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湖南省洞口三中高中数学必修五模块测试题2008年9月


湖南省洞口三中高中数学必修五模块测试题 2008 年 9 月
命题 方锦昌 班次____ 学号______ 姓名______ 一、选择题(50 分): a b 1、若 a、b 为实数, 且 a+b=2, 则 3 +3 的最小值为 ( ) A.18 B.6 C.2 3
0

(13975987411)

D.2 4 3

r />
2、已知 ?ABC 中,a=5, b = 3 , C = 120 ,则 sinA 的值为( A、



5 3 14

B、 ?

5 3 14

C、

3 3 14 ? ?

D、 ?

3 3 14


3、若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? x | ?
2

1 1? ? x ? ? 则 a-b 值是( 2 3?

A、-10 B、-14 C、10 D、14 4、我市某公司,第一年产值增长率为 p,第二年产值增长率 q,这二年的平均增长率为 x,那 x p?q 与 大小关系( p ? q) 是( ) 2 p?q p?q p?q A、x< B、x= C、x> D、与 p、q 联值有关 2 2 2
?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 5、目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x, y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则有 ( ?x ? 1 ?
A. z max ? 12, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值 B. z max ? 12, z 无最小值 D. z 既无最大值,也无最小值 ) )

6、若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围是(
A. a ? ?4 B. a ? ?4 C. a ? ?12 D. a ? ?12

1 7. 已知△ABC 的周长为 2 ? 1, 且sin A ? sin B ? 2 sin C. 若△ABC 的面积为 sin C , 则角 6

C 的度数为( A.30°

) B.45° C.60° D.90°

8.一艘轮船按照北偏西 50°的方向,以 15 浬每小时的速度航行,一个灯塔 M 原来在 轮船的北偏东 10°方向上.经过 40 分钟, 轮船与灯塔的距离是 5 3 浬, 则灯塔和轮船 原来的距离为( A.2
9.若 2
x 2 ?1

) B.3 浬 C.4 浬


2浬

D.5 浬

? ( 1 ) x ? 2 ,则函数 y ? 2 x 的值域是(
4

- 1 -

A. [ , 2)

1 8

B. [ , 2]

1 8

C. (??, ]

1 8

D. [2, ??)

10.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用 为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=( A、10 B、20 C、30 D、不确定 )

二、填空题(25 分)

11、已知等比数列 {an } 的公比 q ? ? ,则

1 3

a1 ? a3 ? a5 ? a7 等于 a2 ? a4 ? a6 ? a8

12、已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2n ,求 an _______
13、设 x ? 0, y ? 0且x ? 2 y ? 1,求 ?

1 x

1 的最小值. y

?x ? 1 ? 14.已知 ? x ? y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

求 x 2 ? y 2 的最小值_____________

15、 如图, 一个粒子在第一象限运动, 在第一秒末, 它从原点运动到 (0, , 1) 接着它按如图所示的 x 轴、y 轴的平行方向来回运动,(即(0,0)→(0, 1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…),且每秒移动一个单位,那么 第 2008 秒末这个粒子所处的位置的坐标为__ 。 三、解答题:

16 题(12 分). 设{an}是一个公差为 d(d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10=110, 且 a1,a2,a4 成等比数列.(I)证明 a1=d; (II)求公差 d 的值和数列{an}的通项公 式. 解:

- 2 -

17 题(12 分). 在等比数列 {an } 中, n ? 0(n ? N*) , 公比 q ? (0,1) , a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 , a 且 2 是 a3 与 a5 的等比中项,⑴求数列 {an } 的通项公式;⑵设 bn ? log2 an ,数列 {bn } 的前 n 项 和为 S n ,当 解:

S S1 S 2 ? ? ? ? n 最大时,求 n 的值. 1 2 n

18 题(12 分)、某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年投保、动力消耗 的费用也为 2 千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为 2 千元,第二 年为 3 千元,第三年为 4 千元,依此类推,即每年增加 1 千元.问这台机器最佳使用年限是多少 年?并求出年平均费用的最小值.

解:

- 3 -

19 题(13 分).在△ABC 中,a,b,c 是三个内角 A,B,C 的对边,关于 x 的不等式 x2cosC+4xsinC+6<0 的解集是空集. (1)求∠C 的最大值; 7 3 3 ,求当∠C 取最大值时 a+b 的值. (2)若 c ? , ?ABC 的面积 S ? 2 2
解:

20 题(13 分).已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,首项为 a1,且 1,an,Sn 成等差数列(n ∈N+) (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 Tn 为数列{
m?4 成立,其中 m∈N+,求 m 的最小值. 3

1 }的前 n 项和,若对于 an

?n ? N ? , 总有 Tn ?
解:

21 题(13 分),.己知集合 M={(x,y)|x>0,y>0,x+y=k},其中 k 为正常数。 (1)设 t=xy,求 t 的取值 范围; (2)求证:当 k≥1 时,不等式 ( ? x)( ? y ) ? ( ? ) 2 对任意(x,y) ? M 恒成立;

1 x

1 y

k 2

2 k

(3)求使不等式 ( ? x)( ? y ) ? ( ? ) 2 对任意(x,y) ? M 恒成立的 k 的范围。 解:

1 x

1 y

k 2

2 k

- 4 -

学号______班次____姓名______

必 修 五 模 块 测 试 题 答 案
命题 方锦昌(13975987411)

一、选择题: a b 1、若 a、b 为实数, 且 a+b=2, 则 3 +3 的最小值为 ( B ) A.18 B.6 C.2 3
0

D.2 4 3

2、已知 ?ABC 中,a=5, b = 3 , C = 120 ,则 sinA 的值为( A、

A )

5 3 14

B、 ?

