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2013年沈阳市高中三年级数学理科教学质量监测(三)


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2013 年沈阳市高中三年级教学质量监测(三) 数 学(理科 )

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合 M ? x lg x>0 , N ? x x ? 2 ,则 M ?

N ? A. ?1, 2? 2. 复数 z ? ( B. ?1, 2? C. ?1, 2 ?

?

?

?

?



) D. ?1, 2? ( )

i 2 ) ( i 为虚数单位) ,则复数 z ?1 在复平面上对应的点位于 1? i
B.第二象限 C.第三象限

A.第一象限

D.第四象限 )

? ? ? ? 1 3. 已知向量 a ? (cos x, ?3), b ? (2 cos x, ), f ( x) ? a ? b , x ? R ,则 f ( x ) 是( 3
A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为

B.最小正周期为 ? 的奇函数

? ? 的偶函数 D.最小正周期为 的奇函数 2 2 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4. 若向量 a , b 满足 a = b =1,且 a ? b + b ? b = ,则向量 a , b 的夹角为( )
2
A.30° B.45° C.60° D.90°

?2 x ? y ? 0 ? 5. 已知变量 x、y,满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? log2 (2 x ? y ? 4) 的最大值为( ?x ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4

)

6. 右图给出的是计算 ( ). A. i ? 8

1 1 1 1 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是 ? ? ? ??? ? 2 4 6 20
C. i ? 10 D. i ? 11 开 始

B. i ? 9

S ? 0, n ? 2, i ? 1
是 否

S?S?

1 n

输出 S 结 束

n ? n?2 6 题图
i ? i ?1

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( ? 1,e) 7. 设命题 p :曲线 y ? e ? x 在点 处的切线方程是: y ? ?ex ;命题 q : f ' ( x ) 是函数 f ( x) 的
导函数, f ' ( x0 ) =0 的充要条件是 x 0 为函数 f ( x) 的极值点. 则( A.“ p 或 q ”为真 B.“ p 且 q ”为真 C. p 假 q 真 )

D. p , q 均为假命题

8. 若函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x , x ? R ,又 f (? ) ? ?2 , f ( ? ) ? 0 ,且 | ? ? ? | 的最小值为

3? ,则正数 ? 的值是( ) 4 1 2 A. B. 3 3
9. 已知实数 2, m ,

C.

4 3

D.

3 2
)

y2 9 2 ? 1的离心率为( 依次构成一个等比数列,则圆锥曲线 x ? 2 m
B.

A.

6 3

2 3 3

C.

6 或2 3

D.

2 3 或2 3

10. 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的编号互不相同 的概率为( ) A.

5 21

B.

2 7

C.

1 3

D.

8 21

11. 已知正△ ABC 三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,点 E 是线段 AB 的中点,过点 E 作球 O 的截面,则截面面积的最小值是( ) A.

7 ? 4

B.2 ?

C.

9 ? 4

D.3 ?

12. 对实数 a 与 b ,定义新运算 “ ? ” : a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1 2 2 . 设函数 f ( x) ? ( x ? 2) ? ( x ? x ) , ?b, a ? b>1


x ? R .若函数 y ? f ( x) ? c 的零点恰有两个,则实数 c 的取值范围是(
A.

? ??, ?2? ? ? ? ?1,
? ? ? 1? 4?

3? ? 2?

B.

? ??, ?2? ? ? ? ?1, ?
?

3? ? 4?

C.? ??, ? ? ?

?1 ? , ?? ? ?4 ?

D. ? ?1, ?

? ?

3 ? ?1 ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ?

第Ⅱ卷 (共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上. 13. 已知 sin(? ?

?

3 ) ? ? (0 ? ? ? ? ) ,则 cos 2? ? 4 5



www.baishiedu.com 14. 如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角 形和菱形,则该几何体体积为________.

x2 y2 2 15. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y ? 8x 有一个公共的焦点 F , 且两曲线的一个 a b 交点为 P ,若 | PF |? 5 ,则双曲线方程为 .
16. 已知正项等比数列 ?an ? 中有 21 a1993 ? a1994 ? a1995 ????? a2013 ? 4005 a1 ? a2 ? a3 ????? a4005 ,则在等差数 列 ?bn ? 中,类似的正确的结论有 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题卡的对应位置. 17. (本小题满分 12 分) 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? Sn ? 2(n ? N? ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn . log 2 an ? log 2 an ?1

18. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 S ? ABCD 中,四边形 ABCD 是直角梯形, ?ABC=?BAD ? 90? , SA ? 平面

ABCD , SA ? AB ? BC ? 1 , AD ?

