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2016届高三数学一轮复习优题精练:数列


江苏省 2016 年高考优题精练 数列
一、填空题 1、(2015 年江苏高考)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1,则数列 ? 项和为____

?1? ? 的前 10 ? an ?

20 _____。 11

2、(2014 年江苏高考)在各项均为正数的等比数列

{an } 中,若 a2 ? 1, a8 ? a6 ? 2a2 ,则

a6 的值是



3 、 ( 2013 年 江 苏 高 考 ) 在 正 项 等 比 数 列 {an } 中 , a5 ?

1 , a6 ? a7 ? 3 , 则 满 足 2


a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值为
4、(2015 届南京、盐城市高三二模)记等差数列 数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,已知 a

1

? 2 ,且

? S ?也为等差数列,则 a
n

13 =

5、(南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))已知等差数列 ?an ? 的首 项为 4,公差为 2,前 n 项和为 Sn . 若 Sk ? ak ?5 ? 44 ( k ? N? ),则 k 的值为 ▲ . 6 、 ( 苏 锡 常 镇 四 市 2015 届 高 三 教 学 情 况 调 研 ( 二 ) ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 满 足 : 若将 a1 , a4 , a5 都加上同一个数 m , 所得的三个数依此成等比数列, 则m a1 ? ?8, a2 ? ?6 . 的值为 ▲

7、 (泰州市 2015 届高三第二次模拟考试) 在等比数列 {an } 中, 已知 a3 ? 4, a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 , 则 a7 ? ▲

8、(盐城市 2015 届高三第三次模拟考试)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若数列 ?an ? 满足 an ? Sn ? An ? Bn ? C 且 A ? 0 ,则
2

1 ? B ? C 的最小值为 A



9、 (2015 届江苏南京高三 9 月调研) 记数列{an}的前 n 项和为 Sn. 若 a1=1, Sn=2(a1+an)(n ≥2,n∈N*),则 Sn= ▲ 10、(2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且
a1 ? a3 ? 1 ? a2 ? a4, S4 ? 2 ,则数列 {an } 的公比 q 为
1



11、 (2015 届江苏苏州高三 9 月调研)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数 , a3 ? 4, a6 ? 则 a4 ? a5 ? ▲

1 , 2

12、 (苏州市 2015 届高三上期末) 已知等差数列 {an } 中, 若前 5 项的和 S5 ? 5 , a4 ? a6 ? 10 , 则其公差为 13、(泰州市 2015 届高三上期末)等比数列 {an } 中, a1 ? 32a6 ? 0 , a3a4 a5 ? 1 ,则数列 的前 6 项和为 ▲

14、(无锡市 2015 届高三上期末)已知数列 {an } 的首项 a1 = 1,前 n 项和为 Sn ,且满
* 足 2an + 1 + Sn = 2 n ? ? ,则满足

(

)

1001 S2n 11 的 n 的最大值为 < < 1000 Sn 10
1 2
n ?1

15、(扬州市 2015 届高三上期末)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 an ? 4 ? (? ) 对任意 n ? N * ,都有 1 ? p(Sn ? 4n) ? 3 ,则实数 p 的取值范围是____

,若

二、解答题 1、(2014 年江苏高考)设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列, (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列;
2 3 4 (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 依次构成等比数列?并说明理由; , a3 , a4 n n? k n?2k n ?3k (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列?并说 , a2 , a3 , a4
a a a a

明理由。

2、 (2014 年江苏高考)设数列{

}的前 n 项和为

.若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,

使得

,则称{

}是“H 数列。 ”

(1)若数列{

}的前 n 项和

=

(n

) ,证明:{

}是“H 数列” ;

(2)设数列{

}是等差数列,其首项

=1.公差 d 0.若{
2

}是“H 数列” ,求 d 的值;

(3)证明:对任意的等差数列{

},总存在两个“H 数列” {

}

和{

},使得

=

(n

)成立。

3、(2013 年江苏高考)设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项 和。记 bn ?

nS n * , n ? N ,其中 c 为实数。 2 n ?c

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N * ); (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 。

4、(2015 届南京、盐城市高三二模)给定一个数列{an},在这个数列里,任取 m(m≥3,m ∈N*)项,并且不改变它们在数列{an}中的先后次序,得到的数列称为数列{an}的一个 m 阶 子数列. 1 已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*,a 为常数),等差数列 a2,a3,a6 是数列 n+a {an}的一个 3 阶子数列. (1)求 a 的值; 1 (2)等差数列 b1,b2,?,bm 是{an}的一个 m (m≥3,m∈N*) 阶子数列,且 b1= (k 为 k 常数, k∈N*,k≥2),求证:m≤k+1; (3)等比数列 c1,c2,?,cm 是{an}的一个 m (m≥3,m∈N*) 阶子数列, 求证:c1+c2+?+cm≤2- 2
m-1.

1

5、(南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))设 ?an ? 是公差为 d 的等差 数列, ?bn ? 是公比为 q ( q ? 1 )的等比数列.记 cn ? an ? bn . (1)求证:数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 为等比数列; (2)已知数列 ?cn ? 的前 4 项分别为 4,10,19,34. ① 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
3

② 是否存在元素均为正整数的集合 A ? ?n1 , n 2 ,?, nk ? ( k≥4 , k ? N? ),使 得数列

cn1 , cn2 ,?, cnk 为等差数列?证明你的结论.

