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矩阵论试题06~07


?

长 春 理 工 大 学 研
科目名称: 适用专业:

















矩 阵 论 工科各专业

命题人: 李延忠 审核人: □开卷 □闭

开课学期: 2006 ——2007 学年第 一 学期 卷
? e 2t 一、 (10 分)已知 A?t ? ? ? ? e ? 2t ? te t 2e 2t 1? t ? ? ,求 sin t ? ?

?

t

0

A(? )d? , A?(t ) 。

二、 (10

?1 0 0? ? ? 分)求矩阵 A ? ? 1 1 0 ? 的 ? 2 3 2? ? ?

Jordan 标准形。

n?n 三、 (10 分)设 A 是 C 的矩阵范数, p 是 n 阶可逆矩阵,证

明实函数 A ? ? p ?1 Ap 是 C
3

n?n

中的一个矩阵范数。

四、 (10 分)设 F 中,从基 ?1 ,? 2 ,? 3 到基 ?1 , ? 2 , ? 3 的过渡矩阵
0 1? ?1 ? ? C ? ? 0 ? 1 0 ? ,线性变换 T ? ?1 0 1? ? ?

?T? 1 ? 2T? 2 ? 3T? 3 ? ? 1 ? ? 2 ? 满足 ?2T? 1 ? T? 2 ? 2T? 3 ? ? 2 ? ? 3 ? T? ? 3T? ? 4T? ? ? ? ? 2 3 1 3 ? 1

(1)求 T 在 ?1 ,? 2 ,? 3 下的矩阵 A ; (2)求 ?1 的像 T? 1 在基 ?1 , ? 2 , ? 3 坐标。 五、 (10
2? ??1 0 1 ? ? 分)求矩阵 A ? ? 1 2 ? 1 1 ? 的满秩分解。 ? 2 2 ? 2 ? 1? ? ?

六、 (15 分)求矩阵 A ? ? ?

? 2 0 1? ? 的奇异值分解,并求 A ? 。 ? ? 1 2 0?

? 2 0 0? ? ? 七、 (15 分)设 A ? ? 1 1 1 ? ,求微分方程组 x?(t ) ? 1 ?1 3? ? ?

? Ax(t ) 的一

?

般解 及满足初始条件 x(0) ? (1,1,1) 的解。
T


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