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向量方法解立体几何大题选编


向量方法解立体几何大题选编
1. 如图所示, 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等, 是 A1 C1 的中点, D 则直线 AD 与平面 B1 DC 所成的角的正弦值为多少?

解:不妨设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长为 2,建立如图所示空间直角坐标系,

则 C(0,0,0),A( ? ,-1,0),
1 ? - B1 ( ? ,1,2),D( ? , 2 ,2), 1 ? ??? ? - 则 CD =( ? , 2 ,2), ???? CB1 =( ? ,1,2).

设平面 B1DC 的法向量为 ??? ? ? n ? CD ? 0. ? ? ? ???? ? n ? CD1 ? 0, n=(x,y,1),由 ? 解得 n=(- ? ,1,1).
??? ? 3 ? ? 1 DA ? ? ,- ,-? ? ? 2 ? 2 ? ?, 又∵

??? ? ∴sin θ=|cos〈 DA ,n〉|=

??? ? DA ? n ??? ? DA n

4 =5 .

2.(本小题满分 15 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2.

(1)求 PC 与平面 PBD 所成的角; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E,使得 PC⊥平面 ADE?并说明理由. 解:(1)连接 AC,设 AC∩ BD=O,连接 PO. 因为 PD⊥平面 ABCD,CO?平面 ABCD,所以 PD⊥CO. 由 ABCD 为正方形,知 CO⊥BD. 又 PD∩ BD=D,所以 CO⊥平面 PBD. 所以∠CPO 是 PC 与平面 PBD 所成的角. CO 2 1 在 Rt△PO C 中,sin∠CPO= CP = = , 2 2 2 π π 所以∠CPO=6,即 PC 与平面 PBD 所成的角为6. (2)建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.

设线段 PB 上存在点 E,使得 PC⊥平面 ADE. 则存在实数 λ,使得 PE = ? PB (0≤λ≤1). 因为 P(0,0,2),B(2,2,0),所以 PB =(2,2,-2),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? DE=DP+PE=DP + ? PB =(0,0,2)+λ(2,2,-2)
=(2λ,2λ,2-2λ).

由题意,显然有 AD⊥平面 PCD,所以 PC⊥AD. 要使 PC⊥平面 ADE,只需再有 PC ? DE ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? PC ? DE=0 ,即 0·(2λ)+2·(2λ)-2(2-2λ)=0. 即
1 解得 λ=2∈[0,1]. 故在线段 PB 上存在一点 E(E 为线段 PB 的中点),使得 PC⊥平面 ADE.

3.如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB =AD=2,CD=4,M 为 CE 的中点.

(1)求证:BM∥平面 ADEF; (2)求证:平面 BDE⊥平面 BEC; (3)求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值. (1)证明:取 DE 中点 N,连接 MN,AN.在△EDC 中,M,N 分别为 EC,ED 的中点, 1 所以 MN∥CD,且 MN= CD. 2 1 由已知 AB∥CD,AB= CD, 2 所以 MN∥AB,且 MN=AB, 所以四边形 ABMN 为平行四边形. 所以 BM∥AN. 又因为 AN?平面 ADEF,且 BM?平面 ADEF, 所以 BM∥平面 ADEF. (2)证明:在正方形 ADEF 中,ED⊥AD. 又因为平面 ADEF⊥平面 ABCD,且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所以 ED⊥平面 ABCD.所以 ED⊥BC. 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=2,CD=4,可得 BC=2 2. 在△BCD 中,BD=BC=2 2,CD=4. 所以 BC⊥BD. 所以 BC⊥平面 BDE. 又因为 BC?平面 BCE, 所以平面 BDE⊥平面 BEC.

