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最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数的图象与性质》例题与探究1


典题精讲 例 1(2006 安徽高考卷,理 8)设 a>0,对于函数 f(x)= 的是( ) A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 sin x ? a (0<x<π),下列结论正确 sin x B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值 思 路 解 析 : 令 t=sinx,t∈(0,1 ] , 则 函 数 f(x)= y=1+ sin x ? a (0 < x < π) 的 值 域 为 函 数 sin x a a ,t∈(0,1]的值域,又 a>0,所以 y=1+ ,t∈(0,1]是一个减函数,故选 B. t t a sin x ? b a cos x ? b 或 y= 的函数的值域(或最大值、最 c sin x ? d c cos x ? d 答案:B 绿色通道:本题的解法对形如 y= 小值)问题具有一般性. 变式训练求函数 y= 3 sin x ? 1 的值域. sin x ? 2 思路分析:此类题型可转化为分式函数的值域的求法,即分离常数法,或通过反解 sinx 法, 利用 sinx 的值域确定函数的值域. 解:由 y= 3 sin x ? 1 2y ?1 ,得 sinx= .∵|sinx|≤1, sin x ? 2 3? y ∴| 2y ?1 |≤1. 3? y 4 4 .∴ymax= ,此时 sinx=1 时; 3 3 4 ]. 3 解得-2≤y≤ ymin=-2,此时 sinx=-1 时.∴函数的值域为[-2, 例 2 求下列函数的周期: (1)y=cos2x; (2)y=-2cos(- 1 x-1); 2 (3)y=|sin2x|; (4)y=cos3x+sin2x. 思路分析: (1)复合函数,可以通过变量替换归结为基本三角函数去处理; (2)先用诱导公 式将 ω 转为正值,再用 T= 2? ; (3)可利用绝对值的意义; (4)可用最小公倍数法. ? 解: (1)把 2x 看成一个新的变量 u,那么 cosu 的最小正周期是 2π,即 u 增加到 u+2π,且 必须增加到 u+2π 时,函数 cosu 的值重复出现,而 u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量 x 增 加到 x+π 且必须增加到 x+π 时函数值重复出现,因此 y=cosx 的周期为 π. (2)y=-2cos(- 1 1 2? x-1)=-2cos( x+1),T= =4π. 1 2 2 2 2? ? =π,故 y=|sin2x|的周期是 . 2 2 2? 2? 4? 6? (4)y1=cos3x 的周期 T1= ;y2=sin2x 的周期 T2= =π,因为 T1= ,T2= 且4与6 3 2 6 6 12? 的最小公倍数是 12,所以 T= =2π. 6 (3)通过画图知 y=|sinx|的周期是 绿色通道:周期的求法除应用定义及有关结论公式外,还可以作出图象,由图象直观判断求 出周期,也是一种重要方法,另外最小公倍数法也要灵活掌握. 变式训练(2006 湖南高考卷,文 8)设点 P 是函数 f(x)=sinωx 的图象 C 的一个对称中心, ? ,则 f(x)的最小正周期是( ) 4 ? ? A.2π B.π C. D. 2 4 T 思路解析:通过图象分析,可以知道对称中心与最近对称轴的距离为 ,∵P 到对称轴的最 4 ? ? 小距离为 ,∴最小正周期 T=4× =π. 4 4 若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值为 答案:B 例3 (2006 江苏高考卷, 1) 已知 α∈R

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