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第一章第二讲指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质


指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质综合应用导学案 命题人: 徐万山

互为反函数( a ? 0, 且a ? 1 ) 。了解幂函数的概念。结合函数 y=x,y=x2,y=x3, y ?

1 ,y ? x 2 x

1

的图象,了解它们的变化情况。指数函数、对数函数在高中数学中占有十分重要的地位,是高 考重点考查的对象,热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用.同时考查分类讨论

理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,理解指数函数的 单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;理解对数的概念及其运算性质,理解对 数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指 课程目 标 数函数 y=ax 与对数函数 y ? log a x 互为反函数( a ? 0, 且a ? 1 ) 。了解幂函数的概 念。结合函数 y=x,y=x2,y=x3, y ? 课程重 点 课程难 点 教学方 法建议

思想和数形结合思想;多以选择、填空题的形式出现,有时会与其他知识结合在知识交汇点处 命题。

二: 核心梳理、茅塞顿开 (一)指数与指数函数
1.根式
(1)根式的概念

1 , y ? x 的图象,了解它们的变化情况。 x

1 2

指数、对数的运算性质;指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用;幂函数图 像的应用。 指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用,幂函数图像的应用。 首先回顾指数、对数的运算性质;指数函数、对数函数的图像与性质等基础知识。 再通过经典例题的剖析,帮助学生理解基础知识,加深对知识的认识和记忆。再通 过精题精练,使学生形成能力。在例题和习题的选择上可以根据学生的实际情况进 行。 课堂精讲例题 A类 B类 C类 ( 4 )道 ( 3 )道 ( 0 )道 搭配课堂训练题 ( 4 )道 ( 3 )道 ( 0 )道 课后作业 ( 11 )道 ( 10 )道 ( 0 )道

根式的概念
n 如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根

符号表示

备注

n ? 1且n ? N ?
n

选材程 度及数 量

当 n 为奇数时 , 正数的 n 次方根是一个正数 , 负 数的 n 次方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互 为相反数

a

零的 n 次方根是零

? n a (a ? 0)

负数没有偶次方根

一:考纲解读、有的放矢
理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性, 掌握指数函数图象通过的特殊点。理解对数的概念及其运算性质。理解对数函数的概念,理解 对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指数函数 y=ax 与对数函数 y ? log a x (2) .两个重要公式

?a ? n n ① a ?? ?a(a ? 0) ?| a |? ?? a(a ? 0) ? ?

n 为奇数 n 为偶数 ;

1

② (n a ) n ? a (注意 a 必须使 n a 有意义) 。

注:如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx 的图象,如何确定底 数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系?

2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂: a n ? ②正数的负分数指数幂: a
? m n

m

n

a m (a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1) ;
1 a
m n

?

?

1
n

a

m

(a ? 0, m、n ? N ? , 且n ? 1)
提示: 在图中作直线 x=1, 与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值, 即 c1>d1>1>a1>b1, ∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.

(二)对数与对数函数
1、对数的概念
(1)对数的定义

3.指数函数的图象与性质
y=a 图象
x

a>1

0<a<1

如果 a x ? N (a ? 0且a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作 x ? loga N ,其中 a 叫做 对数的底数, N 叫做真数。 (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 特点 底数为 a a ? 0, 且a ? 1 底数为 10 底数为 e 记法

loga N
lg N

定义域 值域 性质

R (0,+ ? ) (1)过定点(0,1) (2)当 x>0 时,y>1; x<0 时,0<y<1 (3)在(- ? ,+ ? )上是增函数 (2) 当 x>0 时,0<y<1; x<0 时, y>1 (3)在(- ? ,+ ? )上是减函数 自然对数

ln N

2、对数的性质与运算法则
(1) 对数的性质 ( a ? 0, 且a ? 1 ) : ① log a1 ? 0 , ②l o g (2)对数的重要公式:
a a
lg ? 1 ,③ ao
a N

? N ,④ l og

aN a

?N。

2

①换底公式: logb

N

log a N ? (a, b均为大于零且不等于1, N ? 0) ; log ab

提示:作一直线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

② log a b ?

1 。 logb a
∴0<c<d<1<a<b. 4、反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称。

(3)对数的运算法则: 如果 a ? 0, 且a ? 1 , M ? 0, N ? 0 那么 ① loga (MN ) ? loga M ? loga N ; ② log a

M ? log a M ? log a N ; N

(三)幂函数
1、幂函数的定义 形如 y= x (a∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数
?

