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北师大版必修5高中数学第二章正弦定理课件2


正弦定理 正弦定理 回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 ? tan A A ? B ? 90? a ?b ? c b a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗? B A c a b C a b ? ?c sin A sin B sin C ? 1 a b c ? ? sin A sin B sin C 即正弦定理,定理对任意三角形

均成立. 正弦定理 正弦定理 相等,即 a b c   ? ? sin A sin B sin C 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比 正弦定理可以解什么类型的三角形问题? 一般地,把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角 形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;已知两 边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角。 正弦定理 例题讲解 例1,在?ABC中,已知 A ? 32.0 , B ? 81.8 , ? ? a ? 42.9cm, 解三角形 解:根据三角形内角和 定理, C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (32.0? ? 81.8? ) ? 66.2? a sin B 42.9 sin 81.8? 根据正弦定理,b ? ? ? 80.1(cm) ? sin A sin 32.0 a sin C 42.9 sin 66.2? 根据正弦定理,c ? ? ? 74.1(cm) ? sin A sin 32.0 正弦定理 例题讲解 例2,在?ABC中,已知 a ? 20cm, b ? 28cm, A ? 40? , 解三角形。 (角度精确到1?,边长精确到1cm) b sin A 28sin 40? 解:根据正弦定理, sin B ? ? ? 0.8999. a 20 因为0? ? B ? 180? , 所以B ? 64? , 或B ? 116? (1)当B ? 64?时,C ? 180 ? ? ( A ? B ) ? 180 ? ? ( 40? ? 64? ) ? 76? , a sin C 20 sin 76? c? ? ? 30(cm). ? sin A sin 40 (2)当B ? 116?时,C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 116? ) ? 24? , a sin C 20 sin 24? c? ? ? 13(cm). ? sin A sin 40 正弦定理 例题讲解 ?B ? 45?, ?C ? 60?, a ? 2( 3 ? 1) ,求 例3 在 ?ABC 中, ?ABC 的面积S. 解: ? ?A ? 180? ? ( B ? C ) ? 75? A 2 2( 3 ? 1)( h ) a sin B 2 ?4 ? ∴由正弦定理得 b ? sin A 三角形面积公式 B 6? 2 C 4 1 1 1 1 ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin3A S ?ABC ? aha 1 1 2 24 ? ( ) ? 6 ? 2 3 ? S ?2 ab sin C ? 2 ? 2( 3 ? 1) ? ABC ? 2 2 2 正弦定理中的比值常数 典例1 .在△ABC中,A,B,C所对的三边分别为a,b,c, 若a=2bsinA,求B。 (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( c ) A. a sin A ? b sin B C . a sin B ?

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