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高中数学总复习知识点分类网络结构图(大全·精华)


数学家 张竹强

集合 集合与简易逻辑 集合间的关系与运算 简易逻辑

映射与函数 函 数 映射与函数 函数的三要素 函数的图象

单调函数与函数的单调性 函数的性质与反函数 函数的奇偶性 反函数及其图象 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数 初等函数 幂函数 指数与指数函数 对数与对数函数 函数的应用 函数的应用



-1-

数学家 张竹强

集合的基本概念 元素与集合的关系 特定集合的记法 集合
N(自然数集) 、Z(整数集) 、Q(有理数集) 、R(实数集) 、C(复数集)

对集合概念的理解 集 合 与 简 易 逻 辑 集合与 集合间 的关系 空集的特殊性 集合语言与数学语言的互译 集合与集合的关系 ① ? ? A , ? ? B( B ? ?) (A、B 代表任意集合) ② A ? B, B ? C ,则 A ? C
③ A ? B ? B ? A ? B; A ? B ? A ? A ? B ; A ? B ? I ? A ? B ④若 A 中元素有 n 个,则 A 的子集共有 2 个,真子集有 2 ? 1 个
n n

集合间的运算 数形结合解集合问题 注意交集思想、并集思想、补集思想的运用 命题 简易逻 辑 反证法 充分条件与必要条件 逻辑与集合思想

-2-

数学家 张竹强

映射的概念 函数的概念 映射与函数的关系 映射与函数 映 射 与 函 数 表示函数的符号 函数的表示法 复合函数的定义 区间的概念 函数方程 函数三要素
定义域、值域、对应法则,三者缺一不可。

函数的定义域 函数三要素 函数的值域 函数的解析式 函数定义域的求法 函数值域的求法 用值域求最值 求解函数解析式 描点法作图 函数的图象 函数图象的变换 坐标变换

-3-

数学家 张竹强

单调函数的定义 单调函数的特点 单调函数与函数的单 调性 利用单调性求极值 利用单调性解方程 单调函数与二次方程结合 奇偶函数的定义 函数的奇偶性 奇偶函数的性质 奇偶函数与周期函数的结合 反函数的定义 反函数及其图象 反函数的一些性质 反函数求值域或定义域 反函数解不等式

函 数 的 性 质 与 反 函 数

指数函数的定义 指数与 指数函 数 指数函数的图象 指数函数的性质 指数函数与方程 初 等 函 数 指数函数的单调性 对数的有关概念 对数函数的定义 对数与 对数函 数 对数函数的图象 对数函数的性质 求对数的极值 对数方程

-4-

数学家 张竹强

初等函数及其分类
初等函数是能用一个解析式表示的函数,它分为超越函数和代数函数两 种(超越函数包括指数是无理数的幂函数、指数函数、对数函数、三角 和反三角函数),一共有 15 个约定的模型函数,我们一般研究七个: ①若 y ? kx (k k ②若 y ?
k x

,那么,y 叫做 x 的正比例函数 k ? 0)

(k 是常数, k ? 0 ) ,那么,y 叫做 x 的反比例函数

③若 y ? kx ? b (k,b 是常数, k ? 0 ) ,那么,y 叫做 x 的一次函数 ④若 y ? ax ? bx ? c (a,b,c 为常数, a ? 0 ) ,则 y 叫 x 的二次函数 ⑤函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 是自变量,a 是常数
a 2

初 等 函 数

正比例 函数、 反比例 函数、 一次函 数、二 次函数

⑥函数 y ? a 叫做指数函数,其中 a 为常量且 a>0 且 a≠1 ⑦若 a ? N (a>0 且 a≠1) ,则 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记做
b

x

log a N ? b ,其中 a 叫底数,N 叫真数

初等函数的定义、图象、性质 二次函数、二次方程、二次不等式 二次函数图象交点问题 函数极值的求法 函数解析式的求法 幂函数的定义

幂函数

幂函数的图象 幂函数的性质 幂函数的奇偶性和单调性

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数学家 张竹强

不等式的性质 不等式 算术平均数与几何平均数 不等式的证明 不 等 式 不等式的证明 解不等式 不等式的拓展 不等式的应用 不等式的概念 不等式的基本性质 ① a ? b ? b ? a (对称性)② a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) ③ a ? b ? a ? c ? b ? c ④ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d 不等 式的 性质
⑤ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ⑥ a ? b, c ? d ? 0 ? ac ? bd ⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? 0; a ? b ? 0 ?
n n n

含有绝对值的不等式

a?

n

b ? 0 ?n ? N ?

比较法解不等式 等号成立条件 不 等 式 分类思想的应用 重要结论的充分应用 基本不等式 算 平 数 几 平 数 数 均 与 何 均
① a ? b ? 2ab ②若 a , b ? R 则 a ? b ? 2
2 2
?

?

ab ③ a 2 ? b2 ? c 2 ? 3abc

④若 a1 , a2 ? an ? R 则 a 1 ? a2 ? ? ? an ? n n a1a2 ? an

不等式的最值问题 不等式、三角函数和三角形的结合

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数学家 张竹强

比较法 综合法 分析法 反证法 不 等 式 的 证 明 换元法 放缩法 判别式法 数学归纳法 解不等式的概念
不等式的同解变形原理: ①对任何一个不等式 f ( x) ? g ( x) ,h( x) 为任一关 于

x 的 代 数 式 , f ( x) ? g ( x) 与 f ( x) ? h( x) ? g ( x) ? h( x)

同解;②若

a ? 0 ,则不等式 f ( x) ? g ( x) 与不等式 af ( x) ? ag ( x) 同解。

不 等 式 的 证 明 解 不 等 式

整式不等式的解法
(1) ax ? bx ? c ? 0
2

? a ? 0 ? 的解

① ? ? 0 ,不等式的解为 {x | x ? x1,或x ? x2 } ; ② ? ? 0 ,不等式的解为 {x | x ? R且x ? ?

b 2a

};

③ ? ? 0 ,不等式的解为 R. (2) ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的解
2

① ? ? 0 ,不等式的解为 {x | x1 ? x ? x2 } ; ② ? ? 0 ,不等式的解为 ? . 分式不等式的解法
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ? 0 与 f ( x) g ( x) ? 0 同解

? 0与?

? f ( x) g ( x) ? 0 同解 ? g ( x) ? 0

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数学家 张竹强

无理不等式的解法



f ( x)

? f ( x) ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? g ( x ) 与不等式组 ? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 ?
同解

或?

? f ( x) ? 0 同解 ? g ( x) ? 0



? f ( x ) ? [ g ( x )]2 ? f ( x ) ? g ( x ) 与不等式组 ? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 ?



? f ( x) ? g ( x) ? f ( x ) ? g ( x ) 与不等式组 ? f ( x ) ? 0 ? g ( x) ? 0 ?

同解

解 不 等 式

指数不等式的解法
① a ? 1时, a
f ( x)

?a

g ( x)

与f ( x) ? g ( x)同解;
g ( x)

② 0 ? a ? 1时,a

f ( x)

?a

与f ( x ) ? g ( x )同解

对数不等式的解法 ① a ? 1 时 log a f ( x) ? log a g ( x) 与 ? 不 等 式 的 证 明 含 有 绝 对 值 的 不 等 式 证 明

? f ( x) ? g ( x) 同解 ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) 同解 ? f ( x) ? 0

② 0 ? a ? 1 时 log a f ( x) ? log a g ( x) 与 ? 分类讨论思想的应用 绝对值的定义和性质 绝对值不等式的同解变形
① | x |? c ?