6、 (苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研 (二) ) 已知 ? , ? 为常数, 且为正整数,? ? 1 , 无穷数列 ?an ? 的各项均为正整数, 其前 n 项和为 Sn , 对任意正整数 n , 数 Sn ? ?an ? ? . 列 ?an ? 中任意两不同项的和构成集合 A (1)证明无穷数列 ?an ? 为等比数列,并求 ? 的值; (2)如果 2015 ? A ,求 ? 的值; (3)当 n ? 1 时,设集合 Bn ? x 3? ? 2 求数列 ?bn ? 的通项公式

?

n ?1

? x ? 3? ? 2n , x ? A 中元素的个数记为 bn

?

7、 (泰州市 2015 届高三第二次模拟考试)已知 an ? , bn ? , cn ? 都是各项不为零的数列, 且满足 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? cn Sn , n ? N ,其中 Sn 是数列 an ? 的前 n 项和,
?

?

?

?

?

?c ? 是
n

公差为 d (d ? 0) 的等差数列. (1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ?n ( ? 是不为零的常数),求证:数列 bn ? 是等差数列; (3)若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为常数, k ? N ), bn ? cn? k (n ? 2, n ? N? ) ,求证:对任意 的 n ? 2, n ? N? ,数列 {
?

?

?

?

bn } 单调递减. an

8、 (盐城市 2015 届高三第三次模拟考试) 设函数 f ( x) ?

1 2 2 (其中 p ? q ? 0 ), 1+px ? qx 2

且 存 在 无 穷 数 列

?an ?

, 使 得 函 数 在 其 定 义 域 内 还 可 以 表 示 为

f ( x) ? 1 ? a1x ? a2 x2 ??? an xn ? ? .
4

(1)求 a2 (用 p, q 表示); (2) 当 p ? ?1, q ? ?1 时, 令 bn ?

3 an?1 Sn ? ; , 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 求证: 2 an an ? 2

(3)若数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,求 ?an ? 的通项公式.

9、(2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等 比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和.

a1 ? 1 , 2a2 ? a1 ? a3 , 10、 (2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研) 已知无穷数列 {an } 满足:
2 ? an an ? 2 ? 4 . 且对于任意 n ? N* ,都有 an ? 0 , an ?1

(1)求 a2 , a3 , a4 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式. 11、 (连云港、 徐州、 淮安、 宿迁四市 2015 届高三上期末) 在数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? a2 ? 1 , 且满足 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 , n ? N , ? 为常数.
*

(1)证明: a1 , a4 , a5 成等差数列;

(2)设 cn ? 2an?2 ?an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)当 ? ? 0 时,数列 ?an ?1 ? 中是否存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, a p?1 ? 1 成等比数列, 且 s , t , p 也成等比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由. 12、 (南京市、盐城市 2015 届高三上期末)设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1a5 ? 64 , S5 ? S3 ? 48 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三 项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? anb1

5

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 ? an ? 个元素,试求 ? 的取值范围.
1 an ?1 ? ? 2?n ? N* ? , 2 an

13、 (南通市 2015 届高三上期末)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 则称 {an } 是“紧密数列”.

?1? 若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 4 ? n 2 ? 3n ?? n ? N * ? ,证明: {an } 是“紧密数列”;
? 2 ? 设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列.若数列 {an } 与 {Sn } 都是“紧密数列”,求. q 的取值范
围.

1

?1 ? an ? n (n为奇数) 14、 (苏州市 2015 届高三上期末)已知数列 {an } 中 a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 . (n为偶数) ? ?an ? 3n
(1)是否存在实数 ? ,使数列 {a2n -?} 是等比数列?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说 明理由; (2)若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n .

15、(泰州市 2015 届高三上期末)数列 an ? , bn ? , cn ? 满足: bn ? an ? 2an?1 ,

?

?

?

cn ? an?1 ? 2an?2 ? 2 , n ? N * .
(1)若数列 an ? 是等差数列,求证:数列 bn ? 是等差数列; (2)若数列 bn ? , cn ? 都是等差数列,求证:数列 an ? 从第二项起为等差数列; (3)若数列 bn ? 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 an ? 是否成等差数列?证明你的 结论.

?

?

?

?

?

?

?

参考答案
一、填空题
6

1、 an ?1 ? an ? n ? 1 ? an ?1 ? a1 ?

?i ?
i ?2

n ?1

(n ? 1)(n ? 2) ? 1 ,所以 a 2

n ?1

?

(n ? 1)(n ? 2) 2

? a n?
2、4 4、50
9、

10 n( n ? 1) 1 1 1 1 1 1 20 。故 ? ? 2 ? (1 ? ? ? ? ..... ? ? )? 2 2 2 3 10 11 11 i ?1 ai

3、12

5、7

6、-1
-1

7、64 11、

8、 2 3

3 5

10、2-2n 13、 ?

