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2.1 函数的概念和图象 2.1.1 函数的概念、定义域、值域和图象


第2章

函数概念与基本初等函数

数学· 必修 1(苏教版)

函数概念与基本初等函数Ⅰ

2. 1

函数的概念和图象

2.1.1 函数的概念、定义域、值域和图象

“神舟七号”载人航天飞船离地面的距离随时间的变化而变化; 上网费用随着

上网的时间变化而变化; 近几十年来, 出国旅游人数日 益增多, 考古学家推算古生物生活的年代??这些问题如何描述和研 究呢?

第2章

函数概念与基本初等函数

基 础 巩 固 1.下列各图中,不可能表示函数 y=f(x)的图象的是( )

答案:B

2.下列四组中,f(x)与 g(x)表示同一个函数的是( 4 4 A.f(x)= x4,g(x)=( x)4 3 B.f(x)=x,g(x)= x3
?1?x>0?, ? C.f(x)=1,g(x)=? ? ?1?x<0?

)

第2章

函数概念与基本初等函数

x2-4 D.f(x)= ,g(x)=x-2 x+2

解析:选项 A、C、D 中两个函数的定义域不相同. 答案:B

?2x,x>0, ? 3. 已知函数 f(x)=? 且 f(a)+f(1)=0, 则 a=( ?x+1,x≤0, ?

)

A.-3

B.-1

C.1

D.3

解析:当 a>0 时,f(a)+f(1)=2a+2=0?a=-1,与 a>0 矛盾; 当 a≤0 时,f(a)+f(1)=a+1+2=0?a=-3,适合题意. 答案:A

4.定义域在 R 上的函数 y=f(x)的值域为[a,b],则函数 y=f(x +a)的值域为( )

第2章

函数概念与基本初等函数

A.[2a,a+b] B.[0,b-a]

C.[a,b]

D.[-a,a+b]

答案:C

2 ? ?x ,x>0, 5.已知 f(x)=? 则 f(2)+f(-2)的值为( ?f?x+1?,x≤0, ?

)

A.6

B.5

C.4

D.2

解析:f(2)=22=4,f(-2)=f(-2+1)=f(-1)=f(-1+1)=f(0) =f(0+1)=f(1)=12=1, ∴f(2)+f(-2)=4+1=5. 答案:B

6.函数 y=

x+1 x 的定义域为________.

第2章

函数概念与基本初等函数

解析:利用解不等式组的方法求解.
? ? ?x+1≥0, ?x≥-1, 要使函数有意义,需? 解得? ?x≠0, ?x≠0. ? ?

∴原函数的定义域为{x|x≥-1 且 x≠0}. 答案:{x|x≥-1 且 x≠0}

7.函数 f(x)=

1 的定义域是________ 1-2x

1 解析:由 1-2x>0?x< . 2
? ? 1 ? 答案:?x?x<2 ? ? ? ?

? ?3x+2,x<1, 8 . 已 知 f(x) = ? 2 若 f(f(0)) = 4a , 则 实 数 a = ?x +ax,x≥1. ?

________.

解析:∵f(0)=2,f(f(0))=f(2)=4+2a. ∴4+2a=4a?a=2.

第2章 答案:2

函数概念与基本初等函数

9.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],值域为[1,2],则 f(x+2)的定 义域是________,值域是________.

解析:∵f(x)的定义域为[0,1],∴0≤x+2≤1, ∴- 2≤x≤- 1.即 f(x+ 2)的定义域为 [- 2,- 1],值域仍然为 [1,2]. 答案:[-2,-1] [1,2]

10.对于每一个实数 x,设 f(x)是 y=4x+1,y=x+2 和 y=- 2x+4 三个函数中的最小值,则 f(x)的最大值是________.

解析:在同一坐标系中作出如下图象:图中实线部分为 f(x),则 A 的纵坐标为 f(x)的最大值, 8 ∴f(x)max= . 3

第2章

函数概念与基本初等函数

答案:

8 3

11.方程 x2-|x|+a-1=0 有四个相异实根,求实数 a 的取值范 围.