??c ? x ? c(c ? 0) ? ? x ? ?(c ? 0)

? x ? c, 或x ? ?c (c ? 0) ? ② | x |? c ? ? x ? 0( c ? 0) ? R (c ? 0) ?
③ | f ( x ) |?| g ( x) |? [ f ( x)] ? [ g ( x)]
2 2

绝对值不等式的证明
一般要利用 | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | 的性质来证明

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数学家 张竹强

平均值不等式
a1 ? a2 ? ? ? an n ?
n

a1a2 ? an 当且仅当 a1 ? a2 ? ?? ? an 时取等号

柯西不等式

(? ai bi ) 2 ? ? ai2 ? ? bi2 当且仅当 ai ? kbi (i ? 1, 2, ? , n) 时取等号
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

排序不等式 著 名 不 等 式
a1bn ? a2bn ?1 ? ? ? an b1 ? a1b j ? ? ? an b jn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn
1

复数模不等式
Z1 , Z 2 , ? Z n 是 ? 复 数 , 则 ① || Z1 | ? | Z 2 ||?| Z1 ? Z 2 |?| Z1 | ? | Z 2 | 当 Z1Z 2 ? 0 时,当且仅当 Z1 ? ? Z 2 (? ? 0) 时右等号成立; Z1 ? ? Z 2

(? ? 0) 时左等号成立② |

? Zi |? ? | Zi | 当且仅当辅角相等时等号成立
i ?1 i ?1

n

n

琴生不等式
设 f ( x ) 在 区 间 ( a, b) 内 下 凸 ,

x1 , x2 ,?, xn

是 区 间 ( a, b) 内 的 任 意 数 , 有

不 等 式 拓 展

f (q1 x1 ? q2 x2 ? ? ? qn xn ) ? q1 f ( x1 ) ? q2 f ( x2 ) ? ? ? qn f ( xn )
(其中 q1 , q2 , ? , qn ? R ,
?

。上凸函数不等号转向. ? qi ? 1 )
i ?1

n

比较法 证 明 不 等 式 的 常 用 方 法
要证明 A ? B ,通常作差比较 A ? B ,或作商比较

A B

(B ? R )

?

分析综合法 数学归纳法 放缩法 变量代换法 构造法 局部调整法

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数学家 张竹强

一元二次方程的实根分布问题 不 等 式 的 应用 不等式求函数的极值 不等式在实际生产生活中的应用题
椭圆不等式的应用和推广

数列的定义和分类 数列 数列的表示法 数列的前 n 项和 数列、 极限、 数 学 归 纳 法 等差数列 等差数列 等差数列的前 n 项和 等差数列的性质 等比数列 等比数列 等比数列的前 n 项和 等比数列的性质 数列的极限 和数学归纳 法 数列的应用 限和数学归 纳法 数列的极限 数学归纳法 数列的应用

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数学家 张竹强

数列的定义 数列的分类 数列的 定义和 分类 数列和集合的异同点 数列和函数的异同点 数列的表示法 数列的 表示法 数列的通项公式 数列的递推式 如何看待不是每一个数列都可以写出通项公式或递推式 数列的递推式与通项公式互化 数 列 数列的 前n项 和 数列的前 n 项和 数列的前 n 项和的求法 数列的前 n 项和与通项公式的关系 数列的前 n 项与构造新数列 深层次理解数列的前 n 项和与通项公式的关系

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数学家 张竹强

等差数列的定义 等差数列的通项公式
an ? a1 ? ? n ? 1? d , n ? N , d ? R

等 差 数 列

等差 数列

等差中项
如 果 三 个 数 x, A, y 成 等 差 数 列 , 那 么 A 叫 做 x, y 的 等 差 中 项 , 且

2A ? x ? y . x 和

y 的等差中项也称为 x 和 y 的算术平均数

等差数列的通项公式是如何得到的 等差数列递推式 an ? an ?1 ? d 的变形及应用 等差数列和一次函数的异同点 等差 数列 的前 n 项 和 等差数列的前 n 项和

Sn ?

n ? a1 ? an ? 2

? na1 ?

n ? n ? 1? d 2

?

d 2

n 2 ? ? a1 ?

? ?

d? 2 ? n ? An ? Bn 2?

等差数列的判定 等差数列的前 n 项和公式和二次函数的关系 等差数列的基本性质


a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? ... ? a1 ? an ② d ?

an ? am n?m

?m ? n?

③ 若

m+n=k+l,其中 m,n,k,l 均为自然数,则必有 am ? an ? ak ? a1 ④等差数 列中,其项数成等差的项构成的一个子数列仍是等差数列⑤等差数列的每一

等差 数列 的性 质

项都加上一个常数(或乘以一个非零实数 k)仍然构成一个与原等差数列, 公差不变(或变为原来的 k 倍)

等差数列若干项和的性质
将公差为 d 的等差数列截为 k 段,每段具有 m 项,则每段各项之和组成的新 数列为等差数列,其公差为 m d
2

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数学家 张竹强

等比数列的定义 等比数列的通项公式
an ? q ? an ?1 其中 a1 ,q 分别是首项和公比,n 为项数,n∈N

等 比 数 列

等比 数列

等比中项
如 果 三 个 数 x, A, y 成 等 比 数 列 , 那 么 A 叫 做 x 和 y 的 等 比 中 项 , 且

A ? xy , A ? ? xy 。x 和 y 的等比中项也称为 x 和 y 的几何平均数。

2

等比数列的通项公式是如何得到的

等比数列递推式

an ?1 ? q 的变形及应用 an

等比数列和指数函数的异同点 等比 数列 的前 n 项 和 等比数列的前 n 项和

q ? 1 ? na1 , q ?1 ?na1 , ? ? Sn ? ? 1 ? q n ? ? a1 ? an q ?a1 1 ? q , q ? 1 ? 1 ? q , q ? 1 ? ?
等比数列的判定 等比数列的概念扩展 等比数列的基本性质
① a2 an ?1 ? a3an ? 2 ? a4 an ?3 ? ... ? a1an ② an ? am q
n?m

③若 m,n,k,l

等比 数列 的性 质

均为自然数, m ? n ? k ? l , 且 则必有 am an

? ak al ④其项数成等差的项构

成的一个子数列仍是等比数列⑤若数列 {an } 为无穷等比数列,其公比为 q, 则对任意正整数 m,数列 {an an ?1 ? an ? m } 仍是等比数列,其公比为 q
m ?1

等比数列若干项积的性质 等比数列若干项和的性质 递推数列的一阶特征方程

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数学家 张竹强

数列的极限 数列极限的运算法则
若 lim
n??

an =A, lim bn =B,①则 lim ? an ? bn ? =A±B; lim ? an bn ? ? AB
n?? n ?? n ??

数 列 的 极 限 数 列 的 极 限 和 数 学 归 纳 法

②当 C 为常数时, lim (C an )=CA; lim ? ?
n??

n ??

? an ? A ? ? (B≠0) ? bn ? B

无穷数列的所有项的和
无穷递缩等比数列的各项和记作 S, 则 S ? lim S n
n ??

? 1 ? qn ? lim ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? lim ? a1 n ?? n ?? ? 1? q

? a1 ?? ? 1? q

怎样理解数列的极限 如何求简单数列的极限 演绎法和归纳法 数 学 归 纳 法 完全归纳法和不完全归纳法 数学归纳法 如何理解数学归纳法 如何运用数学归纳法

角的概念的推广、弧度制 三角函数 任意角的三角函数 同角三角函数关系式和诱导公式 三角变换 三 角 函 数 两角和与差的三角函数公式 倍角与半角的三角函数公式 三角函数的 图像和性质 反三角函数 与简单的三 角方程 三角函数的 应用限和数 学归纳法 三角函数的图像与性质 等比数列的性质 反三角函数的图像和性质 简单三角方程 数列的应用

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数学家 张竹强

角的概念 角的概念的推广 角 的 概 念 的 推 广 角的度量 弧度与实数的一一对应 任意角的三角函数 需要牢记的三角函数值
角 函数



30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

0

? 6
1 2

? 4
2 2

? 3
3 2

? 2
1

?

