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抛物线的简单几何性质


抛物线的简单几何性质

一、温故知新 (一) 抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线l(l不经过定 点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛 物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。

(二) 抛物线的标准方程
(1)开口向右 y2 = 2px (p>0) (2)开口向左 y2 = -2px (p>0

) (3)开口向上 x2 = 2py (p>0) (4)开口向下 x2 = -2py (p>0)

二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质?

1、


范围

y

由抛物线y2 =2px(p>0)

2 px ? y ? 0 p?0
2

o

F(

p ,0 ) 2

x

x?0 ?

所以抛物线的范围为 x ? 0

2、

对称性
关于x轴

y

? ( x, y)

对称

( x, ? y )
2

若点(x,-y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px, o F ( p ,0) 则 (-y)2 = 2px 即点(x,-y) 也在抛物线上, 故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

x

3、

顶点
y

定义:抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线

的顶点。

2 = 2px (p>0)中, y ?

o

F(

p ,0 ) 2

x

令y=0,则x=0.
即:抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点(0,0).

4、

离心率

y
P(x,y)

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比,叫做抛物线 的离心率。 由定义知, 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.

o

p F ( ,0 ) 2

x

方程
y ? 2 px
2
l

图形
y
O

准线

焦点
p 2
p F ( 2 ,0)

对称轴

( p ? 0)
y ? ?2 px ( p ? 0)
2

F
l
O

x

x??

x轴
x轴

y
F

x

x?

p 2

F (? ,0)
o

p 2

x ? 2 py ( p ? 0)
2

y
F
O

l

p y??2 x

F (0, )
F (0,? )
p 2

p 2

y轴 y轴

x ? ?2 py ( p ? 0)
2

y
l
O
F

x

y?

p 2

三、典例精析 例1:已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标 原点,并且经过点M(2, ),求它的标准方程。 ?2 2 解 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点M(2, ?2 2 ), 所以设方程为: y 2 ? 2 px 又因为点M在抛物线上:

( p ? 0)

2 所以: (?2 2) ? 2 p ? 2 ? p ? 2 2 因此所求抛物线标准方程为: y ? 4x

顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过 求抛物线方程的方法步骤主要分两步:一确定抛物线的焦点位置, 二根据题意求出参数 p。 点(2,- 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标准方程。

思考:

例 2 斜率为1的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点F , 且与抛物线相交于A, B 两点, 求线 段 AB的长. 分析 由抛物线的方程可以得到它的焦点

坐标 , 又直线l的斜率为 1 , 所以可以求出直 线 l 的方程 ;与抛物线的方程联立, 可以求出

A, B两点的坐标;利 用 两点间的 距 离 公 式 可以求出| AB | . 这种方法虽然思路简单, 但 是需要复杂的代数运算.

试一试, 用这种方法求| AB |.

y

p 解 由题意可知, p ? 2, ? 1, 2 焦点F ?1,0 ?, 准线l : x ? ?1. 如

A`

A

O
B` B

F

图, 设A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, A, B到准线l的距离分别为d A , d B . 由抛物线的定义可知

x

| AF |? d A ? x1 ? 1, | BF |? d B ? x2 ? 1.

于是 | AB |?| AF | ? | BF |? x1 ? x2 ? 2.
由已知得抛物线的焦点为 F ?1,0 ?, 所以直线 AB 的 方程为 y ? x ? 1.

?1?

将 ?1? 代入 y 2 ? 2 x , 得 ? x ? 1? ? 4 x.
2
A`

y
A

化简得 x ? 6 x ? 1 ? 0. 由求根公式得
2

O
B` B

F

x

x1 ? 3 ? 2 2 , x2 ? 3 ? 2 2 , 于是 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 8 .

?或由韦达定理得x1 ? x2 ? 6?
所以, 线段 AB的长是 8 .

思考

2 y ? 2 px( p ? 0) 则过 抛物线中涉及到抛物线上的点到焦点的距离可根据定义转 :将本题中的抛物线方程改成 化成到准线的距离。 焦点的弦 AB ? x1 ? x2 ? p其它三种抛物线过焦点弦怎么表示?

练习
1.顶点在原点,对称轴是y轴,并经过点P(-6,-3) 的抛物线的方程。 x 2 ? ?12y 2 2.已知点A(-2,3)与抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离是5,则P = 4 。 3? 2 3.过抛物线x ? 4 y的焦点,作倾斜角为 的直线交 4 抛物线于P、Q两点,O为坐标原点,则 ?P OQ的面积
等于
2 2
2 y ? 4x上的一动 4.点A的坐标为(3,1),若P是抛物线

点,F是抛物线的焦点,则|PA|+|PF|的最小值为( B ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

四、归纳总结
1、范围:抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性:抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

3、顶点: 抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线; 4、离心率: 抛物线的离心率是确定的,等于1;


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