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天津市第一中学2014-2015学年高三数学下学期4月月考试卷 文(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

2014-2015 学年天津一中高三(下)4 月月考数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题所给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知 a,b∈R,i 为虚数单位,若 A. 2 B. 3 C. 4 D

. 5 考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的除法运算化简等式右侧,然后由复数相等的条件列式求解 a,b 的值,则 答案可求. 解答: 解:由 ,得 , ∵a,b∈R, ∴ , ,则实数 a+b=( )

即 a=2,b=1. ∴a+b=3. 故选:B. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数的分类,是基础题.

2. (5 分)已知点 P(x,y)在不等式组

表示的平面区域上运动,则 z=x+y 的

取值范围是( ) A. [﹣2,﹣1] B. [﹣2,1] C. [﹣1,2] D. [1,3] 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,通过平移从而求出 z 的取 值范围. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=x+y 得 y=﹣x+z,即直线的截距最大,z 也最大. 平移直线 y=﹣x+z,即直线 y=﹣x+z 经过点 B(2,1)时,截距最大,此时 z 最大,为 z=2+1=3. 经过点 A(0,1)时,截距最小,此时 z 最小,为 z=1. ∴1≤z≤3, 故 z 的取值范围是[1,3]. 故选:D.

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点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法. 3. (5 分) 执行如图所示的程序框图, 若输出的 b 的值为 31, 则图中判断框内①处应填 ( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点: 程序框图. 专题: 阅读型. 分析: 框图中给出了两个累加变量,a、b,b 累加的次数与 a 的大小有关,现在题目给出了 算法结果,解答时可把每一次运算写出,从而得到输出 b=31 时 a 的值. 解答: 解:第一次运算为 b=3,a=2,第二次运算为 b=7,a=3,第三次运算为 b=15,a=4,第 四次运算为 b=31,a=5,第五次运算不满足条件,输出 b=31,所以 a≤4, 故选 B. 点评: 本题考查了程序框图中的当型循环结构,当型循环结构是先判断再执行,若满足条件 则进入循环体,否则结束循环. 4. (5 分) “a=1”是“函数 f(x)=|x﹣a|+b(a,b∈R)在区间[1,+∞)上为增函数”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 根据函数的单调性的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:当 a=1 时,f(x)=|x﹣1|+b 在[1,+∞)上为增函数; 反之,f(x)=|x﹣1|+b 在区间[1,+∞)上为增函数,则 a≤1, 故“a=1”是“函数 f(x)=|x﹣a|+b(a,b∈R)在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必 要条件,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选:A.

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角函数的图象和性质是解决本题的 关键. 5. (5 分)设 a=log54,b=(log53) ,c=log45 则( ) A. a<c<b B. b<c<a C. a<b<c D. b<a<c 考点: 对数的运算性质;对数函数的单调性与特殊点;不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 因为 a=log54<log55=1,b=(log53) <(log55) ,c=log45>log44=1,所以 c 最大, 排除 A、B;又因为 a、b∈(0,1) ,所以 a>b,排除 C. 2 2 解答: 解:∵a=log54<log55=1,b=(log53) <(log55) ,c=log45>log44=1, ∴c 最大,排除 A、B;又因为 a、b∈(0,1) ,所以 a>b, 故选 D. 点评: 本题考查对数函数的单调性,属基础题. 6. (5 分) (2015?沈阳模拟)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,|φ |< 周期是 π , 若其图象向右平移 A. 关于点( C. 关于点(
2

)的最小正 )

个单位后得到的函数为奇函数, 则函数 y=f (x) 的图象 ( 对称 对称

,0)对称 B. 关于直线 x= ,0)对称 D. 关于直线 x=

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由周期求出 ω =2,故函数 f(x)=sin(2x+φ ) ,再根据图象向右平移 到的函数 y=sin(2x﹣ 它的对称性. +φ ]是奇函数,可得 φ =﹣ 个单位后得

