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2016新课标压轴理科数学


理科数学
一、选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,中有一项是符合题目要求 的.
1.已知随机变量 服从正态分布 A.0.954B.0.977C.0.488 D.0.477 , ,则

2.对任意复数 z ? x ? yi( x, y ? R) ,i 为虚数单位,则下列结论正确的是()

/>A. z ? z ? 2 y B. z 2 ? x 2 ? y 2 C. z ? z ? 2 x D. z ? x ? y
3.已知映射 f : A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 得 f : x ? k ,则 k 的取值范围是( ) A. k ? 0 B . k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 0

f : x ? y ?| x | 2 ,若对实数 k ? B ,在集合 A 中不存在元素 x 使

1

4.已知函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? ,其中 ? 为实数,若 f ?x ? ? f ?

?? ? ? 对 x ? R 恒成立, ?6?

且 f?

?? ? ? ? f ?? ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 ?2?

A. ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

?? ? ?k ? Z ? , ?k ? Z ? B. ?k? , k? ? ? , ? 2? 6? ?
D. ?k? ?

C. ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? , ?k ? Z ? 3 ? ?

? ?

?

? , k? ? , ?k ? Z ? 2 ?

y C D F A O M B E x

5.如图,已知圆 M : ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 ,四边形 ABCD 为圆 M 的内接正方形, E、 F 分别为 边 AB、AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动时, ME ? OF 的取值范围是() A. [?6 C. [?3
???? ??? ?

2,6 2]

B. [?6, 6] D. [?4, 4]

2,3 2]

x2 y2 6.在区间 [1, 5] 和 [2, 4] 上分别取一个数,记为 a , b .则方程 2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上 a b
且离心率小于

3 的椭圆的概率为 B 2
32 32

A . 1 B . 15 C . 17 D . 31
2 32
7、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O ? x yz 中的坐标分别是(0,0,0) , (1,2, 0) , (0,2,2) , (3,0,1) ,则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为( )

5 7 C. 2 D. 2 2 8、阅读程序框图,若输入 m=4,n=6, ,则输出 a,i 分别是(
A. 3 B.



A. a ? 12, i ? 3 C. a ? 8, i ? 3

B. a ? 12, i ? 4 D. a ? 8, i ? 4

9 、 设 数 字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 的 一 个 排 列 为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 若 对 任 意 的 ai (i

? 2,3,4,5,6) 总 有

ak (k ? i,k ? 1,2,3,4,5) 满足 | ai ? ak |? 1, 则这样的排列共有(
A.36 10. 过曲线 C1 : B.32
2 2



C.28

D.20

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,设切点为 M,延长 F1M 交曲 2 a b 2 C 线 C3 : y ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中 C1、C3 有一个共同的焦点,若 MF 1 ? MN ,则曲线 1 的离心率为
A.

5

B.

5 ?1

C.

5 ?1

D.

5 ?1 2

11、若实数 a,b,c,d 满足 (b ? a 2 ? 3ln a) 2 ? (c ? d ? 2) 2 ? 0 , 则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小值为(B ) A. 2 B.9 C.8 D.2

? 1 ?x? , x ? 0 2 12.已知函数 f ( x) ? ? ,则关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 5 个不同实数解的充要条件是 x ?0, x?0 ?
A. b ? ? 2 且 c ? 0 B. b ? ? 2 且 c ? 0 C. b ? ? 2 且 c ? 0 D. b ? ? 2 且 c ? 0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 已 知 ( x
2

?

i n ) 的 展 开 式 中 第 三 项 与 第 五 项 的 系 数 之 比 为 ? 3 , 其 中 i 2 ? ?1 , 则 展 开 式 中 常 数 项 是 14 x

______________.

14.当 x,y 满足

时,则 t=x﹣2y 的最小值是

15.已知

是曲线

的两条互相平行的切线,则 与 的距离的最大值为_____.

16.如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 的中点,P 为以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任 意一点,设向量 =λ +μ ,则 λ+μ 的最小值为___.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.

