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【红对勾】2013-2014学年高中数学 课时作业9 等差数列的性质 新人教A版必修5


课时作业 9

等差数列的性质
分值:100 分

时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1.数列{an}是等差数列,则有 ( A.a2 007+a2 008=a2 009+a2 010 B.a2 007+a2 009=a2 008+a2 010 C.a2 007+a2 010=a2 008+a2 009

D.a2 007+a2 008≤a2 009+a2 010 )

解析:若 m,n,p,q∈N ,且{an}是等差数列,m+n =p+q,则 am+an=ap+aq,C 成立. 答案:C 2.等差数列{an}的公差为 d,则数列{can}(c 为常数,且 c≠0)是( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 cd 的等差数列 C.不是等差数 列 D.以上都不对 解析:设 bn=can, 则 bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd. 答案:B π 3.在等差数列{an}中,若 a1+a5+a9= ,则 sin(a4+a6)=( 2 A. C. 3 2 1 2 B. 2 2 ) )

*

D.1

π 解析:∵a1+a5+a9=3a5= , 2 π π ∴a5= ,∴a4+a6=2a5= . 6 3 π 3 ∴sin(a4+a6)=sin = . 3 2 答案:A 4. 等差数列{an}的公差 d<0, 且 a2·a4=12, a2+a4=8, 则数列{an}的通项公式是( )

1

A.an=2n-2(n∈N ) B.an=2n+4(n∈N ) C.an=-2n+12(n∈N ) D.an=-2n+10(n∈N ) 解析:由?
? ?a2·a4=12, ? ?a2+a4=8,
* * *

*

得?

? ?a2=2, ? ?a4=6,

或?

? ?a2=6, ? ?a4=2,

∵d<0,∴a2=6,a4=2. 1 ∴d= (a4-a2)=-2. 2 ∴an=a2+(n-2)d=6-2(n-2)=10-2n. 答案: D 5.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起为正数,则公差的取值范围是( 8 A.( ,+∞) 3 8 C.[ ,3) 3 B.(-∞,3) 8 D.( ,3] 3 )

解析:设公差为 d,则 an=-24+(n-1)d,a9=-24+8d,a10=-24+9d, ∵从第 10 项起为正数, ∴?
?a9≤0, ? ?a10>0, ? ?-24+8d≤0, ? 即? ?-24+9d>0, ?

8 即 <d≤3. 3

答案:D 6.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( A.-1 C.3 B.1 D.7 )

解析:方法 1:∵a1+a3+a5=105,即 3a3=1 05,解得

a3=35,同理 a2+a4+a6=99,得 a4=33,
∵d=

a4-a3 33-35
4-3 = 1

=-2.

∴a20 =a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1. 方法 2: 由 a1+a3+a5=105,得 a1+a1+2d+a1+4d=3a1+6d=105,由 a2+a4+a6=99, 得 a1+d+a1+3d+a1+5d=3a1+9d=99,
?3a1+6d=105, ? 所以? ? ?3a1+9d=99,

解得?

?a1=39, ? ? ?d=-2.

∴a20=39+(20-1)×(-2)=1.
2

方法 3:∵a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99, ∴(a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=(a2-a1)+(a4-a3)+( a6-a5)=3d=99-105=-6. 解得 d=-2,又 a1+a3+a5=105,得 a3=35,

a20=a3+(20-3)d=35+17×(-2)=1.
答案:B 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 解析:∵{an}是等差数列,设公差为 d, ∴3d=a5-a2=6, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 答案:13 8.等差数列{an}中,a15=8,a60=20,则 a105=________. 解析:a15,a60,a105 成等差数列, 则 a15+a105=2a60, ∴a105=2a60-a15=2×20-8=32. 答案:32 9.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么,位于表中的第 n 行第

n +1 列的数是________.
第1列 第1行 第2行 第3行 … 1 2 3 … 第2列 2 4 6 … 第3列 3 6 9 … … … … … …

解析:由已知条件可知,数表中第 n 行的第 1 列数为 n,其公差亦为 n,因此第 n 行第 n+1 列的数为 n(n+1)=n +n. 答案:n +n 三、解答题(共计 40 分) 10.(10 分)已知等差数列{an}中,a3a7=-12,a4+a6=-4.求它的通项公式. 解: 依题意?
? ?a3=2, ? ?a7=-6. ? ?a3·a7=-12, ?a3+a7=-4, ?
2 2

∴a 3, a7 是方程 x +4x-12=0 的两根, ∴?

2

? ?a3=-6, ?a7=2, ?

或?

3

当 a3=-6,a7=2 时,d= =-6 时,an=-2n+8.

a7-a3
7-3

=2,an=a7+(n-7)×d =2n -12,同理当 a3=2,a7

11.(15 分)已知无穷等差数列{an},首项 a1=3,公差 d=-5,依次取出项的序号被 4 除余 3 的项组成数列{bn}. (1)求 b1 和 b2; (2)求{bn}的通项公式; (3){bn}中的第 110 项是{an}的第几项? 解:(1)∵a1=3,d=-5. 所以 an=3+(n-1)(-5)=8-5n. 数列{an}中项数被 4 除余 3 的项依次是第 3 项,第 7 项,第 11 项,…,∴{bn}的首项

b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设{an}中的第 m 项是{bn}的第 n 项,即 bn=am, 则 m=3+4(n-1)=4n-1, ∴bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+). ∵bn-bn-1=-20(n∈N+,n≥2),∴{bn}是等差数列,其通项公式为 bn=13-20n(n∈N


). (3)∵b110=13-20×110=-2187,设它是{an}中的第 m 项,则-2187=8-5m,则 m=

439. 12.(15 分)数列{an}满足 a1=1,an+1=(n +n-λ )an(n=1,2,…),λ 是常数. (1)当 a2=-1 时,求 λ 及 a3 的值; (2)是否存在实数 λ 使数列{an}为等差数列?若存在,求出 λ 及数列{an}的通项公式; 若不存 在,请说明理由. 解:(1)由于 an+1=(n +n-λ )an(n=1,2,…),且 a1=1.所以当 a2=-1 时,得- 1= 2-λ ,故 λ =3. 从而 a3=(2 +2-3)×(-1)=-3. (2)不存在实数 λ 使数列{an}为等差数列, 证明如下:由 a1=1,an+1=(n +n-λ )an, 得 a2=2-λ ,a3=(6-λ )(2-λ ),
2 2 2 2

a4=(12-λ )(6-λ )(2-λ ).
若存在 λ ,使{an}为等差数列,则 a3-a2=a2-a1, 即(5-λ )(2-λ )=1-λ ,解得 λ =3. 于是 a2-a1=1-λ =-2,

a4-a3=(11-λ )(6-λ )(2-λ )=-24.

4

这与{an}为等差数列矛盾. 所以,不存在 λ 使{an}是等差数列.

5


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