,从而得到函数的解析式,从而求得

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:由题意可得 =π ,解得 ω =2,故函数 f(x)=sin(2x+φ ) ,其图象向右平移

个单位后得到的图象对应的函数为 y=sin[2(x﹣ )+φ ]=sin(2x﹣ +φ ]是奇函数,又|φ |< 时,函数 f(x)=sin ,故 φ =﹣ ,

故函数 f(x)=sin(2x﹣ (2x﹣ ) 关于直线 x=

) ,故当 x= 对称,

=1,故函数 f(x)=sin

故选:D. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,正弦函数 的对称性,属于中档题. 7. (5 分) (2015?山东校级模拟)已知 A,B 是圆 O:x +y =1 上的两个点,P 是 AB 线段上的动 点,当△AOB 的面积最大时,则 A. ﹣1 B. 0 C. D. ? ﹣ 的最大值是( )
2 2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意知当∠AOB= 标,可得 ? ﹣ 时,S 取最大值 ,此时 ⊥ ,建立坐标系可得 A、B、P 的坐

为关于 x 的二次函数,由二次函数的最值可得. || |sin∠AOB

解答: 解:由题意知:△AOB 的面积 S= | = ×1×1×sin∠AOB= sin∠AOB, 当∠AOB= 时,S 取最大值 ,此时 ⊥



如图所示,不妨取 A(1,0) ,B(0,1) ,设 P(x,1﹣x) ∴ ? ﹣ = ?( ﹣ )=

=(x﹣1,1﹣x)?(﹣x,x﹣1) =﹣x(x﹣1)+(1﹣x) (x﹣1) 2 =(x﹣1) (1﹣2x)=﹣2x +3x﹣1,x∈[0,1] 当 x= 故选:C = 时,上式取最大值

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点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,涉及三角形的面积公式和二次函数的最值,属中 档题. 8. (5 分) (2014?日照二模) 设f (x) 是定义在 R 上的偶函数, 且f (2+x) =f (2﹣x) , 当 x∈[﹣ 2,0]时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6)内,函数 y=f(x)﹣loga(x+2) , (a>0, )
x

a≠1)恰有 1 个零点,则实数 a 的取值范围是(

A. (1,4) B. (4,+∞) C. ( ,1)∪(4,+∞) D. (0,1)∪(1,4)

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 数形结合法;函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2+x)=f(2﹣x) ,推出函数 f(x)是以 4 为 最小正周期的函数,结合题意画出在区间(﹣2,6)内函数 f(x)和 y=loga(x+2)的图象, 注意对 a 讨论,分 a>1,0<a<1,结合图象即可得到 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 又 f(2+x)=f(2﹣x) , 即 f(x+4)=f(﹣x) ∴f(x+4)=f(x) , 则函数 f(x)是以 4 为最小正周期的函数, ∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴当 x∈[0,2]时,f(x)=( ) ﹣1,
﹣x

) ﹣1,

x

结合题意画出函数 f(x) 在 x∈(﹣2,6)上的图象 与函数 y=loga(x+2)的图象, 结合图象分析可知, 要使 f(x)与 y=loga(x+2)的图象, 恰有 1 个交点,

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则有 0<a<1 或



解得 0<a<1 或 1<a<4, 即 a 的取值范围是(0,1)∪(1,4) . 故选:D.

点评: 本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用,同时考查数形结合的数学思想方法, 以及对底数 a 的讨论,是一道中档题. 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,将答案填在题中横线上) 9. (5 分)已知集合 M={﹣1,1}, ,则 M∩N= {﹣1} .