(3)解:由(2)知 ED⊥平面 ABCD,且 AD⊥CD . 以 D 为原点,DA,DC,DE 所在直线为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系. B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2), 平面 ADEF 的一个法向量为 m=(0,1,0). 设 n=(x,y,z)为平面 BEC 的一个法向量,

??? ? ??? ? ?-2x+2y=0, 因为 BC =(-2,2,0), CE =(0,-4,2),所以? ?-4y+2z=0.
令 x=1,得 y=1,z=2. 所以 n=(1,1,2)为平面 BEC 的一个法向量.设平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角为 θ,则 cos θ= |m·n| 1 6 = = . |m||n| 1· 1+1+4 6 6 . 6

所以平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值为

4.如图,四棱 锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD, PD⊥底面 ABCD.

(1)证明:PA⊥BD; (2)设 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. (1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD, 由余弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD.因为 PD∩AD=D, 所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD. (2)解:如图,以 D 为坐标原点,A D 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建 立空间直角坐标系 D-xyz.则 A(1,0,0), B(0, 3, C(-1, 3, P(0,0,1). 0), 0),

??? ? ??? ? ??? ? AB =(-1, 3,0), PB =(0, 3,-1), BC =(-1,0,0). ??? ? ?n ? AB ? 0 ? ? ? ??? ? ?n ? PB ? 0 即?-x+ 3y=0, ? 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则 ? ? 3y-z=0. ?
可取 n=( 3,1, 3).
??? ? ?m ? PB ? 0, ? ? ? ??? ?m ? BC ? 0. 设平面 PBC 的法向量为 m,则 ?

因此

可取 m=(0,-1,- 3),cos〈m,n〉= 2 7 . 7

-4 2 7 =- . 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为-

5.如图,已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA ⊥平面 ABCD,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点.

(1)证明:PF⊥FD; (2)判断并说明 PA 上是否存在点 G,使得 EG∥平面 PFD; (3)若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45°,求二面角 A-PD-F 的余弦值. (1)证明:∵PA⊥平面 ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空 间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0) . ??? ? ???? 不妨令 P(0,0,t),∵ PF =(1,1,-t), DF =(1,-1,0),
??? ? ???? ∴ PF · DF =1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,

即 PF⊥FD. (2)解:设平面 PFD 的法向量为 n=(x,y,z),

??? ? ?n ? PF ? 0, ? x ? y ? tz ? 0, ? ? ???? ? ?n ? DF ? 0, 得 ? x ? y ? 0, ? 由
t 令 z=1,解得:x=y= 2 .

?t t ? n ? ? , ,1? ?2 2 ?. ∴ ??? ? 1 ? ?1 ? ? EG ? ? ? , 0, m ? ? , 0, 0 ? ? ,则 ? 2 ?, 设 G 点坐标为(0,0,m),E ? 2 t t ? 1? t ??? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1? m ? m ? ? 0 2 4 要使 EG∥平面 PFD,只需 EG ·n=0,即 ? 2 ? 2 ,得
1 1 m? t 4 ,从而满足 AG= 4 AP 的点 G 即为所求.

??? ? ??? ? AB 是平面 PAD 的法向量,易得 AB =(1,0,0),又∵ (3)解:∵AB⊥平面 PAD,∴

PA⊥平面 ABCD,∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角,得∠PBA=45°,PA=1,
?1 1 ? ? , ,1? 平面 PFD 的法向量为 n= ? 2 2 ? .
??? ? AB ? n ??? ? AB n

??? ? ∴cos〈 AB ,n〉=

1 6 2 ? 6 1 1 ? ?1 = 4 4 .

6 故所求二面角 A-PD-F 的余弦值为 6 .

6.(本小题满分 15 分)(2011· 湖南高考,理 19)如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的 直径 AB=2,C 是 AB 的中点,D 为 AC 的中点.

?

(1)证明:平面 POD⊥平面 PAC; (2)求二面角 B-PA-C 的余弦值. 解法二:(1)如图所示,以 O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 轴, y 轴,z 轴建 立空间直角坐标系.则

1 1 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0, 2 ),D( 2 , 2 ,0). ?
设 n1=(x1,y1,z1)是平面 POD 的一个法向量,则由 n1· OD ? 0 ,n1· OP ? 0 ,得

????

??? ?

