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高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2.4.2 第二课时 抛物线方程及几何性质的应用


考点一

把握热点考向
2.4

考点二 考点三

第 二 章

2.4. 2

第 二 课 时

应用创新演练

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2.4.2

抛物线的简单几何性质

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第二课时

抛物线方程及几何性质的应用

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[例1]

已知抛物线的方程为y2=2x,直线l的方程为y

=kx+1(k∈R),当k分别为何值时,直线l与抛物线:只 有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?
[思路点拨] 联立方程消元 → 讨论方程解的个数

→ 确定方程组解的个数 → 判断位置关系

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[精解详析]

联立直线 l

?y=kx+1, ? 与抛物线方程得方程组? 2 ?y =2x, ?

可得 k2x2+(2k-2)x+1=0. 1 (1)当 k=0 时,由方程(*)得 x= , 2 代入 y=kx+1 得 y=1. 1 这时直线 l 与抛物线只有一个公共点( ,1). 2

(*)

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(2)当 k≠0 时,方程(*)的判别式为 Δ=4(1-2k). 1 当 Δ=0,即 k= 时,方程(*)有一个解,从而直线 l 与 2 抛物线只有一个公共点. 1 当 Δ>0,且 k≠0,即 k< 且 k≠0 时 ,方程(*)有两个 2 解,从而直线 l 与抛物线有两个公共点. 1 当 Δ<0 且 k≠0,即 k> 时,方程(*)没有实数解,从而 2 直线 l 与抛物线没有公共点.
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1 综上可得:当 k=0 或 k=2时,直线 l 与抛物线只有一个 1 公共点;当 k<2且 k≠0 时,直线 l 与抛物线有两个公共点;当 1 k>2时,直线 l 与抛物线没有公共点.

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[一点通]

设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),

将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程:ax2+
bx+c=0. (1)若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;

当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.
(2)若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行 于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此,直线与抛物线 有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
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(3)若直线 l 与抛物线有两交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = 或|AB|= = 1+k2|x1-x2| 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2, 1 1+ 2|y1-y2| k 1 1+ 2 · ?y1+y2?2-4y1y2. k

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1 1.已知抛物线 C:x =2y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与
2

抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2 B.(-∞,- 2 )∪( 2 ,+∞) C.(-∞,-2 2)∪(2 2,+∞) D.(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

(

)

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4 解析:显然 t≠0,直线 AB 的方程为 y= t x-1, 代入抛物线方程得 2tx2-4x+t=0. 由题意 Δ=16-8t2<0, 解得 t<- 2或 t> 2.

答案:D

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2.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( 1 1 A.[-2,2] C.[-1,1] B.[-2,2] D.[-4,4] )

解析:设直线方程为 y=k(x+2),与抛物线方程联立,得
?y2=8x, ? ? ?y=k?x+2?, ?

消去 x 得到关于 y 的方程 ky2-8y+16k=0.

当 k=0 时,上述方程有解,所以直线与抛物线有公共点; 当 k≠0 时, 应有 Δ≥0, 64-64k2≥0, 即 解得-1≤k≤1 且 k≠0. 综上,l 斜率的取值范围是[-1,1]. 答案:C
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[例2]

已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦P1P2
法 一 : 设P1,P2坐标代入方程

使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.
[思路点拨]

→ 两式作差 → 求kP1P2得直线P1P2的方程 → 联立,利用弦长公式求|P1P2| 法 二 : 设点斜式方程 → 两方程联立消元

→ 根与系数关系求k → 利用弦长公式求|P1P2|

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[精解详析]

法一:设弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2).

∵P1,P2 在抛物线上, ∴y2=6x1,y2=6x2. 1 2 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). y1-y2 6 ∵y1+y2=2,∴k= = =3, x1-x2 y1+y2 ∴直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0.
?y2=6x, ? 由? ?y=3x-11, ?

得 y2-2y-22=0,

∴y1+y2=2,y1·2=-22, y ∴|P1P2|= 1 2 230 2 1+ · 2 -4×?-22?= . 9 3

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法二:由题意设所求方程为 y-1=k(x-4).
?y2=6x, ? 由? ?y=kx-4k+1, ?

得 ky2-6y-24k+6=0.

设弦的两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 6-24k 6 ∴y1+y2=k,y1·2= k . y 6 ∵P1P2 的中点为(4,1),∴k=2,∴k=3, ∴所求直线方程为 y-1=3(x-4). 由 y1+y2=2,y1·2=-22, y 得|P1P2|= 1 2 230 2 1+ · 2 +4×22= . 9 3
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[一点通]

处理中点问题的基本方法是点差法和联立

方程的方法,直线与抛物线方程联立时消 y 有时更简便 些.此类问题还要注意斜率不存在的情况,避免漏解.一般 地,已知抛物线 y2=2px(p>0)上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)及 p AB 的中点 P(x0,y0),则 kAB= ,直线 AB 的方程为 y-y0 y0 p y0 = (x-x0),线段 AB 的垂直平分线的方程为 y-y0=- p (x y0 -x0).
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3.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点 的横坐标为2, 则k= A.2或-1
?y=kx-2, ? 解析:由? 2 ?y =8x, ?

( B.-1

)

C.2

D.3
得 k2x2-(4k+8)x+4=0.