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 把集合 N 中的不等式变形后,利用指数函数的单调性列出关于 x 的不等式,求出解集 中的整数解即可得到集合 N 的元素,然后利用求交集的法则求出 M 与 N 的交集即可. ﹣1 x+1 2 解答: 解:集合 N 中的不等式可化为:2 <2 <2 , x 因为 2>1,所以指数函数 y=2 为增函数,则﹣1<x+1<2 即﹣2<x<1,由 x∈Z 得到 x 的值 可以是﹣1 和 0 所以 N={﹣1,0},则 M∩N═{﹣1,1}∩{﹣1,0}={﹣1} 故答案为:{﹣1} 点评: 本题属于以函数的单调性为平台,求集合的交集的基础题,是高考常会考的题型.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 10. (5 分) (2015 春?天津校级月考)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直 径为 4,该几何体的体积为 V1.直径为 4 的球的体积为 V2,则 V1:V2= 1:2 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图先起床该几何体的条件,结合球的体积公式进行比较即可. 解答: 解:由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥, 它们的底面半径为 2,高为 2, 故该几何体的体积 V1= 球的体积 V2= , ,

则 V1:V2=



故答案为:1:2 点评: 本题主要考查空间几何体的体积的计算,根据三视图求出几何体的体积是解决本题的 关键.

11. (5 分) (2015?上饶二模)以抛物线 y =20x 的焦点为圆心,且与双曲线: 条渐近线都相切的圆的方程为 (x﹣5) +y =9 .
2 2

2

的两

考点: 双曲线的简单性质;直线与圆的位置关系. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定抛物线的焦点,双曲线的渐近线方程,求出圆的半径,即可得到圆的方程. 解答: 解:抛物线 y =20x 的焦点坐标为(5,0) ,双曲线: 3x±4y=0 由题意,r =3,则所求方程为(x﹣5) +y =9
2 2 2 2 2

的两条渐近线方程为

故答案为: (x﹣5) +y =9. 点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题.

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12. (5 分) (2015?西安校级模拟)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,PA 是⊙O 的切线,PB 交 AC 于点 E,交⊙O 于点 D.若 PA=PE,∠ABC=60°,PD=1,PB=9,则 EC= 4 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 利用切割线定理结合题中所给数据,得 PA=3,由弦切角定理结合有一个角为 60°的 等腰三角形是正三角形,得到 PE=AE=3,最后由相交弦定理可得 BE?DE=AE?CE,从而求出 EC 的长. 2 解答: 解:∵PA 是圆 O 的切线,∴PA =PD?PB=9,可得 PA=3. ∵∠PAC 是弦切角,夹弧 ADC,∴∠PAC=∠ABC=60°, ∵△APE 中,PE=PA,∴△APE 是正三角形,可得 PE=AE=PA=3. ∴BE=PB﹣PE=6,DE=PE﹣PD=2 ∵圆 O 中,弦 AC、BD 相交于 E, ∴BE?DE=AE?CE,可得 6×2=3EC,∴EC=4, 故答案为:4. 点评: 本题在圆中给出切线,并且以切线长为一边作正三角形的情况下,求线段的长度.着 重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识,属于中档题.

13. (5 分) (2013 秋?启东市校级期中) 如图, 在等腰三角形 ABC 中, 底边 BC=2, = 若 =﹣ ,则 = .

, =



考点: 平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 可取 BC 的中点 O 作为坐标建立坐标系.利用向量的坐标运算,求出两向量的坐标, 即可得出答案. 解答: 解:∵在等腰三角形 ABC 中,底边 BC=2, ∴可取 BC 的中点 O 作为坐标原点建立如图所示的坐标系. ∴B(﹣1,0) ,C(1,0) ,设 A(0,a) (a>0) ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵ ∴ ∵ = ,∴D 为 AC 的中点,∴D( , ) , =(1,﹣a) , =﹣ ,解得 a=2 = ,∴ , , )

=( , ) , =﹣ ,∴

∴A(0,2) ,又∵ ∴ ∴ ∴ = =(

=(0,2)

(﹣1,﹣2)=( , )

, )﹣(1,0)=( =( , )?( ,1)=

故答案为:

点评: 本题考查数量积的运算,建立平面直角坐标系是解决问题的关键,属中档题. 14. (5 分) (2015 春?天津校级月考)已知函数

,则方程 g[f(x)]﹣a=0(a

为正实数)的实数根最多有

6 个.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先在同一个坐标系中,分别作出函数 f(x)和 g(x)的图象,如图所示.方程 g[f (x)]﹣a=0,即方程 g[f(x)]=a, 令 f(x)=m,则函数 y=f(x)的图象可知,方程 f(x)=m 最多有三个实数根,且当﹣3<m <1 时,方程 f(x)=m 有三个实数根,另外,由函数 y=g(x)的图象可知,方程 g(n)=a 最多有两个实数根.取 a= ,从而 g[f(x)]=a 的实数根最多有 6 个.

解答: 解:在同一个坐标系中,分别作出函数 f(x)和 g(x)的图象,如图所示.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 方程 g[f(x)]﹣a=0,即方程 g[f(x)]=a, 令 f(x)=m,则函数 y=f(x)的图象可知,方程 f(x)=m 最多有三个实数根,且当﹣3<m <1 时,方程 f(x)=m 有三个实数根, 另外,由函数 y=g(x)的图象可知,方程 g(n)=a 最多有两个实数根. 取 a= ,令 g(n)= ,则函数 y=g(x)的图象可知,方程 g(n)= 有两个实数根,且此

两个实数根均在区间(0,1)上, 从而 g[f(x)]= 故答案为:6. 有六个实数根,且是最多的.

点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,考查数形结合思想.其中分析内外 函数的图象是解答本题的关键. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (13 分) (2014?重庆)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图: (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (Ⅰ)根据频率分布直方图求出 a 的值; (Ⅱ)由图可知,成绩在[50,60)和[60,70)的频率分别为 0.1 和 0.15,用样本容量 20 乘 以对应的频率,即得对应区间内的人数,从而求出所求. (Ⅲ)分别列出满足[50,70)的基本事件,再找到在[60,70)的事件个数,根据古典概率 公式计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得 a=0.005. (Ⅱ)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2, 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (Ⅲ)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A,B,成绩落在[60,70)中的 3 人为 C,D,E,则 成绩在[50,70)的学生任选 2 人的基本事件有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个, 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 CD,CE,DE 共 3 个, 故所求概率为 P= .

点评: 本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用,属于中档题. 16. (13 分) (2014?日照二模)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,|φ |< 的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式,并写出 f(x)的单调减区间; (2)△ABC 的内角分别是 A,B,C,若 f(A)=1,cosB= ,求 sinC 的值.



考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由图象易知 A=1, T= ,可知 ω =2,函数图象过( ,1) ,|φ |< 可求得

φ ,从而可得函数 f(x)的解析式,继而可得 f(x)的单调减区间; (2)由(I)可知,sin(2x+ )=1,从而可求得 A= ,sinB= ,于是利用两角和的正弦

求得 sinC 的值. 解答: 解: (1)由图象最高点得 A=1,?(1 分) 由周期 T= ∴T=π = 当 x= = ,

,解得 ω =2.?(2 分) 时,f(x)=1,可得 sin(2? +φ )=1,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵|φ |< ∴φ = . ) .?(4 分) ,kπ + ],k∈Z.?(6 分) ,

∴f(x)=sin(2x+

由图象可得 f(x)的单调减区间为[kπ + (2)由(I)可知,sin(2x+ ∵0<A<π , ∴ <2A+ = < ,A= , .?(8 分) )=1,

∴2A+

∵0<B<π , ∴sinB= = .?(9 分)

∴sinC=sin(π ﹣A﹣B)=sin(A+B) ?(10 分) =sinAcosB+cosAsinB = × + = × .?(12 分)

