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第四届全国高中数学优质课评比活动 椭圆及其标准方程


第四届全国高中数学优质课评比活动

椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程(第一课时)教案 天津南开中学 林秋莎

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一.教材及学情分析: 本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》 (人民教育出版社课程教材研究所,中学 数学课程教材研究开发中心编著)选修 2-1 第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时. 用一个平面去截一个对顶的圆锥,当平面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口 曲线,它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线,我们将这些曲线统称为圆锥曲线.圆锥曲线 的发现与研究始于古希腊.当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线, 它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广.17 世纪初期,笛卡尔发明了坐标系,人们开始 在坐标系的基础上,用代数方法研究圆锥曲线.在这一章中,我们将继续用坐标法探究圆锥 曲线的几何特征,建立它们的方程,通过方程研究它们的简单性质,并用坐标法解决一些与 圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题,进一步感受数形结合的基本思想. 解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学内数与形、 代数与几何等最基本对象之间 的联系. 在必修 2 中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中 研究了直线和圆这两个基本的几何图形.在选修 2 中,教材利用三种圆锥曲线进一步深化如 何利用代数方法研究几何问题.由于教材以椭圆为重点交代求方程、利用方程讨论几何性质 的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固,因此“椭圆及其标准方程”起到了承上 启下的重要作用. 本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如:数形结合思想、化归思想等.因此,教 学时应重视体现数学的思想方法及价值. 根据本节内容的特点,教学过程中可充分发挥信息技术的作用,用几何画板的动态作图 优势为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二.教学目标: 1.知识与技能目标: ①理解椭圆的定义 ②掌握椭圆的标准方程,在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力 2.过程与方法目标: ①经历椭圆概念的产生过程,学习从具体实例中提炼数学概念的方法,由形象到抽象,从具 体到一般,掌握数学概念的数学本质,提高学生的归纳概括能力 ②学会用坐标化的方法求动点轨迹方程 ③对学生进行数学思想方法的渗透,培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识 3.情感态度价值观目标: ①充分发挥学生在学习中的主体地位,引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交 流、反思,促进形成研究氛围和合作意识 ②重视知识的形成过程教学,让学生知其然并知其所以然,通过学习新知识体会到前人探索 的艰辛过程与创新的乐趣 ③通过对椭圆定义的严密化,培养学生形成扎实严谨的科学作风
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④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美 ⑤利用椭圆知识解决实际问题,使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量,增强学习数 学的兴趣和信心 三.重、难点 重点:椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想 难点:椭圆标准方程的推导与化简,坐标法的应用 关键:含有两个根式的等式化简 四.教法分析 新课程倡导学生自主学习,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者, 使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.本节课采用让学生动手实践、自主 探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,按照“创设情境——学生活动——意义建构— —数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高”的程序设计教学过程,并以多媒体手 段辅助教学,使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程,切 实改进学生的学习方式,使学生真正成为学习的主人. 五.教学过程 创设情境——提出问题,学生活动——体验数学, 意义建构——感知数学,数学理论——建立数学, N1 N2 数学应用——巩固新知,回顾反思——归纳提炼, 课后作业——巩固提高 N3 (一)创设情境——提出问题 N10 M 10 以折纸游戏创设问题情境 M1 M2 N4 请学生将课前统一发放的圆形纸片拿出来, M3 并按如下步骤进行操作: M4 M9 N9 1.将圆心记作点 F1 ,然后在圆内任取一定点 F2 2.在圆周上任取 10 个点,分别记作 N1、N2、N3……N10 ,
N5 M5 F1 F2 M6 M7 N7 N6 M8 N8