1 . 2

S

(1)求证:平面 SDC ? 平面 SBC ; (2)求直线 SB 与平面 SDC 所成角的大小.
A B C

19. (本小题满分 12 分)

D

某商场对某品牌电视机的日销售量(单位:台)进行最近 100 天的统计,统计结果如下:

www.baishiedu.com 日销售量 频数 频率 (1)求出表中 A、B、C、D 的值; (2) ①试对以上表中的日销售量 x 与频数 Y 的关系进行相关性检验, 是否有 95% 把握认为 x 与 1 A 2 40 C 3 B 4 5 D

2 5

3 20

Y 之间具有线性相关关系,请说明理由;
②若以上表频率作为概率, 且每天的销售量相互独立, 已知每台电视机的销售利润为 200 元,X 表示该品牌电视机两天销售利润的和(单位:元) ,求 X 数学期望. 参考公式:

相关系数 r ?

?x y
i ?1 i n 2 i ?1

n

i

? nx ? y
n

(? xi ? nx 2 )(? y 2 ? ny 2 )
i ?1

参考数据: 190 ? 13.8 ,

? x y ? 4 x ? y ? ?65, ? x
i ?1 i i i ?1

4

4

2

i

? 4 x 2 ? 5 , ? yi ? 4 y 2 ? 950,其中 xi 为
2 i ?1

4

日销售量, y i 是 xi 所对应的频数. 相关性检验的临界值表

n?2
1 2 3

小概率 0.05 0.997 0.950 0.878 0.01 1.000 0.990 0.959

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率是 ,其左、右顶点分别为 A1 , A2 , B 为短轴 2 2 a b

的一个端点,△ A 1 BA 2 的面积为 2 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 F2 为椭圆 C 的右焦点,点 P 是椭圆 C 上异于 A 1P , A2 P 与 1 , A2 的任意一点,直线 A 直线 x ? 4 分别交于 M , N 两点,证明:以 MN 为直径的圆与直线 PF2 相切于点 F2 . 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln

x ?1 1? x ? , (a ? 0) . 2 a( x ? 1)

www.baishiedu.com (1)若函数 f ( x) 在区间 (2, 4) 上存在极值,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, ??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)求证:当 n ? N ? 且 n ? 2 时,

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ln n . 2 3 4 n

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清 题号. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A, B, C 是圆 O 上三个点,AD 是 ?BAC 的平分线, 交圆 O 于 D , 过 B 做直线 BE 交 AD 延长线于 E ,使 BD 平分 ?EBC . (1)求证: BE 是圆 O 的切线; (2)若 AE ? 6 , AB ? 4 , BD ? 3 ,求 DE 的长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

1 ? x? t ? 2 ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) .在极坐标系(与直 3 ?y ? ? 3 ? t ? ? 2
角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,圆 C 的方程为

? 2 ? 2 3? sin ? ?1 ? 0 . 设圆 C 与直线 l 交于点 A , B ,且 P 0, ? 3 .
(1)求 AB 中点 M 的极坐标; (2)求| PA |+| PB |的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 (1)求 m 的值; (2)若 a, b, c, x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? a ? b ? c ? m,
2 2 2 2 2 2

?

?

已知函数 f ( x) ? m ? x ?1 ? x ? 2 , m ? R ,且 f ( x ? 1) ? 0 的解集为 ?0,1? .

求证: ax ? by ? cz ? 1.