点评: 本题考查由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式,考查三角函数中的恒等变换 应用,考查运算求解能力,属于中档题. 17. (13 分) (2013?天津校级模拟)如图在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方 形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= (Ⅰ) 求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ) 求证:面 PAB⊥平面 PDC; (Ⅲ) 求二面角 B﹣PD﹣C 的正切值. AD,设 E、F 分别为 PC、BD 的中点.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (Ⅰ)利用线面平行的判定定理:连接 AC,只需证明 EF∥PA,利用中位线定理即可 得证; (Ⅱ)利用面面垂直的判定定理:只需证明 PA⊥面 PDC,进而转化为证明 PA⊥PD,PA⊥DC, 易证三角形 PAD 为等腰直角三角形,可得 PA⊥PD;由面 PAD⊥面 ABCD 的性质及正方形 ABCD 的性质可证 CD⊥面 PAD,得 CD⊥PA; (Ⅲ)设 PD 的中点为 M,连结 EM,MF,则 EM⊥PD,由(Ⅱ)可证 PD⊥平面 EFM,则∠EMF 是 二面角 B﹣PD﹣C 的平面角,通过解 Rt△FEM 可得所求二面角的正切值; 解答: (Ⅰ)证明:ABCD 为平行四边形, 连结 AC∩BD=F,F 为 AC 中点,E 为 PC 中点, ∴在△CPA 中 EF∥PA,且 PA? 平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD; (Ⅱ)证明:因为面 PAD⊥面 ABCD,平面 PAD∩面 ABCD=AD,ABCD 为正方形, ∴CD⊥AD,CD? 平面 ABCD, 所以 CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PA, 又 , ,即 PA⊥PD,

所以△PAD 是等腰直角三角形,且

CD∩PD=D,且 CD、PD? 面 ABCD,PA⊥面 PDC, 又 PA? 面 PAB, ∴面 PAB⊥面 PDC; (Ⅲ)解:设 PD 的中点为 M,连结 EM,MF,则 EM⊥PD, 由(Ⅱ)知 EF⊥面 PDC,EF⊥PD,PD⊥面 EFM,PD⊥MF,∠EMF 是二面角 B﹣PD﹣C 的平面角,

Rt△FEM 中,







故所求二面角的正切值为



点评: 本题考查线面平行、面面垂直的判定及二面角的求解,考查学生的推理论证能力及逻 辑思维能力,属中档题. 18. (13 分) (2015?天津校级模拟)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an+1=2Sn+2(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式;
*

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 dn 的等差数列,设数列{ n 项和为 Tn,证明 Tn< . }的前

考点: 数列的求和;等比数列的性质;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. n﹣1 分析: (1)由已知得 an+1﹣an=2an,a2=3a1,a2=2a1+2,由此能求出 an=2?3 . (2)由已知得 ,由此利用错位相减法能证明 Tn=
* *





解答: (1)解:∵an+1=2Sn+2(n∈N ) ,∴an=2Sn﹣1+2(n∈N ,n≥2) , 两式相减,得 an+1﹣an=2an, 即 an+1=3an,n≥2, ∵等比数列{an},∴a2=3a1, 又 a2=2a1+2,∴a1=2, n﹣1 ∴an=2?3 . (2)证明:由(1)得 ∵an+1=an+(n+1)dn, ∴ ∴Tn= = ①﹣②,得 = , ,① ,② ﹣ , ,

=



= ∴Tn=

, < .

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意错位 相减法的合理运用.

19. (14 分) (2015 春?天津校级月考)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1,F2,上顶点为 A,在 x 轴负半轴上有一点 B,满足

=

,且 AB⊥AF2.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)D 是过 A、B、F2 三点的圆上的点,D 到直线 l:x﹣ y﹣3=0 的最大距离等于椭圆长轴 的长,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P(m,0) ,求实数 m 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)连接 AF1,由 AB⊥AF2,BF1=F1F2,得 AF1=F1F2,由此能求出椭圆的离心率. (Ⅱ)由 ,得 c= ,从而 F2( ,0) ,B(﹣ ,0) ,由 D 到直线 l:x﹣ ﹣3=0

的最大距离等于 2a,得圆心到直线的距离为 a,由此能求出椭圆方程.