将它们与圆心相连,得半径 F1N1、F1N2、F1N3……F1 N10 3.折叠圆形纸片,使点 N1 与点 F2 重合,将折痕与半径 F 1 N1 的交点记作 M 1 ;然后再次折叠 圆形纸片,使点 N 2 与点 F2 重合,将折痕与半径 F 1 N2 的交点记作 M 2 ;??;依此类推,最 后折叠圆形纸片,使点 N10 与点 F2 重合,将折痕与半径 F 1 N10 的交点记作 M10 4.用平滑曲线顺次连接点 M1、M 2、M 3……M10 ,你有何发现? 设计意图:使学生产生学习兴趣和探索欲望 (二)学生活动——体验数学 1.学生通过动手实践、观察,猜想轨迹为椭圆 2.展示学生成果 3.用几何画板展示动点生成轨迹的全过程,印证猜想 4.展示椭圆实际应用的幻灯片 5.导出新课:看来,大家对椭圆并不陌生,但细想想,我们对椭圆也说不上有多熟悉,除了 “她”的名字和容貌,我们对“她”的品性几乎还一无所知.数学是一门严谨的科学,我们
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不能满足于直观感受、浅尝辄止,我们希望对椭圆有更深刻的认识,比如:椭圆上所有的点 所具有的共同的几何特征是什么?——椭圆的定义;能否用代数方法精确地刻画出这种共同 的几何特征?——椭圆的标准方程.这就是我们这节课的重点内容. 设计意图:从折纸游戏中导出新课,明确研究课题 (三)意义建构——感知数学 椭圆定义的初步生成 学生每 4 人一组,合作探究,在刚才的折纸游戏中,折痕与对应半径的交点的共同属性,教 师巡视指导. 如学生有困难,可按如下提示铺设认知阶梯: 如何用数学语言表达点 N 与定点 F2 重合——点 N 与定点 F2 关于折痕轴对称 对称轴有什么特点——折痕即对称轴是线段 NF2 的垂直平分线 线段垂直平分线上的点有什么几何性质——到线段两个端点距离相等,即 MF2 ? MN 动点 M 与定点 F1、F2 之间有什么关系—— MF1 ? MF2 ? MF1 ? MN ? NF1 ? R 请学生代表本小组交流探究结论——与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数的点的轨迹叫做 椭圆 (四)数学理论——建立数学 1.椭圆定义的完善 提出问题:要想用上面那句话作为椭圆的定义,要保证它足够严密、经得起推敲.那么,这 个常数可以是任意正实数吗?有什么限制条件吗?如何体现点 F2 在定圆 F1 的内部? 引导学 生回 答: 点 F2 在定圆 F1 的内部 即点 F2 到圆 心 F1 的距 离小 于圆 的半 径,也 就 是

F1F2 ? R ? MF1 ? MF2 ,从而意识到在“定义”中需要加上“常数> F1F2 ”的限制.
继续深化问题:若常数= F1F2 或常数< F1F2 ,情况会发生什么变化? 应用平面几何中的“三角形任意两边之和大于第三边” 、 “两点之间线段最短”为理论依据, 得出结论:当常数= F1F2 时,与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是线段 F1F2 ; 当常数< F1F2 时,与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数的点的轨迹不存在. 请学生给出经过修改的椭圆定义,教师用幻灯片给出完善的椭圆定义,并介绍焦点、焦距的 定义. 设计意图:使学生经历椭圆概念的生成和完善过程,提高其归纳概括能力,加深对椭圆本质 的认识,并逐渐养成严谨的科学作风 2.椭圆的标准方程 (1)回顾用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤:建系设点、写出动点满足的几何约束条件、坐 标化、化简、证明等价性 (2)建立焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程 ①建系设点:观察椭圆的几何特征,如何建系能使方程更简洁?——利用椭圆的对称性特征
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以直线 F1F2 为 x 轴,以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系.设焦距为

2c ? c ? 0? ,则 F1 ? ?c,0? F2 ? c,0? .设 M ? x, y ? 为椭圆上任意一点,点 M 与点 F1、F2 的距离之和
为 2a ? 2a ? 2c ? . ②动点 M 满足的几何约束条件: MF1 ? MF2 ? 2a ③坐标化:

? x ? c?

2

? y2 ?

? x ? c?

2

? y 2 ? 2a

④化简:化简椭圆方程是本节课的难点,突破难点的方法是引导学生思考如何去根号 预案一:移项后两次平方法

? ?

? x ? c? ? x ? c? ? x ? c?

2

? y2 ?

? x ? c?

