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圆的标准方程及切线问题


求曲线方程的一般步骤:

(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任 意一点M的坐标
(2)写出适合条件P的点M的集合 P={M | p(M)}; (3)用坐标表示条件p(M),列出方程 f(x,y)=0 (4)化方程 f(x,y)=0为最简形式

建系、设点 条件立式 代换

化简方程
查缺补



(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲 线上的点。

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点, 根据定义,点M到圆心C的 距 离等于r,所以圆C就是集合 y M

r
C x

P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式,点M适 合的条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 O 说明: 1、特点:明确给出了圆心 坐标和半径。

2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。

练习:1、写出下列各圆的方程:

(1)圆心在点C(3, 4 ),半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
补充练习:

(x-3)2+(y-4)2=5
(x-8)2+(y+3)2=25

写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2 (1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|

例1:求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的 y 圆的方程。

解:设所求圆的方程为:
(x-1)2+(y-3)2=r2
C M

因为圆C和直线3x-4y-7=0相切
所以圆心C到这条直线的距离等 于半径r 根据点到直线的距离公式,得
r= | 3×1— 4×3 — 7 | 32+(-4)2 因此,所求圆的方程是 = 16 5 256 = 25 O

x

(x-1)2+(y-3)2

练习2: 已知一个圆的圆心在原点,并与直线4x+3y-70=0相 切,求圆的方程。 x 2+y2=196

例2 已知圆的方程是 x ? y ? r ,求经过圆上一点
2 2 2

M ( x 0 , y 0 ) 的切线的方程。

解:设切线的斜率为 k, k ? 则 kOM ? y0 , x0 k ?-

1 kOM

.

x0 . y0

y
M ( x0 , y 0 )

经过点M的切线方程是 x - y0 ? - 0 ( x - x0 ), y y0
2 2 M在圆上,所以 x0 ? y0 ? r 2 , 因为点

O
过 圆 上 一 点 作 切 线

x

所求的切线方程是 x0 x ? y0 y ? r 2 .
当点M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用.

例2 已知圆的方程是 x ? y ? r ,求经过圆上一点 y
2 2 2

M ( x 0 , y 0 ) 的切线的方程。

P(x , y )
M ( x0 , y 0 )

解法二(利用平面几何知识): 在直角三角形OMP中 由勾股定理:OM2+MP2=OP2 O

x

x0x +y0 y = r2

例2 已知圆的方程是 x ? y ? r ,求经过圆上一点 y
2 2 2

M ( x 0 , y 0 ) 的切线的方程。

解法三(利用平面向量知识):

P(x , y )
M ( x0 , y 0 )

OM

MP

OM MP= 0

O

x

x0x +y0 y = r2 x2 + y2 = r2

过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为:
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

例3、若圆方程为 x 2 ? y 2 ? r 2点 P ( x 0 , y 0 ) 在圆外, 求过点P与圆相切的直线方程。 解:1)验证 x ? x 0 即斜率k不存在时直线是否与圆相切。 过 圆 外 一 点 作 切 线 2)设切线的斜率为k ,则直线方程为

y - y 0 ? k ( x - x0 )
所以,圆心到切线的距离为

p

y

B A o
x

d ?

kx 0 - y 0 1? k
2

?r

解出k,进而求出切线方程。

例4、已知圆切线的斜率为k,求证:圆的切线方程为

y ? kx ? r 1 ? k

2

证明:设切线方程为 y=kx+b,则圆心到切线的距离为

d ?

b 1? k
2

?r

y

已 知 2 切 ? b ? r 1? k 线 斜 2 率 ? b ? ?r 1? k 求 切 2 ? 直线方程 y ? kx ? r 1 ? k 线

x

对于平面几何中的切割线定理与圆内相交弦定理,如图,两个定 理有统一的形式:PA*PB=PC*PD=K(常量)且有以下结论; 当P点在圆外时,常量K就是通过P点的切线长PT的二次 P 2 K ? PT ;当P点在圆内时,常量是与过点P的直 幂,即 1 径垂直的弦长T T ?一半的平方,即 k ? ( T T ?) 2 A 2 用解析几何阐述一下上述定理: C 设圆的方程为:
f ( x , y ) ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E - 4 F ? 0 ),
2 2 2 2

T B D A C P D B
切 线 长

点 P ( x 0 , y 0 )是平面上任意一点

.

| 若P点在圆外,则过P点的圆的切线长: PT |?
| PT |? - f ( x0 , y0 )

f ( x0 , y0 )

若P点在圆内,则过P点且与过P点的直径垂直的弦长的一半

证明只需要用到勾股定理即可。
显然,若P点在圆上,则
f ( x0 , y0 ) ? 0

当 f ( x 0 , y 0 ) ? 0时 , 一方面由 f ( x 0 , y 0 )的符号即可知 内或圆外 , 另一方面它有上述定理 的几何意义

P 点在圆

例5、如图,过圆外一点P(a,b)作圆 x 2 ? y 2 ? k 2 的两条切线,切点 为A、B,求直线AB的方程。 y 解:设切点A、B的坐标分别为( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) 则切线AP、BP的方程分别为
P

x1 x ? y1 y ? k ,
2

x2 x ? y2 y ? k
P ( a , b ),
2

2
A

切 点 弦

? 这两条切线都过点

B O

? ax 1 ? by 1 ? k ,

ax 2 ? by 2 ? k

2

x

A 由以上二式可以看出: ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 都适合方程

ax ? by ? k ?

2

它是一条直线方程,而过A、B的直线只有一条。
直线 AB 的方程为 ax ? by ? k
2

练习3:写出过圆x2+y2=10 上一点 M(2,
2x + 6 y =10 练习4:已知圆的方程是x2+y2=1,求: (1)斜率等于1的切线的方程;

6) 的切线方程。

提示:设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离等于半 径1,得: |b| =1 解得b=± 2 12+(-1)2 所以切线方程为:y = x± 2

(2)在y轴上截距是 2 的切线方程。
y = ± x+ 2

例6:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长 y 度(精确到0.01m)
解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。

x

把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 解得:b= -10.5 r2=14.52 2+(0-b)2=r2 10 所以圆的方程是: x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

课后思考题:

1、求圆心C在直线 x+2y+4=0 上,且过两定点A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。 4 2 50 4 2 (x+ ) +(y+ )= 3 9 3
2、从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线,求切线方 程。

x+3y=10 或 3x-y=10

小结
(1) 圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0,圆的标准方程为: x2 + y2 = r2

(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,因此必须具 备三个独立的条件才能确定圆;对于由已知条件容易求得圆心 坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实 际问题。


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