18.如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 已知 AB ? 侧面BB1C1C ,AB ? BC ? 1 ,

3 (Ⅰ)求证: C1B ? 平面ABC ;
小为 30? ,试求 ? 的值. (Ⅱ)设 CE ? ?CC1 ( 0 ? ?

BB1 ? 2 , ?BCC1 ?

?

.

B1 C1

A1

??? ?

???? ?

? 1 ),且平面 AB1 E 与 BB1 E 所成的锐二面角的大

B C
19.根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量 X 工期延 误天数 Y 0 2 6 10 历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9.求: (Ⅰ)工期延误天数 Y 的均值与方差; (Ⅱ)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900

A

y

y ? x2

20.如图所示,已知过一点 P (1 , ? 1) 作抛物线 y ? x 2 的两条切线,切点分别为 点 P 的直线 l 与抛物线 y ? x 2 和线段 AB 分别相交于两点 C 、 D 和点 Q .

A 、 B ;过

l

D

(Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试问:线段 PC 、 PQ 、 PD 的长度的倒数是否构成等差数列?请加以证明.

Q A O

C P

B x

21.函数 f ( x ) ? 底数).

2 a ? ln x ,若曲线 f ( x ) 在点 (e , f (e)) 处的切线与直线 e x ? y ? e ? 0 垂直(其中 e 为自然对数的 x

(1)若 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值,求实数 m 的取值范围; (2)求证:当 x ? 1 时,

f ( x) 2e x ?1 ? . e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM ,

M 为切点,过 PM

的中点 N ,作割线 NAB ,交圆于

A、

B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O
于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,已知圆 的圆心 (Ⅰ)求圆 的极坐标方程; (Ⅱ)若 ,直线 的参数方程为 ( 为参数) ,直线 交圆 ,半径 .



两点,求弦长

的取值范围.

24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 ⑴ 已知 a , b 都是正数,且 a ? b ,求证: a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ;

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ≥ abc . ⑵已知 a, b, c 都是正数,求证: a?b?c

理科数学答案
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A 2. D 3. D 4. C 5. B 7. A 8. B 9. B 10. D 11. C 简答与提示: 1.【知识点】正态曲线的性质的应用 【答案解析】A

6.B 12C.

P ? ?2 ? ? ? 2? ? 1? 2P ?? ? 2? ? 1? 2 ? 0.023 ? 0.954.

2 答案:D 5. 【 知 识 点 】 圆 的 方 程 ; 向 量 在 几 何 中 的 应 用 ; 向 量 的 运 算 . 2 2 【 答 案 解 析 】 B 解 析 : 解 : 因 为 圆 M: ( x-3 ) + ( y-3 ) =4 , 圆 心 的 坐 标 ( 3 , 3 ) 半 径 为 2. ???? ???? ???? ????? ???? ? ???? ????? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ME ? OF ? ME? OM ? MF ? ME ? OM? ME ? MF ? ME ? MF? ME? MF ?0

???? ???? ???? ???? ? ? ME ? OF ? ME ? OM ? 6cos ?? ? ?OME ? ???6,6? ,所以 B 正确.

?

?

6 依题意知, a > b , e =

<

,即 b >

.如图所示

故所求概率为 P =1-





7 试题分析:根据平行投影的知识可知:该四面体中以 2 的直角梯形,所以面积为 3. 9 如果 1 不在前左边,则 2 必须在 1 的左边

平面为投影面的正视图为一个上底为 1,下底为 2,高为

(1)23456 的次序保存不变,变化 1 的位置(123456)(213456)(231456)(234156)(234516)(234561) (2)3456 次序不变,1 和 2 的次序为 21(同时 3 必须在 21 的左边) (321456)(324156)(324516)(324561)(342156)(342516)(342561)(345216)(345261)(345621) (3)456 次序不变(432156)(432516)(432561)(435216)(435261)(435621)(453216)(453261) (453621)(456321) (4)56 次序不变(543216)(543261)(543621)(546321)(564321) (5)6 在最左(654321)32 种可能 注:这题本身也有趣. 注意到当只有一个数时,可能排列为 1,即 2 的 0 次,记 2^0 当有两个数 1 和 2 时,排列为 12,或 21,为两种,2^1 当 123 时,排列为 4=2^2 当数字为 4 个时,排列为 8=2^3 5 个数时,排列为 16=2^46 个数时,排列为 32=2^5n 个数时,排列为 2^n-1

