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广东省江门市2017届高三(上)12月月考数学试卷(文科)(解析版)


2016-2017 学年广东省江门市高三(上)12 月月考数学试卷(文 科)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P={1,2,3,4},则集合 Q={x﹣y|x∈P,y∈P}中所含元素的个数 是( ) C.7 D.5 )

A.16 B.9

2.在复平面内,M、N 两点对应的复数分别为 1﹣3i、﹣2+i,则|MN|=( A. B. C. D.5 、 ,则 =( )

3.已知向量 、 满足 A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2

4.已知等差数列{an}满足 a1+a2=5,a2+a3=7,则 a2016=( A.2016 B.2017 C.2018 D.2019 )



5.若 a=log0.60.3,b=0.60.3,则(

A.a>1>b B.a>b>1 C.b>a>1 D.b>1>a 6.在平面直角坐标系中,直线 l:3x﹣y﹣6=0 与圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 的位置关 系是( A.相离 ) B.相切

C.直线与圆相交但不经过圆心 D.直线经过圆心 7.已知 a、b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 )

8.一个长方体的棱长分别为 1、2、2,它的顶点都在同一个球面上,这个球的 体积为( A. ) B. C.18π D.36π 的最小正周期

9.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 为 π,且 f(﹣x)=f(x) ,则( )
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A.f(x)在 C.f(x)在(0,

单调递减 B.f(x)在( )单调递增



)单调递减 , )单调递增

D.f(x)在(

10.若 x、y 满足约束条件 A.4 B.6 C.8 D.10

,则 z=x+y 的最大值为(



11.已知双曲线

两渐近线的夹角 θ 满足 ) D.以上都不是

,焦点到渐近线的距

离 d=1,则该双曲线的焦距为( A. B. 或 C. 或

12.对于函数

,有如下三个命题:

①f(x)的单调递减区间为[2n﹣3,2n﹣2](n∈N*) ②f(x)的值域为[0,+∞) ③若﹣2<a≤0,则方程 f(x)=x+a 在区间[﹣2,0]内有 3 个不相等的实根 其中,真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知命题 p:? x0∈Z, 的个位数字等于 3.则命题¬p: . .

14.经过点 P(3,6)的抛物线 y2=12x 的切线方程为

15.如图,P﹣ABCD 是棱长均为 1 的正四棱锥,顶点 P 在平面 ABCD 内的正投影 为点 E,点 E 在平面 PAB 内的正投影为点 F,则 tan∠PEF= .

16.已知 f(x)=3x﹣a×3﹣x 是偶函数.则:
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(1)a= (2)

; 的解集为 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在数列{an}中,已知 a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N?. (1)设 bn=an﹣n,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 18.如图,在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, (Ⅰ)若 ,求 c; ,求 b. ,a=2.

(Ⅱ)若△ABC 的面积为

19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB、AC、AA1 三条棱两两互相垂直,且 AB=AC=AA1=2,E、F 分别是 BC、BB1 的中点. (Ⅰ)求证:C1E⊥平面 AEF; (Ⅱ)求 F 到平面 AEC1 的距离.

20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: 为 ,椭圆 E 的顶点四边形的面积为 4 (1)求椭圆 E 的方程;
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=1(a>b>0)的离心率



(2)过椭圆 E 内一点 P(1,1)的直线 l 与椭圆交于 M、N 两点,若 直线 l 的方程.

,求

21.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f′(e) ;

(e)x+xlnx(其中,e 为自然对数的底数,x>0) .

(Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)是否存在整数 k,使得对任意的 x>0,f(x)>k(x﹣1)恒成立(*)若 存在,写出一个整数 k,并证明(*) ;若不存在,说明理由.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.某人在静水中游泳的速度为 中游泳. (Ⅰ) 如果他垂直游向河对岸, 那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为 多少? (Ⅱ) 他必须朝哪个方向游, 才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为 多少? 23.如图,某农厂要修建 3 个矩形养鱼塘,每个面积为 10 000 平方米.鱼塘前 面要留 4 米宽的运料通道,其余各边为 2 米宽的堤埂,问每个鱼塘的长、宽各为 多少米时占地面积最少? 千米/时,他现在水流速度为 4 千米/时的河

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2016-2017 学年广东省江门市高三(上)12 月月考数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P={1,2,3,4},则集合 Q={x﹣y|x∈P,y∈P}中所含元素的个数 是( ) C.7 D.5

A.16 B.9

【考点】元素与集合关系的判断. 【分析】找出所有可能的组合,用列举法表示出集合 Q. 【解答】解:x=1,y=1,x﹣y=0,则 Q={0}; x=1,y=2,x﹣y=﹣1,则 Q={﹣1}; x=1,y=3,x﹣y=﹣2,则 Q={﹣2}; x=1,y=4,x﹣y=﹣3,则 Q={﹣3}; x=2,y=1,x﹣y=1,则 Q={1}; x=3,y=1,x﹣y=2,则 Q={2}; x=4,y=1,x﹣y=3,则 Q={3}; Q 中所含元素的个数是 7. 故选:C.

2.在复平面内,M、N 两点对应的复数分别为 1﹣3i、﹣2+i,则|MN|=( A. B. C. D.5



【考点】复数求模. 【分析】直接利用复数对应点的坐标,求解距离即可. 【解答】解:在复平面内,M、N 两点对应的复数分别为 1﹣3i、﹣2+i, 可得复数 1﹣3i 和﹣2+i 对应的点为(1,﹣3) , (﹣2,1) , 则|MN|= .
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故选:D.

3.已知向量 、 满足 A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2



,则

=(



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】分别对 个式子即可解出 的值. , 的两边进行平方,然后联立所得到的两

【解答】解:根据条件得: ; ∴①﹣②得: ∴ 故选 B. . ;

4.已知等差数列{an}满足 a1+a2=5,a2+a3=7,则 a2016=( A.2016 B.2017 C.2018 D.2019



【考点】等差数列的通项公式. 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出. a2+a3=7, 2a1+3d=7, 【解答】 解: 设等差数列{an}的公差为 d, ∵a1+a2=5, ∴2a1+d=5, 联立解得 a1=2,d=1 则 a2016=2+=2017. 故选:B.

5.若 a=log0.60.3,b=0.60.3,则(



A.a>1>b B.a>b>1 C.b>a>1 D.b>1>a 【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵a=log0.60.3>log0.60.6=1>b=0.60.3, 则 a>1>b,
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故选:A.

6.在平面直角坐标系中,直线 l:3x﹣y﹣6=0 与圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 的位置关 系是( A.相离 ) B.相切

C.直线与圆相交但不经过圆心 D.直线经过圆心 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求出已知圆的圆心为 C(1,2) ,半径 r= 算出点 C 到直线直线 l 的距离 d,可得答案. 【解答】解:圆 C:x2+y2﹣2x﹣4y=0,可化为(x﹣1)2+(y﹣2)2=5 故圆 C 的圆心为 C(1,2) ,半径 r= , = ∈(0, ) , .利用点到直线的距离公式,

∵点 C 到直线直线 3x﹣y﹣6=0 的距离 d=

故直线 l:3x﹣y﹣6=0 与圆 C:x2+y2﹣2x+4y=0 相交,但不经过圆心, 故选:C.

7.已知 a、b 是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【解答】解:由 a>b 推不出 a2>b2,比如 a=0,b=﹣2,不是充分条件, 由 a2>b2 推不出 a>b,比如 a=﹣2,b=0,不是必要条件, 故选:D.