③ loga M n ? n loga M (n ? R) ;

n n ④ log a m b ? log a b m 3、对数函数的图象与性质 a ?1

0 ? a ?1

注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指 数函数的自变量在指数位置。 2、幂函数的图象

图象

性质

(1)定义域: (0,+ ? ) (2)值域:R (3)当 x=1 时,y=0 即过定点(1,0) (4)当 0 ? x ? 1 时, y ? (??,0) ; 当 x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为增函数 (4)当 x ? 1 时, y ? (??,0) ; 当 0 ? x ? 1 时, y ? (0, ??) (5)在(0,+ ? )上为减函数 注:在上图第一象限中如何确定 y=x3,y=x2,y=x, y ? x 2 ,y=x-1 方法:可画出 x=x0; 当 x0>1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x ,y=x , y=x, y ? x , y=x-1;
3 2

1

1 2

注:确定图中各函数的底数 a,b,c,d 与 1 的大小关系

3

当 0<x0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为 y=x-1, y ? x 2 ,y=x, y=x2,y=x3 。 3、幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3

1

变式: (2007 执信 A)化简下列各式(其中各字母均为正数):

(a 3 ? b ?1 ) 2 ? a 2 ? b 3
(1)
6

2

?

1

1

1

y?x

1 2

y=x-1

a ? b5

;

定义域 值域 奇偶性 单调性

R R 奇 增

R [0, ?? ) 偶 x∈ (??, 0] 时,减

R R 奇

[0, ?? ) [0, ?? ) 非奇非偶 增

?x | x ? R且x ? 0?
? y | y ? R且y ? 0?
奇 x∈(0,+ ? )时,减; x∈(- ? ,0)时,减

2 1 1 ? 5 13 ?2 ?3 2 3 2 ?1 a ? b ? ( ? 3 a b ) ? ( 4 a ? b ) . (2) 6

1 ? 7 2 2 1.5 3 ? (? )0 ? 80.25 ? 4 2 ? ( 3 2 ? 3)6 ? ( ) 3 6 3 (3)

x∈[0,?? )时,增; 增

知识点 2:指数函数的图象及应用
例 2.(2009 广附 A)已知实数 a、b 满足等式 (

定点

(1,1)

1 a 1 ) ? ( )b ,下列五个关系式:?①0<b<a;②a<b<0; 2 3
( ) ? D.4 个?

三:例题诠释,举一反三 知识点 1:指数幂的化简与求值
例 1.(2007 育才 A)

③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 A.1 个 ? B.2 个 ? C.3 个

x 变式: (2010 华附 A)若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a ? 1 | (a ? 0 且 a ? 1) 的图象有两个公共点,

则 a 的取值范围是_______.
2 ? 3

3 4 [(3 ) (5 ) 0.5 ? (0.008) 8 9 (1)计算:

2 ? 3

? (0.02)

1 ? 2

? (0.32) ] ? 0.06250.25


1 2

知识点 3:指数函数的性质
例 3.(2010 省实 B)已知定义域为 R 的函数 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

a ? 8a b
3 (2)化简: 4b ? 2 ab ? a 2 3 2 3

4 3

1 3

f ( x) ?

? (a

?

2 3

?

2 b a? a )? 5 a a ?3 a
3 3 2

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? 2

4

ex a ? x 是 R 上的偶函数.? 变式: (2010 东莞 B)设 a>0,f(x)= a e
(1)求 a 的值;? (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.?

变式: (2011 韶关 A) 已知 0<a<1,b>1,ab>1, 则 loga
1 1 ? log a b ? log b b b 1 1 C. log a b ? log b ? log a b b

A.loga

1 1 , log a b, log b 的大小关系是 b b 1 1 B. log a b ? log a ? log b b b 1 1 D. log b ? log a ? log a b b b





知识点 4:对数式的化简与求值
例 4.(2010 云浮 A)计算: (1) log 2? 3 (2 ? 3 )

例 6.(2010 广州 B)已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞) 都有|f(x)|≥1 成立,试求 a 的取值范围.?

变式: (2010 广雅 B)已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞,? 1- 3 ]上是单调递减函 (2)2(lg 2 ) +lg 2 ·lg5+ (lg 2 ) ? lg 2 ? 1 ;?
2

2

2

数.求实数 a 的取值范围.?

(3) lg

1 2

32 4 - lg 8 +lg 245 .?? 49 3

变式: (2010 惠州 A)化简求值.? (1)log2
1 7 +log212- log242-1;? 2 48
2

知识点 6:幂函数的图象及应用
1? ? 例 7.(2009 佛山 B)已知点 ( 2, 点 ? ?2, ? , 在幂函数 g ( x) 的图象上. 问 2) 在幂函数 f ( x) 的图象上, 4? ? 当 x 为何值时有: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) .