1 3
15、 [2,3]

12、2

21 4

14、9

二、解答题 1、(1)证明:设 a1 ? x ? 3d , a2 ? x ? d , a3 ? x ? d , a4 ? x ? 3d ,因为: 因为 (2 2 )2 ? 22 x?2 d , 2 1 g2
a
a a3

? 2( x ?3d ? x ? d ) ? 2(2 x ?2 d ) ,所以

2a1 , 2a2 , 2a3 依次构成等比数列。
a 因为 (2 3 )2 ? 2(2 x?2 d ) , 2 2 g2
a a4

? 2( x ?d ? x ?3d ) ? 2(2 x ? 2 d ) ,所以

2a2 , 2a3 , 2a4 依次构成等比数列。
所以 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列。
2 3 4 (2)假设 a1 , a2 依次构成等比数列,那么应该有: , a3 , a4 2 2 3 3 (a2 ) ? a1 ? a3 ? (a2 ? d )(a2 ? d )3 ? d (2a2 ? 2a2d 2 ? d 3 ) ? 0 ,因为 2 d ? 0 , 所 以 d 3 ? 2a2d ? 2a2 ?30 ………(a) , 考 察 (a) 的 解 ,
a a a a

f '(d ) ? d (3d ? 4a2 )
故d ? ?

4a2 4a 22 3 a2 ? 0 ,所以符合(a)的解 为 f ( d ) 的极大值,而 f (? 2 ) ? ? 3 3 27
2 4 3 2

d ? 0。
又 (a3 ) ? a2 ? a4 ? a3 ? a2 ? a4 ,(因为数列各项为正数)。所以
3 2
2 (a2 ? d )3 ? a2 (a2 ? 2d )2 ? d 2 ? a2d ? a2 ? 0 ,解得 d ?

1? 5 a2 , (d ? 0) 。 2

7

所以 d ?

1? 5 1? 5 (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 0 ,这与(a)矛盾。所以不存在这样的 2 1? 5

2 3 4 依次构成等比数列。 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 n n? k n?2k n ?3k (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列,那么: , a2 , a3 , a4
n?2k n?k n ?3k a3 a2 a4 ,而 ? ? n?k n?2k a1n a2 a3

q?

(

a a a2 n k a k ) a2 ? ( 3 )n? k a3 ? ( 2 )n ? ( 3 )n? 2k …………(a) a1 a2 a1 a2 a3 n? k k a a a k ) a3 ? ( 4 )n ? 2k a4 ? ( 3 )n ?k ? ( 4 )n ?3k …….(b) a2 a3 a2 a3
(a1 ? a3 ) 2 ,( an ? 0 且各项不等) 4

(

2 n?2 k n?2k n 2k 由于 a2 ,而 a1a3 ? ? a1n a3 ? (a1n a3 )a3

a1 ? a3 2 n 2 k 2n 2k 2k 2k ) a3 ? a2 ga3 ,所以 a2 ? a3 ? a2 ? a3 ? d ? 0 。 2 a a d d 1 1 2x ?1 令 2 ? 1? 则 3 ? 1? , 同理, ? 1 ? x ,( x ? 0) , ? 1? ? 1? ? a1 1 a1 a1 a2 a2 x ? 1 1? 1? x d a4 d 1 1 3x ? 1 。代入(a),(b)得: ? 1? ? 1? ? 1? ? a1 1 2x ?1 a3 a3 2? 2? x d
所以 a2 ga2 ? (
2n 2k

2 x ? 1 n?2k ? (1 ? x) n ? ( ) ...........(c) ? ? x ?1 ,等式两边取对数变形得: ? 2 x ? 1 3 x ? 1 n ? k n ? 3 k ?( ) ?( ) ...........(d ) ? 2x ?1 ? x ?1 2x ?1 ? n ln( x ? 1) ? (n ? 2k ) ln( )...........(e) ? ? x ?1 ? ?(n ? k) ln( 2 x ? 1) ? ( n ? 3k ) ln( 3 x ? 1)...........(f) ? x ?1 2x ?1 ?
由(e)(f)得到新函数:

f ( x) ? 3ln( x ? 1) ln(2 x ? 1) ? ln(2 x ? 1) ln(3x ? 1) ? 4ln( x ? 1) ln(3x ? 1) ,求导得到:

f '( x) ?

2[?3( x ? 1)2 ln( x ? 1) ? 3(2 x ? 1)2 ln(2 x ? 1) ? (3x ? 1) 2 ln(3x ? 1)] ,令 g ( x) ( x ? 1)(2 x ? 1)(3x ? 1)

? ?3( x ? 1)2 ln( x ? 1) ? 3(2x ? 1)2 ln(2 x ? 1) ? (3x ?1)2 ln(3x ?1) ,求二阶导数得:
8

g ''( x) ? 6[4ln(2 x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 3ln(3x ? 1)] ,令 h( x) ? 4ln(2 x ? 1) ? ln( x ? 1) ? 3ln(3x ? 1) ,则 h '( x) ?