8.一个长方体的棱长分别为 1、2、2,它的顶点都在同一个球面上,这个球的 体积为( A. ) B. C.18π D.36π

【考点】球的体积和表面积. 【分析】先求长方体的对角线的长度,就是球的直径,然后求出它的体积.
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【解答】解:长方体的体对角线的长是: 球的半径是: 这个球的体积: 故选 B. =

=3

9.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ) 为 π,且 f(﹣x)=f(x) ,则( A.f(x)在 C.f(x)在(0, ) ,

的最小正周期

单调递减 B.f(x)在( )单调递增

)单调递减 , )单调递增

D.f(x)在(

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的单调性. 【分析】 利用辅助角公式将函数表达式进行化简, 根据周期与 ω 的关系确定出 ω 的值,根据函数的偶函数性质确定出 φ 的值,再对各个选项进行考查筛选. 【解答】解:由于 f(x)=sin(ωx+?)+cos(ωx+?)= 由于该函数的最小正周期为 T= 又根据 f(﹣x)=f(x) ,得 φ+ 因此,f(x)= 若 x∈ 若 x∈( , = ,得出 ω=2, +kπ(k∈Z) ,以及|φ|< ,得出 φ= . ,

cos2x, ,则 2x∈(0,π) ,从而 f(x)在 ) ,则 2x∈( , ) , 单调递减,

该区间不为余弦函数的单调区间,故 B,C,D 都错,A 正确. 故选 A.

10.若 x、y 满足约束条件 A.4 B.6 C.8 D.10

,则 z=x+y 的最大值为(



【考点】简单线性规划.
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【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得 到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得



∴A(

) .

化目标函数 z=x+y 为 y=﹣x+z,由图可知,当直线 y=﹣x+z 过 A 时,直线在 y 轴 上的截距最大, z 有最大值为 故选: . .

11.已知双曲线

两渐近线的夹角 θ 满足 ) D.以上都不是

,焦点到渐近线的距

离 d=1,则该双曲线的焦距为( A. B. 或 C. 或

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 运用双曲线 两渐近线的夹角 θ 满足 , 得到 =2 或 ,

结合点到直线的距离公式可得 b,再由 a,b,c 的关系即可得到 c,进而得到焦 距.
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【解答】解:∵双曲线 ∴ =2 或 ,

两渐近线的夹角 θ 满足



设焦点为(c,0) ,渐近线方程为 y= x, 则 d= =b=1,

又 b2=c2﹣a2=1, 解得 c= 或 . 或2 .

则有焦距为 故选 C.

12.对于函数

,有如下三个命题:

①f(x)的单调递减区间为[2n﹣3,2n﹣2](n∈N*) ②f(x)的值域为[0,+∞) ③若﹣2<a≤0,则方程 f(x)=x+a 在区间[﹣2,0]内有 3 个不相等的实根 其中,真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】画出函数 题的真假,可得答案. 【解答】解:函数 的图象如下图所示: 的图象,数形结合分析三个命

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由图可得:①f(x)的单调递减区间为[2n﹣3,2n﹣2](n∈N*) ,故①正确; ②f(x)的值域为[0,+∞) ,故②正确; ③若﹣2<a≤0,则方程 f(x)=x+a 在区间[﹣2,0]内至多有有 2 个不相等的实 根,故③错误; 故选:C

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知命题 p:? x0∈Z, 个位数字都不等于 3 . 的个位数字等于 3.则命题¬p: ? x∈Z,x2 的

【考点】命题的否定. 【分析】根据已知中的原命题,结合特称命题的否定方法,可得¬p. 【解答】解:∵命题 p:? x0∈Z, 的个位数字等于 3.

∴命题¬p:? x∈Z,x2 的个位数字都不等于 3. 故答案为:? x∈Z,x2 的个位数字都不等于 3.

14.经过点 P(3,6)的抛物线 y2=12x 的切线方程为 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

y=x+3



【分析】先求导,可得切线斜率,即可得到以 P 为切点的抛物线的切线方程. 【解答】解:在 y2=12x 两边同时求导,得:2yy′=12,则 y′= , 所以过 P 的切线的斜率:k= =1, 所以以 P 为切点的抛物线的切线方程为 y﹣6=(x﹣3) .
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即:y=x+3; 故答案为:y=x+3.

