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上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试 数学文


上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试

数学试卷(文)
2014 年 4 月 考生注意:本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.解答必须写在答 题纸上的规定区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分. 一.填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个

空格填对得 4 分,否则一律得零分.

3?i ? ___________. 2?i 2 2. 已知集合 A ? {?2 , ? 1 , 0 , 1 } , 集合 B ? {x x ? 1 ? 0 , x ? R } , 则 A ? B ? _________.
1.已知 i 为虚数单位,计算: 3.函数 y ? (sin x ? cos x)2 的最小正周期是__________________. 4.在 (1 ? x)6 ? (1 ? x)5 的展开式中,含 x 项的系数是_________.
3

5.某校选修篮球课程的学生中,高一学生有 30 名,高二学生有 40 名,现用分层抽样的方 法在这 70 名学生中抽取一个样本, 已知在高一学生中抽取了 6 人, 则在高二学生中应抽 取__________人. 6. 已知向量 a ? (sin? , 1) , 其中 0 ? ? ? π , 若a ?b , 则 ? ? ____________. b ? (1 , cos? ) , 7.对于任意 a ? (0 , 1) ? (1 , ? ?) ,函数 f ( x) ? 过的定点的坐标是______________. 8.已知函数 f ( x) ? ?

?

?

?

?

1

?1

1 loga ( x ? 1)

的反函数 f

?1

( x) 的图像经

?x , 0 ? x ? 1 , 将 f ( x) 的图像与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转 ?2 ? x , 1 ? x ? 2 ,

一周,所得旋转体的体积为___________. 9.已知 tan a ? ?

3 ,则 cos 2a ? ________. 4

10.已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽为 8 米.则水面升高 1 米后,水面 宽是____________米(精确到 0.01 米) . 11.从集合 {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } 中随机取一个数 a ,从集合 {1 ,3 , 5 } 中随机取一个数 b ,则“事 件 a ? b ”发生的概率是___________.
2 2 12.已知 a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ? 1 ,则 (a ? 2) ? (b ? 2) 的最小值是___________.

13.若平面区域 ?

?| x | ? | y |? 2 , 是一个三角形,则 k 的取值范围是_______________. ? y ? 2 ? k ( x ? 1)
? ? 1 ? ( x ? 1) 2 , 0 ? x ? 2 , * 若对于正数 k n ( n ? N ) , 直线 y ? kn ? x ? f ( x ? 2 ) , x ? 2 , ?
2 2 2 n ??

14.已知函数 f ( x) ? ?

与函数 y ? f ( x) 的图像恰有 2n ? 1 个不同交点,则 lim(k1 ? k 2 ? ? ? k n ) ? ______.

二.选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个选项正确,考生应在答题纸 相应编号上,将代表答案选项的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 运行如图所示的程序框图, 输出的所有实数对 ( x , y ) 所对应的点都在函数??? ( A. y ? x ? 1 的图像上 B. y ? 2 x 的图像上 C. y ? 2 x 的图像上 D. y ? 2 x?1 的图像上
开始



x ?1, y ?1

x ? x ?1, y ? 2y
x?5
否 结束 是 输出 ( x ,

y)

16. 下列说法正确的是??????????????????????????? (
2 2 A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题是“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ” 2 B. “ x ? ?1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件



C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题是真命题

a t D. “n

x ? 1 ”是“ x ?

?
4

”的充分不必要条件

17.已知双曲线 C :

? x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,方向向量为 d ? (1 , 1) 的直线与 C 交 2 a b 于两点 A 、B , 若线段 AB 的中点为 (4 , 1) , 则双曲线 C 的渐近线方程是??? ( )
A. 2 x ? y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. x ? 2 y ? 0

) 的值等于 18.已知偶函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2 f (2) ,则 f (2014
?????????????????????????????????? ( A. 2 B. 3 C. 4 D. 0 )

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. 在△ ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知 sin A ? sin C ? p ? sin B ( p?0) ,且 ac ? (1)当 p ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4 (2)若 B 为锐角,求实数 p 的取值范围.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在如图所示的多面体中,四边形 ABCD 为正方形,四边形 ADPQ 是直角梯形,

AD ? DP , CD ? 平面 PDAQ, AB ? AQ ?

1 DP . 2

(1)求证:棱锥 Q ? ABCD 与棱锥 P ? DCQ 的体积相等. (2)求异面直线 CP 与 BQ 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ;

C B D A Q P

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦距为 4 ,且椭圆 ? 过点 A(2 , 2 ) . a 2 b2

(1)求椭圆 ? 的方程; (2)设 P 、 Q 为椭圆 ? 上关于 y 轴对称的两个不同的动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知等差数列 {an } 满足 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)若 m ?

n ?1 , ?1 , 2a n ,数列 {bn } 满足关系式 bn ? ? 求证:数列 {bn } 的通 n?2 2 ?bn ?1 ? m , n ? 2 ,

项公式为 bn ? 2n ? 1 ; ( 3 ) 设 ( 2 ) 中 的 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n ,

(1 ? n) ? (Sn ? n ? 2) ? (n ? p) ? 2n ?1 ? 2 恒成立,求实数 p 的取值范围.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设 a 是实数,函数 f ( x) ? 4 ? | 2 ? a | ( x ? R ) .
x x

(1)求证:函数 f ( x) 不是奇函数;
2 (2)当 a ? 0 时,解关于 x 的方程 f ( x) ? a ;

(3)当 a ? 0 时,求函数 y ? f ( x) 的值域(用 a 表示) .