1 ? 1 ?? x1 ? y1 ? 0, 2 ? 2 ? 2 z ? 0. ? 1
所以 z1=0,x1=y1.取 y1=1,得 n1=(1,1,0).

??? ? ??? ? n2 ? PA 0 , n2 · =0 , 得 = PC 设 n2 = (x2 , y2 , z2) 是 平 面 PAC 的 一 个 法 向 量 , 则 由
?-x2- 2z2=0, ? ?y2- 2z2=0.
所以 x2=- 2z2,y2= 2z2,取 z2=1,得 n2=(- 2, 2,1) . 因为 n1· n2=(1,1,0)· (- 2, 2,1)=0,所以 n1⊥n2.从而平面 POD⊥平面 PAC. (2)因为 y 轴⊥平面 PAB,所以平面 PAB 的一个法向量为 n3= (0,1,0).由 (1)知,平面 PAC 的 一个法向量为 n2=(- 2, 2,1). n2· n3 2 10 设向量 n2 和 n3 的夹角为 θ,则 cos θ=|n2||n3|= = 5 . 5 10 由图可知,二面角 B-PA-C 的平面角与 θ 相等,所以二面角 B-PA-C 的余弦值为 5 .

7. ( 2010 年高考全国卷 I 理科 19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥 S-ABCD 中,SD ? 底面 ABCD,AB//DC,AD ? DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为 棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz ,

由 m ? DE, m ? DC ,得

m ? D E 0 , m ? DC ? 0 ?



?x ?y 2z ? ? ? 0, 2 y ? 0 1? ? 1? ? 1? ? .

令 x ? 2 ,则 m ? (2,0, ?? ) .

8. (2010 年全国高考宁夏卷 18) (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的 高 ,E 为 AD 中点 证明:PE ? BC 若 ? APB= ? ADB=60°, 求直线 PA 与平面 PEH 所成角 的正弦值

解:以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为

x, y, z 轴,

线段 HA 的长为单位长, 建立空间直角坐标系如图, 则 A(1,0,0), B(0,1,0) (Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m ? 0, n ? 0)



1 m D( 0 m , 0 ) , ( , , E 2 2 PE ? (

, 0).

可得

1 m , ?n ) , ? m (? , 1 , 0 ) . , BC 2 2 m m ? ?0?0 2 2

PE ? BC ?
因为

所以

P E? B C

m??
(Ⅱ)由已知条件可得

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3
P0 ) , , ( 0 , 0 , 1)

D( 0 ? ,

3 1 3 , 0E , ? , ) ( 3 2 6

设 n ? ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量



?n ? H E? ,o ? ? ? ?n ? H P ,o ?

? 1 x ? 3 y ?0 ?2 6 ? ? z?0 即?

因此可以取 n ? (1, 3,0) ,

??? ? PA ? (1,0, ?1) , 由
? ? ?? 2 c o sP A n ? , 4

可得

2 所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 4

9. (2010 年高考陕西卷理科 18) (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA ⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 √ 2,E,F

分别是 AD,PC 的中点 (Ⅰ)证明:PC ⊥平面 BEF; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小。 解法一 (Ⅰ)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 算在直线分别为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系。 ∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形 ABCD 是矩形。 ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0),D(0,2 √ 2,0),P(0,0,2) 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, ∴E(0,√ 2,0),F(1,√ 2,1)。 ∴ PC =(2,2 √ 2,-2) BF =(-1,√ 2,1) EF =(1,0, 1) , ∴ PC · BF =-2+4-2=0, PC · EF =2+0-2=0,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? PC ⊥ BF , PC ⊥ EF , ∴
∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩EF=F,[来源:Zxxk.Com] ∴PC⊥平面 BEF

(II)由(I)知平面 BEF 的法向量 平面 BAP 的法向量 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ ,

则 ∴ θ=45℃, ∴ 平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45

10. (2010 年高考重庆市理科 19) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分.) 如题(19)图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB= 6 ,点 E 是棱 PB 的中点. (Ⅰ) 求直线 AD 与平面 PBC 的距离; (Ⅱ) 若 AD= 3 ,求二面角 A-EC-D 的平面角的余弦值. P