(Ⅲ)由 F2(1,0) , 得 l: y=k(x﹣1) , 联立

,得 (3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,

2

2

2

2

由此能求出实数 m 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)连接 AF1,因为 AB⊥AF2,BF1=F1F2,所以 AF1=F1F2, 即 a=2c,故椭圆的离心率 e= . (Ⅱ)由(1)知 于是 F2( ,得 c= ,

,0) ,B(﹣

,0) , ,半径 r= |F2B|=a,

Rt△ABC 的外接圆圆心为 点 D 到直线 l:x﹣ 所以

﹣3=0 的最大距离等于 2a,所以圆心到直线的距离为 a, ,

=a,解得 a=2,∴c=1,b=

所求椭圆方程为



(Ⅲ)由(Ⅱ)知 F2(1,0) ,l:y=k(x﹣1) ,

联立

,得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0,

2

2

2

2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∵l 过点 F2,∴△>0 恒成立, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2= ,y1+y2=k(x1+x2﹣2)= ,

MN 中点(



) ,

当 k=0 时,MN 为长轴,中点为原点,则 m=0, 当 k≠0 时,MN 中垂线方程 y+ =﹣ (x﹣ ) .

令 y=0,∴m=

=







,∴0<m< ,

综上实数 m 的取值范围是[0, ) .

点评: 本题考查椭圆的离心率的求法,考查椭圆的方程的求法,考查实数 m 的取值范围的求 法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用. 20. (14 分) (2013?天津模拟)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=(﹣x +ax﹣3)e (其中 a 实 数,e 是自然对数的底数) . (Ⅰ)当 a=5 时,求函数 y=g(x)在点(1,e)处的切线方程; (Ⅱ)求 f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值; ﹣1 x (Ⅲ) 若存在 x1,x2∈[e ,e](x1≠x2) ,使方程 g(x)=2e f(x)成立,求实数 a 的取值 范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)写出当 a=5 时 g(x)的表达式,求出导数,求得切线的斜率和切点,再由点斜 式方程,即可得到切线方程; (Ⅱ)求出 f(x)的导数,求出极值点,讨论①当 t 的单调性,即可得到最小值; (Ⅲ) 由 g(x)=2e f(x)可得 2xlnx=﹣x +ax﹣3,得到 a=x+2lnx+ ,令 h(x)═x+2lnx+ , 求出导数,列表求出极值,求出端点的函数值,即可得到所求范围.
x 2 2 x

时,②当 0<t< 时,函数 f(x)

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解: (Ⅰ)当 a=5 时,g(x)=(﹣x +5x﹣3)e , 2 x g′(x)=(﹣x +3x+2)e , 故切线的斜率为 g′(1)=4e,且 g(1)=e, 所以切线方程为:y﹣e=4e(x﹣1) ,即 4ex﹣y﹣3e=0. (Ⅱ)f′(x)=lnx+1, 令 f′(x)=0,得 x= , ①当 t 时,在区间(t,t+2)上,f′(x)>0,f(x)为增函数,
2 x

所以 f(x)min=f(t)=tlnt, ②当 0<t< 时,在区间(t, )上 f′(x)<0,f(x)为减函数, 在区间( ,e)上 f′(x)>0,f(x)为增函数, 所以 f(x)min=f( )=﹣ ; (Ⅲ) 由 g(x)=2e f(x)可得 2xlnx=﹣x +ax﹣3 a=x+2lnx+ ,
x 2

令 h(x)═x+2lnx+ ,h′(x)=1+ ﹣

=

x ( ,1) 1 (1,e) h′(x) ﹣ 0 + h(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增 h( )= +3e﹣2,h(1)=4,h(e)= +e+2, h(e)﹣h( )=4﹣2e+ <0 则实数 a 的取值范围为(4,e+2+ ]. 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程和求极值、最值,考查分类讨论的思想方法,考查 运算能力,属于中档题.

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