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【创新设计】(山东专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第1讲 函数及其表示课件


第1讲

函数及其表示

最新考纲

1. 了解构成函数的要素,会求一些简单函

数的定义域和值域,了解映射的概念; 2. 在实际情境 中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列 表法、解析法)表示函数;3.了解简单的分段函数,并

能简单地应用(函数分段不超过三段).

知识梳理

1.函数的基本概念
(1)函数的定义 一般地,设A,B是 非空 数集,如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的 任意 一个数x,在集合B中都有 唯一 确定的 数f(x) 和它对应;那么就称 f:A→B为从集合 A 到集合B的一个

函数,记作y=f(x),x∈A.

(2)函数的定义域、值域

在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数
的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 . (3)函数的三要素是:定义域 、 值域 和对应关系. (4)表示函数的常用方法有:列表法 、图象法 和解析法.

(5)分段函数
在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不 同的 对应法则 ,这种函数称为分段函数.

分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域 的 并集 ,值域是各段值域的 并集 .

2.函数定义域的求法
类型 2n f(x),n∈N* x 满足的条件 f ( x) ≥0

1 与[f(x)]0 f(x) logaf(x) 四则运算组成的函数 实际问题

f(x)≠0 ___________ f(x)>0 ___________
各个函数定义域的交集 使实际问题有意义

诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) x2 (1)f(x)= x 与 g(x)=x 是同一个函数.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( × ) x+1 (3)函数 y= x 的定义域为{x|x≠0}.( × )
2 ? ? 1-x ,-1≤x≤1, (4)f(x)=? 则 ? ?x+1,x>1或x<-1, 2 ? ? 1-x ,-1≤x≤1, ? ( ? ?-x+1,x>1或x<-1.

f(-x)=



) )

(5)f( x-1)=x,则 f(x)=(x+1)2(x≥-1).( √

2.下列各组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=|x|,g(x)= x2 B.f(x)= x2,g(x)=( x)2 x 2 -1 C.f(x)= ,g(x)=x+1 x-1 D.f(x)= x+1· x-1,g(x)= x2-1

)

解析

A 中,g(x)=|x|,∴f(x)=g(x).

B 中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x (x≥0), ∴两函数的定义域不同. C 中,f(x)=x+1 (x≠1),g(x)=x+1(x∈R), ∴两函数的定义域不同. D 中,f(x)= x+1· x-1(x+1≥0 且 x-1≥0),f(x)的定义 域为{x|x≥1};g(x)= x2-1(x2-1≥0), g(x)的定义域为{x|x≥1 或 x≤-1}.∴两函数的定义域不同.故 选 A.

答案 A

3.(2015· 全国Ⅱ卷)设函数 f(-2)+f(log212)=( A.3 B.6

? ?1+log2(2-x),x<1, f(x)=? x-1 则 ? ?2 ,x≥1,

) C.9 D.12

解析 ∵-2<1,∴f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3, ∵log212>1,∴f(log212)=2log212-1=2log26=6, ∴f(-2)+f(log212)=9.
答案 C

9-3x 4.(2015· 临沂期中)函数 y= 的定义域为________. lg(x+1)

?9-3x≥0, ? 解析 由题意知?x+1>0, 解得-1<x≤2 且 x≠0. ?lg(x+1)≠0, ?

答案 (-1,0∪(0,2]

? ?log1x,x≥1, 5.函数 f(x)=? 2 的值域为________. x ? ?2 ,x<1

解析

当 x≥1 时, log 1 x ≤0;当 x<1 时,0<2x<2,
2

故值域为(-∞,0]∪(0,2)=(-∞,2).

答案 (-∞,2)

考点一

求函数的定义域 )

10+9x-x2 【例 1】 (1)函数 f(x)= 的定义域为( lg(x-1) A.[1,10] C.(1,10] B.[1,2)∪(2,10] D.(1,2)∪(2,10]

1 x (2)(2015· 枣庄模拟)函数 f(x)=ln +x 的定义域为( x-1 2

)

A.(0,+∞) C.(0,1)

B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

解析

(1)要使函数 f(x)有意义,则 x 需满足

?10+9x-x2≥0, ?(x+1)(x-10)≤0, ? ? ?x-1>0, 即?x>1, ?lg(x-1)≠0, ?x≠2, ? ? 解得 1<x≤10 且 x≠2. ? x ? >0, x - 1 (2)要使函数 f(x)有意义,? 解得 x>1,故函数 f(x) ? ?x≥0, x =ln +x2的定义域为(1,+∞). x-1
1

答案 (1)D (2)B

规律方法 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)抽象函数: ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域 由不等式a≤g(x)≤b求出;

②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)
在x∈[a,b]时的值域.

【训练 1】(1)(2016· 唐山模拟)已知函数 f(x)的定义域是[0, 2], 则函数 (2)函数
? 1? ? 1? g(x)=f?x+2?+f?x-2?的定义域是________. ? ? ? ? ? 1? f(x)=ln?1+x ?+ ? ?

1-x2的定义域为________.

解析

(1)因为函数 f(x)的定义域是[0,2],
? ? 1? 1? g(x) = f ?x+2? + f ?x-2? 中 的 自 变 量 ? ? ? ?

所以函数

x 需要满足

1 ? ?0≤x+2≤2, ?1 3? 1 3 ? 解得 ≤x≤ ,所以函数 g(x)的定义域是?2,2?. 2 2 ? ? ?0≤x-1≤2, 2 ? ? ?1+1>0, ?x<-1或x>0, x ? ? (2)由条件知?x≠0, ??x≠0, ?x∈(0,1]. ? ?-1≤x≤1 2 ? ? 1 - x ≥ 0 ? ?1 3? 答案 (1)?2,2? (2)(0,1] ? ?