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2013 年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)

数学(理科)参考答案与评分参考
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. A 3. A 4. C 5. C 6. C 7. A 8. B 9. C 10. D 11. C 12. B ? ? 1 3. A 提示 f ( x) ? a ? b ? cos x ? 2 cos x ? 3 ? ? 2 cos 2 x ? 1 ? cos 2 x, 故选择A. 3 5. C 提示:如图,画出可行域为 ?ABO 的内部(包括边界) ,其中 A(1,2). 令 m ? 2 x ? y ,可见当 2. D

? x ?1 时, m 取到最大值是 4,于是 z 的最大值是 log 2 (4 ? 4) ? 3 ,故选 C. ? y ? 2 ?
y B O A (1,2)

x

6.C 提示:由于要求

1 1 1 1 1 1 1 的和,且当 i ? 1 时, s ? ,当 i ? 2 时, S ? ? , ? ? ? ??? ? 2 2 4 2 4 6 20 依次类推,一共有 10 项,因而 i ? 10,故选 C.
?x ?x

7. A 提示: y ' ? (e )' ? ?e ,所以切线斜率为 ?e ,切线方程为 y ? e ? ?e( x ? 1) ,即 y ? ?ex , 所以 P 为真.极值点要求导数等于零的点左右单调性相反,所以命题 q 为假.所以“ p 或 q ”为真, 选 A. 8. B 提示: f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x =2sin (? x ? 依题意, | ? ? ? | 的最小值为 因此选择 B. 9. C 提示:依题意 m2 ? 9, m ? ?3, m ? 3时,e ?
4

?

1 1 2? 3? 2 周期,故 ? ? ,所以? ? . 4 4 ? 4 3

) 6 ,

2 6 ? ; m ? ?3时,e ? 2. 故选择 C. 3 3

4 1 4 10. D 提示: (方法一) C5 (C2 ) ? 80 ,而 C10 ? 210 ,故选 D.

(方法二)情形①在五个红球中取出四个,不在黑球中取,共有 C5 ? C1 ? 5 种;
4 0 3 1 情形②在五个红球中取出三个,在黑球中取出一个,共有 C5 ? C2 ? 20 种; 2 2 情形③在五个红球中取出二个,在黑球中取出二个,共有 C5 ? C3 ? 30 种;

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1 3 情形④在五个红球中取出一个,在黑球中取出三个,共有 C5 ? C4 ? 20 种; 0 4 情形⑤在红球中不取,在五个黑球中取出四个,共有 C5 ? C5 ? 5 种;从而共有 80 种情况. 4 而事件的基本空间中情况的个数为 C10 ? 210 ,于是选 D.

11.C 提示: 当截面是以 AB 为直径的圆时面积最小, 正三棱锥 O ? ABC 中,侧棱为 2,高为 1,可得底面边长为 3,故 S ? ? ( ) ?
2

3 2

9 ?, 4

选 C.

3 ? 2 x ? 2,?1 ? x ? ? ? 2 12. B 提示:由题得 f ( x) ? ? 由函数 3 2 ?? x ? x, x< ? 1或x> . ? 2 ? y ? f ( x) ? c 的零点恰有两个,即方程 f ( x) ? c 恰有两根, 也就是函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? c 的图象有两个交 3? ? 点.如图所示,满足条件的 c 为 (??,?2? ? ? ? 1,? ? , 故选B. 4? ?
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.





13.

24 25

14. 2 3

15. x -

2

y2 =1 3

16.

b1993 ? b1994 ? ? ? b2013 b1 ? b2 ? ? ? b4005 ? 21 4005

13.

24 提示: 25

? 0 ? ? ? ? ,?

?
4

?? ?

?
4

?

5? ? 3 ? 5? .又 ? sin(? ? ) ? ? ,?? ? ? ? ? , 4 4 5 4 4

? 4 ? ? ? cos(? ? ) ? ? ,? cos 2? ? sin(2? ? ) ? sin 2(? ? ) 4 5 2 4 ? ? 24 ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? . 4 4 25
14. 2 3 提示:由三视图知,几何体为底面是边长为 2,高为 3 的四棱锥,所以体积为

1 1 V ? ? ? 2 3 ? 2?3 ? 2 3 . 3 2
15. x 2

y2 =1 提示:抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F(2, 0) ,准线为 x ? -2 ,∴ 双曲线焦点 3

设 P(m,n) ,由抛物线的定义得 PF ? 5 ? m ? 2 ,∴ m ? 3 .代入 F(2,和 0) F 0) 即 c ? 2. 1 (?2, 抛物线方程得 P(3, , | PF ? 2 6) 1 |?