3? 2

2?

三 角 函 数 任 意 角 的 三 角 函 数

sin

0

0

-1

0

cos

1

3 2 3 3
3

2 2

1 2

0

-1

0

1

tan

0

1

3

不存 在

0

不 存 在

0

不存 cot 在 三角函数线 弧长公式

1

3 3

0

不 存 在

0

不 存 在

任意角三角函数和与其对应的锐角三角函数的关系

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数学家 张竹强

同 角 三 角 函 数 关 系 式 和 诱 导
公 式

同角三角函数的基本关系 三角函数的诱导公式
“奇变偶不变,符号看象限”

如何记忆同角三角函数的基本关系 求任意角三角函数的步骤 三角函数的基本题型 化归思想 整体代换法

三 角 变 换

两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 公 式

两角和与差的三角函数公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? , cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

公式的推导 公式的运用 三角形中的三角函数关系式,判断三角形的形状 注意角度的各种存在形式 利用三角函数求最值问题

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数学家 张竹强

倍角、半角公式
①二倍角公式: cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2 sin ? ? 2 cos ? ? 1
2 2 2 2

sin 2? ? 2sin ? cos ? , tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2
3

②三倍角公式:

sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin ? , cos 3? ? 4 cos ? ? 3 cos ? , tan 3? ?
3

3 tan ? ? tan ?
3

1 ? 3 tan ?
2

③半角公式: sin

?
2

??

1 ? cos ? 2 1 ? cos ? sin ?

, cos

?
2

??

1 ? cos ? 2

三 角 变 换

倍 角 与 半 角 的 三 角 函 数 公 式

tan

?
2

??

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

?

sin ? 1 ? cos ?

部分倍角、半角公式、和差化积、积化和差的推导 倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用 万能公式的应用
2 tan sin ? ? 1 ? tan

?
2
2

1 ? tan , cos ? ? 1 ? tan

2

? ?
2 , tan ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2

2

?
2

2

三角函数在三角形中的应用

反三角函数的定义 反三角函数的图像和性质 定义域,值域问题 反三角函数图 像及其性质 反三角函 数与简单 三角方程 单调性 奇偶性 求最值问题 求反函数 综合类型 简单三角方程 三角方程的定义 三角方程与实数方程的结合

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数学家 张竹强

三角函数的图像 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 五点作图法

函数图像的坐标变换 求定义域和值域型 求最值型 求三角函数的周期与单调性 余弦定理

三 角 函 数 的 图 象 和 性



正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 、 解 斜 三 角 形

正弦定理

斜三角形的解法

一些有用的结论

三角函数在三角形中的应用

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数学家 张竹强

向量 向量的加减法 平面向量及 其运算 向量和实数的积 平面向量的数量积及运算率 平面向量的坐标表示及运算 向量 平面向量的 坐标表示 向量的定比分点 平移 空间向量及 运算 向量的应用 限和数学归 纳法 空间向量 空间向量的运算 向量的应用

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数学家 张竹强

向量的定义 向量的模 零向量和单位向量 向量 平行向量、共线向量和相等向量 向量和有向线段 平 面 向 量 及 其 运 算 向量与标量 向量的相等与平行 向量的加法 向量 的加 减法 向量的平行四边形法则 向量加法满足交换率和结合率 向量的减法 向量减法的几何作法 对于向量三角形法则的补充 向量 和实 数的 积 实数和向量积的定义 实数和向量积的运算率 两个向量公线定理 平面向量的基本定理 如何利用和证明向量的平行关系 平面 向量 的数 量积 及运 算律 学归 纳法 向量方程的求解 平面向量数量积的定义和几何意义 向量数量积的性质 向量数量积的运算率 向量数量积运算与普通乘法运算的比较 用 i、j 坐标表示下向量的数量积

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数学家 张竹强

平面向量的坐标表示 向量的模
若 a =(x,y),则 |a|2= a ? a =x2+y2,∴| a |=

x ?y

2

2

平 面 向 量 的 坐 标 表 示

平面 向量 的坐 标表 示及 运算

两点间的距离公式
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB ?

?? ?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) |

2

2

两个非零向量垂直的充要条件的坐标表示
若 a =(x1,y1),

b =(x2,y2),则 a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0
x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2

两向量的夹角公式的坐标表示

a =(x1,y1), b =(x2,y2)的夹角的余弦 cos ? ?
平面向量的坐标运算

向量的坐标与表示该向量的有向线段的起始点位置无关 仿射坐标系的思想 向量的平行和垂直的判定 点 P 分有向线段所成的比的定义 线段 的定 比分 点 定比分点公式,中点公式及其推导

?x ? ? ? ,设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)分 PP2 所成比为 ? ,则 ? ?y ? ? ?
???
(λ ≠-1)

x1 ? ? x2 1? ? y1 ? ? y2 1? ?

定比分点的几个重要公式 平移 图形的平移 平移公式 利用平移公式化简函数解析式 平移图像是平移图像的每一点

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数学家 张竹强

空间向量的概念 空间向量的表示方法
i=(1,0,0) ,j=(0,1,0) ,k=(0,0,1).若 a=(x,y,z) ,则 a=xi+yj+zk

相等向量的内涵 空间直角坐标系中的坐标 向量的坐标 空间向量的直角坐标运算律
若a

?

? ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) , ? ? R ? ? ? ? ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) a ? ?

则① a ? b

空 间 向 量

? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 )(? ? R) , a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
② a // b

?

? ?

? a1 ? ? b1 , a2 ? ? b2 , a3 ? ? b3 ,

? ? a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ? 0
③若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) . 模长公式
若a

??? ?

?

? ? ? ? (a1 , a2 , a3 ) ,则 | a |? a ? a ? a12 ? a2 2 ? a32



夹角公式

? ? ? ? a ?b cos a ? b ? ? ? ? | a |?| b |
两点间的距离

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ? a2 ? a3
2 1 2 2

b1 ? b2 ? b3
2 2

2

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2
空间的向量 平面向量与空间向量

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数学家 张竹强

空间向量的运算
??? ??? ???

OB ? OA ? AB ? a ? b, BA ? OA ? OB ? a ? b, OP ? ? a (? ? R )

?? ?

???

???

???

运算律: ⑴加法交换律: ? b ? b ? a ⑵加法结合律: a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ( a ⑶数乘分配律: ? (a ? b) ? ?a ? ?b

平行六面体 空间向量的加减与数乘
OB ? OA ? AB =a+b, AB ? OB ? OA , OP ? ? a, (? ? R )

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?

??? ?

空间向量的加减与数乘运算律
⑴加法交换律:a + b = b + a⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); ⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb.

空 间 向 量 的 运 算

空间向量的夹角 向量的数乘积
? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? a , b ?

空间向量数乘积的性质
① a ?e

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?| a | cos ? a, e ? .② a ? b ? a ? b ? 0 .③ | a |2 ? a ? a .