E A D

B

题(19)图

C

11、 (满分 12 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC= a ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=4. P (1)线段 BC 上存在点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围; (2)线段 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值。 A Q

B

???? ???? ???? ? AD 、 、 为 x.y.z 轴建立如图的空间直角坐标系,则 AB AP 解法 2: (Ⅰ)以
B(0,2,0) ,C(a,2,0) ,D(a,0,0) , P(0,0,4) ,

D

C

设 Q(t,2,0) t ? 0 ) ( ,则

PQ =(t,2,-4) , DQ =(t-a,2,0) .

z P

???? ???? ? PQ ?DQ ? t (t ? a) ? 4 =0. ∵PQ⊥QD,∴
A 即 t ? at ? 4 ? 0 .
2

B Q

y

a?t?


4 ?4 t .

D x

C

故 a 的取值范围为

? 4, ?? ? .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD. 此时 Q(2,2,0) ,D(4,0,0) . 设

n ? ? x, y, z ?
??? ? ?n?DP ? 0 ? ? ???? ?n?DQ ? 0 ?

是平面 PQD 的法向量,



??4 x ? 4 z ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 0 . ,得 ?

n ? ?1,1,1? 取 z ? 1 ,则 是平面 PQD 的一个法向量.


??? ? AB ? ? 0, 2,0 ?

是平面 PAD 的一个法向量,

???? ???? AD?n 3 cos ? AD, n ?? ???? ? 3 AD ? n
∴二面角 A-PD-Q 的余弦值为



3 . 3

12.(本小题满分 12 分) 如图,在正三棱柱 ABC? A1B1C1 中, AA ? 2 AB , N 是 CC1 的中点, M 是线段 AB 上的 1 1 动点(与端点不重合) ,且 AM ? ?AB1 . (1)若 ? ?

1 ,求证: MN ? AA ; 1 2 (2)若直线 MN 与平面 ABN 所成角的大小为 ? ,求 sin ? 的最大值.

解析:如图,建立空间直角系,则

1 3 B1 (1,0, 2), M (? ,0, 2? ), B(1,0,0), N ( , ,1), A1 (0,0, 2) …(1 分) 2 2 ???? ? ???? 1 1 3 ,0) , AA1 ? (0,0,2) ,… 分) (1)当 ? ? 时, M ( ,0,1) ,此时 MN ? (0, (3 2 2 2 ???? ???? ? 因为 MN ? AA1 ? 0 ,所以 MN ? AA1 .………………(5 分)
(2)设平面 ABN 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则 ?

?n ? AB ? 0 ? ?n ? AN ? 0 ?



?x ? 0 1 3 ? 即? 3 ,取 n ? (0,2, 3) 。而 MN ? ( ? ? , ,1 ? 2? ) ,………………(7 分) 2 2 y?z ?0 ? ? 2 2 3 2 3? ? … …………… (9 ?sin ? ? cos? MN, n? ? 2 2 7 ? 5? ? 5? ? 2 ?1? ?1? 7 ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ?? ? ?? ?
分)

? 0 ? ? ? 1 ,?

1

?

? 1 ,故 sin ? ?

2 3 ?1? ?1? 7 ? 5 ? 5? ? ? 2? ? ??? ???
2

?

4 6 105

?

4 630 ………(11 分) 105

当且仅当

1

?

?

5 4 ,即 ? ? 时,等号成立. …………………………………………(12 分) 4 5

13.如图一,△ ABC 是正三角形,△ ABD 是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ ABD 沿边 AB 折起, 使得△ ABD 与△ ABC 成 30o 的二面角 D ? AB ? C ,如图二,在二面角 D ? AB ? C 中. (1) 求 D、C 之间的距离; (2) 求 CD 与面 ABC 所成的角的大小; (3) 求证:对于 AD 上任意点 H,CH 不与面 ABD 垂直。 A A