(2)(lg2) +lg2·lg50+lg25;? (3)(log32+log92)·(log43+log83).?

知识点 5:对数函数的性质
变式: (2009 揭阳 B)已知幂函数 f(x)=x m 例 5.(2011 深圳 A)对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式: ① log a (1 ? a) ? log a (a ? ); ③a
1? a
2

? 2 m ?3

(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是
b 的奇偶性.? xf(x)

1 a

② log a (1 ? a) ? log a (1 ? ) ; ④a
1? a

1 a

单调减函数.(1)求函数 f(x);?(2)讨论 F(x)=a f(x) ?

?a

1?

1 a

;

?a

1?

1 a

;

其中成立的是( )

(A)①与③(B)①与④(C)②与③(D)②与④

5

四:方向预测、胜利在望
1. (A)函数 f ( x ) ? lg

11. (B) 若函数 f ( x) ? a x ? b ? 1(a ? 0且a ? 1)的图象经过第二、 三、 四象限, 则一定有 ( ) D.(-∞,1]∪(4,+∞) (D) ln2 ) A. 0 ? a ? 1且b ? 0 B. a ? 1且b ? 0 C. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 0 12. (B)若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍, 则 a= ( A.



1? x 的定义域为( x?4



A.(1,4) B.[1,4) C.(-∞,1)∪(4,+∞) 2.(A)以下四个数中的最大者是( ) (A) (ln2)
2

(B) ln(ln2)

(C) ln 2

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

1 3(B)设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 , 则 a=( 2 (A) 2 (B)2 (C)2 2 (D)4 4.(A)已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 6 3 5 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则( ) 5 2 2 (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b x ?1 ? ?2e , x ? 2, 5.(B)设 f(x)= ? 则不等式 f(x)>2 的解集为( ) 2 log ( x ? 1), x ? 2, ? ? 3 (A)(1,2) ? (3,+∞) (B)( 10 ,+∞)
(C)(1,2) ? ( 10 ,+∞) A. R ? Q ? P
2 a

13.(A)已知 0<x<y<a<1,则有( ) (A) loga ( xy) ? 0 (B) 0 ? loga ( xy) ? 1 (C) 1 ? loga ( xy) ? 2
6

(D) loga ( xy) ? 2 ) (D)

14.(A)已知 f ( x ) ? log2 x ,那么 f (8) 等于( (A)

4 3

(B)8

(C)18

1 2

15. (B)函数 y=lg|x| ( ) A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 16.(A)函数 y ?

(D)(1,2) ) D. R ? P ? Q

6. (A)设 P ? log 2 3 , Q ? log3 2 , R ? log 2 (log3 2) ,则( B. P ? R ? Q
2
c

C. Q ? R ? P )
c

7.(A)已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c ,则( A. 2 ? 2 ? 2
b

8. (B)下列函数中既是奇函数,又是区间 ??1,1? 上单调递减的是( (A) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? (B) f ( x) ? ? x ? 1

B. 2 ? 2 ? 2
b

2 a

lg( 4 ? x ) 的定义域是 ____________________________. x?3 17. (B) 函数 y ? a1? x (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A , 若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 1 1 上,则 ? 的最小值为 . m n ? e x , x ? 0. 1 18. (A)设 g ( x) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________ 2 ?lnx, x ? 0.
b

C. 2 ? 2 ? 2
c b

a

D. 2 ? 2 ? 2
c a



2 x ?2ax?a ? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为___________. 2 2 20.(B)若函数 f ( x ) ? log a ( x ? x ? 2a ) 是奇函数,则 a= .
19. (B)若函数 f(x) = 21.(B)已知函数 f ( x ) ?
2

2

1 x 2? x (a ? a ? x ) (D) f ( x) ? ln 2 2? x 9.(A)函数 y ? log 1 (3x ? 2) 的定义域是: ( )
2

1 1? x ? log 2 ,求函数 f ( x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. x 1? x

22.(B)已知下列函数,求它们的单调区间及值域: (1)

C [ ,1] D ( ,1] ( , ??) 10.(A)已知函数 y ? log 1 x与y ? kx 的图象有公共点 A,且点 A 的横坐标为 2,则 k ( ) A

[1, ??)

B
4

2 3

2 3

2 3

y ? 2x ? 2x ? 2 2 (2) y ? log 1(?x ? 2x ? 3)
2

A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

1 2

D.

1 2

6


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