空间向量数量积运算律
① (? a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? (? b ) ② a ? b ? b ? a (交换律) ③ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律)④e?a = a?e =|a|cos a, e ⑤a?b ? a?b = 0⑥当 a 与 b 同向时, = |a||b|; a 与 b 反向时, = ?|a||b|. a?b 当 a?b 特别的 a?a = |a|2 或 | a |?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

a ? a ⑦ cos a, b ?

a ?b ⑧|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

空间共面向量定理及推论
空间任意一向量

p 可表示为 x a ? y b ? z c , a, , 不共面, x, y, z ? R bc

空间向量的基本定理 利用空间两个向量平行的条件 数量积与互相垂直的等价关系 数量积求角度,求点的坐标

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数学家 张竹强

多面体简介 多面体 棱柱 棱锥与棱台 简单多面体与欧拉公式 圆柱、圆锥与圆台 旋转体 球 简单 几何 体 简单几何体的 表面积与体积 截面 表面积与体积的定义与公理 棱柱与圆柱的表面积与体积 棱锥与圆锥的表面积与体积 棱台和圆台的表面积与体积 球的表面积与体积 简单几何体的 应用 简单几何体的应用

几何体 多面体 多 面 体 凸多面体和凹多面体 多面体 简介 正多面体 拟柱体 数学基本元素中的形元素 表面由正多边形构成的多面体

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数学家 张竹强

棱柱 斜棱柱与直棱柱 平行六面体 长方体三度定理及推论 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的 平方和;若长方体对角线和各棱所成的角分别为 ? , ? , ? ,和 各面所成角分别为 ? ?, ? ?, ? ? ,则

棱柱

cos 2? ? cos 2 ? ? cos 2? ? 1;sin 2? ? sin 2 ? ? sin 2? ? 2 ;
cos 2? ? ? cos 2 ? ? ? cos 2? ? ? 2;sin 2? ? ? sin 2 ? ? ? sin 2? ? ? 1

特殊四棱柱之间的联系 多 面 体 简单几何体中的空间直线与平面 棱锥 正棱锥 棱锥与 棱台 棱锥的斜高 棱台 正棱台 棱台和棱锥相关问题的转化 简单多面体 如何证明欧拉公式 欧拉公式 简单多 面体与 欧拉定 理
简单多面体的顶点数 V、棱数 E、面数 F,则有 V ? F ? E ? 2

欧拉示性数
欧拉公式中,令 f

? p ? ? F ? V ? E ,那么 f ? p ? 叫做欧拉示性数

正多面体的种数
正多面体只有五种:正四面体、正八面体、正六面体、正十二面体和 正二十面体

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旋转面 圆柱面 圆柱 圆锥 与圆 台 圆锥面 旋转体 圆柱 圆台 为什么说旋转体的轴截面是研究旋转体的主要工具 球面 球 旋 转 体 球的大圆和小圆 经线和纬线 两点的球面距离 球的切面和切线 球的内结圆台 球扇形 球冠和球冠面积公式
球面被平面所截得的一部分叫做球冠。截得的圆叫做球冠的底,垂 直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高。 如果球冠所在球半径为 R, 球冠高为 h,球冠面积为 S,则有 S ? 2? Rh



球带和球带面积公式
球面夹在两个平行截面之间的部分叫做球带,截得的两个圆叫做球带的 底,两个平行截面之间的距离叫做球带的高。如果球的半径是 R,球带 的高是 h,那么球带的面积 S ? 2? Rh

球缺和球台 环面和环体 简单多面体 怎么理解球类问题中的诸多概念

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截面 棱柱的截面 棱锥的截面 棱台的截面 截面 圆柱的截面 圆锥的截面 圆台的截面 简单 几何 体的 表面 积与 体积 球的截面 通过截面深层次体会降维思想 几何体的体积 长方体体积公理及推论
设长方体的三棱长分别是 a、b、c,则其体积 V ? abc 设长方体底面积为 S,高为 h,则其体积 V ? S ? h 设正方体棱长为 a,则其体积为 V ? a
3

表面积 与体积 的定义 和公理

祖暅原理 拟柱体的体积
如果拟柱体的上下底面的面积为 S ' 和 S ,中截面的面积为
1 6 h ? S ? 4S0 ? S ? ?

S 0 ,高为 h ,那么它的体积 V
旋转体的体积
(1)柱体: V ? S ? h ; (3)台体 V ?
1 3 h S ? S? ?

?

(2)锥体: V ? (4)球体:则 V ? SS ? ;

1 3

Sh ;
3

?

?

4 3

?R 。

几何体的表面积 拟柱体的侧面积和全面积 旋转体的侧面积和全面积 拟柱体的体积公式的证明思路

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棱柱的侧面积 棱柱 与圆 柱的 表面 积与 体积
设棱柱的底面周长为 c,侧棱为 l,则其侧面积 S ? c ? l

圆柱的侧面积
设圆柱底面半径为 r,侧棱为 l,则其侧面积 S ? 2? r ? l

柱体的体积
若柱体的底面积为 S,高为 h,则其体积 V ? S ? h

推导体积公式的极限方法 棱锥的侧面积 棱锥 与圆 锥的 表面 积与 体积
①正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高的积的一半; ②若正棱锥的侧面与底面成 ? 角,则侧面积等于底面积乘以 sec ?

圆锥的侧面积
①圆锥的侧面积等于底面周长与母线的积的一半; ②若圆锥母线与底面所成角为 ? ,则侧面积等于底面积乘以 sec ? 。

简单 几何 体的 表面 积与 体积

椎体的体积
设锥体底面积为 S,高为 h,则有 3V ? S ? h

棱台的侧面积 棱台 与圆 台的 表面 积与 体积
①正棱台的侧面积等于棱台的上下底面周长之和与斜高的积的一半; ②若正棱台的侧面与底面成角为 ? ,则 S 侧 等于上下底面积之差乘以 sec ?

圆台的侧面积 台体的体积
台体的上、下底面的面积为 S ?, S ,高为 h ,则 V ?
1 3 h S ? S? ?

?

SS ?

?

球的表面积
设球的半径为 R,则其表面积为 S ? 4? R

球的 表面 积与 体积

半球的侧面积
设球的半径为 R,则其表面积为 S ? 2? R

球的体积
设球的半径为 R,则其体积为 V ?

4 3

?R

3

半球的体积
设球的半径为 R,则其体积为 V ?

4 3

?R

3

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平面的性质 平面 平面两直线的位置关系 空间两直线的位置关系 直线与直线的关系 两条异面直线所成角 直线与直线平行 直 线 与 平 面 直线和平面平行 直线与平面的关系 直线和平面所成角 平面和平面平行 二面角 异面直线上两点间距离

几何中的平行关系和特 征角

直线与平面的应用

直线与平面的应用

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面是没有厚度而只有位置和大小的几何图形

平面
可看成是由一条直线沿同一方向平行移动的轨迹

平面图形和空间图形
平面图形可看作是空间图形的一部分

平面的表示法 平 面 的 定 义 和 表 示 法
平面常用一个小写希腊字母表示,或用平面上的多边形的顶点字母表示

斜二测画法规则 从直线和平面的类比来理解平面 平面几何与立体几何的联系与区别 斜二测画法的本质与实际应用 平面的基本性质
平面的基本性质实际上就是关于平面的三个公理

平 面

?? 公理 2:若 A ? a, A ? ? ,则 ? ? ? ? l 且 A ? l
公理 1:若 A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ,则 l 公理 3:若 A ? l , B ? l , C ? l ,则 A、B、C 共面

平面基本性质的推论
这几个推论都是公理 3 的推论 。

平 面 的 性 质

平面的性质及推论的用途
性质 1 注药用语判定直线在平面内 性质 2 主要用来判断两面相交 性质 3 和推论都是确定一个平面的依据。

几何符号语言与常用语言的互化 平面的性质公理与推论的理解和运用

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平面两条直线的位置关系 平面两 直线的 位置关 系 平行公理及其推论
①若 a // b, a // c, A ? b, A ? c ,则 b 和 c 重合 ②若 a // b, a // c ,b 和 c 不重合,则 b // c

