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2013高考数学一轮同步训练(文科) 6.5合情推理与演绎推理


2013 高考数学一轮强化训练 6.5 合情推理与演绎推理 文 新人教 A 版
1.下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果 ?A 与 ?B 是两条平行直线的同旁内角,则 ?A ? ?B ? 180° B.某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人,由此得高三所有班人数均超过 50 人 C.由平面三角形的性

质,推测空间四面体的性质 D.在数列{ an }中 ? a1 ? 1? an ? 1 (a

2

? 1 )(n ? 2)? 由此归纳出{ an }的通项公式 n ?1 a n ?1

答案:A 解析:两条直线平行,同旁内角互补(大前提) ?A 与 ?B 是两条平行直线的同旁内角(小前提) ?A ? ?B ? 180 °(结论) 2.下面使用类比推理恰当的是( ) A.”若 a ? 3 ? b ? 3? 则 a=b”类推出”若 a ? 0 ? b ? 0? 则 a=b” B.”(a+b)c=ac+bc”类推出” a ? b ? a ? b ”

c

c

c

C.”(a+b)c=ac+bc”类推出” a ? b ? a ? b (c ? 0) ”

c

c

c

D.” (ab) n ? a nb n ”类推出” (a ? b) n ? a n ? b n ” 答案:C 3.定义集合 A,B 的运算: A ? B ? {x| x ? A 或 x ? B 且 x ? A ? B },则 A ? B ? A = 答案:B 解析:如图 ? A ? B 表示的是阴影部分,设 A ? B ? C ? 运用类比的方法可知,C ? A ? B? 所以 A ? B ? A ? B . .

4.设等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ? 则 S 4 ? S8 ? S 4 ? S12 ? S8? ? S16 ? S12 成等差数列.类比以上 结论有:设等比数列{ bn }的前 n 项积为 Tn ? 则 T4 ? ,

T ? 16 成等比数列. T 12

答案: 8

T

T 4

T 12 T 8

解析:由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和、差有关,等比数列与积、商有 关,因此当等差数列依次每 4 项之和仍成等差数列时,类比到等比数列为依次每 4 项的积成 等比数列.下面证明该结论的正确性: 设等比数列{ bn }的公比为 q,首项为 b1 ? 则 T4 ? b14 q 6 ? T8 ? b18 q1? 2 ?...? 7 ? b18 q 28 ?
12 12 T12 ? b1 q1? 2?...?11 ? b1 q 66 ?

∴ T8 ? b14 q 22 ? T12 ? b14 q 38 ? 4 8
T T

即 ( 8 ) 2 ? 12 ? T4 ? 故 T4 ? 8 ? 12 成等比数列.

T

T

T

T

T 4

T 8

T T 4 8

5.等差数列{ an }中,公差为 d,前 n 项的和为 S n ? 有如下性质: (1)通项 an ? am ? (n ? m)d ; (2)若 m+n=p+q,m、n、p、 q ? N ? ? 则 am ? an ? a p ? aq ; (3)若 m+n=2p,则 am ? an ? 2a p ;

(4) S n ? S 2 n ? S n ? S3n ? S 2 n 构成等差数列.
请类比出等比数列的有关性质. 解:等比数列{ an }中,公比为 q,前 n 项和为 S n ? 则可以类比得出以下性质:

(1)an ? am q n ? m ;
(2)若 m+n=p+q,m、n、p、 q ? N ? ? 则 am ? an ? a p ? aq ;
2 (3)若 m+n=2p,则 am ? an ? a p ;

(4)当 q ? ?1 时 ? S n ? S 2 n ? S n ? S3n ? S 2 n 构成等比数列. 题组一 归纳推理 1.由数列 1,10,100,1 000,……猜测该数列的第 n 项可能是( A. 10n B. 10n?1 C. 10n?1

) D. 11n

答案:B 解析:前几项可以写成 10 的幂的形式,容易发现结论?.

2.如图,圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳 到另一点.若它停在奇数点上,则下一次只能跳一个点;若停在偶数点上,则下一次跳两个 点.该青蛙从 5 这个点跳起,经 2 011 次跳跃后它停留的点是( )

A.1 答案:A

B.2

C.3

D.4

解析:用 an 表示青蛙第 n 次跳跃后所在的点数,则 a1 ? 1? a2 ? 2? a3 ? 4? a4 ? 1? a5 ? 2? a6 ? 4? …, 显然数列{ an }是一个周期为 3 的数列,故 a2011 ? a670?3?1 ? a1 ? 1 . 3.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19
,若 m3 (m ? N ? ) 的分解中最小的数是 21,则 m 的值

根据上述分解规律,则 52 ? 为 . 答案:1+3+5+7+9 5

解析:第一空易得;从 23 起 ? k 3 的分解规律恰为数列 3,5,7,9,…若干连续项之和 ? 23 为前两项 和 ? 33 为接下来三项和,…,21 是 53 的分解中最小的数,?∴m=5.? 题组二 类比推理 4.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 答案:C 解析:因为平行六面体相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边互相平行. 5.给出下列三个类比结论: ① (ab) n ? a nb n 与 (a ? b) n 类比,则有 (a ? b) n ? a n ? b n ; ②log a ( xy ) ? log a x ? log a y 与 sin (? ? ? ) 类比,则有 sin (? ? ? ) ? sin ? sin ? ; ③ (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 与 (a ? b) 2 类比,则有 (a ? b) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 .

