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高一数学幂函数1


新课标

幂函数

问题引入:函数的生活实例
问题 1:如果张红购买了每千克 1元的蔬菜 w千克, 那么她需要付的钱数p =w 元, 。? x 这里p是w的函数 y 问题2:如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 y = x? 是S = a?, 这里S是a的函数 。 问题3:如果正方体的边长为 a,那么正方体的体积 y= x? 是V = a? ,这里V是a的函数 。 问题 4: 如果正方形场地的面积为 S ,那么正方形的 1 1 2 边长a= S 2, 。 这里a是S的函数 y=x 问题5:如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑 ?1 ?1 y=x 这里 v 是 t 的函数 t km/s 车的平均速度v = , 。 若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 表示,则它们的函数关系式将是:

以上问题中的函数有什么共同特征?
(1)

(2)

(3)
(4) (5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

(1)都是函数;
(2)均是以自变量为底的幂; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为1。

上述问题中涉及的函数,都是形如y=xα的函数。

一、定义

练习1
判断下列函数是否为幂函数。 (1) y=x4 (2) y=2x2

(4) y ? 2
(5) y ? x

x

?2

(3) y= -x2

(6) y=x3+2

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1、已知幂函数y ? f ( x)的图象过点(2, 2 ),

试求出这个函数的解析式.

y?x

1 2

二、五个常用的幂函数:
几点说明:

1 1、对于幂函数,我们只讨论 ? =1,2,3, , 2 -1时的情形。

2、幂函数不象指数函数和对数函数,其定义 域随 ? 的不同而不同。

五个常用幂函数的图象:
y ? x2
(-2,4)
4

y ? x3
(2,4)
3

y=x
y?x
(1,1)
2 4 6

2

1 2

(-1,1)
-4 -2

1

y=x?1

(-1,-1)

-1

-2

从图象能得出它 们的性质吗?

-3

函数y=x的图象和性质

定义域:

值 域:
奇偶性:

R R

奇函数 在R上是增函数 单调性:

函数y=x2的图象 和性质

定义域:

R

值 域:[0,??) 奇偶性: 偶函数
在[0,??)上是增函数 单调性:

在(??,0]上是减函数

函数y=x3的图 象和性质

定义域:
值 域:

R R

奇偶性:奇函数
单调性: 在R上是增函数

函数y ? x

1 2

的图像和性质

定义域: [0,??)
值 域: [0,??)

奇偶性: 非奇非偶函数

在[0,??)上是增函数 单调性:

函数y=x-1的图象 和性质

0? ? (0,+?) ? ??, 定义域: 0? ? (0,+?) ? ??, 值 域:

奇偶性: 奇函数
在(-?,0)和(0, ??)上是减函数 单调性:

探究:观察幂函数图象(课本第77页图2.3.1),将你发现 的结论填在下面表格内:

y=x
定义域 值域 R R

y = x2 y = x3 y ? x
R [0,+∞) 偶函数 R R 奇函数

1 2

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 函数

y?x 0? ? (0,+?) ? ??, 0? ? (0,+?) ? ??,
奇函数

?1

奇偶性 奇函数

在(-∞,0] R上是 上是减函 单调性 增函数 数,在(0, +∞)上是 增函数 公共点

R上是 在(0,+∞) 增函数 上是增函数

在( -∞,0)和 (0, +∞)上 是减函数

(1,1)

三、幂函数的性质:
幂函数的定义域、奇偶性、单调性,因函数式中α 的不同而各异.

1.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1); 2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数. α>1 3.如果α>0,则幂函数,在(0,+∞) 上为增函数;a越大头越高 如果α<0,则幂函数,在(0,+∞)上 为减函数。a越下,底越接近x轴
0<α<1

α<0

观察(一)
3

y?x

3

y?x

2

2

1

0 0 1 2 3

观察(二)
3

2

y?x y?x

1 2

1 3

1

0 0 1 2 3

观察(三)
3

2

1

0 0 1 2

y?x ?1 y ? x?2 y ? x 3

?1 2

归纳
幂函数图象在第一象限的分布情况:

? ?1
? ?0
0 ?? ?1

0 ?? ?1

? ?1

? ?0

在上 (1,??) 任取一点 作 x 轴的 垂线,与 幂函数的 图象交点 越高, ? 的值就越 大。

例1 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3-2 与 0.30.3 -2

(3) 2.5 5 与2.7 5
5.20.8 5.30.8

解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ < (2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数

(3)y=x-2/5在(0,+∞)内 是减函数, ∵2.5<2.7 ∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

∵0.2<0.3
∴ 0.20.3 <0.30.3

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练习4
1)

1.3

0.5<

1.5

0.5

?2 < 5.1 5.09 2)

?2

3) 4)

0.5

1 4

> 0.4
2 ? 3

1 4

0.7



0.8

2 ? 3

小结
1、幂函数的定义 及图象特征?

2、幂函数的性质 ?

y?x

(1)幂函数图象过定点(1,1) (2)当α为奇数时,幂函数为 奇函数; 当α为偶数时,幂 函数为偶函数. (3)当α>0时,在(0,+∞)上 为 增函数;当α<0时,在 (0,+∞)上为减函数。

作业
P79习题2.3 1、2、3;

下课了!

思考题
已知f(x)=(m +2m) ?x
2 m2 ? m ?1

, 当m为何值时,f(x)是:

(1)正比例函数; (2)反比例函数; (3)二次函数; (4)幂函数?

x y=x3 y=x1/2

… … …

-2 -8 /

-1 -1 /
y 8

0 0 0

1 1 1

2 8
2

3 27

4 … 64 …

3

2 …

y=x3
6
4 2

y=x
1 2 3 4 x

1 2

-3

-2

-1

0 -2 -4 -6 -8

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