点到直线的距离 平面上两条直线的距离 异面直线的定义

空间两 直线的 位置关 系

空间两条直线的位置关系 异面直线的判定方法 是否强调共面 怎样理解数学元素间的距离 空间两条直线所成角 空间直线垂直 两条异面直线所成的角

直线 与直 线的 关系

两条异 面直线 所成的 角

两条异面直线垂直 异面直线的公垂线和公垂线段 异面直线的距离 对异面直线所成的角的深度理解 相交直线和异面直线的比较 几何中的角度问题 对异面直线所成的角的深度理解 三线平行公理 射线的平行、正平行与逆平行

直线与 直线平 行

等角定理及推论 空间两条直线平行的判定方法 几何中的平行关系与特征角 升维思想与降维思想

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直线和平面平行 直线和平面的位置关系 直线 与平 面平 行 直线和平面平行的判定定理 ?a, b, ? , a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? 直线和平面平行的性质定理 ?a, b, ? , ? , a ? ? , ? ? ? ? b, a // ? ? a // b 空间直线和平面平行的判定方法 特征角 升维思想与降维思想 直线和平面垂直 直线和平面的垂足 直线 与平 面垂 直 直线和平面垂直的判定定理 ?a, b, l , ? , a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? a, l ? b ? l ? ? 直线和平面垂直的性质定理 ?a, b, l , ? , a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? a, l ? b ? l ? ? 点到平面的距离 异面直线上两点的距离公式
l ? m ? n ? d ? 2mncos?
2 2 2 2

直 线 与 平 面 的 关系

直 和 面 成 角

线 平 所 的

射影 直线和平面斜交 直线和平面所成的角 最小角定理 三垂线定理
若 PH ? ? 与 H, l

? ? ,则 PA ? l ? AH ? l

空间直线垂直的判定方法

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平面和平面平行 两个平面的位置关系 两个平面平行的判定定理 ?a, b, ? , ? , a ? b ? A, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ? ? // ? 平 面 和 平 面 平 行 两个平面平行的性质定理 ?a, b, ? , ? , ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, ? // ? ? a // b 两个平行平面的公垂线和公垂线段 两个平行平面的距离 两个平面平行的判定方法 关于平行 平面 和平 面的 关系 半平面 二 面 角 二面角的平面角 二面角 二面角的平面角的计算方法 两个平面互相垂直 两个平面互相垂直的判定定理 ?? , ? , a, a ? ? , a ? ? ? ? ? ? 两个平面垂直的性质定理 ?? , ? , a, b, a ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? b, a ? b ? a ? ? 两个平面垂直的重要结论 异面直线上两点的距离公式
l ? m ? n ? d ? 2mn cos ?
2 2 2 2

平 面 和 平 面 垂 直

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函数的极限&函数的极限的四则运算 函数的极限 函数的连续性

导函数的概念和常见函数的导数 极限、导 数 和 微 积分 导数 函数求导法则及复合函数的导数

微分及四则运算 微积分 不定积分 定积分

导数和微积分的 应用

导数与微分的应用 积分的应用

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当 x ?? 时,函数 f ( x) 的极限 函数的 极限& 函数的 极限的 四则运 算 当 x ? x0 时,函数 f ( x) 的极限 函数的左右极限 常数函数的极限 四则运算法则 函数极限与数列极限的比较 函 数 的 极限 洛必达法则 导函数在某一点处连续的定义 函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内连续 函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 内连续 连续函数的四则运算的连续性 复合函数的连续性 反函数的连续性 幂函数的连续性 反三角函数的连续性 基本初等函数的定义 初等函数的定义

函数的连续 性

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x ? x0 处的导数
若极限
?x ?0

lim

?y ?x

? lim

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ?x

?x ?0

存在,则称此极限值为函数 y ? f ( x)

在点 x0 处对 x 的导数

导 函 数 的 概 念 和 常 见 函 数 的 导 数

导函数
f '( x) ? lim ?y ?x
?x ?0

? lim

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

?x?0

导数的几何意义 导数公式
① c ' ? 0 ② ( x ) ' ? nx ⑥ (tan x ) '
n n ?1

③ (sin x) ' ? cos x ④ (cos x) ' ? ? sin x ⑤ (ln x) ' ?

1 x

1 ? sec 2 x ⑦ (e x ) ' ? e x ⑧ (log a x) ' ? x log a e ⑨ (a x ) ' ? a x ln a

可导与连续的关系 二阶导数 n 阶导数 求导法则

导 数 函 数 求 导 法 则 及 复 合 函 数 的 导 数

和(或差)的导数 (u ? v) ' ? u '? v ' ,积的导数 (uv) ' ? u ' v ? uv ' ,商的导数

(u )' ? v

u ' v ?uv ' v2

(v ? 0)

复合函数的导数
f '[ g ( x)] ? f '(u ) g '( x)

对数函数求导
1 1 ① (ln x) ' ? x ② (log a x ) ' ? x log a e ③ ( f (log a x)) ' ? 1 log a ef '(log a x) x

连续函数的四则运算的连续性 隐函数的求导 含参函数的求导

dy dt ? x ? x (t ) 如果函数 y ? f ( x) ,由方程 ? 所确定,我们有 ? dx dx ? y ? y (t ) dt

dy

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微 分 及 四 则 运 算

微分的定义 四则运算

d (u ? v) ? du ? dv , d (uv) ? udv ? vdu , d ( ) ?
v

u

vdu ? udv v
2

(v ? 0)

微分的本质: dy ? ?y 原函数
若 dF ( x) ? f ( x) dx 则称 F ( x ) 为 f ( x ) 在的一个原函数

微 积 分 初 步 不 定 积 分

不定积分
f ( x ) 的全体原函数 F ( x) ? c 称为其不定积分,记作 ? f ( x ) dx ? F ( x ) ? C

基本积分公式
① 0dx ? c ② x dx ?
m

?

?

1 m ?1
x

x

m ?1

? C ( m ? ?1) ③

? x dx ? ln x ? C

1

④ e dx ? e ? C ⑤ a dx ?

?

x

x

?

a

x

ln a

? C ⑥ ? cos xdx ? sin x ? C

不定积分的运算法则
①设 k ? 0 则 kf ( x ) dx ? k 数,则 [ f ( x ) ? g ( x )]dx ?

?

? f ( x)dx ②设 f ( x) , g ( x) 是两个可积分的函

?

? f ( x)dx ? ? g ( x)dx

第一换元法


? f (u )du ? F (u ) ? C ,则 ? f [ g ( x)]g '( x) ? F[ g ( x)] ? C

第二换元法
若所求积分为 变换 x

? f ( x)dx 的形式虽不复杂,实际则较难求解.此时,通常作

? g (t ) 把积分 ? f ( x)dx 化为 ? f ( x) dx ? ? f [ g (t )]d [ g (t )] ?

? f [ g (t )]g '(t )dt 的形式,如果右端的不定积分比较容易计算,那么最后将
结果中的 t 变量还原,将 t ? g
?1

( x ) 代入结果.

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定积分的概念 定积分的基本公式

F '( x) ? f ( x) ,则 ?a f ( x ) dx ? F (b ) ? F ( a ) ,这个公式叫做积分基本公
式又叫牛顿—莱布尼茨公式

b

定积分的性质
① ② ③

?a kf ( x)dx ? k ?a
b

b

b

f ( x ) dx
b

?a [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?a ?a
b

f ( x ) dx ?
b

?a g ( x)dx

b

f ( x )dx

微 积 分 初 步

? ?a f ( x ) dx ? ?c f ( x ) dx

c

定 积 分

定积分的换元积分法

?

b

a

f ( x) ? ? f [ g (t )]g '(t )dt
?

?