15.如图,P﹣ABCD 是棱长均为 1 的正四棱锥,顶点 P 在平面 ABCD 内的正投影 为点 E,点 E 在平面 PAB 内的正投影为点 F,则 tan∠PEF= .

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】取 AB 中点 G,连接 EG,可证得平面 PAB⊥平面 PEG,过 E 作 EF⊥PG, 垂足为 F,则 EF⊥平面 ABP,即 F 为 E 在平面 PAB 上的投影,然后求解直角三角 形得答案. 【解答】解:如图, 取 AB 中点 G,连接 EG,则 EG⊥AB,又 PE⊥平面 ABCD,∴PE⊥AB, ∵PE∩EG=E,∴AB⊥平面 PEG,则平面 PAB⊥平面 PEG,且平面 PEG∩平面 PAB 于 PG. 过 E 作 EF⊥PG,垂足为 F,则 EF⊥平面 ABP,即 F 为 E 在平面 PAB 上的投影. 在 Rt△PEG 与 Rt△PFE 中,可得∠PEF=∠PGE. ∵P﹣ABCD 是棱长均为 1 的正四棱锥,∴EG= ,PE= .

∴tan∠PEF= 故答案为: .



16.已知 f(x)=3x﹣a×3﹣x 是偶函数.则:
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(1)a= (2)

﹣1

; 的解集为 (﹣1,1) .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】 (1)根据 f(﹣x)=f(x) ,求得 a 的值. (2)不等式即(3x﹣3)?(3x﹣ )<0,即 <3x<3,由此求得 x 的范围. 【解答】解: (1)∵f(x)=3x﹣a×3﹣x 是偶函数,则 f(﹣x)=f(x) ,即 3﹣x﹣ a?3x=3x﹣a?3﹣x, 即(3﹣x﹣3x)=﹣a(3﹣x﹣3x) ,∴﹣a=1,即 a=﹣1,f(x)=3x +3﹣x, 故答案为:﹣1. (2) <0, ∴ <3x<3,∴﹣1<x<1. 故答案为: (﹣1,1) ,即 3x +3﹣x < ,即 32x﹣ ?3x+1<0,即(3x﹣3)?(3x﹣ )

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在数列{an}中,已知 a1=2,an+1=4an﹣3n+1,n∈N?. (1)设 bn=an﹣n,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和;等比关系的确定. 【分析】 (1)确定数列{bn}是等比数列,则要证明 题干条件即可证, (2) 首先根据 (1 ) 求出数列{bn}的通项公式, 然后根据题干条件求得 an=bn+n=4n
﹣1

是个不为 0 的定值,结合

+n,结合等差数列和等比数列的求和公式即可解答. ,

【解答】解: (1)∵ 且 b1=a1﹣1=1∴bn 为以 1 为首项,以 4 为公比的等比数列, (2)由(1)得 bn=b1qn﹣1=4n﹣1∵an=bn+n=4n﹣1+n,
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∴ = ,

18.如图,在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, (Ⅰ)若 ,求 c; ,求 b.

,a=2.

(Ⅱ)若△ABC 的面积为

【考点】正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用内角和求出角 C,再求出 sinC,由正弦定理求出 c 的值; (Ⅱ)根据三角形的面积公式求出 c 的值,再由余弦定理求出 b 的值. 【解答】解: (Ⅰ)△ABC 中, ∴ ,… ;… 由正弦定理 得 解得 ;… ;… ,… ,… ,… , ,