2

? y 2 ? 2a
2

2

? y 2 ? 2a ?

? x ? c?

? y2

8

x 2 ? 2cx ? c 2 ? y 2 ? 4a 2 ? x 2 ? 2cx ? c 2 ? y 2 ? 4a a
2 2

? x ? c?

2

? y2
6 4

? y ? a ? cx
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2

a x ? 2a cx ? a c ? a y ? a ? 2a cx ? c x
2 2

M B2

?a

2

? c2 ? x2 ? a2 y 2 ? a2 ? a2 ? c2 ?
-10

x2 y2 ? ?1 a2 a2 ? c2
2 2

A1 -5

F1

O

F2

5

A2

10

-2

链接到几何画板,分析 a ? c 的几何含义,令 a ? c ? b
2 2

2
B1
-4

得到焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

-6

-8

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椭圆及其标准方程

预案二:引入共轭无理数对

? x ? c?


2

? y2 ?
2

? x ? c?

2

? y 2 ? 2a ?1?
2

? x ? c?

? y2 ?

? x ? c?

? y 2 ? k ? 2?

2cx ? 3? a k 2 ?1? ? ? 2 ? 得:? x ? c ? ? y 2 ? a ? ? 4 ? 2 4cx ? 2ak ? k ? ?1? ? ? 2 ? 得: 将 ? 3? 代入 ? 4 ? 得:? x ? c ? ? y 2 ? a ?
2

cx a

c2 x2 x ? 2cx ? c ? y ? a ? 2cx ? 2 a 2 2 2 2 2 2 2 2 ?a ? c ? x ? a y ? a ?a ? c ?
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1下同法一 a2 a2 ? c2

预案三:运用等差数列知识 ? ?

? x ? c? ? x ? c?

2

? y2 ?

? x ? c?

2

? y 2 ? 2a
2

2

? y 2 、a、 ? x ? c ? ? y 2 成等差数列
2

? ? 设? ? ?
2

? x ? c? ? x ? c?
2

? y 2 ? a ? d ?1? ? y2 ? a ? d ? 2? cx ? 3? a
2

2

? 2 ? ? ?1? ? 2 ? ? ?1?
2

得: 4cx ? 4ad ? d ?

2

得:x 2 ? y 2 ? c 2 ? a 2 ? d 2 ? 4 ?

?a

? cx ? 将 ? 3? 代入 ? 4 ? 得:x 2 ? y 2 ? c 2 ? a 2 ? ? ? ?a?
2

? c2 ? x2 ? a2 y 2 ? a2 ? a2 ? c2 ?

x2 y2 ? ? 1下同法一 a2 a2 ? c2

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设计意图:进一步熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法 掌握化简含根号等式的方法,提高运算能力,养成不怕困难的钻研精神 感受数学的简洁美、对称美 (3)建立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程 要建立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程, 又不想重复上述繁琐的化简过程, 如何去做?此时要借助于化归 思想,抓住图(1)与图(2)的联系即可化未知为已知,将已知的焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程转化为焦点 在 y 轴上的椭圆的标准方程. 只需将图(1)沿直线 y ? x 翻折或将图(1)绕着原点按逆时针方向旋转 90? 即可 转化成图(2),需将 x 轴、 y 轴的名称换为 y 轴、 x 轴或 y 轴、 ?x 轴.

(1)

(2)

焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

设计意图:体会数学中的化归思想,化未知为已知,避免重复劳动 (4)辨析焦点分别在 x 轴、 y 轴上的椭圆的标准方程的异同点 区别:要判断焦点在哪个轴上,只需比较 x 2 与 y 2 项分母的大小即可.若 x 2 项分母大,则焦点在 x 轴上; 若 y 2 项分母大,则焦点在 y 轴上.反之亦然.