定积分的分部积分法
函数 u

? u ( x) , v ? v( x) 在 区 间 [a, b] 上 有 连 续 的 一 阶 导 数 u '( x) ,
b b

v '( x) ,有 ? u( x)v '( x)dx ? u( x)v( x) |b ?? u '( x)v( x)dx a
a a

分段函数的积分 奇偶函数与周期函数的定积分
① ② 若

f ( x) 为偶函数 ? f ( x)dx ? 2? f ( x)dx ? 2? f ( x)dx
?a a 0 ?a

a

a

0

f ( x) 为奇函数 ? f ( x)dx ? 0
?a

f ( x)

是 一 个 以
T

T

为 周 期 的 连 续 函 数 , 对 任 意
nT

a

, 有

?
?

a ?T

a
T

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ; ?
0
T

0

f ( x)dx ? n? f ( x)dx ;
0

T

0

f ( x)dx ? ? 2T f ( x)dx
?2

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导数的几何意义定义的应用 单调性与函数
设函数在闭区间 [ a , b ] 上连续,在开区间 ( a , b ) 上可微,在 ( a , b ) 内,若恒有

f '( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上严格单调上升;若恒有 f '( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上严格单调下降.

导 数 和 微 积 分 的 应 用

导 数 与 微 分 的 应 用

极值与导数 求最值 用微分法描述函数图像的一般步骤 微分的应用
对 于 函 数 f ( x ) , 当 自 变 量 有 增 量 ?x , 函 数 y 就 有 增 量 ?y , 即

?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) .一般的说,只要函数 y ? f ( x) 的对应法则稍微复
杂一点儿,?y 依赖于 ?x 的情况很复杂, 因此对于给定的 x 和 ?x , 要计算 ?y 的精确值是很困难的, 通常以一个值 (微分) 代替 ?y , 这就是微分的本质. 其 应用形式是 dy ? ?y 或 f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f '( x)?x

曲线的渐近线方程
①若 x ? x0,y ? ? ,则渐近线为 x ? x0 ;②若 x ? ?,y ? y0 ,则渐 近线为 y ? y0 ③若 x ?? , 有斜渐近线 y ? ax ? b(a ? 0)
f ( x) x

? a ,[ f ( x) ? ax] ? b ,则函数图像

不定积分的应用 积 分 的 应 用 定积分在几何上的应用
常用于计算平面图形的面积、旋转体的体积等等.

定积分在力学上的应用
常用于计算变速直线运动的路程、变力做功等等.

定积分在经济生活中的应用
常用于计算供需函数、消费者剩余和生产者剩余等等.

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复数的三角形式的概念 a ? bi ? r (cos ? ? i sin ? )(r ? 0, ? ? R) 三角形式与代数形式的转化 任 何 一 个 复 数 z ? a ? bi 都 可 以 表 示 成 r (cos ? ? i sin ? )(r ? 0, ? ? R) 的形式。其中 复数的 三角形 式及其 运算
a ? r cos ? , b ? r sin ? , ? 为复数的幅角,r 为复数 z 的模

复数的乘除法和乘方开方
①若 z1 则 z1 z2

复 数 的 三 角 形 式 和 几 何 形 式

? r1 (cos ?1 ? i sin ?1 ), z2 ? r2 (cos ?2 ? i sin ?2 ) ? r1r2 [cos(?1 ? ?2 ) ? i sin(?1 ? ?2 )] ;

r1 (cos ?1 ? i sin ?1 ) r1 ? [cos(?1 ? ? 2 ) ? i sin(?1 ? ? 2 )] r2 (cos ? 2 ? i sin ? 2 ) r2

n

r (cos ? ? i sin ? ) ?

n

r [cos

? ? 2k ?
n
n

? i sin
n

? ? 2k?
n

] ,其中

k ? 0,1, 2, ? ? ?, n ? 1 ; [ r (cos ? ? i sin ? )] ? r (cos n? ? i sin n? )

复数加 减乘除 法、乘 方、开 方运算 的几何 意义

复数的三角形式的正确表示 复数加减法的几何意义 复平面上的曲线方程 复数乘除法的几何意义 复数运算的几何意义的应用

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数系和复数 复数的概念 复平面和共轭复数 复数的向量表示 复数的四则运算和性质 复数的运算与复数域方程 复数域方程 复数 复数的三角形式及其运算 复数的三角形式和几何形式 复数加减乘除法与乘方、开 方运算的几何意义 复数的应用 复数的应用

复数的加减法
两个复数的和 ? a ? bi ? ? ? c ? di ?

? ?a ? b? ? ?c ? d ? i

复数的四则 运算和性质

复数的加法满足交换律、结合律,即对任意的 z1 , z2 , z3 ? C 有: z1

? z2 ? z2 ? z1 (交换律)

? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? ? z2 ? z3 ? (结合律)
复 数 的 运 算 与 复 数 域 方 程 复数域方程 复数的乘除法

? a ? bi ?? c ? di ? ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 ? ? ac ? bd ? ? ?bd ? ad ? i
a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? i ? c ? di ? 0 ? c ? di c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2

z1 ? z2 ? z2 ? z1 ? 交换率 ? ? z1 ? z2 ? ? z3 ? z1 ? z2 ? z3 ? ? 结合率 ?

z1 ? z2 ? z3 ? ? z1 z2 ? z1 z3 ? 分配率 ?
ω,i 的幂运算周期性

i 4 n ? 1 , i 4 n ?1 ? i ; i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i 。
虚实相互转化 含有 z 的复数方程与解法

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复数的形成与定义 复数的有关概念 复数的分类 数系和复数 复数相等的充要条件 若 a ? bi ? c ? di ,则 a ? c, b ? d 对复数概念的理解和应用 复 数 的 概 念 复平面的概念 共轭复数的概念和性质 复平面和共 轭复数 共轭复数的几何意义 两个复数为什么不能比较大小 复数能否比较大小分析 复数集和复平面所有点组成集合对应的注意事项 复数的向量表示
在复平面内以原点为起点,点 Z ? a, b ? 为终点的向量 OZ ,由 点 Z ? a, b ? 唯一确定,对应复数为 z ? a ? bi

?? ?

复数的向量 表示

复数的模
① z ? a ? bi ? r ? ②

a ?b

2

2

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2



z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;

z z1 n ? 1 ; zn ? z z2 z2

数形结合利用复数模的几何意义处理相关问题

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加法原理与乘法原理 排列 排列组合 组合 排列组合综合题 二项式定理 二项式定理 二项式系数性质 随机事件与概率 排 列 组 合 概 率 统 计 概率 互斥事件其一发生概率 相互独立事件同时发生概率 离散型随机变量的分布列 随机变量 离散型随机变量的期望与方差 抽样方法 统计初步 总体分布的估计 正态分布 线性回归 排列组合概率 统计的应用 排列组合概率统计的应用

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加 原 与 法 理

法 理 乘 原

加法原理 乘法原理 分类计数与分步计数 怎样分类和分步 排列 排列数 排列数公式
m An ? n ? ? n ? 1? ? ... ? ? n ? m ? 1? ?

n! , m ? n, m, n ? N n ? m ?! ?

排列数恒等式 排列 排 列 组 合
m m m m m An ? nAn ??1 以及 An ? mAn ??1 ? An ?1 1 1

怎么理解排列定义中的一定顺序 怎样理解排列数和加法原理、乘法原理的关系 组合 组合数 组合数公式
m Cn

?

An

m

m Am

?

n ( n ? 1)( n ? 2) ? ( n ? m ? 1) m!

?

n! m !( n ? m)!

( m ? n)

组合

组合数恒等式
m n m m m 0 1 n Cn ? Cn ? m 、 Cn ?1 ? Cn ? Cn ?1 、 Cn ? Cn ? ... ? Cn ? 2n 、 0 2 1 3 5 Cn ? Cn ? ... ? Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 2n ?1 .