C D B
图二

C

B
图一

D

解: 依题意, ? ABD=90 ,建立如图的坐标系使得△ ABC 在 yoz 平面上,? △ ABD 与△ ABC 成 30o 的二面角, ? ? DBY=30o,又 AB=BD=2, ? A(0,0,2),B(0,0,0),
o

C(0, 3 ,1),D(1, 3 ,0), (1)|CD|= (1 ? 0) ? ( 3 ? 3 ) ? (0 ? 1) = 2 ……… 5 分
2 2 2

(2)? x 轴与面 ABC 垂直,故(1,0,0)是面 ABC 的一个法向量。 设 CD 与面 ABC 成的角为 ? ,而 CD = (1,0,-1),

z A

? sin ? =

| (1,0,0) ? (1,0,?1) | 1 ?0 ?0
2 2 2

1 ? 0 ? (?1)
2 2

2

=

2 2
B

C

? ? ? [0,

?
2

],? ? =

?
4

;…………………8 分

y D

(3) 设 AH =t AD = t(1, 3 ,-2)= (t, 3 t,-2 t),

x

CH = CA + AH =(0,- 3 ,1) +(t, 3 t,-2 t) = (t, 3 t- 3 ,-2 t+1),
若 CH ? BA ,则 (t, 3 t- 3 ,-2 t+1)·(0,0,2)=0 得 t=

1 , ……………10 分 2

此时 CH =(

3 1 ,,0), 2 2
1 3 - =-1 ? 0,? CH 和 BD 不垂直, 2 2

而 BD =(1, 3 ,0), CH · BD =

14.(本小题满分 16 分)(2011· 广东高考,理 18)如图,在锥体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD= 2,PB=2,E,F 分别是 BC,PC 的中点.

(1)证明:AD⊥平面 DEF; (2)求二面角 P-AD-B 的余弦值. 解法二:(1)证明:取 AD 中点为 G,因为 PA= PD,所以 PG⊥AD. 又 AB=AD,∠DAB=60°,△ABD 为等边三角形, 因此,BG⊥AD,从而 AD⊥平面 PBG. 延长 BG 到 O 且使得 PO⊥OB, 又 PO?平面 PBG,PO⊥AD,AD∩ OB=G, 所以 PO⊥平面 ABCD. 以 O 为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线 OB,OP 分别为 x 轴,z 轴,平行于 AD 的 直线为 y 轴,建立如图所示空间直角坐标系. 1 ? ? ? 1 ? 设 P(0,0,m),G(n,0,0),则 A n,-2,0 ,D n,2,0 . ? ? ? ?

???? ??? ? |GB|| AB| sin 60°= 3, ∵ 2
∴B?n+

? ?

3 3 3 1 ? ? ? ? ? ?,C?n+ 2 ,1,0?,E?n+ 2 ,2,0?, 2 ,0,0? ? ? ? ?

3 1 m? ?n F? + , , ?. ?2 4 2 2 ?

由于 AD =(0,1,0), DE =?

????

????

??? ? n 3 m? ? 3 ? ? ,0,0?, FE =?2+ 4 ,0,- 2 ?, ?2 ? ? ?

得 AD ? DE =0, AD ? FE =0,AD⊥DE,AD⊥FE,DE∩ FE=E, ∴AD ⊥平面 DEF.

???? ????

???? ??? ?

??? ? ??? ? 1 PA =?n,- ,-m?, PB =?n+ 3,0,-m?, (2)∵ ? ? 2 ? ? 2 ? ?

? 3? 2 1 ?n? ? ? m =2 m2 ? n 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ∴ , ? ,
3 解之,得 m=1,n= 2 . 取平面 ABD 的法向量 n1=(0,0,-1), 设平面 PAD 的法向量 n2=(a,b,c),

2

??? ? PA? n2=0 ,得 3a-b-c=0, 由
2 2 2 2

??? ? PD? n2=0 ,得 3a+b-c=0, 由
3? ? 取 n2=?1,0, ?.∴cos〈n1,n2〉= 2? ? 3 -2 1× 21 =- 7 . 7 4


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