?2 ?0, ( x ? 1)(2 x ? 1)(3x ? 1)

而 g ''(0) ? g '(0) ? g (0) ? 0 ,故 f ( x ) 单调递减,又 f (0) ? 0 ,所以 f ( x ) 除了 x ? 0 外无零点,而这与题目条件不符。
n n? k n?2k n ?3k 所以:不存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列。 , a2 , a3 , a4

2、 (1) 证明: ∵

=

, ∴

=

=

(n

) , 又

=

=2=

, ∴

(n

) 。∴存在 m=n+1 使得

(2)

=1+(n-1)d ,若{

}是“H 数列”则对任意的正整数 n,总存在正整数

m,使得



=1+(m-1)

d 成立。化简得 m=

+1+

,且 d 0

又m



, d

,且 为整数。

(3)证明:假设成立且设

都为等差数列,则

n

+

=

+(

-1)



=

+

+1,



=



)同理

=







=

=k

由题

=

=

+( -1)

+

+( -1)

=(

)+(n-1) (

)=(n+k-1)



9

可得{

}为等差数列。即可构造出两个等差数列{

}

和{

}同时也是“H 数列”满足条件。

3、证明:∵ {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , Sn 是其前 n 项和
∴ S n ? na ? (1)∵ c ? 0

n(n ? 1) d 2
∴ bn ?

Sn n ?1 ?a? d n 2
∴ b2
2

1 3 ? b1b4 ∴ (a ? d ) 2 ? a(a ? d ) 2 2 1 1 2 1 1 1 ∴ ad ? d ? 0 ∴ d (a ? d ) ? 0 ∵ d ? 0 ∴ a ? d ∴ d ? 2a 2 4 2 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) d ? na ? 2a ? n 2 a ∴ S n ? na ? 2 2
∵ b1,b2,b4 成等比数列 ∴左边= S nk

? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a

右边= n

2

Sk ? n2 k 2 a
? b1 ? (n ? 1)d1 带入 bn ?
nS n 得: n2 ? c

∴左边=右边∴原式成立 (2)∵ {bn } 是等差数列∴设公差为 d1 ,∴ bn

b1 ? (n ? 1)d1 ?
n ? N ? 恒成立

nSn n2 ? c

∴ (d1 ?

1 1 d )n 3 ? (b1 ? d1 ? a ? d )n 2 ? cd 1 n ? c(d1 ? b1 ) 对 2 2

1 ? ?d1 ? 2 d ? 0 ? 1 ? ∴ ?b1 ? d1 ? a ? d ? 0 2 ? ?cd1 ? 0 ?c(d ? b ) ? 0 ? 1 1
由③式得: c ? 0 法二: 证: (1) 若c

由①式得: d 1 ?

1 d 2

∵ d ?0



d1 ? 0

? 0 ,则 an ? a ? (n ? 1)d ,S n ?
2

n[( n ? 1)d ? 2a ] (n ? 1) d ? 2a ,bn ? . 2 2

当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 即: ? a ?

? b1b4 ,

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?
10

2

由此: S n 故: Snk

? n 2 a , S nk ? (nk) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a .

? n2 Sk ( k , n ? N * ).
n2

(n ? 1)d ? 2a nS 2 (2) bn ? 2 n ? , 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? 2 n ?c (n ? 1)d ? 2a c (n ? 1)d ? 2a 2 . (※) ? ? 2 n2 ? c
若 {bn } 是等差数列,则 bn

? An ? Bn 型.

观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 c ? 0 故有: ,即 ,而 ≠0 , ? 0 2 2 n2 ? c 故c ? 0. c
经检验,当 c

? 0 时 {bn} 是等差数列.

4、解:(1)因为 a2,a3,a6 成等差数列,所以 a2-a3=a3-a6. 1 1 1 又因为 a2= ,a = , a6= , 2+a 3 3+a 6+a 代入得 1 1 1 1 - = - ,解得 a=0. 2+a 3+a 3+a 6+a ????? 3 分

(2)设等差数列 b1,b2,?,bm 的公差为 d. 1 1 因为 b1= ,所以 b2≤ , k k+1 从而 d=b2-b1≤ 1 1 1 - =- . k+1 k k(k+1) ?????? 6 分

1 m-1 所以 bm=b1+(m-1)d≤ - . k k(k+1) 1 m-1 又因为 bm>0,所以 - >0. k k(k+1) 即 m-1<k+1. 所以 m<k+2. 又因为 m,k∈N*,所以 m≤k+1. ????? 9 分

1 (3)设 c1= (t∈N*),等比数列 c1,c2,?,cm 的公比为 q. t

11

1 c2 t 因为 c2≤ ,所以 q= ≤ . c1 t+1 t+1 1 t ?n-1 - 从而 cn=c1qn 1≤ ? (1≤n≤m,n∈N*). t ?t+1? 1 1 t ?1 1? t ?2 1 t ?m-1 所以 c1+c2+?+cm≤ + ? + +?+ ? t t ?t+1? t ?t+1? t ?t+1? = = t+1 t ?m [1-? ] t ?t+1? t+1 ? t ?m-1 - . t ?t+1? ???? 13 分

1 设函数 f(x)=x- m-1,(m≥3,m∈N*). x 1 当 x∈(0,+∞)时,函数 f(x)=x- m-1为单调增函数. x t+1 因为当 t∈N*,所以 1< ≤2. t 即 c1+c2+?+cm≤2- 1 - . 2m 1 t+1 1 所以 f( )≤2- m-1. t 2 ??? 16 分

5、解:(1)证明:依题意, cn?1 ? cn ? d ? ? an?1 ? bn?1 ? ? ? an ? bn ? ? d
? ? an?1 ? an ? ? d ? ?bn?1 ? bn ?