11.【答案解析】B 解析:解:∵ 实 数 a 、 b 、 c 、 d 满 足 : ( b+a 2 -3lna ) 2 + ( c-d+2 ) 2 =0 , ∴ b+a 2 -3lna=0 , 设 b=y , a=x , 则 有 : y=3lnx-x 2 , 且 c-d+2=0 , 设 c=x , d=y , 则 有 : y=x+2 , ∴ ( a-c ) 2 + ( b-d ) 2 就 是 曲 线 y=3lnx-x 2 与 直 线 y=x+2 之 间 的 最 小 距 离 的 平 方 值 , 3 对 曲 线 y=3lnx-x 2 求 导 : y ′ ( x ) = -2x , x 3 3 与 y=x+2 平 行 的 切 线 斜 率 k=1= -2x , 解 得 : x=1 或 x=- ( 舍 ) , x 2 把 x=1 代 入 y=3lnx-x 2 , 得 : y=-1 , 即 切 点 为 ( 1 , -1 ) , 切 点 到 直 线 y=x+2 的 距 离 :

1 ? 1? 2 2

=2 2 ,

∴ ( a-c ) 2 + ( b-d ) 2 的 最 小 值 就 是 8 . 故 选 : B . 【思路点拨】由 题 设 b+a 2 -3lna=0 , 设 b=y , a=x , 得 到 y=3lnx-x 2 ; c-d+2=0 , 设 c=x , d=y , 得 到 y=x+2 , 所 以( a-c )2 +( b-d )2 就 是 曲 线 y=3lnx-x 2 与 直 线 y=x+2 之 间 的 最 小 距 离 的 平 方 值 ,由 此 能 求 出( a-c ) 2 + ( b-d ) 2 的 最 小 值 .

13

的展开式的通项公式为:

,因为第三项与第五项的系数之比为 得 所以常数项为第 9 项,所以展开式中的常数项为

,所以



14. 根据题意,首先画可行域,再分析可得 t 为目标函数纵截距一半的相反数,最后画直 线 0=x﹣2y,平移直线过 A(0,2)时 t 有最小值即可. 解:画可行域如图,z 为目标函数 t=x﹣2y, 可看成是直线 t=x﹣2y 的纵截距一半的相反数, 画直线 0=x﹣2y,平移直线过 A(0,2)点时,t 有最小值﹣4, 故答案为:﹣4.

15.【知识点】导数几何意义的应用。 【答案解析】 2 2 解析:解:设两切点: ? x1 ,

? ?

1? ? 1? ? , ? x2 , ? ? x1 ? x2 ? ,由 x1 ? ? x2 ?

f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? 的 x2 ? ? x1 ,两切线方程为: x ? x12 y ? 2x1 ? 0, x ? x12 y ? 2x1 ? 0
距离 d ?

4 x1 x ?1
4 1

?
2

4 x1 ? 1 x1
2

?

4 ? 2 2 ,所以最大距离为: 2 2 2

16.【知识点】基于正方形的平面向量的线性运算【答案解析】 .以 A 为坐标原点建立直角坐标系,设正方形边长为 1,则 E ?

?1 ? ,0 ? , C ?1,1?, D ?0,1 ?, A ?0,0 ?, ?2 ?