解析:原方程可化为 x2-|x|-1=-a,画出 y=x2-|x|-1 的图 象.

? 1? ∵x≥0 时,y= ? x ? ? ? 2?
x<0 时,y= ? x ?

2

5 - . 4

? ?

1? ? 2?

2

5 - . 4

? 5? 5 由图象可知,只有当- <-a<-1 时,即 a∈?1,4?时,方程才 4 ? ?

有四个相异实根.
? 5? ∴a 的取值范围是?1,4?. ? ?

第2章

函数概念与基本初等函数

能 力 提 升 12.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| )

C.f(x)=x+1

D.f(x)=-x

解析:∵|2x|=2|x|,∴A 满足;2x-|2x|=2(x-|x|)∴B 满足;- 2x=2(-x),∴D 满足;2x+1≠2(x+1);∴C 不满足. 答案:C

13.(2013· 全国卷)已知 f(x)的定义域为(-3,0),则函数 f(2x-1) 的定义域为( A.(-1,1) )
? 1? B.?-1,2? ? ?

C.(-1,0)

?1 ? D.?2,1? ? ?

第2章

函数概念与基本初等函数

1 解析:∵f(x)的定义域(-3,0),∴-3<2x-1<0?-1<x< . 2 答案:B

14.如左下图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中,H 是 圆锥形漏斗中液面下降的距离,则 H 与下降时间 t(分钟)的函数关系 用图象表示只可能是( )

答案:B

?1? ?1? x2 15. 已知函数 f(x)= 那么 f(1)+f(2)+f?2?+f(3)+f?3?+f(4) 2, ? ? ? ? 1+x

第2章
?1? +f?4?=______. ? ?

函数概念与基本初等函数

?1? x2 1 解析:f(x)= , 2,f? ?= 2 ?x? x +1 1+x ?1? f(x)+f?x?=1. ? ? ?1? ?1? ?1? 1 7 ∴f(1)+f(2)+f?2?+f(3)+f?3?+f(4)+f?4?= +1+1+1= . 2 ? ? ? ? ? ? 2

答案:

7 2

? 2? 16.已知函数 f(3x+2)的定义域是(-2,1),则函数 f(x2)-f?x+3? ? ?

的定义域为________

解析:∵f(3x+2)的定义域为(-2,1), ∴-2<x<1,∴-4<3x+2<5.

?-4<x <5, ∴? 2 - 4< x + <5. ? 3
∴- 5<x< 5. 答案:(- 5, 5)

2

第2章

函数概念与基本初等函数

? 1 ? 17.已知 a∈?-2,0?,函数 f(x)的定义域是(0,1],求 g(x)=f(x ? ?

+a)+f(x-a)+f(x)的定义域.

解析:由题设得 0<x+a≤1, ? ? ?0<x-a≤1, ? ?0<x≤1, 1 ∵- <a≤0, 2 -a<x≤1-a, ? ? 即?a<x≤1+a, ? ?0<x≤1,

1 3 1 ∴0≤-a< ,1≤1-a< , <1a≤1. 2 2 2 ∴不等式组的解集为-a<x≤1+a. ∴g(x)的定义域为(-a,1+a].

f?2? f?3? 18.已知 m,n∈N*,且 f(m+n)=f(m)· f(n),f(1)=2.求 + f?1? f?2? +?+ f?2012? 的值. f?2011?

第2章

函数概念与基本初等函数

解析:∵f(1)=2,f(m+n)=f(m)· f(n)(m,n∈N*), ∴对于任意 x∈N*,有 f(x)=f(x-1+1)=f(x-1)· f(1)=2f(x-1). ∴ f?x? f?2? f?3? f?2 012? =2,则 + + ?+ =2+2+?+2=2 011×2 f?1? f?2? f?2 011? f?x-1?

=4 022.


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§2.1.1函数的概念和图象(1)

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