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2.3等差数列的前n项和 第2课时等差数列前n项和的应用 课件(人教A版必修5)


第2课时 等差数列前n项和的应用
【课标要求】 1.掌握等差数列前n项和的性质,并能应用性质解决一些问题. 2.会求等差数列前n项和的最值. 3.会解决有关等差数列求和的综合问题. 【核心扫描】 1.等差数列前n项和的性质.(重点) 2.等差数列前n项和的最值问题.(难点)

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自学导引
1. 等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为 d
?Sn ? 的等差数列,则数列? ?也是等差数 ?n ?

d 列,且公差为 . 2 (2)Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和, m2 d . 则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为____
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,则 an S2n-1 = . bn T2n-1
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(4)若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,
S奇 an nd ①当项数为偶数 2n 时,S 偶-S 奇=___, = ; S偶 an+1 S奇 n a ②当项数为奇数 2n-1 时,S 奇-S 偶=___ = . n , S偶 n-1

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:如果数列的前n项和公式Sn=An2+Bn,其中A,B 为常数,那么这个数列是否一定为等差数列? 提示:由Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an① 得Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2)② 由①-②得an=Sn-Sn-1(n≥2),∵S1=a1, ? ?S1?n=1?, ∴an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?, 又Sn=An2+Bn, ∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2An-A+B. 当n=1时,a1=S1=A+B符合上式, ∴an=2An-A+B(n∈N*) ∴数列{an}是等差数列,首项为A+B,公差为2A.
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2. 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中 最大 值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等 当 a1>0,d<0 时,Sn 有_____ ? ?an≥0 ? 式组 ? ?an+1≤0 确定; 最小 值,使 Sn 取到最值的 n 可由不等 当 a1<0,d>0 时,Sn 有_____ ? ?an≤0 ? 式组 ? ?an+1≥0 确定. d? d 2 ? (2)因为 Sn= n +?a1-2?n,若 d≠0,则从二次函数的角度看: 2 ? ? 最小 值;当 d<0 时,Sn 有_____ 最大 值;且 n 取 当 d>0 时,Sn 有_____
最接近对称轴的自然数时,Sn 取到最值.
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名师点睛
1. 关于等差数列奇数项与偶数项性质的推导 ①若项数为2n,则S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-… -a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=
d+d+…+n个 d d=nd. n S奇 2?a1+a2n-1? 2an an = = = . n S偶 2an+1 an+1 ?a2+a2n? 2 ②若项数为 2n-1,由等差数列的性质:a2+a2n-2=a1+a2n-1 =…=2an.
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n-1 n-1 ∴S 偶=a2+a4+…+a2n-2= (a2+a2n-2)= ×2an= 2 2 (n-1)an. n n S 奇=a1+a3+…+a2n-1= (a1+a2n-1)= ×2an=nan. 2 2 S奇 nan n ∴S 奇-S 偶=nan-(n-1)an=an, = = ,这 S偶 ?n-1?an n-1 里 an=a 中.

2. 二次函数配方法求等差数列前n项和Sn的最值

通过配方得

? B ?2 B2 Sn=A?n+2A? - ,利用二次函数的性质求最 4A ? ?
*

B 值,但特别注意 n∈N ,所以 n 为最接近- 的正整数时, 2A Sn 取最值.
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题型一

等差数列前n项和性质的应用

【例1】 (1)设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为 36,Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项 数n.
(2)一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10, 求前110项之和. [思路探索] (2)可利用前n项和公式求出a1和d,即可求出 S110,或利用等差数列前n项和的性质求解.

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(1)由题意可知 a1+a2+…+a6=36①

an+an-1+an-2+…+an-5=180② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216. n?a1+an? ∴a1+an=36.又 Sn= =324, 2 ∴18n=324. ∴n=18.

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(2)法一

设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则

n?n-1? Sn=na1+ d. 2 10×9 ? ?10a1+ 2 d=100 由已知得? ?100a +100×99d=10 1 2 ? 11 ①×10-②,整理得 d=- , 50 1 099 代入①,得 a1= . 100 ① ②

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110×109 ∴S110=110a1+ d 2 1 099 110×109 ? 11 ? =110× + ×?-50? 100 2 ? ?
?1 ? =110? ?

099-109×11? ? ?=-110. 100 ?

故此数列的前 110 项之和为-110.

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法二

数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110

-S100 为等差数列,设公差为 d′,则 10×9 10S10+ ×d′=S100=10, 2 又∵S10=100,代入上式得 d′=-22, ∴S110-S100=S10+(11-1)×d′=100+10×(-22)= -120, ∴S110=-120+S100=-110.

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法三

设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn.

