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2011年上海徐汇区高三年级数学(文科)二模试卷


2010 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 (文科试卷)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2011.4

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。
1、函数 f ( x) ? 4x ?1 的反函数 f ?1

( x) ? 。 。 。 。

2、设集合 A ? ?5,log2 (a ? 3)? , B ? ?a, b? ,若 A ? B ? {2} ,则 A ? B ? 3、函数 f ( x) ? ln x ?

2 的零点所在的区间为 (n, n ? 1) (n ? Z ) ,则 n ? x
7

4、在 ( x ? a)10 的展开式中, x 的系数是 15,则实数 a ? 5、若复数 z 同时满足

z 1 z 1

? 2i,

z 1 ? 0 ( i 为虚数单位) ,则复数 z = iz 1




6、系数矩阵为 ?

?1 2 ? ? x ? ? 1? ? ,且解为 ? ? ? ? ? 的一个线性方程组是 ?2 1? ? y ? ? 1?

7、在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,且 3a ? 2c sin A ,则角 C 的大小为 。 8、已知直线 l 经过点 (? 5,0) 且方向向量为 (2, ?1) ,则原点 O 到直线 l 的距离为 9、从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数,这两个数的和是奇数的概率为 (结果用数值表示) 。 。

10、在一个水平放置的底面半径为 3 cm 的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半径为 R cm 的实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升 R cm,则 R ? ________cm. 11、若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 10 x 的焦点重合,则双曲 线的标准方程为 。

12、在平面直角坐标系 xOy 中,O 为坐标原点。定义 P( x1 , y1 ) 、Q( x2 , y2 ) 两点之间的“直角距离” 为 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。 已知 B(1, 0) , 点 M 为直线 x ? y ? 2 ? 0 上的动点, 则 d ( B, M ) 的最小值为 。 。

x 13、若曲线 y ? 2 ? 1与直线 y ? b 没有公共点,则实数 b 的取值范围是

1

?x ? 0 ? (n ? N * ) 所表示的平面区域 Dn 的整点(即横坐标和纵坐标均为整 14、设不等式组 ? y ? 0 ? y ? ?nx ? 4n ?
数的点)个数为 an , 则

1 (a2 ? a4 ? 2010

? a2010 ) ?



二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生 应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分。
15、已知 O, A, B 是平面上不共线的三点,若点 C 满足 AC ? CB ,则向量 OC 等于( (A) OA ? OB (B) OA ? OB (C) )

1 (OA ? OB ) 2

(D)

1 (OA ? OB ) 2


16、设 ?an ? 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 ?an ? 是递增数列”的( (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

17、如图,在下列四个几何体中,它们的三视图(主视图、左视图、俯视图)中有且仅有两个相同, 而另一个不同的几何体是???????????????????????( ) .

(1)棱长为 1 的正方体

(2)底面直径和高均为 1 的圆柱

(3)底面直径和高均为 1 的圆锥

(4)底面边长为 1、高为 2 的正四棱柱

(A) (2) (3) (4)

(B) (1) (2) (3)

(C) (1) (3) (4)

(D) (1) (2) (4)

18、已知椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 ,对于任意实数 k ,下列直线被椭圆 E 截得的弦长与 l : y ? kx ? 1 被 m 4


椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是(

(A) kx ? y ? 1 ? 0 (B) kx ? y ? 2 ? 0 (C) kx ? y ? 1 ? 0 (D) kx ? y ? 1 ? 0

2

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编 号的规定区域内写出必要的步骤。
19、 (本题满分 12 分)第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 7 分。 关于 x 的不等式

x?m 2 ? 0 的解集为 ? ?1, n ? . 1 x

(1)求实数 m 、 n 的值; (2)若 z1 ? m ? ni , z 2 ? cos? ? i sin ? ,且 z1 z 2 为纯虚数,求 tan(? ?

? ) 的值. 4

20、 (本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分。 如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上, AB 为圆 O 的直径,圆柱 OO1 的表面积为 24? ,

OA ? 2 , ?AOP ? 120? 。
(1)求三棱锥 A 1 ? APB 的体积。 (2)求异面直线 A 1B 与 OP 所成角的大小; (结果用反三角函数值表示)

A1

O1

B1

A

O
P
(第 20 题)

B

21、 (本题满分 14 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分。
2 已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的和为

? ?