? bn (q ? 1) ? 0 ,

?? 3 分 从而

cn?2 ? cn?1 ? d bn?1 (q ? 1) ? ? q ,又 c2 ? c1 ? d ? b1 (q ? 1) ? 0 , cn?1 ? cn ? d bn (q ? 1)

所 以 ?cn ?1 ? cn ? d ? 是 首 项 为 b1 (q ? 1) , 公 比 为 q 的 等 比 数 列. ?? 5 分 (2)① 法 1:由(1)得,等比数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 的前 3 项为 6 ? d ,9 ? d ,15 ? d , 则 ? 9 ? d ? ? ? 6 ? d ??15 ? d ? ,
2


q ? 2,



d ?3







?? 7 分
?a1 ? b1 ? 4, 且? ?a1 ? 3 ? 2b1 ? 10,

解得 a1 ? 1 , b1 ? 3 , 所 以 ?? 10 分 法 2 :
12

an ? 3n ? 2



bn ? 3 ? 2n?1 .











?a1 ? b1 ? 4 , ? ?a1 ? d ? b1q ? 10 , ? 2 ?a1 ? 2d ? b1q ? 19 , ?a ? 3d ? b q 3 ? 34 , ? 1 1

?? 7 分

?d ? b1q ? b1 ? 6 , ? 消去 a1 ,得 ?d ? b1q 2 ? b1q ? 9 , ? 3 2 ?d ? b1q ? b1q ? 15 ,
2 ? ?b q ? 2b1q ? b1 ? 3 , 消去 d ,得 ? 1 3 2 ? ?b1q ? 2b1q ? b1q ? 6 ,

消去 b1 ,得 q ? 2 , 从而可解得, a1 ? 1 , b1 ? 3 , d ? 3 , 所 以 ?? 10 分 ② 假设存在满足题意的集合 A ,不妨设 l , m , p , r ? A (l ? m ? p ? r ) , 且 cl , cm ,
an ? 3n ? 2



bn ? 3 ? 2n?1 .

c p , c r 成等差数列,
则 2cm ? cp ? cl , 因为 cl ? 0 ,所以 2cm ? cp , ① 若 p ? m ? 1 ,则 p≥m ? 2 ,
m?1 m?1 p ?1 结合①得, 2 ? ?(3m ? 2) ? 3 ? 2 ? ? ? (3 p ? 2) ? 3 ? 2 ≥3(m ? 2) ? 2 ? 3 ? 2 ,

化简得, 2m ? m ? ? 8 ? 0 , 3



因为 m≥2 , m ? N? ,不难知 2m ? m ? 0 ,这与②矛盾, 所以只能 p ? m ? 1 , 同理, r ? p ? 1 , 所以 cm , c p , c r 为数列 ?cn ? 的连续三项,从而 2cm?1 ? cm ? cm? 2 , 即 2 ? am?1 ? bm?1 ? ? am ? bm ? am? 2 ? bm? 2 , 故 2bm?1 ? bm ? bm? 2 ,只能 q ? 1 ,这与 q ? 1 矛盾, 所以假设不成立, 从而不存在满足题意的集合 A . 16 分 (注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在”,就给 1 分.) 6、
13

??

14

7、解:(1)因为 d ? 2 , c2 ? 3 ,所以 cn ? 2n ? 1, 因为数列 an ? 是各项不为零的常数列,所以 a1 ? a2 ? ? ? an , Sn ? na1 , 则由 Sncn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 及 cn ? 2n ? 1得 n(2n ?1) ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 当 n ? 2 时, (n ?1)(2n ? 3) ? b1 ? b2 ? ?? bn?1 ,两式相减得 bn ? 4n ? 3 , 当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,也满足 bn ? 4n ? 3 ,故 bn ? 4n ? 3(n ? N? ) . (2)因为 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? cn Sn , 当 n ? 2 时, Sn?1cn?1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an?1bn?1 ,两式相减得 Sncn ? Sn?1cn?1 ? anbn , 即 (Sn?1 ? an )cn ? Sn?1cn?1 ? anbn , Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? ?ncn ? ?nbn , 又 S n ?1 ? 即 ????4 分

?

? ? ? (n ? 1)
2

(n ? 1) ?