(3 ? 2) 2 ? (2 6 ? 0) 2 ? 7

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a ? 1 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ? 1 ? 3 , b ? 3 由双曲线的定义得 PF 1 ? PF ? 7 ? 5 ? 2a ,∴
∴双曲线方程为 x ?
2

y2 ?1. 3

16.

b1993 ? b1994 ? ? ? b2013 b1 ? b2 ? ? ? b4005 ? 21 4005

提示:根据等比性质可知 21 a1993 ? a1994 ? a1995 ????? a2013 ? a2003 , 4005 a1 ? a2 ? a3 ??? a4005 ? a2003 , 所以根据等差数列中,有

b1993 ? b1994 ? ? ? b2013 b1 ? b2 ? ? ? b4005 ? . 21 4005

三、解答题:本大题共 70 分. 17.(1)由 an?1 ? Sn ? 2(n ? N? ) ,得 an ? Sn?1 ? 2(n ? N ? , n ? 2 ) ,…2 分 两式相减得: an ?1 ? an ? an , 即 an?1 ? 2an (n ? N? , n ? 2 )…4 分

∵ {an } 是等比数列,所以 a2 ? 2a1 ,又 a2 ? a1 ? 2, 则 a1 ? 2 ? 2a1 ,∴ a1 ? 2 , ∴ an ? 2n . …6 分 (2)由(1)知 an ?1 ? 2n ?1 , an ? 2n ,∴ bn ?

1 1 1 1 , ? ? ? log 2 an ? log 2 an ?1 n ? n ? 1? n n ? 1
…………8 分

1 1 1 1 1 1 n . ……………………………12 分 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
18. (1)证明:取线段 SB 中点 F ,取 SC 中点 E ,连接 DE ,

EF , AF ,所以 EF / / BC 且 EF ?

1 BC , 2

S F E C

1 由已知 AD / / BC 且 AD ? BC ,所以 EF / / AD , 2 且 EF ? AD ,所以 AF / / DE ,且 AF ? DE , 因为 SA ? AB ,所以 AF ? SB , 又 SA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 BC ? SA ,又 BC ? AB ,且 SA ? AB ? A ,

B

A

D

所以 BC ? 面 SAB ,因为 AF ? 面 SAB ,所以 AF ? BC , SB ? BC ? B , 所以 AF ? 平面 SBC ,因为 AF / / DE , DE ? 平面 SBC , DE ? 平面 SDC ,所以平面 z SBC ? 平面 SDC . …………6 分 S (2)如图所示建立空间直角坐标系
F B E C y D

A x

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? 1 ? D ? 0, , 0 ? , C ? ?1,1,0? , B ? ?1,0,0? , ? 2 ?

S ? 0,0,1? ,

??? SB ? ? ?1,0, ?1? ,
令 n ? ? x, y, z ? 为平面 SCD 的一个法向量,则有

?

?1 y?z ?0 ? ? ?2 ,令 ,则 n ? ?1, 2,1? z ? 1 ? ?? x ? 1 y ? 0 ? ? 2
设直线 SB 与平面 SDC 所成角为 ? ,

sin ? ?

SB ? n SB n

?

3 3 ,所以 ? ? arcsin . 3 3

…………12 分

19.(1)依题 A ? 100 ? (2) ①所以由公式

2 3 40 2 5 1 ? 40 , B ? 100 ? ? 15 , C ? ? ,D ? ? .-------2 分 5 20 100 5 100 20

r?

?x y
i ?1 i 4 2 i ?1

4

i

? 4x ? y
4

?

(? xi ? 4 x 2 )(? y 2 ? 4 y 2 )
i ?1

?65 13 13 ?? ?? .----------------4 分 13.8 5 ? 950 190

13 ? 0.942 ? 0.950 . 13.8 可见没有 95% 把握认为 x 与 Y 之间具有线性相关关系. -----------------------6 分 ②令两天该商场销售该品牌电视机的台数为 ? ,则依题 X ? 200? . 而 ? 的值可能为 2,3,4,5,6,7,8. 2 2 4 2 2 8 1 由题 P(? ? 2) ? ? ? , P (? ? 3) ? C2 ? ? ? . 5 5 25 5 5 25 2 2 3 7 2 1 2 3 4 1 1 1 P(? ? 4) ? ( ) 2 ? C2 ? ? ? ? C2 ? ? ? , P(? ? 5) ? C2 ? ? , 5 5 20 25 5 20 5 20 25 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 2 1 P(? ? 6) ? C2 ? ? ? ( ) 2 ? , P (? ? 7) ? C2 ? ? ? , P(? ? 8) ? ( ) ? . 20 400 5 20 20 16 20 20 200
由r ? 从而 ? 的分布列为:

?
P

2

3

4

5

6

7

8

4 25

8 25

7 25

4 25

1 16

3 200

1 400

www.baishiedu.com ------------------------------------10 分 于是 E (? ) ? 2 ?