5 3 14

C、

3 3 14 ? ?

D、 ?

3 3 14


3、若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? x | ?
2

1 1? ? x ? ? 则 a-b 值是(A 2 3?

A、-10 B、-14 C、10 D、14 4、我市某公司,第一年产值增长率为 p,第二年产值增长率 q,这二年的平均增长率为 x,那 x p?q 与 大小关系( p ? q) 是( A ) 2 p?q p?q p?q A、x< B、x= C、x> D、与 p、q 联值有关 2 2 2
?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 5、. 目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x, y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则有 ( C ) ?x ? 1 ?
A. z max ? 12, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值 B. z max ? 12, z 无最小值 D. z 既无最大值,也无最小值

6、若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围是( A )
A. a ? ?4 B. a ? ?4 C. a ? ?12 D. a ? ?12

1 7. 已知△ABC 的周长为 2 ? 1, 且sin A ? sin B ? 2 sin C. 若△ABC 的面积为 sin C , 则角 6

C 的度数为( C
A.30°

) B.45° C.60° D.90°

8.一艘轮船按照北偏西 50°的方向,以 15 浬每小时的速度航行,一个灯塔 M 原来在 轮船的北偏东 10°方向上.经过 40 分钟, 轮船与灯塔的距离是 5 3 浬, 则灯塔和轮船 原来的距离为( D A.2
9.若 2
x 2 ?1

) B.3 浬 C.4 浬 D.5 浬

2浬

? ( 1 ) x ? 2 ,则函数 y ? 2 x 的值域是( B )
4

- 5 -

A. [ , 2)

1 8

B. [ , 2]

1 8

C. (??, ]

1 8

D. [2, ??)

10.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用 为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=( B ) A、10 B、20 C、30 D、不确定

二、填空题 11、已知等比数列 {an } 的公比 q ? ? ,则

1 3

a1 ? a3 ? a5 ? a7 等于 a2 ? a4 ? a6 ? a8

4 6

12、已知数列 ?an ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2n ,求 an _______
13、设 x ? 0, y ? 0且x ? 2 y ? 1,求 ?

?5, (n ? 1) a n ? ? n?1 ?2 , (n ? 2)

1 x

1 的最小值. y

3? 2 2

?x ? 1 ? 14.已知 ? x ? y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

求 x 2 ? y 2 的最小值_______5______

15、 如图, 一个粒子在第一象限运动, 在第一秒末, 它从原点运动到 (0, , 1) 接着它按如图所示的 x 轴、y 轴的平行方向来回运动,(即(0,0)→(0, 1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…),且每秒移动一个单位,那么 第 2008 秒末这个粒子所处的位置的坐标为__ (28,44) 。 三、解答题:

16 题. 设{an}是一个公差为 d(d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10=110,且 a1, a2,a4 成等比数列.(I)证明 a1=d; (II)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式.
2 解:(I)证明:因 a1 , a 2 , a 4 成等比数列,故 a2 ? a1a4 又{an}是等差数列,有

a2 ? a1 ? d , a4 ? a1 ? 3d .于是 (a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 3d ) 即 a12 ? 2a1d ? d 2 ? a12 ? 3a1d. 化简得 a1 ? d .
(II)解:由条件 S10=110 和 S10=10a1+ 10 ? 9 d ,得到 10a1+45d=110.由(I)a1=d,代入
2

上式得 55d=110,故 d=2, ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n. 因此,数列{an}的通项公式为

an ? 2n, n ? 1,2,3
17 题.在等比数列 {an } 中, an ? 0(n ? N*) ,公比 q ? (0,1) , a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 , 且

2 是 a3 与 a5 的等比中项,⑴求数列 {an } 的通项公式;⑵设 bn ? log2 an ,数列 {bn } 的前 n 项和
为 S n ,当

S S1 S 2 ? ? ? ? n 最大时,求 n 的值. 1 2 n

- 6 -

解:(1)由 a1a5 ? 2a3 a5 ? a2 a8 ? 25 得 (a3 ? a5 )2 ? 25 得 a3 ? a5 ? 5

因为 a3 a5 ? 4 得

a3 ? 4, a5 ? 1 求得 q ?
Sn ? 9n ? n 2 S n 9 ? n ? 2 n 2

1 所以 an ? 25?n ;(2) bn ? log2 an ? 5 ? n 所以 2
所以

S S1 S 2 ? ? ? ? n 最大为 n ? 8或者9 1 2 n

18 题、某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年投保、动力消耗的费用 也为 2 千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为 2 千元,第二年为 3 千元,第三年为 4 千元,依此类推,即每年增加 1 千元.问这台机器最佳使用年限是多少年?并 求出年平均费用的最小值. 解:设这台机器最佳使用年限是 n 年,则 n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为:

0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? ? ? ? ? 0.1( n ? 1) ?

n 2 ? 3n , 2 n 2 ? 3n n 2 ? 7n ?总费用为: 7 ? 0.2 ? 0.2n ? ? 7.2 ? , 20 20
7.2 ? ? n年的年平均费用为: y ? n 2 ? 7n 20 ? 0.35? ( n ? 7.2 ), ? n ? 7.2 ? 2 7.2 ? 1.2, 等号当且仅当 20 n 20 n 20 n

n 7.2 ? 即n ? 12时成立 . ?y min ?0.35?1.2?1.55(万元) 20 n 答:这台机器最佳使用年限是 12 年,年平均费用的最小值为 1.55 万元.

19 题.在△ABC 中,, c 是三个内角 A, C 的对边, a b, B, 关于 x 的不等式 x2cosC+4xsinC+6<0 的解集是空集. (1)求∠C 的最大值; 7 3 3 ,求当∠C 取最大值时 a+b 的值. (2)若 c ? , ?ABC 的面积 S ? 2 2
解:(1)∵不等式 x cosC+4xsinC+6<0 的解集是空集,
?cos C ? 0 ?cos C ? 0 ?cos C ? 0 ? ?? 即? 即? 1 2 ?? ? 0 ?16sin C ? 24 cos C ? 0 ?cos ? ?2或 cos C ? ? 2 1 ?? cos C ? . 2
2

∴∠C 的最大值为 60° (2)? ?C ? 600 , S ?ABC ? 2abcosC=(a+b) -2ab-2abcosC
2 2 2 2 1 3 3 absin C ? ab ? 3. ? ab ? 6. 由余弦定理得 c =a +b - 2 4 2

121 11 .? a ? b ? . 4 2 20 题.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 首项为 a1, 1, n, n 成等差数列 n∈N+) (1) 且 a S ( ? (a ? b) 2 ? c 2 ? 3ab ?

求数列{an}的通项公式;(2)设 Tn 为数列{
?n ? N ? , 总有 Tn ?

1 }的前 n 项和,若对于 an

m?4 成立,其中 m∈N+,求 m 的最小值. 3

- 7 -

解:(1)由题意 2an=Sn+1,当 n=1 时,2a1=a1+1,∴a1=1,当 n≥2 时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1, 两式相减得 an=2an-2an-1,整理得 an=a1·2
n-1

an =2,∴数列{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,∴ a n ?1

=1·2

n-1

=2

n-1

.

1 1 1 1 1 1 Tn ? ? ??? ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? a1 a 2 an 2 2 2
(2)

1?

1 2 n ? 2 ? 1 ? 2. 1 2 n?1 1? 2

∵对于

?n ? N *, 有Tn ?

m?4 m?4 成立 , 即只须 ? 2, 即m ? 10 3 3 .∴m 的最小值为 10.

21 题,.己知集合 M={(x,y)|x>0,y>0,x+y=k},其中 k 为正常数。 (1)设 t=xy,求 t 的取值范围; (2)求证:当 k≥1 时,不等式 ( ? x)( ? y ) ? ( ? ) 2 对任意(x,y) ? M 恒成立;

1 x

1 y

k 2

2 k

(3)求使不等式 ( ? x)( ? y ) ? ( ? ) 2 对任意(x,y) ? M 恒成立的 k 的范围。
x ? y 2 k2 ) ? 2 4 1 1 1 x ?( ? (2) ( ? x)( ? y ) ? x y xy y

1 x

1 y

k 2

2 k

解 : (1)t=xy ? (

, 当 x=y=k 时 取 等 号 , 所 以 xy 取 值 范 围 为 (0,
y k 2 ?1 k 2 ?1 ) ? xy ? xy ? ?2?t? ?2 x xy t
? f (t ) ? f (

k2 ] 4

? k ? 1, ? k 2 ? 1 ? 0 , 故

f (t ) ? t ?

k 2 ?1 k2 ? 2 在 (0, ] 为 增 函 数 , t 4
2

k2 k 2 ) ? ( ? )2 4 2 k

(3) 由 (2) 知 k 的 范 围 , 又
2

0 ? k ? 1 , 1 ? k 2 ? 0 即 求 f (t ) ? f ( k ) 对
4

t?

(0,

k2 ] 恒 成 立 的 4

2 2 k f (t ) ? t ? k ? 1 ? 2 ? t ? 1 ? k ? 2在(0,1 - k 2 ] 上递减, [ 1- k2 ,??) 上递增, 在 要使函数 f (t ) 在 (0, ] 上 4 t t 2 2 k k ? 1 ? k 2 ,解得 0 ? k ? 2 5 ? 2 恒有 f (t ) ? f ( ) ,则必须 4 4

- 8 -


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