? n(n ? 1)
2

,所以

? n(n ? 1)
2

d ? ? ncn ? ? nbn ,

(n ? 1) d ? cn ? bn , 2 (n ? 2) 3 d ? cn ?1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? bn ?1 ? d (n ? 3) , 所以当 n ? 3 时, 2 2 3 所以数列 ?bn ? 从第二项起是公差为 d 等差数列; 2
又当 n ? 1 时,由 S1c1 ? a1b1 得 c1 ? b1 ,
15

(2 ? 1) 1 3 3 d ? c2 ? d ? (c1 ? d ) ? b1 ? d 得 b2 ? b1 ? d , 2 2 2 2 3 故数列 ?bn ? 是公差为 d 等差数列. ????15 分 2
当 n ? 2 时,由 b2 ? (3)由(2)得当 n ? 2 时, Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? an (bn ? cn ) , 因为 bn ? cn?k ,所以 bn ? cn ? kd ,即 bn ? cn ? kd ,所以 Sn?1d ? an ? kd ,即 Sn?1 ? kan , 所以 Sn ? Sn?1 ? an ? (k ? 1)an , 当 n ? 3 时, Sn?1 ? (k ? 1)an?1 ,两式相减得 an ? (k ? 1)an ? (k ? 1)an?1 ,

k ?1 an ?1 ,故从第二项起数列 ?an ? 是等比数列, k k ? 1 n?2 ) , 所以当 n ? 2 时, an ? a2 ( k
即 an ?

bn ? cn?k ? cn ? kd ? c1 ? (n ?1)k ? k 2 ? k ? (n ?1)k ? k 2 ? k (n ? k ) ,
另外由已知条件得 (a1 ? a2 )c2 ? a1b1 ? a2b2 ,又 c2 ? 2k , b1 ? k , b2 ? k (2 ? k ) , 所以 a2 ? 1 ,因而 an ? (

k ? 1 n?2 b d b a (n ? k ? 1)k ) ,令 dn ? n ,则 n?1 ? n?1 n ? , k dn an ?1bn (n ? k )(k ? 1) an

因为 (n ? k ? 1)k ? (n ? k )(k ? 1) ? ?n ? 0 ,所以

d n?1 ? 1 ,所以对任意的 n ? 2, n ? N? ,数 dn
?????16 分

列{

bn } 单调递减. an

8、解:(1)由题意,得 (1 ? px ? qx2 )(1 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn ? ?) ? 1 , 显 然 x, x
2

的 系 数 为

0 , 所 以 ?

? a1 +p ? 0 , 从 而 a1 ? ? p , ? a2 +a1 p +q ? 0

a2 ? p2 ? q .?????????4 分
n (2)由 p ? ?1, q ? ?1 ,考虑 x (n ? 3) 的系数,则有 an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 ,

? a1 ? 1 ? 得 ? a2 ? 2 ,即 an?2 ? an?1 ? an , ? a ? a ? a ? 0(n ? 3) n ?1 n?2 ? n
所以数列 ?an ? 单调递增,且 bn ?

an? 2 ? an 1 1 ? ? , an an? 2 an an ? 2

16

所以 Sn ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ), a1 a3 a2 a4 a3 a5 an an? 2 1 1 1 1 3 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? .??????????10 分 a1 a2 an +1 an?2 2 an +1 an?2 2

当 n ? 2 时,Sn ?

(3)由(2) an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 , 因数列 ?an ? 是等差数列,所以 an ? 2an?1 ? an?2 ? 0 ,所以 (2+p)an?1 ? (1 ? q)an?2 对一切

n ? 3 都成立,
若 an ? 0 ,则 p ? q ? 0 ,与 p2 ? q2 ? 0 矛盾, 若数列 ?an ? 是等比数列,又据题意 ?an ? 是等差数列,则 ?an ? 是常数列,这与数列 ?an ? 的 公差不为零矛盾,

, q1 ? , 所以 2 ? p ? 1 ? q ? 0 , 即 p ? ?2 由 (1) 知 a1 ? 2 , 所以 an ? n ? 1 .???16 a2 ? 3 ,
分 (其他方法:根据题意可以用 p 、 q 表示出 a1 , a2 , a3 , a4 ,由数列 ?an ? 为等差数列, 利用 2a2 ? a1 ? a3 , 2a3 ? a2 ? a4 解方程组也可求得.) 解法 2:由(1)可知 a1 ? ? p , a2 ? p2 ? q ,因为数列 ?an ? 是等差数列,设公差为 d

d ? a2 ? a1 ? p2 ? q ? p , a3 ? 2 p2 ? 2q ? p , a4 ? 3 p2 ? 3q ? 2 p . 又 由 ( 2 )
an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 ,
所以 a3 ? pa2 ? qa1 ? 0, 得 p( p ? 1) ? 2q( p ? 1) ? 0 ,若 p ? 1 ? 0, 即 p ? ?1, 时, a1 ? 1 ,
2

a2 ? 1 , d ? 0 与 条 件 公 差 不 为 零 相 矛 盾 , 因 此 p ? ?1, 则 q ? a4 ? pa3 ? qa2 ? 0 ,可得 3 p2 ? 3q ? 2 p ? p(2 p2 ? 2q ? p) ? q( p2 ? q) ? 0 ,整理可得 (2 p ? q ? 3)( p2 ? q) ? p2 ? 2 p ? 0 代 入 q ?
p ? ?2
2 2 若 p ? 0 ,则 p ? q ? 0 ,与 p ? q ? 0 矛盾,

p ( p ? 1) .由 2

p ( p ? 1) 1 2 , p ( p ? 2)( p ? 1) ? 0 , p ? 0 或 2 4

若 p ? ?2 ,则 q ? 1 ,满足题意, 所以 an ? n ? 1

17

9、解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.???????????? 3 分 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组? 所以 an=n+1,bn=2n,n∈N*. (2)由题意知,cn=(n+1)×2n. 记 Tn=c1+c2+c3+?+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+?+cn =2×2+3×22+4×23+?+n×2n 2 T n=
-1

?2+3d+2q3=21,
3

?d=1, 解得? ?8+6d+2q =30, ?q=2.

