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公开课 椭圆及其标准方程


2.2.1 椭圆及其标准方程(第一课时)教学设计 设计者:吴夏松 一、内容及其解析 圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容,它的许多几何性质 在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用,在高考中也 是一个考点。本节是选修 2-1 中《圆锥曲线与方程》的第一节课, 主要学习椭圆的定义及其标准方程。它是本章也是整个解析几何 部分的重要基础知识。 第一,在教材结构上,本节内容起到一个承上启下的重要作 用。前面学生用坐标法研究了直线和圆,而对椭圆概念与方程的 研究是坐标法的深入,也适用于对双曲线和抛物线的学习,更是 解决圆锥曲线问题的一种有效方法。 第二,对椭圆定义与方程的研究,将曲线与方程对应起来, 体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想,将贯 穿于整个高中阶段的数学学习。 第三,对椭圆定义与方程的探究过程,使学生经历了观察、 猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程,培养了学生的 思维方式,加强了运算能力,提高了他们提出问题、分析问题、 解决问题的能力,为后续知识的学习奠定了基础。 二、目标及其解析 1. 知识与技能目标: 掌握椭圆的定义和标准方程; 明确焦点、 焦距的概念; 理解椭圆标准方程的推导;能应用椭圆的定义及其相关知识解决 一些简单问题。 2. 过程与方法目标:通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定 义和标准方程的获得过程;体验坐标法在处理几何问题中的优越 性,从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想。[来通 过主动探究、合作学习,相互交流,感受探索的乐趣与成功的喜 悦,培养学生自主学习的能力。 三、学生情况分析 1.在学习本节内容以前,学生已经学习了直线和圆的相关知 识,初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤,经历了动

手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程,这为进一 步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。 2.在本节课的学习过程中,椭圆定义的归纳概括、方程的推 导化简对学生是一个考验,可能会有一部分学生在探究学习过程 中受阻,教师要适时加以点拨指导。 四、教学重点与难点分析 教学重点:椭圆的定义及其标准方程. 教学难点:椭圆标准方程的几何问题代数化. 五、教学策略选择与设计 1、教法设计:采用启发式教学,在课堂教学中坚持以教师为 主导,学生为主体,思维训 练为主线,能力培养为主攻的原则。 2、学法设计:自主探 究,合作交流。 3、教学手段:多媒体辅助教学。 六、问题诊断分析 1、椭圆的标准方程 和 ,学生容易混淆,针对此问题,可以让 学生通过观察分析总结,来掌握这两个标准方程。 2、学生容易对参数 a、b、c 的关系混淆,即 。针对此问题, 可以通过对分析 a、b、c 的几何意义,来掌握它们的关系。 七、教学过程: (一)复习导入 问题: 圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?求曲线的 方程一般有哪几步? 意图:复习圆的有关知识,对学习椭圆的有关知识做好铺垫。 师生互动:教师提出问题,抽学生回答。 类似圆的定义及圆的标准方程推导, 我们共同探究椭圆的定义 及其标准方程。 (二)新课导入 用课件演示一些生活中的椭圆的例子,还有一些天体运行的轨 迹图,并提出问题:“这些天体运行的轨迹是什么?” 学生经过观察,很直观地看出是椭圆,从而引出课题.

再次提问:“我们能否求出这些天体运行的轨迹方程呢?学 习了本节课的内容,就可以解决这个问题了.” 探究 1:我们都知道:取一条定长的细绳,把它的两端都固定 在绘图板的同一点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖(动点) 画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固 定在绘图板的两点处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的 轨迹是什么曲线? 意图:学生动手绘制椭圆。让学生亲自动手去做的目的是培养 学生动手操作能力和主动 体验知识的形成过程,体验成功的喜 悦。 师生互动:教师巡视学生作图情况,并加以指导。 思考: (1)在画图的过程中, 细绳的两端点的位置是固定的还是运动的? (2)在画图的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? (3)在画图的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系? [通过作图,学生能自觉地体会到在归纳椭圆的定义时,要强调 满足三个条件:①平面内(这是大前提);②任意一点到两个定 点的距离的和等于常数;③常数大于 .] (三)讲授新课 1.学生自己概括椭圆定义:把平面内与两个定点 的距离之 和等于常数(常数大于 )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点的距离叫做焦距。 注意:椭圆定义中需要注意的四处地方 (1)必须在平面内;(2)两个定点---两点间距离确定; (3)定长---轨迹上任意点到两定点的距离和确定; (4)常数> 。 [来源:Z+xx+k.Com] 探究 2:在椭圆的定义中,如果这个常数小于或等于 ,动点 M 的 轨迹又如何呢? ①当常数= 时,动点 M 轨迹为线段 ; ②当常数< 时,动点 M 轨迹不存在。 2.椭圆标准方程的推导:

下面我们根 据椭圆的几何特征,选择适当的坐标系,求椭圆 的标准方 程。 思考 1:怎样建立适当的直角坐标系?怎样将椭圆的几何要素代 数化(类比圆的方程的求解过程) 意图:让学生学会知识的迁移运用,并会用类比的思想解决新问 题。 师生互动:让学生动手推导,教师适时加以指导。 (1)建系:以经过点 的直线为 轴,线段 的垂直平分为 轴建立 直角坐标系 ,如图 1。 如图 1 (2)设点:设点 是椭圆上任一点,椭圆的焦距为 ( >0). 焦点 的坐标分 别是 ,又设 M 与 的距离的和等于常数 。 ( 3)列式 :由椭圆的定义,椭圆就是集合 P={M| } 因为 , 所以 (4)化简:遇到根式怎么办?两个根式在同一侧能不能直接平 方? 即 两边平方得 整理得 再平方得 即 整理得 ,两边同除以 得 考虑 > ﹥0,有 ﹥0, 思考 2:如右图 2,你能从中找出表示 的线段吗? 令 ,故设 , 得椭圆的标准方程 ( > >0) 从上述过程可以看到, 椭圆上任意一点的坐标都满足方程 ( > >0),以方程 ( > >0)的解 为坐标的点都在椭圆上。由曲 线与方程的关系可知,方程 ( > >0)是椭圆的方程,我们把 它叫做椭圆的标准方程。 它所表示的椭圆的焦点在 轴上,坐标分别是 ,这里 。

[推导椭圆方程是本节的重点,也是难点,为了不让学生产生畏难 情绪,我把推导过程分成了几个小步骤,小问题,在师生问答与 交流中悄然完成。] 思考 3:你能类比焦点在 x 轴上的椭圆标准方程的建立过程,建 立焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程吗? ( > >0) 它表示:椭圆的焦点在 y 轴,焦点是 。 师生共同总 结椭圆标准方程的特点: (1)方程的左边是两项平方和的形式,等号的右边是 1; (2)在椭圆两种标准方程中,总有 > >0; (3)哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上 (4) 都有特定的意义, 为椭圆上任意一点 M 到 距离和的 一半; 为半焦距,有关系式 成立。 (四)快速口答: 则 a= 则 a= 则 a= 则 a= ,b= ,b= ,b= ,b= ,焦点位于____轴。 ,焦点位于____轴。 ,焦点位于____轴。 ,焦点位于____轴。

意图:通过此题训练,能让学生掌握椭圆的标准方程,并能 培养学生的反应能力。 (五)典例剖析 例 1、已知椭圆的两个焦点坐标分别是 , 并且经过点 ,求它的 标准方程。 解法一:因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 ( > >0) 由椭圆的定义知 所以 ,又因为 ,所以 因此所求椭圆的标准方程为 。 思考:能用其他方法求它的方程吗?(学生课后完成)

解法二:因为椭圆的焦点在 轴上,所以设它的标准方程为 ( > >0) 又因为焦点坐标为 ,所以 ,所以 又因为椭圆经过点 ,所以有 (六)目标检测 (一)、课堂目标检测: 1、(1)在椭圆 中, 标是__________。 =___, =___, 焦点位于____轴上,焦点坐 ① ②[来源:学科网 ZXXK]

联立①②解得 ,因此所求椭圆的标准方程为

(2)在椭圆 中, =___, =___, 焦点位于____轴上,焦点坐标是 __________。 2、求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) =4, =1,焦点在 轴上的椭圆标准方程是 (2) =5, =4 的椭圆标准方程是 。 , 3、设 (-3, 0)、 (3, 0),且 =10,则点 M 的轨迹是 其标准方程为_______________________。 。

4、两个焦点分别是 (-2,0)、 (2,0),且过 P(2,3)点,则椭圆标 准方程是______。 (二)、课后目标检测: 1、判断下列各椭圆的焦点所在的坐标轴并指出 的值。 (1) ; (2) ; 2、 =4, =1,焦点在 轴上;的椭圆标准方程是 5、已知 是椭 圆 的两个焦点,过 的直线交椭圆于 两点,则 __________, __________。 6、已知 是椭 圆 的两个焦点,过 的直线交椭圆于 两点,则三 角形 的周长为__________。 7、已知椭圆的两个焦点坐标分别为 ,椭圆上一点 到两焦点距离 和等于 10,求椭圆的标准方程。 变式 1:若将上题焦点改为 ,结果如何? 变式 2:若将上题改为两焦点的距离为 8,椭圆上一点 到两焦点 距离和等于 10,结果如何?

[通过这两个题的学习, 目的是为了强化理解椭圆的概念及 标准方程] (七)课堂小结 根据所学知识填写下表: 定义 图形 标准方程 焦点坐标 相 的关系 同 点 焦点位置的判定

不 同 点

(八)课后作业: 课后作业:教材第 42 页 第 1、2 题 课后思考: 方程 ,什么时候表示椭圆?什么时候表示焦点在 x 轴上的椭圆?什么时候表示焦点在 y 轴上的椭圆? 八、板书设计

2.2.1 椭圆及其 标准方程 一、定 义 三、 例题 二、标准方

幻 灯 片 投 影 区

九、课后反思 我在引入概念时过快了,如果在给学生多体会一下椭圆,再来引 入,可能会更好些;在探究中如果能让多个学生到黑板展示他们 的实验结果,可能更能让学生体会到椭圆;在提出问题时,如果 能多留点时间给学生思考,可能对于学生的发展更好;如果能应 用构成三角形条件来找出 2 a>2c>0,学生更能记忆和理解。


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