联系:它们都是二元二次方程,共同形式为 Ax2 ? By2 ? 1? A ? 0, B ? 0, A ? B? 两种情况中都有 a 2 ? c2 ? b2 (五)数学应用——巩固新知 例 1:判断分别满足下列条件的动点 M 的轨迹是否为椭圆 (1)到点 F1 ? ?2,0? 和点 F2 ? 2,0? 的距离之和为 6 的点的轨迹; (是) (2)到点 F1 ? ?2,0? 和点 F2 ? 2,0? 的距离之和为 4 的点的轨迹; (不是) (3)到点 F1 ? 0, ?2? 和点 F2 ? 0, 2? 的距离之和为 6 的点的轨迹; (是) (4)到点 F1 ? ?2,0? 和点 F2 ? 0, 2? 的距离之和为 4 的点的轨迹; (是) 设计意图:巩固椭圆定义 例 2:已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 F1 ? ?1,0?、F2 ?1,0? ,椭圆上一点 M 到 F1、F2 的距离之和为 4,求 该椭圆的标准方程.

解: ? 2a ? 4 ? a ? 2 ? c ? 1? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 椭圆的标准方程为 x2 y 2 ? ?1 4 3

设计意图:学会用待定系数法求椭圆标准方程 变式一:已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 F1 ? 0, ?1?、F2 ? 0,1? ,椭圆上一点 M 到 F1、F2 的距离之和为 4, 求该椭圆的标准方程.

解: ? 2a ? 4 ? a ? 2 ? c ? 1? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ? 椭圆的标准方程为 y 2 x2 ? ?1 4 3

设计意图:提醒学生在解题时先要根据焦点位置判断使用哪种形式的椭圆标准方程
? 3? 变式二:已知椭圆的两个焦点分别是 F1 ? ?1,0?、F2 ?1,0? ,椭圆经过点 M ?1, ? ,求该椭圆的标准方程. ? 2?

解: ? 2a ? MF1 ? MF2 ?

3? 3 5 3 2 2 2 2 ?1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? a ? 2 ? c ? 1? b ? a ? c ? 3 ?2? 2 2 2

2

x2 y 2 ? 椭圆的标准方程为 ? ?1 4 3 设计意图:使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用 (六)回顾反思——归纳提炼 1.知识点:椭圆的定义及其标准方程 2.数学方法:用坐标化的方法求动点轨迹方程 3.数学思想:数形结合思想、化归思想 (七)课后作业,巩固提高 1.必做题:课本 49 页习题 2.2 A 组 2,5(1)(2),6,9 2.思考题:

? ? ? (1)在化简椭圆方程的过程中有 ? ? ? ?

c x  a 成立,该式有什么几何含义?你能从函数观点看待 c 2 2 ? x ? c ? ? y ? a ?  x a

? x ? c?

2

? y2 ? a ?

等式右端的代数式吗?你能用函数单调性解释椭圆上的点与焦点间距离的变化情况吗?

? ? ? (2)将 ? ? ? ?

? ? ? c 2 ? x ? c ? ? y 2 ? a ? x  ? ? a 稍作变化即可得到 ? c 2 ? ? x ? c ? ? y 2 ? a ?  x ? a ? ? ?

? x ? c?
2

2

? y2

a ?x c

?

c   a
,两个代数式的商为常数,它又有什

? x ? c?
2

2

?y

2

a ?x c

?

c a

么几何含义? 设计意图:为引入椭圆第二定义及焦半径公式作适当铺垫,体现数学知识之间的联系,培养学生养成深入 思考的习惯.

《椭圆及其标准方程》教学设计说明

我在进行《椭圆及其标准方程》教学设计过程中力图在如下三方面作文章,以期能有所突破和创新. 一.椭圆定义的生成 (方案一) 用圆柱状水杯盛半杯水, 将水杯放在水平桌面上,截面为圆形. 当端起水杯喝水时,水杯倾斜,

