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反三角函数及性质


y=arcsinx.
函数 y=sinx,x∈[-π /2,π /2]的反函数叫做反正弦函数,记作 x=arcsiny. 习惯上用 x 表示自变量,用 y 表示函数,所以反正弦函数写成 y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数 y=sinx,x∈R 因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在反 函数。 反正弦函数只对这样一个函数 y=sinx,x∈[-π /2,π

/2]成立,这里截取的是正弦函数 靠近原点的一个单调区间,叫做正弦函数的主值区间。 理解 函数 y=arcsinx 中,y 表示的是一个弧度制的角,自变量 x 是一个正弦值。这点必 须牢记 性质 根据反函数的性质,易得函数 y=arcsinx 的,定义域[-1,1],值域[-π /2,π /2],是单 调递增函数 图像关于原点对称,是奇函数 所以有 arcsin(-x)=-arcsinx,注意 x 的取值范围:x∈[-1,1] 导函数:

,导函数不能取|x|=1



反正弦恒等式

sin(arcsinx)=x,x∈[-1,1]

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

arcsinx=-arcsin(-x)

arcsin(sinx)=x ,x 属于[0,π /2]

arccosx
反三角函数中的反余弦。意思为:余弦的反函数,函数为 y=arccosx,函数图像如右下 图。 就是已知余弦数值,反求角度,如 cos(a) = b,则 arccos(b) = a; 它的值是以弧度表达的角度。定义域: 【-1,1】 。 由于是多值函数,往往取它的单值支,值域为【0,π 】 ,记作 y=arccosx,我们称它叫 做反三角函数中的反余弦函数的主值,

arctan x
反三角函数中的反正切。意思为:tan(a) = b; 等价于 arctan(b) = a

定义域 :{x∣x∈R} , 值域 :y∈(-π/2,π/2) 计算性质:
tan(arctana)=a arctan(-x)=-arctanx arctan A + arctan B=arctan(A+B)/(1-AB) arctan A - arctan B=arctan(A-B)/(1+AB) 反三角函数在无穷小替换公式中的应用:当 x→0 时,arctanx~x

是一种数学术语。反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。 它是反正弦 Arcsin x, 反余弦 Arccos x, 反正切 Arctan x, 反余切 Arccot x 这些函数的统称, 各自表示其正弦、余弦、正切、余切为 x 的角。

2 数学术语编辑
为限制反三角函数为单值函数,将反正弦函数的值 y 限在-π/2≤y≤π/2,将 y 作为反正 弦函数的主值,记为 y=arcsin x;相应地,反余弦函数 y=arccos x 的主值限在 0≤y≤π;反 正切函数 y=arctan x 的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数 y=arccot x 的主值限在 0<y<π。 反三角函数实际上并不能叫做函数,因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要 求,其图像与其原函数关于函数 y=x 对称。其概念首先由欧拉提出,并且首先使用了【arc+ 函数名】的形式表示反三角函数,而不是 f-1(x)。 ⑴正弦函数 y=sin x 在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。arcsin x 表示一个正 弦值为 x 的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。【图中红线】 ⑵余弦函数 y=cos x 在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。arccos x 表示一个余弦值 为 x 的角,该角的范围在[0,π]区间内。【图中蓝线】 ⑶正切函数 y=tan x 在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。arctan x 表示一个 正切值为 x 的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。【图中绿线】 注释:【图的画法根据反函数的性质即:反函数图像关于 y=x 对称】 反三角函数主要是三个: y=arcsin(x),定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]图象用深红色线条; y=arccos(x),定义域[-1,1] , 值域[0,π],图象用深蓝色线条; y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用浅绿色线条; y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π),暂无图象; sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下:设 arcsin(x)=y,则 sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得 其他几个用类似方法可得 cos(arccos x)=x,arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x,arctan(-x)=-arctanx

绿的为 y=arccot(x) 红的为 y=arctan(x)

[1]

绿的为 y=arccos(x) 红的为 y=arcsin(x)

[1]

3 公式编辑
反三角函数其他公式: cos(arcsinx)=(1-x^2)^0.5 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !!表示双阶乘 arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… 举例 当 x∈[-π/2,π/2] 有 arcsin(sinx)=x x∈[0,π], arccos(cosx)=x x∈(-π/2,π/2), arctan(tanx)=x x∈(0,π), arccot(cotx)=x x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx 类似 若 (arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),则 arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如,arcsinχ 表示角 α,满足 α∈[-π/2,π/2]且 sinα=χ;arccos(-4/5)表示角 β,满足 β ∈[0,π]且 cosβ=-4/5;arctan2 表示角 φ,满足 φ∈(-π/2,π/2)且 tanφ=2


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