???????????? 7 分

+(n+1)×2n,


2×22+3×23+?+(n-1)×2n 1+n×2n+


(n+1)2n 1,


所以-Tn=2×2+(22+23+?+2n )-(n+1)×2n 1, ??????????? 11 分 即 Tn=n·2n 1,n∈N*.


???????????? 14 分

2 10、解:(1)由条件, ?n ? N* , an ?1 ? an an ? 2 ? 4 ,

2 令 n ? 1 ,得 a2 = a1a3 ? 4 .

??????????????????????

2分 又? 2a2 ? a1 ? a3 ,且 a1 ? 1 , 易求得 a2 ? 3, a3 ? 5 . ???????????4 分
2 再令 n ? 2 ,得 a3 = a2a4 ? 4 ,求得 a4 ? 7 . ????????????????

6分
2 ? an an ? 2 ? 4 (2)∵ an ?1

(1) (2)

2 ? an ?1an ?3 ? 4 ∴ an ?2

2 2 ? an ? (an an ? 2 ? 4) ? (an ?1an ?3 ? 4) 由(1)-(2)得, an ?1 ?2

? an an ? 2 ? an ?1an ?3 ????????????????

?8 分
2 2 ? an ?1an ?3 ? an ? an an ? 2 ∴ an ?1 ?2

∴ an ?1 (an ?1 ? an ?3 ) ? an ? 2 (an ? an ? 2 )

18



? a ? an ? 2 ? an ? an ? 2 an ?1 ? an ? 3 ? ,∴数列 ? n ? 为常数数 an ?1 an ? 2 ? an ?1 ?

列. ?????????12 分 a ? an ? 2 a1 ? a3 ? 2. ? ∴ n a2 an ?1

∴ an ? an ? 2 ? 2an ?1.

∴数列 {an } 为等差数列. ??????????????????????? 14 分 又公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 16 分 11、(1)因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1,a1 ? a2 ? 1,所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , 同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ????????2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,???????????????????3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 ,故 a1 , a4 , a5 成等差数列.????????????4 分 (2) 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,??????????5 分 令 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项公差为 ? 的等差数列,故 bn ? b1 ? (n ? 1)? ? (n ?1)? ,?6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? ,所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? , 所以 cn ? 2an?2 ?an ? 2(2n?1)? . ?????????????????????8 分 ∴ an ? 2n ? 1 .?????????????????

Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)? ,
当 ? ? 0时,Sn ? n , 当 ? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2
?

???????????????????????9 分
3?

? 25? ? L ? 2(2 n ?1) ? ?

2? (1 ? 22 n? ) .??????10 分 1 ? 22 ?

? ? 0, ?n, ? ? 所以数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ? ? 2 (1 ? 22 n? ) , ? ? 0. ? ? 1 ? 22 ?
(3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1)? ,用累加法可求得 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2
????????12 分

当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+

(n ? 1)( n ? 2) ? ? n ? N? ? 2

假设存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列,

19

则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ,即
2

t 2 (t ? 1)2 s( s ? 1) p( p ? 1) ? , ???14 分 4 4

因为 s , t , p 成等比数列,所以 t 2 ? sp ,所以 (t ? 1)2 ? (s ?1)( p ?1) , 化简得 s ? p ? 2t ,联立 t 2 ? sp ,得 s ? t ? p .这与题设矛盾. 故不存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.?16 分
2 12、解: (1)? 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,



?
?2 ;
n

S5 ? S3 ? 48



?a4 ? a5 ? 8q2 ? 8q ? 48



?q ? 2



? an ? 8 ? 2

n?3

???? 4 分
k

(2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ① 若 2 ? 5ak ? am ? al , 则 1 ? 0

2?

m

l 2? , 2 ?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,

?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 , m ? k ?1 ? ?1 ?2 ? ? l ? k ?1 , ?4 ? ?2 ?m ? k ? 1 ?? . ???? 6 分 ?l ? k ? 3 ②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ? 2m ? 5 ? 2k ? 2l ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,
等式不成立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 , ????8 分

ak , 调 整 顺 序 后 易 知 则 5ak , am , al 这 三 项 为 5ak , ak ?1 , ak ?3 , 即 5ak , 2ak , 8 2ak ,5ak ,8ak 成等差数列,
所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ?? anb1 ? 3 ? 2
1 2 3 n 1 2 3 n?1

????10 分

? 4n ? 6 ,
n?1

即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2 则
2 3

? 4n ? 6 , (*)
同 乘 以 2 , 得

? 当 n ? 2 时, 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ? ?? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)
( **
4


n


n?