区别排列和组合 组合应用题的解题思路 枚举法 排除法 排列 组合 综合 题 插空法 捆绑法 对称法 集合法

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二项式定理
0 1 2 r n (a ? b)n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2 b 2 ? ? ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? ? ? Cn b n ? n ? N ?

通项公式

?a ? b?
? a ? b?
二 项 式 定 理 二 项 式 定 理
n

n

的第 r ? 1 项,记作 Tr ?1

r ? Cn a n ?r b r , r ? 0,1, 2 ? ? ? n

两种特殊的表达
0 1 n ? ? a ? ? ?b ? ? ? Cn a n ? Cn a n?1 ? ?b ? ? ... ? Cn ?1a ? ?b ?

n

n ?1

n ? Cn ? ?b ?

n

0 1 r n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? ... ? ? ?1? Cn a n?r br ? ... ? ? ?1? Cn bn r n

?1 ? x ?

n

1 2 n ? 1 ? Cn x ? Cn x 2 ? ... ? Cn x n

? a ? b ? c ?n 的展开式通项
r a r bs cn?r ?s 的系数是 Cn Cns?r

正确理解二项式系数和项的系数的差别 怎样用二项式定理求近似值 怎样用二项式定理求解余数问题 性质一
0 n 1 n C n ? C n , C n ? C n ?1 ,? ? ?,

二 项 式 系 数 性 质

性质二 性质三
0 1 2 n n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ? 2 n

性质四
0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ???

杨辉三角 怎样求展开式中系数最大的项

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必然事件、不可能事件、随机事件 随机事 件与概 率 一次试验 概率的定义 概率公式 互斥事件 概 率 互斥事 件其一 发生概 率

? 两个事件的发生概率为 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? ? P ? A ? B ?
两互斥事件可以用概率加法公式 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ?

对立事件
对立事件概率满足 P ? A ? ? P ? B ? ? 1 ,但反之未必成立.

对立事件和互斥事件的关系 相互独立事件同时发生概率
等于每个事件发生的 n 个独立事件 A1 , A2 ,..., An 同时发生的概率,

相互独 立事件 同时发 生概率

概率的积.即 P

? A1 A2 ... An ? ? P ? A1 ? P ? A2 ? ...P ? An ?

独立重复试验的事件概率
如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次重复独立事 件中这个事件恰好发生 k 次的概率是 Cn P
k k

?1 ? P ?

n?k

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随 机 变 量

离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列

随机变量 离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 分布列的性质 二项分布 B ? n, p ? 超几何分布 期望的含义

E? ? p1 x1 ? p2 x2 ? ... ? pk xk ? ... 为随机变量 ? 的期望或者均值
方差的含义

D? ? ? x1 ? E? ? p1 ? ? x2 ? E? ? p2 ? ... ? ? xk ? E? ? pk ? ...
2 2 2

离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 和 方 差

为 ? 的均方误差,简称方差

标准差

?? ? D? ? D? ? 0 ? 叫做 ? 的标准差
随机变量的线性函数的期望和方差
若 ? 是离散型随机变量,则 ? 随机变量,而且 E?

? a? ? b ,其中

a,b 是常数,也是离散型

? aE? ? b , D ? a? ? b ? ? a 2 D?

服从二项分布 B ? n, p ? 的随机变量的期望与方差公式
设?

? B ? n, p ? ,令 q ? 1 ? p ,那么 E? ? np, D? ? npq

- 47 -

数学家 张竹强

统计初步 简单随机抽样及其特点 系统抽样及其特点 抽样分布 分层抽样及其特点 三种抽样方法的等概率性 三种抽样方法比较 总体分布的估计 总体分布的 估计 离散型总体及其频率分布表示法 连续型总体及其频率表示法 统计初步 总体与总体分布 频率分布和总体分布的关系 累计分布曲线和累计频率分布 正态分布 密度曲线与密度函数 正态分布及其参数的含义 正态曲线及其性质 函数 F ? x ? ? P ?? ? x ? 以及函数 ? ? x ? 利用 ? ? x ? 求随机变量位于某区间的概 率 变量之间的关系 相关关系 排列组合概 率统计的应 用 散点图 回归分析 线性回归分析的思想以及回归直线方程 相关系数和相关性检验

- 48 -

数学家 张竹强

平面的性质 平面 平面两直线的位置关系 空间两直线的位置关系 直线与直线的关系 两条异面直线所成角 直线与直线平行 直 线 与 平 面 直线和平面平行 直线与平面的关系 直线和平面所成角 平面和平面平行 二面角 异面直线上两点间距离

几何中的平行关系和特 征角

直线与平面的应用

直线与平面的应用

- 49 -

数学家 张竹强


面是没有厚度而只有位置和大小的几何图形

平面
可看成是由一条直线沿同一方向平行移动的轨迹

平面图形和空间图形
平面图形可看作是空间图形的一部分

平面的表示法 平 面 的 定 义 和 表 示 法
平面常用一个小写希腊字母表示,或用平面上的多边形的顶点字母表示

斜二测画法规则 从直线和平面的类比来理解平面 平面几何与立体几何的联系与区别 斜二测画法的本质与实际应用 平面的基本性质
平面的基本性质实际上就是关于平面的三个公理

平 面

?? 公理 2:若 A ? a, A ? ? ,则 ? ? ? ? l 且 A ? l
公理 1:若 A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ,则 l 公理 3:若 A ? l , B ? l , C ? l ,则 A、B、C 共面

平面基本性质的推论
这几个推论都是公理 3 的推论 。

平 面 的 性 质

平面的性质及推论的用途
性质 1 注药用语判定直线在平面内 性质 2 主要用来判断两面相交 性质 3 和推论都是确定一个平面的依据。

几何符号语言与常用语言的互化 平面的性质公理与推论的理解和运用

- 50 -

数学家 张竹强

平面两条直线的位置关系 平面两 直线的 位置关 系 平行公理及其推论
①若 a // b, a // c, A ? b, A ? c ,则 b 和 c 重合 ②若 a // b, a // c ,b 和 c 不重合,则 b // c

点到直线的距离 平面上两条直线的距离 异面直线的定义

空间两 直线的 位置关 系

空间两条直线的位置关系 异面直线的判定方法 是否强调共面 怎样理解数学元素间的距离 空间两条直线所成角 空间直线垂直 两条异面直线所成的角

直线 与直 线的 关系

两条异 面直线 所成的 角

两条异面直线垂直 异面直线的公垂线和公垂线段 异面直线的距离 对异面直线所成的角的深度理解 相交直线和异面直线的比较 几何中的角度问题 对异面直线所成的角的深度理解 三线平行公理 射线的平行、正平行与逆平行

直线与 直线平 行

等角定理及推论 空间两条直线平行的判定方法 几何中的平行关系与特征角 升维思想与降维思想

- 51 -

数学家 张竹强

直线和平面平行 直线和平面的位置关系 直线 与平 面平 行 直线和平面平行的判定定理 ?a, b, ? , a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? 直线和平面平行的性质定理 ?a, b, ? , ? , a ? ? , ? ? ? ? b, a // ? ? a // b 空间直线和平面平行的判定方法 特征角 升维思想与降维思想 直线和平面垂直 直线和平面的垂足 直线 与平 面垂 直 直线和平面垂直的判定定理 ?a, b, l , ? , a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? a, l ? b ? l ? ? 直线和平面垂直的性质定理 ?a, b, l , ? , a ? ? , b ? ? , a ? b ? A, l ? a, l ? b ? l ? ? 点到平面的距离 异面直线上两点的距离公式
l ? m ? n ? d ? 2mncos?
2 2 2 2