∵S10=100,S100=10, 11 ? 2 ? ?a=-100, ?10 a+10b=100, ∴? ∴? 2 ? ?100 a+100b=10, ?b=111, ? 10 11 2 111 ∴Sn=- n + n, 100 10 11 111 2 ∴S110=- ×110 + ×110=-110. 100 10

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解决此类问题的方法较多,法一、法 三是利用方程的思想方法确定出系数,从而求出 Sn;法二是利用等差数列的“片断和”性质,构造 出新数列,从而使问题得到解决.

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【变式1】 一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项 和与奇数项和之比为32∶27,求公差d. 解 法一 设此数列首项为a1,公差为d, ? ?12a1+1×12×11d=354 2 ? ? 1 则?6?a1+d?+ ×6×5×2d 2 32 ? = , ? 1 27 ? ? 6a1+2×6×5×2d
解得 d=5. ?S奇+S偶=354 ? ?S偶 32 = ? ?S奇 27
? ?S偶=192, ?? ? ?S奇=162.

法二

∵S偶-S奇=6d,∴d=5.
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题型二 等差数列前n项和的最值问题
1 【例 2】 已知数列{an},an∈N ,Sn 是其前 n 项和,Sn= (an 8
*

+2)2. (1)求证{an}是等差数列;
1 (2)设 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2 [思路探索] (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)来求证.

(2)求bn的通项公式,然后由通项公式确定正负项求最值.

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解 2.

(1)证明

1 当 n=1 时,a1=S1= (a1+2)2,解得 a1= 8

1 1 2 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1= (an+2) - (an-1+2)2, 即 8an 8 8 =(an+2)2-(an-1+2)2, 整理得,(an-2)2-(an-1+2)2=0,即(an+an-1)(an-an-1 -4)=0. ∵an∈N*,∴an+an-1>0,∴an-an-1-4=0,即 an-an
-1

=4(n≥2).

故{an}是以 2 为首项,4 为公差的等差数列.
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(2)解

1 设{bn}的前 n 项和为 Tn,∵bn= an-30,且由(1) 2

知 an=2+(n-1)×4=4n-2, 1 ∴bn= (4n-2)-30=2n-31, 故数列{bn}是单调递增的等 2 差数列. 1 令 2n-31=0,得 n=15 ,∵n∈N*,∴当 n≤15 时,bn 2 <0; 当 n≥16 时, bn>0, 即 b1<b2<…<b15<0<b16<b17<…, -29-1 当 n=15 时,Tn 取得最小值,最小值为 T15= ×15 2 =-225.
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求等差数列前n项和的最值常用下列两种方 法:法一是利用二次函数的最值求解,法二是通过数列 的通项的特点找出正负项的分界点.

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【变式2】 已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值. 解 (1)由a1=9,a4+a7=0, 得a1+3d+a1+6d=0, 解得d=-2, ∴an=a1+(n-1)· d=11-2n. (2)法一 a1=9,d=-2, n?n-1? Sn=9n+ · (-2) 2

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=-n2+10n =-(n-5)2+25 ∴当n=5时,Sn取得最大值. 法二 由(1)知a1=9,d=-2<0, ∴{an}是递减数列.

11 令 an≥0,则 11-2n≥0,解得 n≤ . 2
∵n∈N*,∴n≤5时,an>0,n≥6时,an<0. ∴S5最大.

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题型三

裂项相消法求数列的和

【例3】 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的 前n项和为Sn. (1)求an及Sn. 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an -1 [思路探索](1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程 组可求出首项和公差,进而求出an及Sn;(2)由(1)求出bn的 通项公式,再根据通项公式的特点选择求和的方法. 解(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为a3=7,a5+a7=26,所以有
? ?a1+2d=7, ? ? ?2a1+10d=26,

解得 a1=3,d=2.
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所以 an=3+2(n-1)=2n+1; n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n. 2 (2)由(1)知 an=2n+1,所以 1 ? 1 1 1 1 1? ?1 ? - bn= 2 = = · = ? an -1 ?2n+1?2-1 4 n?n+1? 4? ?n n+1? 1 1 1 1 1 ? 1? ? 所以 Tn= ?1-2+2-3+…+n-n+1? ? 4? ? 1 ? 1? n ? ? = ?1-n+1?= . 4? 4 ? n + 1 ? ? n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= . 4?n+1?
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裂项相消法求和是数列求和的一种常用方法, 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂成两 项),并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项 外,其余各项都能前后相抵消,进而可求出数列的前n项 和.常用到的裂项公式有如下形式: 1 ? 1 1? ?1 ? (1) = ?n- ; ? n + k k n?n+k? ? ?
1 1 (2) = ( n+k- n). n+k+ n k

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【变式3】 已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,a3=6, S3=12. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)求 + +…+ . S1 S2 Sn ? ?a3=a1+2d=6, 解 (1)∵? ∴a1=2,d=2, ? S = 3 a + 3 d = 12 , ? 3 1
∴an=2+(n-1)×2=2n. n?n-1? (2)由(1)知 Sn=2n+ ×2=n(n+1). 2
? 1? ?1 1? 1 1 1 1 1 1 ∴ + +…+ = + +…+ = ?1- ? +? - ? S1 S2 Sn 1×2 2×3 n?n+1? ? 2? ?2 3? ?1 1 ? 1 n ? ? - +…+?n =1- = . n+1? n+1 n+1 ? ?
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题型四

等差数列的综合应用
? Sn? Sn,点?n, n ?(n∈N*)均在函 ? ?