(Ⅱ)△ABC 的面积为 即 解得 c=3,… 由余弦定理得,b2=a2+c2﹣2accosB… = ,…

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解得

.…

19.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB、AC、AA1 三条棱两两互相垂直,且 AB=AC=AA1=2,E、F 分别是 BC、BB1 的中点. (Ⅰ)求证:C1E⊥平面 AEF; (Ⅱ)求 F 到平面 AEC1 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)根据勾股定理证明 EF⊥EC1,AE⊥EC1,再根据线面垂直定理可以证 明. (2)方法 1:设求 F 到平面 AEC1 的距离为 d,由等体积法 即可求出 d, 方法 2,判断出 EF 即为点 F 到面 AEC1 的距离,即可求出. 【解答】解: (1)连接 FC1、AC1,由已知可得 , ∴ ∴EF⊥EC1,AE⊥EC1, 又∵EF、AE? 面 AEF,EF∩AE=E, 故 C1E⊥平面 AEF (2)方法 1:由已知得 ∴AF2=EF2+AE2, ∴EF⊥AE, 由(1)知 C1E⊥平面 AEF,则 C1E 为三棱锥 C1﹣AEF 的高,
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=







设求 F 到平面 AEC1 的距离为 d,由等体积法 ∴ ∴ ∴ ,即 F 到平面 AEC1 的距离为 .

= , ,



方法 2: ∴ ∴EF⊥AE, ∴ 又∵C1E、AE? 面 AEF,C1E∩AE=E, ∴EF⊥面 AEC1, ∴EF 即为点 F 到面 AEC1 的距离, 即 F 到平面 AEC1 的距离为 . , ,





20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: 为 ,椭圆 E 的顶点四边形的面积为 4 (1)求椭圆 E 的方程; .

=1(a>b>0)的离心率

(2)过椭圆 E 内一点 P(1,1)的直线 l 与椭圆交于 M、N 两点,若 直线 l 的方程.

,求

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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由 = , =4 ,a2=b2+c2,解出即可得出. 可知 P 为 MN 的中点.当直线 l 的斜

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由

率不存在时,由椭圆的对称性可知交线段的中点在 x 轴上,与 P(1,1)矛盾.可 得直线 l 的斜率存在设为 k. 方法一: (点差法)把 M(x1,y1) ,N(x2,y2)代入椭圆的标准方程相减,利用 中点坐标公式与斜率计算公式即可得出. 方法二: 设直线 l 的方程为 y﹣1=k (x﹣1) , 与椭圆方程联立方程联立可得 (3+4k2) x2+8k(1﹣k)x+4(1﹣k)2﹣12=0,利用一元二次方程的根与系数的关系、中点 坐标公式与斜率计算公式即可得出. 【解答】解: (1)∵ = , 即椭圆 E 的标准方程是 . 可知 P 为 MN 的中点. =4 ,a2=b2+c2,∴ ,

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,由

当直线 l 的斜率不存在时, 由椭圆的对称性可知交线段的中点在 x 轴上, 与P (1, 1)矛盾. 故直线 l 的斜率存在设为 k. 方法一: (点差法)把 M(x1,y1) ,N(x2,y2)代入椭圆的标准方程是

得:





两式相减得 ∵MN 的中点为 P(1,1) ,∴x1+x2=2,y1+y2=2,
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代入得

,∴ ,即 3x+4y﹣7=0.

,即直线 l 的方程为

经检验 l 代入 C 消元后的方程的△>0,符合题意,故直线的方程为 3x+4y﹣7=0. 方法二:设直线 l 的方程为 y﹣1=k(x﹣1) ,联立方程得 消去 y 得(3+4k2)x2+8k(1﹣k)x+4(1﹣k)2﹣12=0, ∵MN 中点为 P(1,1)∴x1+x2=2, ∵P(1,1)在椭圆内部,故△>0,由韦达定理可得:∴ 解得 , ,即 3x+4y﹣7=0. , ,

即直线 l 的方程为

21.已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f′(e) ;

(e)x+xlnx(其中,e 为自然对数的底数,x>0) .