上海市长宁、嘉定区 2014 届高三 4 月第二次模拟考试 数学试卷(文)参考答案与评分标准
2014 年 4 月 注:解答题评分标准中给出的为各小题的累计分,请阅卷老师注意. 一.填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1. 1 ? i 2. {?1 , 0 , 1} 3. ? 4. 10 5. 8 6.

3π 4

7. (1 , 2)

8.

2π 3 1 4

9.

7 25

10. 5.66

11.

3 5

12.

25 2

13. (?? , ? 2) ? ? 0 ,

? ?

2? 3? ?

14.

二.选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15.D 16.C 17.B 18.D 三.解答题(共 5 题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分,本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分. (1)由正弦定理得, a ? c ? pb ,所以 a ? c ?

5 , 4

????(2 分)

1 ?a ? 1 , ? 1 ? ?a ? , 又 ac ? ,所以 ? ????(5 分) (少一组解扣 1 分) 4 1 或? 4 c? ? ? 4 ?c ? 1 . ? 2 2 2 2 (2)由余弦定理, b ? a ? c ? 2accos B ? (a ? c) ? 2ac ? 2accos B ,??(1 分) 1 2 2 2 2 即 b ? p b ? b (1 ? cos B ) , ????(2 分) 2 3 1 2 所以 p ? ? cos B . ????(4 分) 2 2 ?3 ? 2 由 B 是锐角,得 cos B ? (0 , 1) ,所以 p ? ? , 2 ? . ????(6 分) ?2 ? ? 6 ? ?. , 2 由题意知 p ? 0 ,所以 p ? ? ????(7 分) ? 2 ? ? ?
20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1)设 AB ? a ,设棱锥 Q ? ABCD 的体积为 V1 ,棱锥 P ? DCQ 的体积为 V2 . 由 QA ? AD , QA ? CD ,知 QA 是棱锥 Q ? ABCD 的高, ????????(1 分) 所以棱锥 Q ? ABCD 的体积 V1 ?

1 3 a . 3

????????????????(3 分)

又 V2 ? VC ? DPQ ?

1 1 1 1 S ?DPQ ? DC ? ? ? 2a ? a ? a ? a 3 . ??????????? (5 分) 3 3 2 3

所以 V1 ? V2 ,即棱锥 Q ? ABCD 与棱锥 P ? DCQ 的体积相等. ???????(6 分) (2)因为 QA ? AB ?

1 PD ,取 PD 中点 E ,边结 QE , CE 2

则 QE ∥ BC ,且 QE ? BC ,故 CE ∥ BQ ,

C

B
所以 ?PCE 为异面直线 PC 与 BQ 所成角.?(2 分) 设 AB ? a ,则在△ PCE 中,

D

E

P

Q CE ? CP ? EP 2a ? 5a ? a 3 10 由余弦定理, cos?PCE ? .???(7 分) ? ? 2 ? CE ? CP 10 2 ? 2a ? 5a
2 2 2 2 2 2

EP ? a , CE ? 2a , CP ? 5a , ???(4 分) A

所以,异面直线 CP 与 BQ 所成角的大小为 arccos

3 10 . 10

?????????(8 分)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1)解法一:由已知得 c ? 2 , ????????????????????(1 分)

2 ?4 ? 2 ? 2 ?1, 因为椭圆 ? 过点 A(2 , 2 ) ,所以 ? a ????????????(2 分) b ?a 2 ? b 2 ? 4 , ? 2 ? ?a ? 8 , 解得 ? 2 ??????????????????????????? (4 分) ? b ? 4 . ? x2 y2 ? ? 1. 所以,椭圆 ? 的方程为 ?????????????????(6 分) 8 4 解法二:由已知得 c ? 2 ,所以椭圆 ? 的两个焦点是 F1 (?2 , 0) , F2 (2 , 0) ,??(1 分)
所以 2a ?| AF 1 | ? | AF 2 |? 3 2 ? 2 ? 4 2 ,故 a ? 2 2 , 所以 b ? a ? c ? 4 .
2 2 2

????????(4 分)

????????????????????(5 分)
2 2

x y ? ? 1 . ??????????????????(6 分) 8 4 (2)设 P( x , y) ,则 Q(? x , y) ( x ? 0 ) ,
所以,椭圆 ? 的方程为

AP ? ( x ? 2 , y ? 2 ) , AQ ? (? x ? 2 , y ? 2 ) , ????????????(1 分) x2 y2 ? ? 1 ,得 x 2 ? 8 ? 2 y 2 ,所以 AP ? AQ ? 4 ? x2 ? ( y ? 2 )2 ? 3 y 2 ? 2 2 y ? 2 由 8 4
? 2? 8 ? ? , ? 3? y ? ? ? 3 3 ? ?
2

????????????????????????(5 分)
2

8 ? 2? 8 ? ? ? 10 ? 4 2 . ?????(7 分) 由题意, ? 2 ? y ? 2 ,所以 ? ? 3? y ? ? 3 3 ? 3 ? ?