81 。 5

(1)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (2)对给定的 k (k ? 1, 2,3,

, n) ,设数列 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1 的等差数列,

求数列 T ( 2) 的通项公式及前 10 项的和。

3

22、 (本题满分 16 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 5 分。 已知函数 f ( x) ? x ? (a ? x) , a ? R 。 (1)当 a ? 4 时,画出函数 f ( x ) 的大致图像,并写出其单调递增区间; (2)若函数 f ( x) 在 x ? [0,2] 上是单调递减函数,求实数 a 的取值范围; (3)若不等式 x ? (a ? x) ? 6 对 x ??0 , 2? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

23、 (本题满分 18 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 8 分,第(3)小题满分 6 分。 定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形” 。如果 两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将三角形的相似比称为 椭圆的相似比。已知椭圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 。 4

(1) 若椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 ,判断 C2 与 C1 是否相似?如果相似,求出 C2 与 C1 的相似比;如 16 4

果不相似,请说明理由; (2) 写出与椭圆 C1 相似且短半轴长为 b 的椭圆 Cb 的方程;若在椭圆 Cb 上存在两点 M 、 N 关 于直线 y ? x ? 1 对称,求实数 b 的取值范围?

(3) 如 图 : 直 线 l 与 两 个 “ 相 似 椭 圆 ”

x2 y 2 ? ?1 和 a 2 b2

x2 y 2 ? ? ? 2 (a ? b ? 0, 0 ? ? ? 1) 分 别 交 于 点 A, B 和 a 2 b2
点 C , D ,证明: AC ? BD

4

2010 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
流水号

学习能力诊断(文科)答题卷

2011.4

题号 满分 得分

一 56

二 20

19 12

20 14

21 14

22 16

23 18

总分 150

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. 4. 7. 10. 13. 2. __ 5. __ 8. 11. 14. 3. _ 6. _ 9. 12.

二、选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,满分 20 分)本大题必须使用 2B 铅笔填涂? 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分) 19.[解] (1)

(2)

5

20.[解] (1)

A1

O1

B1

A
(2)

O
P

B

21.[解] (1)

(2)

6

22.[解] (1)

(2)

(3)

7

23.[解] (1)

(2)

(3)

8

2010 学年第二学期徐汇区高三年级数学学科 学 习 能 力 诊 断 卷 文科试卷参考答案及评分标准(2011.4)
一. 填空题: 1. log 4 ( x ? 1) 6. ? 2.

?1, 2,5?
7.

3.

2

4.

?
9.

1 2
3 5

5. ? 1 ? i

?x ? 2 y ? 3 ?2 x ? y ? 3
2

? 3
3

8.

1

10.

3 2

11. x ?

y2 ?1 9

12. 15.D

13. ??1,1? 16.C 17.A

14. 18.B

3018

二.选择题: 三.解答题:

19.解: (1)原不等式等价于 ( x ? m) x ? 2 ? 0 ,即 x2 ? mx ? 2 ? 0 -------------------3 分 由题意得, ?

??1 ? n ? ?m 解得 m ? ?1 , n ? 2 . ??1? n ? ?2

------------------------5 分 ------------------------7 分

(2) z1 ? ?1 ? 2i , z1 z 2 ? (? cos ? ? 2 sin ? ) ? i(2 cos ? ? sin ? ) 若 z1 z 2 为纯虚数,则 cos ? ? 2 sin ? ? 0 ,即 tan ? ? ?

1 2

----------------------------------9 分

1 ? ?1 4 ? 2 tan(? ? ) ? ? ?3 -------------------- 12 分 ? 1 4 1 ? tan ? ? tan 1? 4 2

?

tan ? ? tan

?

20.解: (1)由题意 S表 ? 2? ? 2 ? ??? 2 ? AA 1 ?4. 1 ? 24? ,解得 AA
2
0

-------------------2 分

在 ?AOP 中, OA ? OP ? 2, ?AOP ? 120 ,所以 AP ? 2 3 -------------------3 分
0 在 ?BOP 中, OB ? OP ? 2, ?BOP ? 60 ,所以 BP ? 2 -------------------4 分

1 VA1 ? APB ? S ?APB ? AA1 3

-------------------5 分

1 1 8 3 ? ? ?2 3 ?2?4 ? -------------------6 分 3 2 3
(2)取 AA1 中点 Q ,连接 OQ , PQ ,则 OQ // A 1B ,
9

得 ?POQ 或它的补角为异面直线 A 1B 与 OP 所成的角.

-------------------8 分 -------------------10 分

又 AP ? 2 3 , AQ ? AO ? 2 ,得 OQ ? 2 2 , PQ ? 4 , 由余弦定理得 cos ?POQ ?

PO2 ? OQ2 ? PQ2 2 ,-------------------12 分 ?? 2PO ? OQ 4
2 . -------------------14 分 4

得异面直线 A 1B 与 OP 所成的角为 arc cos

? a1 ?1 ? q ? 9 ? 21.解: (1)依题意可知, ? -------------------4 分 2 a 81 ? 1 ? 2 ? 5 ?1 ? q
?a1 ? 3 ? ?? 2 -------------------6 分 q? ? 3 ?