(Ⅱ)求函数 f(x)的极值; (Ⅲ)是否存在整数 k,使得对任意的 x>0,f(x)>k(x﹣1)恒成立(*)若 存在,写出一个整数 k,并证明(*) ;若不存在,说明理由. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,求出 f′(e)的值即可; (Ⅱ)求出 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而 求出函数的极值即可; (Ⅲ)令 k=1 或 2 或 3,求出函数的导数,解关于导函数的不等式求出函数的单 调区间,从而求出函数的最小值,证出结论即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵ ,f′(e)=3… (Ⅱ)由(1)知 f(x)=x+xlnx, (x>0) ,f'(x)=2+lnx,…
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,…

令 令 令 ∴

,… ,… ,… ,无极大值.…

(Ⅲ)①当 k=1 时,命题成立….证明如下: 对任意的 x>0,f(x)=x+xlnx>1(x﹣1)即 xlnx+1>0 恒成立 令 g(x)=xlnx+1,g'(x)=lnx+1,令 令 令 ∴ ②当 k=2 时,命题成立….证明如下: 对任意的 x>0,f(x)=x+xlnx>2(x﹣1)即 xlnx﹣x+2>0 恒成立 令 g(x)=xlnx﹣x+2,g'(x)=lnx,令 g'(x)=lnx=0,即 x=1,…; 令 g'(x)=lnx>0,即 x∈(1,+∞) ,g(x)递增,…; 令 g'(x)=lnx<0,即 x∈(0,1) ,g(x)递减,…; ∴g(x)min=g(x)极小=g(1)=﹣1+0+2=1>0…; ③当 k=3 时,命题成立….证明如下: 对任意的 x>0,f(x)=x+xlnx>3(x﹣1)即 xlnx﹣2x+3>0 恒成立 令 g(x)=xlnx﹣2x+3,g'(x)=lnx﹣1,令 g'(x)=lnx﹣1=0,即 x=e,… 令 g'(x)=lnx﹣1>0,即 x∈(e,+∞) ,g(x)递增,…; 令 g'(x)=lnx﹣1<0,即 x∈(0,e) ,g(x)递减,…; ∴g(x)min=g(x)极小=g(e)=e﹣2e+3=3﹣e>0… (说明:k=1,k=2,k=3 只要对其中一种都是满分. ) …; ,…; ,…; ,…;

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.某人在静水中游泳的速度为 中游泳.
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千米/时,他现在水流速度为 4 千米/时的河

(Ⅰ) 如果他垂直游向河对岸, 那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为 多少? (Ⅱ) 他必须朝哪个方向游, 才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为 多少? 【考点】向量的三角形法则;向量加减混合运算及其几何意义. 【分析】 (1)如图①,以 V 水、V 人为邻边作?平行四边形,则此人的实际速度为 V 实=V 水+V 人,可得结论; ( 2 ) 如 图 ② , 解 直 角 三 角 形 可 得 |v tanθ= = = .


|=

( km/h ) ,则

【解答】解: (1)如图①,由于 V 实=V 水+V 人, ∴|V 实|= 又 tanθ= ∴θ=60°, ∴他必须沿与河岸成 60°角的方向前进,实际前进速度的大小为 8km/h. (2)如图②,解直角三角形可得|v 实|= 又 tanθ= = = , ,或 等)方向 (km/h) , = = (km/h) , ,

∴他必须沿与水流方向成 90°+θ(锐角 θ 满足 航行,实际前进速度的大小为 (km/h) .

23.如图,某农厂要修建 3 个矩形养鱼塘,每个面积为 10 000 平方米.鱼塘前
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面要留 4 米宽的运料通道,其余各边为 2 米宽的堤埂,问每个鱼塘的长、宽各为 多少米时占地面积最少?

【考点】基本不等式在最值问题中的应用. 【分析】设每个鱼塘的宽为 x 米,根据题意可分别表示出 AB 和 AD,进而表示出 总面积 y 的表达式,利用基本不等式求得 y 的最小值.进而求得 此时 x 的值. 【解答】解:设每个鱼塘的宽为 x 米, 且 x>0,且 AB=3x+8,AD= 则总面积 y=(3x+8) ( =30048+ ≥30048+2 当且仅当 18x= +18x =32448, ,即 x= 时,等号成立,此时 =150. +6) +6,

即鱼塘的长为 150 米,宽为

米时,占地面积最少为 32448 平方米.

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2017 年 2 月 6 日

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