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6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质(3)


6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(3)
1、求下列函数的最小正周期 (1) y ? sin x cos x (2) y ? sin x ? cos x

(3) y ? cos x
2

(4) y ? sin(

?
3

? 2 x) ? sin 2 x

/>
(5) y ? 2sin x ? 3cos x

(6) y ? cos( ? ? x) cos x

3 2

(7) y ? sin x cos x ? cos x
2

(8) y ? sin x ? cos x
6 6

(9) f ( x) ?

1 tan x ? cot x
1

(10) y ? sin x

2、求证:

? 是函数 y ? sin x ? cos x 的一个周期 2

3、证明: ? 是函数 y ? cos(sin x) 的一个周期

4、已知函数 f ( x) ? sin

?x
6

(1)求 y ? f ( x) 的最小正周期; , x?Z ,

(2)求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013) 的值。

5、求函数 f ( x) ?

sin 4 x ? cos 4 x ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期,最大值和最小值 2 ? sin 2 x

2

6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(3)
(答案) 1、解: (1) y ? sin x cos x ? (2) y ? sin x ? cos x ?

1 sin 2 x ,则最小正周期为 ? 2

2 sin( x ? ) ,则最小正周期为 2? 4 1 ? cos 2 x (3) y ? cos 2 x ? , ,则最小正周期为 ? 2
(4) y ? sin(

?

?
3

? 2 x) ? sin 2 x ?

3 1 cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x 2 2

?

3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ,则最小正周期为 ? 2 2 3

3 2 3 1 (6) y ? cos( ? ? x) cos x ? ? sin x cos x ? ? sin 2 x ,则最小正周期为 ? 2 2
(5) y ? 2sin x ? 3cos x ? 13 sin( x ? arctan ) ,则最小正周期为 2? (7) y ? sin x cos x ? cos x ?
2

1 1 ? cos 2 x 2 ? 1 sin 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? ,则最小正周 2 2 2 4 2

期为 ? (8) y ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)(sin x ? sin x cos x ? cos x)
6 6 2 2 4 2 2 4

? sin 4 x ? sin 2 x cos2 x ? cos4 x ? (sin 2 x ? cos2 x)2 ? 3sin 2 x cos2 x

3 3 1 ? cos 4 x 5 3 ? ? 1 ? sin 2 2 x ? 1 ? ? ? ? cos 4 x ,则最小正周期为 4 4 2 8 8 2 1 sin x cos x 1 (9) f ( x) ? ? ? sin 2 x ,则最小正周期为 ? 2 2 tan x ? cot x sin x ? cos x 2
(10)最小正周期为 ? 2、证:设 f ( x) ? sin x ? cos x 则 f (x ?

?

) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ) ? cos x ? ? sin x ? cos x ? sin x ? f ( x) 2 2 2

?

?

所以

? 是函数 y ? sin x ? cos x 的一个周期 2
3

3、解:设 f ( x) ? cos(sin x) 则 f ( x ? ? ) ? cos(sin( x ? ? )) ? cos(? sin x) ? cos(sin x) ? f ( x) 所以 ? 是函数 y ? cos(sin x) 的一个周期 4、解: (1) T ?

2?

?

? 12 ,所以 y ? f ( x) 的最小正周期为 12

6
(2) f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? ? ? f (12) ? 0 所以 f (k ? 1) ? f (k ? 2) ? f (k ? 3) ? f (k ? 4) ? f (k ? 5) ? f (k ? 6) ? 0,(k ? Z ) 则

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013) ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (9) ? ?( f (10) ? f (11) ? f (1`2))
5 11 1? 3 ? ?(sin ? ? sin ? ? sin 2? ) ? 3 6 2
5、解: f ( x) ?

sin 4 x ? cos 4 x ? sin 2 x cos 2 x 1 ? sin 2 x cos 2 x ? 2 ? sin 2 x 2(1 ? sin x cos x)

1 1 1 ? (1 ? sin x cos x) ? sin 2 x ? 2 4 2
所以 f ( x) 的最小正周期为 ? ,最大值为

3 1 ,最小值为 4 4

4


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