4 8 1 37 ? 3? ?? ? 8? ? . 25 25 400 10

这样 X 数学期望 E ( X ) ? E (200? ) ? 200E (? ) ? 740 (元).-------------------------------12 分

20.(1)解:由已知

? c 1 ? a ? 2, ? ? ? ab ? 2 3 , ? a 2 ? b 2 ? c .2 ? ? ?

…………2 分

解得 a ? 2 , b ? 3 .

故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

…………4 分

(2)证明:由(1)知 A 1 ? ?2,0 ? , A2 (2,0) , F 2 ?1,0? .设 P x0 , y0
2 2 则 3x0 ? 4 y0 ? 12 .

?

?? x

0

? ?2 ? ,

于是直线 A 1P 方程为 y ?

y0 6y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得 yM ? 0 . x0 ? 2 x0 ? 2
…………………………6 分

所以 M ( 4,

6 y0 2 y0 ) ,同理 N ( 4, ). x0 ? 2 x0 ? 2

所以 F2 M ? ( 3,

?????

???? ? 6 y0 2 y0 ) , F2 N ? ( 3, ). x0 ? 2 x0 ? 2
12 y 2 6 y0 2 y0 6 y0 2 y0 ? 9? 2 0 ) ? ( 3, ) ? 9? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 2

所以 F2 M ? F2 N ? ( 3,
2 3 ?12 ? 3 x0 ? 2 x0 ?4

????? ???? ?

?9?

=9 ?9 ? 0 , ………………… 8 分 …………9 分

所以 F2 M ? F2 N ,点 F2 在以 MN 为直径的圆上. 设 MN 的中点为 E ,则 E (4,

4 y0 ( x0 ? 1) ). x0 2 ? 4

又 F2 E ? (3,

???? ?

???? ? 4 y0 ( x0 ? 1) , ) F P ? ? x0 ? 1, y0 ? , 2 x0 2 ? 4

www.baishiedu.com 所以 F2 E ? F2 P ? (3,

???? ? ???? ?

2 4 y0 ? x0 ? 1? 4 y0 ( x0 ? 1) ? x ? 1, y ? 3 x ? 1 ? ) ? ? ? ? 0 0 0 2 2 x0 ?4 x0 ? 4

? 3 ? x0

?12 ? 3x ? ? x ?1 ?
?
2 0

0

? 1?

x ?4
2 0

? 3 ? x0 ? 1? ? 3 ? x0 ? 1? ? 0 .
…………11 分

所以 F2 E ? F2 P . 因为 F2 E 是以 MN 为直径的圆的半径, E 为圆心, F2 E ? F2 P , 故以 MN 为直径的圆与直线 PF2 相切于右焦点.

…………12 分

www.baishiedu.com 21. f ?( x) ?

2 1 ?a( x ? 1) ? a (1 ? x) 1 ?2 ? + ? + 2 x?2 2 [a( x ? 1)] x ? 2 a ( x ? 1) 2

2 x ? ( ? 1) a ( x ? 1) ? 2 a , ( x ? ?1) ? ? a ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2

………………………………2 分

2 2 ? f ( x) 在 (?1, ? 1) 上为减函数,在 ( ? 1, ??) 为增函数, a a 2 ………………………………4 分 ? f ( x) 在 x ? - 1 处取得极小值. a
2 ? 2 ?2 ? ? 1 ? 4 2 (1)依题: ? , ?a? . a 5 3 ? ?a ? 0,
?2 ? ?1 ? 1, a ? 1 . ? ?a ? 0,
………………………………6 分