【例 4】 设数列{an}的前 n 项和为 数 y=3x-2 的图象上.

(1)求数列{an}的通项公式; 3 (2)设 bn= ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn anan+1
m < 对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m. 20 ? Sn? 审 题 指 导 把点?n, n ?代入y=3x-2 ? Sn=3n2-2n ? ? ?
得an ? 得bn ? 得Tn .
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Sn [规范解答] (1)依题意得, n =3n-2,即 Sn=3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1=6×1-5 适合, 所以 an=6n-5(n∈N*).(5 分) 3 3 (2)由(1)得 bn= = anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5]
1 ? 1? ? 1 = ?6n-5-6n+1? ?,(7 分) 2? ?

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1?? 1? ?1 1 ? 故 Tn=b1+b2+…+bn= ??1-7?+?7-13?+…+ 2?? ? ? ?
? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ?? 1? ? - 1 - = ?6n-5 6n+1?? 2? ?.(10 6 n + 1 ? ?? ? ?

分)

1 ? 1? ? ? m 1 - 因此,使得 ? 6n+1?< (n∈N*)成立的 m 必须满 2? ? 20 1 m 足 ≤ ,即 m≥10,故满足要求的最小整数 m 为 2 20 10.(12 分)

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【题后反思】

? Sn? 点?n, n ?(n∈N*)在函数 ? ?

y=3x-2 的图象

上,就给出了 Sn 与 n 的关系式,再由 Sn 求 an 即可;利 用裂项相消法求和是常见的题型,要熟练掌握.特别地, 一项裂成两项时,注意恒等变形,必要时添加系数.

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【变式 4】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn(Sn≠0),且满足 an 1 +2SnSn-1=0(n≥2),a1= . 2 ?1? (1)求证:?S ?是等差数列; ? n? (2)求数列{an}的通项公式.

解 (1)∵-an=2SnSn-1, ∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2),又 Sn≠0(n=1,2,3,…), 1 1 ∴S - =2. Sn-1 n 1 1 又 = =2, S1 a1 ?1? ∴?S ?是以 2 为首项,2 为公差的等差数列. ? n?
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1 1 (2)由(1)可知S =2+(n-1)· 2=2n,∴Sn= . 2n n 1 1 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =- 2n 2?n-1? 2n?n-1?
? ? 1 ? ? 或当 n ≥ 2 时, a =- 2 S S =- - n n n 1 ? ?; 2 n ? n - 1 ? ? ?

1 当 n=1 时,S1=a1= . 2 ?1 ?2,n=1, ∴an=? 1 ?- ,n≥2. ? 2n?n-1?

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误区警示
? ? ? ? ? ?

分析问题不严密致误

【示例】 在等差数列 an 中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10
=S15,求当 n 取何值时,Sn 有最大值,并求出它的最大值. [错解] 设公差为 d,
∵S10=S15, 10×9 15×14 ∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 5 得 120d=-200,即 d=- , 3 5 ∴an=20-(n-1)× , 3
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5 当 an>0 时,20-(n-1)× >0, 3 ∴n<13,∴n=12 时,Sn 最大, 12×11 ? 5? S12=12×20+ ×?- ?=130. 2 ? 3? ∴当 n=12 时,Sn 有最大值 S12=130.
解中仅解不等式an>0是不正确的,事实上应 解an≥0,an+1≤0.

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5 [正解] 法一 由 a1=20,S10=S15,解得公差 d=- . 3 ∵S10=S15,∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+a15=0, ∵a11+a15=a12+a14=2a13=0,∴a13=0. ∵公差d<0,a1>0, ∴a1,a2,…,a11,a12均为正数,而a14及以后各项均为负数. ∴当n=12或13时,Sn有最大值为S12=S13=130.
法二 Sn=An2+Bn,由题意对应函数 y=Ax2+Bx 的对称

10+15 轴为 x= =12.5, 2 故当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值.

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5 ? B 25 ? ?A=-6, ?- = 则? 2A 2 ,解得? 125 ? ? 20 = A + B ? ?B= 6 . 5 125 2 ∴S13=S12=- ×12 + ×12=130 为最大值. 6 6
求数列前n项和的最值问题的方法有:(1)运用 配方法转化为二次函数,借助二次函数的单调性以及数 形结合,从而使问题得解;(2)通项公式法:求使an≥0成 立的最大n即可.这是因为:当an>0时,Sn>Sn-1,即Sn 单调递增;当an<0,Sn<Sn-1,即Sn单调递减.

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