由 Δ=(4k+8)2-16k2>0,得 k>-1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k+8 则 x1+x2= 2 =4, k 解得 k=2 或 k=-1(舍去).

答案:C

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4.已知顶点在原点,焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x-2y -1=0 截得的弦长为 15,求此抛物线方程.
解:设抛物线方程为 x2=ay(a≠0).
?x2=ay, ? 由? ?x-2y-1=0, ?

消去 y 得 2x2-ax+a=0.

∵直线与抛物线有两个交点, ∴Δ=(-a)2-4×2×a>0,即 a<0 或 a>8.

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设直线与抛物线两交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), a a 1 则 x1+x2=2,x1x2=2,y1-y2=2(x1-x2), ∴|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2? =
2 2

5 ?x1-x2?2 4



5 1 [?x1+x2?2-4x1x2]=4 4

5?a2-8a?.

1 ∵|AB|= 15,∴4

5?a2-8a?= 15,

即 a2-8a-48=0,解得 a=-4 或 a=12, ∴所求抛物线方程为 x2=-4y 或 x2=12y.
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[例3]如图,已知△AOB的一个顶点
为抛物线y2=2x的顶点O,A,B两点都 在抛物线上,且∠AOB=90°. (1)证明直线AB必过一定点; (2)求△AOB面积的最小值.
[思路点拨] (1) 设出OA的方程 → 得到OB的方程 → 求出A、B的坐标 → 写出A,B的方程 → 判断直线AB过定点 (2) 将△AOB的面积表示成某个变量的函数 → 求最值
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[精解详析]

(1)显然直线 OA 存在斜率且不等于 0.

设 OA 所在直线的方程为 y=kx,则直线 OB 的方程为 1 y=-kx. 2 ? ?y=kx, ?x=0, ?x=k2, ? ? 由? 2 解得? 或? ?y =2x, ?y=0, ? ? ?y=2, ? k 1 ? ?y=- x, 2 2 k 即 A 点的坐标为( 2,k).同样由? k ?y2=2x, ?
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解得 B 点的坐标为(2k2,-2k). 2 k+2k ∴AB 所在直线的方程为 y+2k= (x-2k2), 2 2 2-2k k 1 化简并整理,得(k-k)y=x-2. 不论实数 k 取何不等于 0 的实数,当 x=2 时,恒有 y=0. 故直线过定点 P(2,0).

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(2) AB 所在直线过定点 P(2,0),所以可设 AB 所在直线的 方程为 x=my+2.
?x=my+2, ? 由? 2 ?y =2x, ?

消去 x 并整理得

y2-2my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=2m,y1y2=-4.

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于是|y1-y2|= ?y1-y2?2= ?y1+y2?2-4y1y2= ?2m?2+16 =2 m2+4. 1 S△AOB= ×|OP|×(|y1|+|y2|) 2 1 1 = |OP|· 1-y2|= ×2×2 m2+4 |y 2 2 =2 m2+4. ∴当 m=0 时,△AOB 的面积取得最小值 4.

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[一点通]

(1)圆锥曲线中的定点、定值问题,往往是选择某一参
数,用参数表示要研究的问题,通过运算证明与参数无关; 也可利用特殊情况寻找定点、定值,然后对一般情况作出 证明. (2)解决有关抛物线的最值问题,一种思路是合理转化, 数形结合求解;另一种思路是代数法,转化为二次函数求 最值.常见的题型有:

①曲线上的点到直线的距离的最值问题;
②过定点弦长的最值问题; ③三角形面积的最值问题.
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5.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值 是 4 A.3 7 B.5 ( )

8 C.5 D.3 解析:法一:设直线 4x+3y+m=0 与 y=-x2 相切,则联立
4 两方程,消去 y 得 3x2-4x-m=0.令 Δ=0,有 m=-3.两直 1 4 4 线间的距离为5|-8-(-3)|=3.
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法二:设抛物线 y=-x2 上一点为(m,-m2), 1 3 该点到直线 4x+3y-8=0 的距离为 |4m-3m2-8|= |(m- 5 5 2 2 20 ) + |. 3 9 2 4 当 m= 时,取得最小值 . 3 3

答案:A

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6.设A,B为抛物线y2=4x上两点,且AB不与x轴垂直, 若线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0),求证:线段AB 中点的横坐标为定值.
证明:设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2, y2) 因为 AB 不垂直于 x 轴, 4-x0 y0 故直线 MN 的斜率为 ,直线 AB 的斜率为 , y0 x0-4 4-x0 直线 AB 的方程为 y-y0= (x-x0). y0
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4-x0 ? ?y-y0= y0 ?x-x0?, 联立方程? ?y2=4x, ? x0 2 消去 x 得(1- 4 )y -y0y+y2+x0(x0-4)=0, 0 4y0 所以 y1+y2= . 4-x0 y1+y2 2y0 因为 N 为 AB 中点,所以 2 =y0,即 =y . 4-x0 0 所以 x0=2,即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.
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1.解涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问 题时,要注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免

求交点坐标的复杂运算.
2.在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、 过定点问题.解决这类问题的方法很多,如斜率法、方程 法、向量法、参数法等.解决这类问题的关键是代换和转 化.

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