?2? (2)由(1)知, an ? 3 ? ? ? ?3?
所以数列 T
( 2)

n?1

-------------------8 分

的首项为 t1 ? a2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 -------------------10 分

T (2) ? 2 ? (n ?1) ? 3 ? 3n ?1 (n ? N * ) -------------------12 分
S10 ? 10 ? 2 ?
即数列 T
( 2)

1 ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 , 2

的前 10 项之和为 155。-------------------14 分
2 ? ?? x ? 4 x ( x ? 0) , f ( x) 的图象如图,图象画出,-------------------3 2 ? x ? 4 x ( x ? 0 ) ?

22.解: (1) a ? 4 时, f ( x) ? ?

分 单调递增区间为 [0,2] 。-------------------6 分 (2)解一:设 0 ? x1 ? x2 ? 2 , 当 f ( x) 在 x ? [0,2] 上 单 调 递 减 时 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 对

0 ? x1 ? x2 ? 2 都成立,-------------------8 分
即 ( x1 ? x2 )[a ? ( x1 ? x2 )] ? 0 ,a ? x1 ? x2 对 0 ? x1 ? x2 ? 2 都 成立,-------------------10 分 所以 a ? 0 -------------------11 分
10

解二:数形结合方法: x ? ?0, 2? 时, f ( x) ? x(a ? x) ? ? x ? ax ? ?( x ? ) ?
2 2

a 2

a2 -------------------8 4

分 若函数 f ( x) 在 x ? [0,2] 上是单调递减函数,则

a ? 0 -------------------10 分 2

所以 a ? 0 -------------------11 分 (3)当 x ? 0 时, 0 ? 6 成立,所以 a ? R ; -------------------12 分 当 0 ? x ? 2 时, a ? x ? 设 g ( x) ? x ?

6 6 6 ,即 a ? x ? ,只要 a ? ( x ? ) min ; -------------------13 分 x x x

6 , g ( x) 在 (0, 6] 上递减,在 [ 6, ? ?) 上递增, x 当 0 ? x ? 2 时, g ( x)min ? g (2) ? 5 ;-------------------14 分 所以 a ? 5 -------------------15 分 综上, x (a ? x) ? 6 对 x ?[0 , 2 ] 恒成立的实数 a 的取值范围是 (?? , 5 ] 。-------------------16 分

23.解: (1)椭圆 C2 与 C1 相似。-------------------2 分 因为椭圆 C2 的特征三角形是腰长为 4,底边长为 4 3 的等腰三角形,而椭圆 C1 的特征三角形是腰 长为 2,底边长为 2 3 的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为 2 :1 -------------------4 分 (2)椭圆 Cb 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 (b ? 0) -------------------6 分 4b2 b2

设 lMN : y ? ? x ? t ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , MN 中点为 ( x0 , y0 ) ,

? y ? ?x ? t ? 2 2 2 则 ? x2 ,所以 5x ? 8tx ? 4(t ? b ) ? 0 -------------------8 分 y2 ? 2 ? 2 ?1 ? 4b b
则 x0 ?

x1 ? x2 4t t ? , y0 ? 2 5 5

-------------------9 分

因为中点在直线 y ? x ? 1 上,所以有 即直线 lMN 的方程为: lMN

t 4t 5 ? ? 1 , t ? ? -------------------10 分 3 5 5 5 : y ? ?x ? , 3

由题意可知,直线 lMN 与椭圆 Cb 有两个不同的交点, 即方程 5 x ? 8(? ) x ? 4[(? ) ? b ] ? 0 有两个不同的实数解,
2 2 2

5 3

5 3

11

所以 ? ? (

40 2 25 5 ) ? 4 ? 5 ? 4 ? ( ? b 2 ) ? 0 ,即 b ? -------------------12 分 3 9 3

(3)证明: ①直线 l 与 x 轴垂直时,易得线段 AB 与 CD 的中点重合,所以 AC ? BD ;-------------------14 分 ②直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为: y ? kx ? n , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 线段 AB 的中点 ( x0 , y0 ) ,

? y ? kx ? n ? 2 ? (b2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 knx ? (a 2 n 2 ? a 2b 2 ) ? 0 -------------------15 分 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
? 1 a 2 kn x ? (x ? x ) ? ? 2 ? a 2 kn nb 2 ? 0 2 1 2 b ? a2k 2 ?? ? 线段 AB 的中点为 (? 2 2 2 , 2 2 2 ) -------------------16 2 b ?a k b ?a k ? y ? kx ? n ? nb 0 0 2 2 2 ? b ?a k ?
分 同理可得线段 CD 的中点为 (?

a 2 kn nb 2 , ) ,-------------------17 分 b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2

即线段 AB 与 CD 的中点重合,所以 AC ? BD -------------------18 分

12


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