所以, AP ? AQ 的取值范围是 ??

? 8 ? , 10 ? 4 2 ? . ? 3 ?

????????????(8 分)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由已知,有 ?

?a1 ? 2d ? 7 , ?a1 ? 3 , 解得 ? ?(2 分) ?d ? 2 , ?2a1 ? 10d ? 26 ,
*

所以 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,即 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1( n ? N ) .??(4 分) (2)因为 m ?

2a n 22 n ?1 ? ? 2n ?1 ,所以,当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 2n ?1 , 2n ? 2 2n ? 2

??(2 分)

证法一(数学归纳法) : ①当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,结论成立;
k

???????????????????(3 分)

②假设当 n ? k 时结论成立,即 bk ? 2 ? 1,那么当 n ? k ? 1 时, bk ?1 ? bk ? 2k

? 2k ? 1 ? 2k ? 2k ?1 ? 1 ,即 n ? k ? 1 时,结论也成立. ???????????(5 分) * 由①,②得,当 n ? N 时, bn ? 2n ? 1 成立. ??????????????(6 分)

?b2 ? b1 ? 2 , ? 2 ?b3 ? b2 ? 2 , n ?1 证法二:当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ? 2 ,所以 ? ???????(2 分) ??? , ?b ? b ? 2n ?1 , ? n n ?1 将这 n ? 1 个式子相加,得 ????????????????(4 分) bn ? b1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ,
即 bn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

?

1 ? 2n ? 2n ? 1 . ??????????????(5 分) 1? 2
????????????????(6 分)

当 n ? 1 时, b1 ? 1 也满足上式. 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 2n ? 1 . 所以,原不等式变为 (1 ? n) ? 2 所以 p ?
n ?1

(3)由(2) bn ? 2n ? 1 ,所以 Sn ? (2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (n ? 2) , ?(2 分)

? (n ? p) ? 2n ?1 ? 2 ,即 p ? 2n ?1 ? 2 ? 2n ?1 ,?(4 分)

1 ? 1 对任意 n ? N* 恒成立,所以 p ? ?1 . 2n 所以, m 的取值范围是 (?? , ? 1] . ??????????????(6 分)
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)假设 f ( x) 是奇函数,那么对于一切 x ? R ,有 f (? x) ? ? f ( x) ,
0 0 从而 f (?0) ? ? f (0) ,即 f (0) ? 0 ,但是 f (0) ? 4 ? | 2 ? a |? 1? | 1 ? a |? 0 ,矛盾.

所以 f ( x) 不是奇函数. (也可用 f (1) ? f (?1) ? 0 等证明) ?????????(4 分)
x x x x (2)因为 2 ? 0 , 4 ? 0 ,所以当 a ? 0 时, f ( x) ? 4 ? 2 ? a , ?????(1 分)

由 f ( x) ? a 2 ,得 4 ? 2 ? a ? a ,即 4x ? 2x ? a(a ? 1) ? 0 , (2x ? a)(2x ? a ? 1) ? 0 ,
x x 2

解得 2 ? a (舍去)或 2x ? ?(a ? 1) .
x

????????????????(4 分)

所以,当 a ? 1 ? 0 ,即 ? 1 ? a ? 0 时, ? (a ? 1) ? 0 ,原方程无解; ????(5 分) 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, ? (a ? 1) ? 0 ,原方程的解为 x ? log2[?(a ? 1)].?(6 分)
x (3)令 t ? 2 ,则 t ? 0 ,原函数变成 y ? t 2 ? | t ? a | .

????????(1 分)

因为 a ? 0 ,故 y ? ?

2 ? ?t ? t ? a , 0 ? t ? a , 2 ? ?t ? t ? a , t ? a .

???????????????(2 分)

对于 0 ? t ? a ,有 y ? ? t ?

? ?

1 1? 1 ? ? a ? ,当 0 ? a ? 时, y 是关于 t 的减函数, y 的取值 2 2? 4

2

范围是 [a , a) ; 当a ?
2

1 1 1 1 ? ? 时, ymin ? a ? , 当 ? a ? 1 时, y 的取值范围是 ?a ? , a ? , 2 4 2 4 ? ?

当 a ? 1 时, y 的取值范围是 ?a ? , a ? . 4 ? ?
2

?

1

?

??????????(5 分)

对于 t ? a ,有 y ? t 2 ? t ? a ? ? t ? 其取值范围 (a , ? ?) .
2

? ?

1? 1 ? ? a ? 是关于 t 的增函数, 2? 4
?????????????????(7 分)

a

综上,当 0 ? a ? 当a ?

1 2 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 [a , ? ?) ; 2
???????????(8 分)

1 1 ? ? 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 ?a ? , ? ? ? . 2 4 ? ?


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