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高中数学 指数函数及性质课件1 新人教A版必修1


问题1 : 如果老师让1号同学准备2粒米,2号同学
准备4粒米,3号同学准备6粒米,4 号同学准备8粒 米………..按这样的规律,60号同学要准备多少粒 米 y=2x 120粒约为5克 问题2 : 如果老师让1号同学准备2粒米,2号同学准 备4粒米,3号同学准备8粒米,4 号同学准备16粒米,5 号同学准备32粒米………..按这样的规律,60号同 学要准备多少粒米 y

=2 大约48亿吨
x

问题一:生物体内碳 含量 与死亡年指t之 含量P与死亡年指 问题一:生物体内碳14含量 与死亡年指 之 间的关系: 间的关系: t

? 1 ? 5730 P = ? ? (t ≥ 0) ? 2?

表示函数, 表示自变量可以将该函数表示为: 用y表示函数,x表示自变量可以将该函数表示为: 表示函数 表示自变量可以将该函数表示为

?1? y =? ? ? 2?

x 5730

(x ≥ 0)

问题二: 问题二:
据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前 年发表的《未来 年我国发展前 据国务院发展研究中心 年发表的 景分析》判断,未来20年 我国GDP(国内生产总值)年平 景分析》判断,未来 年,我国 (国内生产总值) 均增长率可望达到7.3%.那么,在2001~2020年,各年的 那么, 均增长率可望达到 那么 年 GDP可望为 可望为2000年的多少倍? 年的多少倍? 可望为 年的多少倍

y = (1 + 7.3%) = 1.073 x ∈ N , x ≤ 20
x x

(

+

)

?1? y =? ? ? 2?

x 5730

? ?? 1 ? = ? ? ?? 2 ? ?

x 1 5730

? ? ? ?

可1.073为底
?1? 可? ? ? 2?
1 5730

为底

用字母a代替相应的底指, 则这两个指指的解析式 都可可表示成:y = a x形式

定义: 定义:函数 y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函 叫做指数函 a>0,且
数,其中自变量
的考虑: 对常指a的考虑:
(1)若a=0,则当 >0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义 若 = ,则当x> 时 无意义. ; 时 (2)若a<0,ax没有意义. 若 < , 没有意义. (3)若a=1,则y=ax=1是一个常指指指 没有研究的必要 是一个常指指指.没有研究的必要 若 = , = 是一个常指指指

x∈R

.

y = a ( a > 0,且 a ≠ 1) 在指指 “ 为什么规定 a > 0,且 a ≠ 1” ? 呢
x

?当x > 0时,a 恒等于0 ? 若a = 0, ? x ?当x ≤ 0时,a 无意义 ?
x

1 1 若a < 0, 如y = (-4) , 则对于x = , , 4 2 ? , 在实指范围内指指值不存在。
x

若a = 1, y = 1 = 1是一个常量
x

指指指指的定义: 指指指指的定义:

指如:y = a x (a > 0, a ≠ 1)的指指称为指指指指;

其中x是自变量,定义域为: R
现在研究指指指指

( ) ?1? (1?)1yx =13 ( 3,π ) ,求(21)? y f= ? f (?3) . ; ? 的图象经过点 1 ? 2与 为例 . 可出指指 y = ? x 与 y = f (0), (1), 2 ? x+1 x 2 可a = ? ? 的图象 . (6) y = ? ? ; (7) y = 1 ; (8) y = 2 ; (9) y? =? ; (10) y ? 2 ? = 2 2 3 x
x
x x

1 x x 2x x x 先研究几个具体的指指指指的图象. ≠ 1) (1) y = 例2、已知指指指指 π ( x(4) y = a > ;0,5) y = 3 ×x2 2 ; (2) y = ? 2 ; (3) y = f ; ) = a ( 2 ( 且a x ?2
列表? ? ? ? ? ? 描点 ?2 ? ? ? ? ? 连线 2

书本练习2. 求下列指指的定义域 书本练习2 的图象与性质

例1、判断下列指指是否是指指指指: 、判断下列指指是否是指指指指:

y = a (a > 0,且 a ≠ 1)
x

[2,+∞)

(? ∞,0) ∪ (0,+∞)

y y 8 8 7 7 (1) y=2x ) x 6 6 ?1? y =? ? y=2x 5 5 ? 2? y=3x 4 4 3 3 2 2 (2)y=2-x = 1 1 y=3-x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2-1O -81 2-63-5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 5 6 7 x = -7 4 5 6 7x
● ● ●

画出下列函 数的图象: 数的图象:

? 1? y=? ? ? 3?

x

更陡峭

y = 3x

.







.

. .

