是 = 2 + 1 20.已知椭圆 C: 2 + 2 = 1 > > 0 的一个焦点坐标为
2 2

5,0 ,离心率 e =

5 3

(1)求椭圆的 C 标准方程 (2)若动点P(0 , 0 )为椭圆 C 外一点,并且P到椭圆 C 的两条切线互相垂直,求点 P 的轨 迹方程。 解: (1)∵c= 5, (2)


=

5 3

, ∴ a=3, b=2, 椭圆的 C 标准方程为

2 9

+

2 4

= 1.

∵P(0 , 0 ), 设过 P 的椭圆的切线斜率为 k, 切线方程为: y =k(x-0 ) + 0 , 于是 4 2 +9( ? 0 + 0 )2 ? 36 = 0 的?= 0. (4+9 2 ) 2 + 18 0 ? 0 + 9(0 ? 0 )2 -36=0 ?= (18 0 ? 0 )2 ? 4(4 + 9 2 )(9 0 ? 0 2 ? 36) = 0 9 2 (0 ? 0 )2 ? 4 + 9 2 [ 0 ? 0 2 ? 4] = 0 4 4 + 9 2 ? 4 (0 ? 0 )2 =0 4+9 2 ? 0 ? 0 2 = 0 (9 ? 0 2 ) 2 +20 0 +4 ? 0 2 = 0 1 2 = 4 ? 0 2 9 ? 0 2
4?
2 0

当切线互相垂直时:1 2 = ?1 ∴9? 0 2 = ?1 ∴ 0 2 + 0 2 = 13 当 0 2 + 0 2 = 13 时,∴9? 0 2 = ?1 ∴1 2 = ?1,切线互相垂直。
0

4?

2

∴ 点 P 的轨迹方程:0 2 + 0 2 = 13 21.设函数 , f(x) =
1 ( 2 +2 + )2 +2 2 +2 + ?3

其中 k<-2.

(1)求 f(x)的定义域 D。 (用区间表示)

(2)讨论 f(x)在 D 上的单调性。 (3)若 k<-6,求 D 上满足条件 f(x)>f(1)的 x 的集合。 解:(1) 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 + ? 3 > 0 ( 2 + 2 + + 3)( 2 + 2 + ? 1) > 0 2 + 2 + > 1 或 2 + 2 + < ?3 由 2 + 2 + > 1 得 2 + 2 + ? 1 > 0 x > ?1 + 2 ? 或 x < ?1 ? 2 ? 由 2 + 2 + < ?3 得 2 + 2 + + 3 < 0 ?1 ? ?2 ? < < ?1 + ?2 ? ∴ 所求 D 为: ( ? ∞ , ? 1 ? 2 ? ) ∪ (?1 ? ?2 ? , ? 1 + ?2 ? ) ∪ (?1 + 2 ? , + ∞ ) (2) ∵f(x) =
1 ( 2 +2 + )2 +2 2 +2 + ?3

=

1 ( 2 +2 + +1)2 ?4

=

1 ? x+1 2 + ]2 ?4

.

可见 f(x)关于 x=-1 对称。∴ 我们先考察 x≤ ?1 区间的情况。 令1 < 2 < ?1 ? 2 ? ∵g(x)= 2 + 2 + ? 1 在(-∞,-1)上单调递减, g(1 ) + 2 = 1 2 + 21 + + 1 > g(2 ) + 2 = 2 2 + 22 + + 1 >2 (1 2 + 21 + + 1)2 > (2 2 + 22 + + 1)2 > 4 (1 2 + 21 + + 1)2 ? 4 > (2 2 + 22 + + 1)2 ? 4 > 0 (1 2 + 21 + + 3)(1 2 + 21 + ? 1)> (2 2 + 22 + + 3)(2 2 + 22 + ? 1) > 0 ∴ 0 < (1 ) < (2 ) ∴ ?∞ , ? 1 ? 2 ? 为 ()的单调增区间。 又令?1 ? ?2 ? < 1 < 2 ≤ ?1 ? ?2 ? < 1 + 1 < 2 + 1 ≤ 0 0≤ (2 + 1)2 <(1 + 1)2 <-2-k k ≤ 2 2 + 22 + 1 + < 1 2 + 21 + 1 + <-2 2 ≥ 2 2 + 22 + 1 + k 2 > 1 2 + 21 + 1 + k 2 > 4 2 2 + 22 + 1 + k 2 ? 4 > 1 2 + 21 + 1 + k 2 ? 4 > 0 ∴ 2 < 1 ∴ (?1— 2 ? , ?1) 是 ()的减函数区间。 ∵ f(x)关于 x=-1 对称, ∴(?1 + 2 ? , + ∞ )为单调减区间。 [?1, ? 1 + ?2 ? ),是 的增函数区间。 综上所述: 的减函数区间: (?1 ? ?2 ? , ?1] , (?1 + 2 ? , +∞) 的增函数区间: ?∞ , ? 1 ? 2 ? ,[?1, ?1 + ?2 ? ) (3)∵k<-2 时, 的单调区间已求, ∴ k < ?6 时,单调区间不变。 当 = 1 时 2 + 2 + 1 + k 2 ? 4= 4 + k 2 ? 4 2 + 2 + 1 + k 2 = 4 + k 2 ∵k<-6 ∴( 2 + 2 + 5 + 2k )( 2 + 2 ? 3) = 0 x=-3, x=1, x=-1± ?2 ? 4 1 = ?3 = ?1 ± ?2 ? 4 当 > 1 时,在减区间中,x < 1 ;在增区间中,x>1 当 > ?3 时,在减区间中,x < ?3 ;在增区间中,x>-3 当 > ?1 ? ?2 ? 4 时,在减区间中,x < ?1 ? ?2 ? 4 ;在增区

间中,x>?1 ? 当 间中,x>?1 + 又

?2 ? 4 > ?1 + ?2 ? 4 时,在减区间中,x < ?1 + ?2 ? 4 ;在增区 ?2 ? 4 关于 x = ?1 对称,k < ?6, 1 ∈ [?1, ?1 + ?2 ? ] -3∈ (?1 ? ?2 ? , ?1] -1- ?2 ? 4 ∈ ?∞ , ? 1 ? 2 ? -1+ ?2 ? 4 ∈ (?1 + 2 ? , +∞) ∴x∈ (1, ?1 + ?2 ? ) ∪(?1— 2 ? , ?3) ∪ ?1 ? ?2 ? 4 , ? 1 ? 2 ? ∪ (?1 + 2 ? , ?1 + ?2 ? 4)为所求。


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