(2)依题: ? a

………………………………8 分

x ?1 1? x ? , 在 [1, ??) 上为增函数, 2 x ?1 x ?1 1? x ? 当 x ? 1 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 ln ?? , ( x ? 1) , 2 x ?1 1? x 1 取? …………10 分 ? (n ? 2) , x ?1 n n ?1 x ?1 n n 1 则x? ,即有: ln ? 1, ? ? , (n ? 2) n ?1 2 n ?1 n ?1 n 1 1 1 1 3 4 n …………12 分 ? ? ? ? ? ? ? ln 2 ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln n . 2 3 4 n 2 3 n ?1 n n ?1 3 2 3 n ?1 n ln n ? ln ? ? ? ? ln 2 ? ln ? ? ? ln ? ln (方法二)由于 n ?1 n ? 2 2 1 2 n?2 n ?1
(3)由(2)知:当 a ? 1 时, f ( x) ? ln

n 1 ? ? n ? 2? . ………………………………………10 分 n ?1 n x ?1 1 ? ln x ? ? 1? x ? 1? , 考查函数 g ? x ? ? ln x ? x x 1 1 x ?1 而 g ' ? x ? ? ? 2 ? 2 ,所以 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 是增函数,在 ? 0,1? 上是减函数, x x x
从而只需证明 ln 所以 g ? x ?min ? g ?1? ? 0 ,所以 g ? x ? ? 0 . 令x?

n n 1 ? ? n ? 2 ? ,所以命题得证. , ln n ?1 n ?1 n

……………………………12 分

22. (1)证明:连接 BO 并延长交圆 O 于 G ,连接 GC

? ?DBC ? ?DAC ,又? AD 平分 ?BAC , BD 平分 ?EBC ,??EBC ? ?BAC .

www.baishiedu.com 又? ?BGC ? ?BAC ,??EBC ? ?BGC ,

? ?GBC ? ?BGC ? 90? ,? ?GBC ? ?EBC ? 90? ,? OB ? BE . ? BE 是圆 O 的切线.
(2) 由 (1) 可知△ BDE ∽△ ABE ,

……………5 分

BE BD ? ,? AE ? BD ? AB ? BE , AE AB 9 AE ? 6 , AB ? 4 , BD ? 3 ,? BE ? . ……8 分 2 27 . 8
……………10 分

由切割线定理得:

? BE 2 ? DE ? AE ? DE ?

23. 由 ? 2 ? 2 3? sin ? ?1 ? 0 , 得 x2 ? y 2 ? 2 3 y ?1 ? 0 ,即 x 2 ? y ? 3
2

?

?

2

? 4.

…………3 分

将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得
2 ? ? 3 ?1 ? 2 ? 3 ? t ? 3 =4,即 t ? 6t ? 8 ? 0 , t ? ? ? +? ? ? 2 ?2 ? ? ? ?t ?t ? 6 ? ? 4 ? 0 ,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以 ? 1 2 , ?t1t2 ? 8 解得t1 ? 2, t 2 ? 4.

…………6 分

?3 3? t1 ? t2 ?? ? ? 3 ,? M ? , ,? 点 M 的极坐标为 ? 3, ? . ………………8 分 ? ?2 2 ? 2 6? ? ? ? (2)又直线 l 过点,故由上式及参数 t 的几何意义得 PA ? PB = t1 ? t2
(1) = t1 ? t2 ? 6 . .........10 分 24.(1) ? f ( x ? 1) ? 0 ,? x ? x ?1 ? m . 当 m<1 时,? x ? x ?1 ? 1 ,? 不等式 x ? x ?1 ? m 的解集为 ? ,不符题意. 当 m ? 1 时,

1? m 1? m ? x<0 . ,? 2 2 ②当 0 ? x ? 1 时,得 x ? 1 ? x ? m ,即 1 ? m 恒成立. m ?1 m ?1 ③当 x>1 时,得 x ? ,?1<x ? . 2 2
①当 x<0 时,得 x ? 综上 x ? x ?1 ? m 的解集为 ? x

? 1? m m ? 1? ?x? ?. 2 ? ? 2

?1 ? m ? 2 ?0 ? 由题意得 ? ,? m ? 1 . m ? 1 ? ?1 ? ? 2

……………………………5 分

www.baishiedu.com (2) ? x ? a ? 2ax ,? y 2 ? b2 ? 2by ,
2 2

? z 2 ? c 2 ? 2cz ,?a2 ? b2 ? c2 ? x2 ? y2 ? z 2 ? 2 ? ax ? by ? cz ? ,
由(1)知? x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 1,

?2 ? ax ? by ? cz ? ? 2 ,? ax ? by ? cz ? 1.

…………………………10 分


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