.

x y=2x



-3 … 0.125
?x

-2 -1 0.25 0.5 -2 4 -1 2

0 1 0

1 2

2 4 2

3 8

… …

x

y=2

… -3 … 8

1 3 … 1 0.5 0.25 0.125 …

y

?1? y=? ? ? 2?

x

? 1? y=? ? ? 3?

x

y = 3x

y = 2x

关于y轴对称 关于 轴对称

1

底数互为 倒数的两 个指数函 数图象: 数图象:
x

0

1

y

y

y

?1? y=? ? ? 2?

x

y = ax
(a > 1)

? 1? y=? ? ? 3?

x

y = 3x

y = 2x

y = ax

(0 < a < 1)

1 1 0

1 1 0 x

x

0

x

y

图象共同特征: ● 图象共同特征:
◆图象可向左、右两方无限伸展 图象可向左、 ◆图象都在x 轴上方 图象都在 都经过坐标为( , ) ◆都经过坐标为(0,1)的点

y

y = ax
(a > 1)

y = ax

(0 < a < 1)

1◆ 0

a>1时,图象 > 时 自左至右逐渐上升
x

1 ◆ 0<a<1时,图象 < 时 自左至右逐渐下降 0

x

向上无限伸展,向下与 向上无限伸展,向下与x 轴无限接近

当 x > 0 时,y > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

y



y=a

x

y
y = ax (0 < a < 1)

(a > 1)



y =1

?(0,1)
o

当 x < 0 时,y > 1;

?
o

(0,1)

x 当 x > 0 时, 0< y < 1。

x

相 同
性 质

(1)定义域: (? ∞,+∞)

最值
奇偶性

没有最值 没有奇偶性

(2)值域 :

(0,+∞)


不 同 点

(3)过点( 0, 当 x = 0时, y = 1 1 ),
(4)在 R上是增指指

(4)在 R上是 减指指

由指指指指的研究 归纳对一般指指研究的基本方法和步骤: 归纳对一般指指研究的基本方法和步骤: 1、先给出指指的定义 、 2、可出指指图象 、 研究指指性质: 3、研究指指性质: ①定义域 ②值域 ③单调性 ④奇偶性 其它: ⑤其它:最值等

比较下列各题中两个值的大小: 比较下列各题中两个值的大小:
解(1)底指都是1.7 , 故考查指指指指 y = 1.7 1.72.5 与1.73 可可可可指指 y = 1.7 x 的两个不同指指值 ∵ y = 1.7 x 在R上是增指指 (2)可考查指指指指 y = 0.8 x

) (1) 1.72.5 , 1.73 (2)0.8-0.1, 0.8-0.2 x

又∵2 .5<3,∴ 1.7 2.5 < 1.7 3
x ∵ 0.8 <1 ∴ y = 0.8 在R上是减指指

又∵ -0.1 > - 0.2,∴

0.8 ?0.1 <

0.8 ?0.2

(1)两个同底的指指幂比较大小,可运用可该底指为底的指 两个同底的指指幂比较大小,可运用可 两个同底的指指幂比较大小 指指指的单调性 转化为指指大小进行比 的单调性, 进行比较 指指指的单调性,转化为指指大小进行比较

(3) 1.70.3 ,1

(4) 1.70.3 , 0.93.1

因为1=1.70,而由指指指指的性质知: 解: (3)因为 因为 而由指指指指的性质知: 指指y=1.7x为增指指,而0.3>0, 为增指指, 指指 > 故1.70.3 >1.70即1.70.3 > 1. 第(4) 底指和 指指都不相 由指指指指的性质知: 解:(4)由指指指指的性质知: 由指指指指的性质知 同? 1.70.3>1.7 0 =1, 0.93.1<0.90=1, 故: 1.70.3>1>0.93.1.

(2)不同底的幂的大小比较可借用中间 )不同底的幂的大小比较可借用中间 的幂的大小比较可 来比较。 或 来比较 量0或1来比较。

练习: 练习: 1. 用“>”或“<”填空: 填空: ?0.1 0.8 0.7 0.75 > 0.750.1 3 > 3 < 1.013.5 1.01
2.7

0.99

?3.3

> 9.9?4.5

2. 已知下列不等式,比较 m, n 的大小 已知下列不等式,

(1)2m < 2n ;
(2)0.2 < 0.2 ;
m n

(4)a > a (a > 1)
m n

(3)a < a (0 < a < 1)
m n

m<n m>n m>n m>n

截止到1999年底,我国人口约13亿。如果今 年底,我国人口约 亿 截止到 年底 后能将人口年平均增长率控制在1%, %,那么经 后能将人口年平均增长率控制在 %,那么经 年后, 过20年后,我国人口指最多为多少(精确到 年后 我国人口指最多为多少( 16亿 亿)?
年份

1999 2000 2001 2002 2003 …… 2019

经过的年指 0 1 2 3 4 x 20

人口指( 人口指(亿) 13
13× (1 + 1%)
13 × (1 + 1%) 3 13 × (1 + 1%)
2

13 × (1 + 1%)

13 × (1 + 1%)

4

x
20

13 × (1 + 1%)

指数增长模型
设原有量为N,平均增长率为p, 设原有量为N,平均增长率为 ,则 N,平均增长率为 对于经过时间x后的总量为可表示为: 对于经过时间 后的总量为可表示为: 后的总量为可表示为

y = N (1 + p)
指指指指指:
x

x

y = k ? a (k ∈ R, a > 0且 a ≠ 1)


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