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双曲线何性质一


双曲线的标准方程和几何性质
标准方程

图 形



范围 对称性 顶点 渐近线 离心率



实轴、虚轴

a,b,c 的关系

y 2 x2 ? ?1 例1.双曲线 9 16 的
距= 是 ,顶点坐标是 , 离心率



轴在x轴上,

轴在y轴上,实轴长= ,焦点坐标是

,虚轴长=

,焦

, 渐近线方程

, 若点P

( x0 , y0 )

是双曲线上的点, 则

x0 ?

y ? ,0



例2.以 3x ? 4 y ? 0 为渐近线的双曲线经过点(3,4),求该双曲线的离心率。

例 3..求过点(3,9 2 ) ,离心率 e ?

10 的双曲线方程 3

例 4.一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为 2 13 ,一双曲线和这椭圆有公共 焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小 4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为 7:3,求椭圆和双曲线的方程.

【达标训练】
x2 y 2 ? 1 的焦距为( 1. 双曲线 ? 10 2

) C. 3 3 D. 4 3

A. 3 2

B. 4 2

2.双曲线
4 6 3

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2 ,那么点 P 到 y 轴的距离是( ) 4 2

A.

B.

2 6 3

C. 2 6

D. 2 3

3.设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点.若双曲线上存在点 A ,使 ?F1 AF2 ? 90? 且 2 a b

AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为(

)A.

5 2

B.

10 2

C.

15 D. 5 2

4.设双曲线以椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐 25 9

近线的斜率为( )A. ? 2

B. ?

4 3

C. ?

1 2

D. ?

3 4

??? ? ??? ? 5.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、 B 为两个定点, k 为非零常数,| PA | ? | PB |? k ,
则动点 P 的轨迹为双曲线; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 ??? ? 1 ??? ? ??? ? OP ? (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为椭圆; 2 ③方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; ④双曲线
x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点.。其中真命题的序号为 25 9 35

6 若双曲线实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线离心率为 7.若双曲线
x2 y2 ? ? 1 的两渐近线的夹角为 60°,则它的离心率是 a2 b2

。 。

8.设椭圆与双曲线有公共焦点,它们的离心率之和为 2,若椭圆方程为 25x2+9y2=225,求双 曲线方程 9.若双曲线一条渐近线为 y ? x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? x2 y2 10、求以椭圆16+ 9 =1 的两个顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程,并求此双 曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程. 11、已知双曲线的渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 。 (1)若双曲线过点 P( 6 ,2 ) ,求双曲线的标准方程; (2)若双曲线的焦距是 2 13 ,求双曲线的标准方程。
1 2

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