再观察水平面,此时截面为椭圆形.看来,椭圆是与圆有着密切关系的一种曲线.圆是到定点距离等于定 长的点的轨迹,根据圆的定义,用一根细绳就可画出一个圆.将细绳的一贯固定在黑板上,在另一端系上 一支粉笔,将细绳绷紧并绕固定端点旋转一周即可.将圆心从一点“分裂”成两点,将细绳的两端固定在 这两点,用粉笔挑起细绳并绷紧,移动粉笔,即可画出一个椭圆.再根据椭圆画法,从中归纳椭圆定义— —与两个定点的距离之和为定长(绳长)的点的轨迹为椭圆(绳长大于两定点间距离) . (方案二)实际授课时所采用的折纸游戏法 两种方案比较各有优势. 方案一基本上是教材中所介绍的方法,只是在画椭圆之前做了些铺垫工作,从日常喝水这样一个熟悉 的情景中引出话题,突出椭圆与圆的联系,过渡自然、节约时间,但缺点是从椭圆画法中概括椭圆定义过 于显性,没有给学生留下足够的探究空间. 方案二实际上是由课本 49 页习题 2.2A 组第 7 题改编而成,原题为:圆 O 的半径为定长 r,A 是圆 O 内 一个定点,P 是圆上任意一点.线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是什么?为什么?该方案趣味性较强, 能充分调动学生的学习兴趣和探究欲望, 椭圆定义相对较隐 性,为学生探究留下一定余地,但学生活动用时较长,需要教师合理控制折纸活动和探究交流时间,以防 完不成教学计划. 新课程倡导学生自主学习,要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者,使教学过程 成为师生交流、积极互动、共同发展的过程.教师应努力改变教学观念,切实改进学生的学习方式,使学 生真正成为学习的主人.因此,最终采用了方案二,不为教学进度所累,放弃繁难习题演练,采用让学生 动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法,按照“创设情境——学生活动——意义建构 ——数学理论——数学应用——回顾反思——巩固提高” 的程序设计教学过程, 并以多媒体手段辅助教学, 使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维的基本过程,充分尊重学生作为学习主体的 情感、认知水平和发展需求,使数学概念自主建构生成势必比被动接受教师灌输式讲授会取得更好效果. 二.椭圆方程的推导

在选修 2 中, 教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题. 由于教材以椭圆为 重点交代求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固,因此“椭 圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用. 在教师教学用书中明确指出, 不仅要求学生能化简得到椭 圆的标准方程,还要求学生掌握化简含根号等式的方法.因此,在教学设计中,我在这一部分作了较为充 分的准备,除教材中介绍的移项后两次平方这种方法,又准备了两个预案:引入共轭无理数对和等差数 列.在实际教学中,学生思维活跃,三种方案都得以实施,学生感受到了数学知识间的普遍联系,更感受 到了创新思维带来的成就感和满足感,教师确实做到了既讲结果,更重过程和方法.在讲解焦点在 y 轴上 的椭圆的标准方程时,教材只是一带而过, “容易知道,此时(焦点在 y 轴上)椭圆的标准方程是
y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ” ,没有过程.其实这是培养学生运用化归思想解决问题的一个很好的机会,引导学 a 2 b2

生抓住事物间联系,化未知为已知,用已知解决未知,可以通过翻折和旋转的方式实现图形变换,从而利 用焦点在 x 轴上椭圆的标准方程得到焦点在 y 轴上椭圆的标准方程,避免繁琐、重复的推导过程. 三.思考题
? ? ? 引导学生对椭圆方程推导过程中产生的 ? ? ? ? c x  a 作进一步思考,为后续引入椭圆的第 c 2 2 ? x ? c ? ? y ? a ?  x a

? x ? c?

2

? y2 ? a ?

二定义及焦半径公式作适当铺垫. 现行教材对椭圆的焦半径公式、 椭圆第二定义及圆锥曲线统一定义等知 识呈弱化趋势,仅通过一个具体的例子使学生感受椭圆的另外一种定义方式,学生会感觉很突兀,为什么 到定点的距离与到定直线的距离之比是一个常数(常数在 0、1 之间)的点的轨迹就是椭圆呢?椭圆第一 定义与第二定义之间有何联系?认真研究思考题, 学生就可从中找到这些问题的答案, 从而深刻体会到知 识的形成过程中蕴含着丰富内容, 从而自觉改变只重结果和习题演练而轻视过程的功利主义学习方法, 自 觉将目光转移到对知识本身的探求过程中来, 学会发现问题和解决问题的方法, 终身学习能力也会在这一

过程中逐渐提高.


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