其中结论正确的个数是( A.0 答案:B 解析:③正确. 6.观察下列等

) B.1

C.2

D.3

式: 13 ? 23 ? ( 1+2 ) 2 ?13 ? 23 ? 33 ? (1 ? 2 ? 3) 2 ?13 ? 23 ? 33 ? 43 ? (1+ 2 ? 3 ? 4) 2 ? …,根据上 述规律,第四个等式为 .

答案: 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) 2 ( 或 152 ) 解析: 13 ? 23 ? (1 ? 2) 2 ?13 ? 23 ? 33 ? (1 ? 2 ? 3) 2 ? …, 所以 13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) 2 ? [

5(1 ? 5) 2 ] ? 152 . 2

7.在△ABC 中,射影定理可以表示为 a=bcosC+ccosB,其中 a,b,c 依次为角 A、B、C 的对边.类 比以上定理,给出空间四面体中类似性质的猜想. 解:如图,在四面体 P—ABC 中 ? S1 、 S 2 、 S3 、S 分别表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC 的面

积 ? ? 、 ? 、 ? 依次表示面 PAB、面 PBC、面 PCA 与底面 ABC 所成角的大小,我们猜想将射影定 理类比推广到三维空间,其表现形式应为 S ? S1 cos ? ? S 2 cos ? ? S3 cos ? . 题组三 演绎推理 8.”因为指数函数 y ? a x 是增函数(大前提),而 y ? ( 1 ) 是指数函数(小前提),所以 y ? ( 1 )
x x

3

3

是增函数(结论)”,上面推理的错误是( A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错 答案:A

)

解析:” y ? a x 是增函数”这个大前提是错误的,从而导致结论错.9.为了保证信息安全传输, 有一种密码系统,其加密、解密过程如下图:

现在加密密钥为 y=log a ( x ? 2)? 如上所示,明文”6”通过加密后得到密文”3”,再发送,接 受方通过解密密钥解密得到明文”6”.问:若接受方接到密文为”4”,则解密后得到明文 为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案:C 解析:∵log a (6 ? 2) ? 3? ∴a=2, 即加密密钥为 y=log 2 ( x ? 2)? 当接到的密文为 4 时,即 log 2 ( x ? 2) ? 4? ∴ x ? 2 ? 24 ? ∴x=14. 10.广州 2010 年亚运会火炬传递在 A,B,C,D,E 五个城市之间进行,各城市之间的路线距 离(单位:百公里)见下表.若以 A 为起点,E 为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬 传递的最短路线长度是 ( )

A.20.6 B.21 C.22 D.23 答案:B 解析:首先以 A 为起点,E 为终点,每个城市经过且只经过 1 次的可能性有 6 种,即 ABCDE,ABDCE,ACBDE,ACDBE,ADBCE,ADCBE,分别计算得 ACDBE 最短,且最短距离为 21. 11.已知等差数列{ an }的公差 d=2,首项 a1 ? 5 . (1)求数列{ an }的前 n 项和 S n ; (2)设 Tn ? n(2an ? 5)? 求 S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ? S5 ; T1 ? T2 ? T3 ? T4 ? T5 ? 并归纳出 S n 与 Tn 的大小规律.

解:(1)由已知 a1 ? 5? d ? 2? ∴ an ? a1 ? (n ? 1) ? d ? 5 ? 2(n ? 1)=2n+3. ∴ S n ? n(n ? 4) .

(2)Tn ? n(2an ? 5) ? n[2( 2n+3)-5],
∴ Tn ? 4n 2 ? n . ∴ T1 ? 5? T2 ? 4 ? 22 ? 2 ? 18? T3 ? 4 ? 32 ? 3 ? 39?

T4 ? 4 ? 42 ? 4 ? 68? T5 ? 4 ? 52 ? 5 ? 105 .

S1 ? 5? S 2 ? 2 ? (2 ? 4) ? 12? S3 ? 3 ? (3 ? 4) ? 21? S 4 ? 4 ? (4 ? 4) ? 32? S5 ? 5 ? (5 ? 4) ? 45 .
由此可知 S1 ? T1 ? 当 n ? 2 时 ? S n ? Tn . 归纳猜想:当 n ? 2? n ? N 时 ? S n ? Tn .??


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