1

2 bn?1 ? bn2 ?? 3 b ? ? 2 ? 1 n ? , 3 2 8 (***) ? ? 2 bn? ?2 ? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
?bn ? 2n ? 1 .???14 分 b b b 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an 2 an an?1 2 2 2n bn bn?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? an an?1 a2 a1
20

4

2 又 当 n ? 1 时 , 2b1 ? 3 ? 2 ? 1 0 ? 2 , 即 b1 ? 1 , 适 合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,

? n ? 3 时,


bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ?


b1 1 ? a1 2

b2 3 ? a2 4



b3 5 ? a3 8



b4 7 ? a4 16



?

7 1 ?? ? . 16 2

?????16 分

13、

21

22

14、解:(1)设 bn ? a2n ? ? ,

因为 bn ?1

bn 1 ?3

?

a2 n ? 2 ? ? a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? a2 n ? ? 1 ?3 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ? 1 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

? a2 n ? 6n ? ? ? 2n ? 1? ? ?
a2 n ? ?



?????????????2 分

若数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列,则必须有 3

? q (常数),

1 ? q? ? 1 ? ? q ? 0 ? ? 3 ? ?? 即 ? ? q ? a2 n ? ? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ,即 ? 3 , 3 ?3 ? ? ? q ? 1 ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2

?1

???????5 分

此时 b1 ? a2 ?

3 1 3 1 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 0 , 2 3 2 6

23

3 ,使数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列???????????????6 分 2 (注:利用前几项,求出 ? 的值,并证明不扣分)
所以存在实数 ? ? (2)由(1)得 ?bn ? 是以 ?

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 6 3

3 1 ?1? 故 bn ? a2 n ? ? ? ? ? ? 2 6 ? 3?
由 a2 n ?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? ,???????8 分 2 ? 3? 2 ? 3? 2
n ?1

n

n

1 1 1? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ,得 a2n?1 ? 3a2n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3?

? 6n ?

15 ,??10 分 2

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 ? ?2 ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? ?3? ? ?3? ?? 3 ? ?

S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2n?1 ? a2n ?
?1 ? ? ?2 ? ? ? ? ?3 ?
2 n 1? ? 1 ? ? ? L ? ? ? 2 L ? n ? ? n9 ? ? ? ? ? 6? 1 3? ? 3 ? ? ?

1? ?1? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? ?2 ? ? 1 1? 3

n

? n n ? 1? 2 ?1? 2 ? ? ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ? ? 1 ? 3 n ? 6 n ? ? ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 , ? ? ? 3? ? 3? 2

??????????????????????12 分 显然当 n ? N * 时, ?S2 n ? 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 ? 0 ,当 n ? 2 时, S 4 ? ? ? 0 ,所以当 n≥ 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9
n

3 ?1? 5 S2n?1 ? S2n ? a2n ? ? ? ? ? ? 3n2 ? 6n , 2 ? 3? 2
同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n?1 ? 0 . 综上,满足 Sn ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.????????????????? 16 分 15、证明:(1)设数列 an ? 的公差为 d , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ bn?1 ? bn ? (an?1 ? 2an?2 ) ? (an ? 2an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? d ? 2d ? ?d , ∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列.
24

?

?

??????4分

(2)当 n ? 2 时, cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 ,

bn ? cn ?1 b ?c ? 1,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2 b ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ? ? ? ∴ an ?1 ? an ? n ?1 , 2 2 2 2 b ? bn cn ? cn ?1 ? ∵数列 ?bn ? , ?cn ? 都是等差数列,∴ n ?1 为常数, 2 2
∵ bn ? an ? 2an?1 ,∴ an ? ∴数列 an ? 从第二项起为等差数列. (3)数列 an ? 成等差数列. 解法1 设数列 bn ? 的公差为 d ? , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ 2n bn ? 2n an ? 2n?1 an?1 ,∴ 2n?1 bn?1 ? 2n?1 an?1 ? 2n an ,?, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 , ∴ 2n bn ? 2n?1 bn?1 ? ? ? 2b1 ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , 设 Tn ? 2b1 ? 22 b2 ?? 2n?1bn?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ?? 2n bn?1 ? 2n?1bn , 两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (22 ? ?? 2n?1 ? 2n )d ? ? 2n?1 bn , 即 Tn ? ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ∴ 2n?1 an?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n?1 (bn ? d ?) ,

?

??????10分

?

?

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? (bn ? d ?) , ??????12分 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? ? (b2 ? d ?) ? 1 ? b1 , 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 3 2 23
∴ an ?1 ?

∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 , 23

∴ an?1 ? ?(bn ? d ?) ,∴ an?2 ? an?1 ? ?(bn?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ?d ? , ∴数列 an ? ( n ? 2 )是公差为 ?d ? 的等差数列,

? ?

??????14分

∵ bn ? an ? 2an?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴数列 an ? 是公差为 ?d ? 的等差数列. ??????16分

25

解法 2

∵ bn ? an ? 2an?1 , b1 ? a3 ? 0 , ??????12分

令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴ bn?1 ? an?1 ? 2an?2 , bn?2 ? an?2 ? 2an?3 , ∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? (2an?1 ? an ? an?2 ) ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵数列 bn ? 是等差数列,∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? 0 , ∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵ a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 0 , ∴数列 an ? 是等差数列.

?

??????14分

?

??????16分

26


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