直 线 与 平 面 的 关系

直 和 面 成 角

线 平 所 的

射影 直线和平面斜交 直线和平面所成的角 最小角定理 三垂线定理
若 PH ? ? 与 H, l

? ? ,则 PA ? l ? AH ? l

空间直线垂直的判定方法

- 52 -

数学家 张竹强

椭圆

椭圆的定义、几何性质与标准方程 直线与椭圆的位置关系与判定 双曲线的定义、几何性质与标准方程

双曲线 直线与双曲线的位置关系与判定 抛物线的定义、几何性质与标准方程 圆 锥 曲 线 方程 抛物线 直线与抛物线的位置关系与判定 坐标平移和平移变换 圆锥曲线 综述 坐标变换和圆锥曲线一般理论 微积分思想在圆锥曲线中的应用 圆锥曲线 的应用 圆锥曲线的理论应用 圆锥曲线方程应用题

- 53 -

数学家 张竹强

椭圆的定义
①普通定义: ? F1、F2,a∈R,且 2a>|F1F2|,|MF1|+|MF2|=2a ? 点 M∈椭 圆 F1F2 ②第二定义: ? F,l,e∈R,且 F ? l,0<e<1,d 为动点 M 到直线 l 的距离, |MF|/d=e ? 点 M∈椭圆 F 上

椭圆定义的延伸 椭 的 义 几 性 与 准 程 圆 定 、 何 质 标 方 椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ;焦点在 y 轴上:

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0)

椭圆的几何性质 椭圆的参数方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的参数方程 ?

? x ? acos? (? 被称为离心角,为参数) ? y ? bsin?
?F1PF2
2

椭圆的焦三角形面积公式 椭 圆
连接椭圆的两个焦点和椭圆上一点的三角形的面积为 b tan
2

直线和椭圆的位置关系 椭圆的切线 椭圆 和直 线的 位置 关系


x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为
2 2 2 2

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?1

②直线 Ax ? By ? C ? 0 与椭圆

x a

?

y b

? 1 相切的条件为 A a ? B b ? C

2 2

2 2

2

③过椭圆外点 P ? x0 , y0 ? 引两条切线,切点弦所在的直线方程为

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?1

直线与椭圆所成的弦长问题 椭圆的弦的中点问题 椭圆的共轭直径

- 54 -

数学家 张竹强

双曲线的定义
①普通定义: ? F1、F2,a∈R,且 2a>|F1F2|,|MF1|+|MF2|=2a ? 点 M∈椭 圆 F1F2 ②第二定义: ? F,l,e∈R,且 F ? l,0<e<1,d 为动点 M 到直线 l 的距离, |MF|/d=e ? 点 M∈椭圆 F 上

椭圆定义的延伸 双 线 定 义 几 性 与 准 程 曲 的 、 何 质 标 方 椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ;焦点在 y 轴上:

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0)

椭圆的几何性质 椭圆的参数方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的参数方程 ?

? x ? acos? (? 被称为离心角,为参数) ? y ? bsin?
?F1PF2
2

双 曲 线

椭圆的焦三角形面积公式
连接椭圆的两个焦点和椭圆上一点的三角形的面积为 b tan
2

直线和椭圆的位置关系 椭圆的切线 双 线 直 的 置 系 曲 和 线 位 关


x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为
2 2 2 2

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?1

②直线 Ax ? By ? C ? 0 与椭圆

x a

?

y b

? 1 相切的条件为 A a ? B b ? C

2 2

2 2

2

③过椭圆外点 P ? x0 , y0 ? 引两条切线,切点弦所在的直线方程为

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?1

直线与椭圆所成的弦长问题 椭圆的弦的中点问题 椭圆的共轭直径

- 55 -

数学家 张竹强

抛物线的定义 抛物 线的 定 义、 几何 性质 与标 准方 程 抛 物 线 抛物 线和 直线 的位 置关 系

? F ? l,d 为动点 M 到直线 l
抛物线的标准方程

的距离,|MF|/d=e=1 ? 点 M∈抛物线 F

焦点在 x 轴正半轴上: y ? 2 px ;在 x 轴负正半轴上: y ? ?2 px( p ? 0)
2 2

焦点在 y 轴正半轴上: x ? 2 py ;在 y 轴负正半轴上: x ? ?2 py ( p ? 0)
2 2

抛物线的几何性质 抛物线的参数方程
抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的参数方程为
2

? x ? 2 pt ? ? y ? 2 pt

2

(t为参数 ) .

直线和抛物线的位置关系 抛物线的切线
① y ? 2 px ? p ? 0 ? 上一点 P ( x0 , y0 ) 的切线方程为 y0 y ? p ( x ? x0 )
2

②直线 Ax ? By ? C ? 0 与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 相切的条件为 pB ? 2 AC
2

2

③过抛物线外一点 P ( x0 , y0 ) 引切线, 切点弦所在的直线方程为 y0 y ? p ( x ? x0 ) ④过切点与此点处切线垂直的直线称为抛物线的法线.过抛物线上一点作平行于 对称轴的一条射线(射线方向为抛物线开口方向) ,则此时经过该点的法线平分 过这一点的焦半径与此射线的夹角.

直线与抛物线所成的弦长问题 抛物线的弦的中点问题 抛物线的升华公式

- 56 -

数学家 张竹强

坐标轴平移公式 坐标轴平移公式的应用 利用坐标轴平移公式化简二元二次方程 长短轴平行于坐标轴的任意中心的椭圆方程 坐 标 平 移 和 平 移 变 换
长轴平行于 x 轴

( x ? x0 ) a
2

2

?

( y ? y0 ) b
2

2

?1

? a ? b ? 0? ; ? a ? b ? 0?

圆 锥 曲 线 综 述

长轴平行于 y 轴:

( x ? x0 ) b
2

2

?

( y ? y0 ) a
2

2

?1

虚实轴平行于坐标轴的任意中心的双曲线方程
实轴平行于 x 轴:

( x ? x0 ) a
2

2

?

( y ? y0 ) b
2

2

?1

? a ? 0, b ? 0 ? ? a ? 0, b ? 0 ?

实轴平行于 y 轴: ?

( x ? x0 ) a
2

2

?

( y ? y0 ) b
2

2

?1

对称轴平行于坐标轴的任意顶点的抛物线方程
对称轴平行于 x 轴,开口向右: ( y ? 对称轴平行于 x 轴,开口向左: ( y ?

y0 ) 2 ? 2 p( x ? x0 ), ( p ? 0) y0 )2 ? ?2 p( x ? x0 ), ( p ? 0)
2

对称轴平行于 y 轴,开口向上: ( x ? x0 ) 对称轴平行于 y 轴,开口向下: ( x ? x0 )

? 2 p( y ? y0 ), ( p ? 0) ? ?2 p( y ? y0 ), ( p ? 0)

2

给定渐近线的双曲线系方程 坐标轴平移和图像平移 图像平移公式 图像平移公式的应用 如何理解平移公式中的左加右减、上加下减

- 57 -

数学家 张竹强

坐标轴旋转公式 坐标变换 和圆锥曲 线的一般 理论 坐标轴旋转公式的应用 利用坐标轴旋转公式化简二元二次方程 基本的对称变换 关于经过原点的直线的对称变换 圆 锥 曲 线 综述 极坐标下圆锥曲线的参数方程 圆锥曲线系 对称公式的进一步补充 关于任意点的旋转变换 经过两圆锥曲线的交点的圆锥曲线系 一般二次曲线切线问题的常规解法 坐标变换 和圆锥曲 线的一般 理论 一般二次曲线切线问题的微积分解法 一般二次曲线切点弦问题的常规解法 一般二次曲线切点弦问题的微积分解法 直线与圆锥曲线相切与直线与圆锥曲线有一个交点 过定点作与双曲线相交于一点的直线问题

- 58 -


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