考点二

求函数的解析式
? 1? 2 1 f?x+ x ?=x +x2,则 ? ?

【例 2】 (1)已知

f(x)=________.

(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+ 17,则 f(x)=________. (3)已知
?2 ? f?x +1?=lg ? ?

x,则 f(x)=________. f(x)=________.

(4)已知 f(x)满足

?1? 2f(x)+f?x ?=3x,则 ? ?

解析

? 1? 2 1 ? 1?2 (1)f?x+ x ?=x +x2=?x+x ? -2, ? ? ? ?

1 又 x+x ∈(-∞,-2]∪[2,+∞), ∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (2)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成立,
? ? ?a=2, ?a=2, ∴? 解得? ∴f(x)=2x+7. ? ? ?b+5a=17, ?b=7,

2 2 (3)令 t=x +1(t>1),则 x= , t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x-1
?1? (4)∵2f(x)+f?x ?=3x,① ? ? ?1? 1 3 ? ? 以x 代替①式中的 x(x≠0),得 2f x +f(x)=x .② ? ?

3 1 ①×2-②得 3f(x)=6x-x ,∴f(x)=2x- x(x≠0).

答案 (1)x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) 2 1 (3)lg (x>1) (4)2x-x (x≠0) x-1

(2)2x+7

规律方法

函数解析式的求法

(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可 用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要 注意新元的取值范围; (3)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x) 的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的解析式; (4)消去法:已知 f(x)与
?1? f?x ?或 ? ?

f(-x)之间的关系式,可根据已知条

件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

【训练 2】 (1) (2016· 滨州模拟) 已知 f( x+1)=x+2 x, 则 f(x)=________. (2)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实 根,且 f′(x)=2x+2,则 f(x)的解析式为________.
解析 (1)(换元法)令 x+1=t≥1,则 x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1). (配凑法)f( x+1)=x+2 x=( x+1)2-1, 又 x+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(x)=0 有两个相等实根, 得 Δ=b2-4ac=0,又 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,∴c=1,∴f(x)=x2+2x+1.

答案 (1)x2-1(x≥1) (2)x2+2x+1

考点三 【例 3】

分段函数
x-1 ? ?2 -2,x≤1, (1)(2015· 全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)=? ? ?-log2(x+1),x>1,

且 f(a)=-3,则 f(6-a)等于( 7 A.-4 5 B.-4 3 C.-4

) 1 D.-4

x-1 e ,x<1, ? ? (2)(2014· 新课标全国 Ⅰ 卷 ) 设函数 f(x) = ? 1 则使得 x ,x≥1, ? ? 3

f(x)≤2 成立的 x 的取值范围是________.

解析


(1)当 a≤1 时,f(a)=2a-1-2=-3,

即 2a 1=-1,不成立,舍去;当 a>1 时, f(a)=-log2(a+1)=-3,即 log2(a+1)=3,解得 a=7, 7 此时 f(6-a)=f(-1)=2 -2=- .故选 A. 4
-2

(2)当 x<1 时,ex-1≤2 成立,解得 x≤1+ln 2,
1

∴x<1.当 x≥1 时,x3≤2,解得 x≤8,∴1≤x≤8. 综上可知 x∈(-∞,8].

答案 (1)A (2)(-∞,8]

规律方法

(1) 应用分段函数时,首先要确定自变量的值属

于哪个区间,其次选定相应关系代入计算求解,特别要注

意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类
讨论.(2)当给出函数值或函数值的范围求自变量的值或自变 量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注 意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变 量的值或取值范围.

【训练 3】 (1)设函数 则 a=________.

2 ? ?x +2x+2,x≤0, f(x)=? 2 若 ? ?-x ,x>0.

f(f(a))=2,

(2)(2015· 山东卷)设函数

? ?3x-1,x<1, f(x)=? x 则满足 ? ?2 ,x≥1,

f(f(a))

=2f(a)的 a 的取值范围是(
?2 ? A.?3,1? ? ? ?2 ? C.?3,+∞? ? ?

)

B.[0,1] D.[1, +∞)

解析

(1)当 a>0 时, f(a)=-a2<0, f(f(a))=a4-2a2+2=2, 2(a=0 与 a=- 2舍去).

解得 a=

当 a≤0 时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0, f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解. (2)由 f(f(a))=2f(a)得,f(a)≥1.当 a<1 时,有 3a-1≥1, 2 2 ∴a≥ ,∴ ≤a<1.当 a≥1 时,有 2a≥1, 3 3 2 ∴a≥0,∴a≥1.综上,a≥3,故选 C. 答案 (1) 2 (2)C

[思想方法]
1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定 义域是否相同;二是对应关系是否相同. 2.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且 它是研究函数性质和图象的基础 . 因此,我们一定要树立

函数定义域优先意识.
3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑 法、解方程组法.

[易错防范] 1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法, 同时要注意函数的定义域, 如已知 f( x)=x+1, 求函数 f(x) 的解析式时,通过换元的方法可得 f(x)=x2+1,这个函数 的定义域是[0,+∞),而不是(-∞,+∞). 2.求分段函数应注意的问题:在求分段函数的值 f(x0)时,首 先要判断 x0 属于定义域的哪个子集, 然后再代入相应的关 系式.


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