设P

? ?cos? ,sin? ? ,则 ? ? ? , ?1? ? ? ? cos ? ,sin ? ? ? ?1,1? , 2 1 ? ?
2sin ? ? 2 cos ? 3 3sin ? ? 3 ,? ? ?1. ,所以 ? ? ? ? 2 cos ? ? sin ? 2 cos ? ? sin ? 2 cos ? ? sin ?
1 ? ?? ,当 cos ? ? 1,sin ? ? 0 时, ? ? ? ? ?min ? . ? 2 ? 2?

解得 ? ?

由于 ? ? ?0,

【思路点拨】 建立直角坐标系, 把涉及向量分别用坐标表示, 通过坐标运算得到关于 ? , ? 的方程组, 分别求出 ? , ? , 再把 ? ? ? 转化为关于变量 ? 的三角函数.

17.解: (1)由 an 由于

2

?an? 是正项数列,所以 an ? n2 ? n .--------------------------------------------3 分
? 1 ? bn 可得当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? 1 ? bn?1 ,两式相减得 bn ? ?bn?1 ,---------------5 分

2 ? (n2 ? n ?1)an ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? an ? (n ? n) ? ? (an ? 1) ? 0 .

--------2 分

由 2Sn

∴数列 {bn } 是首项为 1,公比 ?1 的等比数列,?bn (2)∵ cn ?

? (?1)n?1.

------------------------------------------------------------------7 分

(2n ? 1)bn 2n ? 1 ? (?1)n?1 ? ------------------------------------------8 分 an n(n ? 1) 4n ? 1 4n ? 1 (4n ? 1)(2n ? 1) ? (4n ? 1)(2n ? 1) ? ? 方法一:∴ c2 n ?1 ? c2 n ? 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1)(2n ? 1) 2 1 1 ? ? ? -----------------------------------------------11 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? 1. ?T2 n ? (c1 ? c2 ) ? (c3 ? c4 ) ? ? ? (c2 n ?1 ? c2 n ) ? ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ----------------------------------------------------------------14 分
【方法二:∵ cn ?

(2n ? 1)bn 2n ? 1 1 1 ? (?1)n?1 ? ? (?1)n?1 ? ( ? ) -----------------11 分 an n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ?T2 n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? c2 n ?1 ? c2 n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? 1 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? ) ? 1? ? 1. ---------------------------2n ? 1 2n 2n 2n ? 1 2n ? 1 18.解析: (Ⅰ)因为侧面 AB ? BB1C1C ,

BC1 ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 ,在 ?BCC1 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ? 60?
由余弦定理得:

BC12 ? BC 2 ? CC12 ? 2 BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ? 12 ? 22 ? 2 ? 1? 2 ? cos
所以 BC1 ? 3 ,故 BC ? BC ? CC
2 2 1 2 1 ,所以

?
3

?3


BC ? BC1 ,而

BC ? AB ? B ,?C1B ? 平面 ABC
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, AB, BC, BC1 两两垂直.以 B 为原点, BC, BA, BC1 所在直线为

x, y , z 轴建立空间直角坐标系.
则 B(0,0,0),A(0,1,0), B1 (?1,0, 3),C(1,0,0),C1(0,0, 3) . 所以 CC1 ? (?1,0, 3) ,所以 CE ?(??,0, 3? ) ,? E(1 ? ?,0, 3? ) 则 AE ? (1 ? ?, ?1, 3? ) , AB1 ? (?1, ?1, 3) .

???? ?

??? ?

??? ?

????

设平面 AB1E 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

?

? ??? ? ? ? n ? AE ( ? 1-? ) x ? y ? 3? z ? 0 ? ? ? ???? ? ? x ? y ? 3z ? 0 ?n ? AB1 ? 则? ,? ,
令 z ? 3 ,则 x ? 向量.

? 3 ? 3? 3 3 ? 3? 3 ,y? , , 3) 是平面 AB1E 的一个法 ,? n ? ( 2?? 2?? 2?? 2??

? AB ? 平面 BB1C1C , BA ? (0,1,1) 是平面 BEB1 的一个法向量,

??? ?

? ??? ? ? ? ??? n ? BA ? cos? n, BA? ? ? ??? ? ? n BA

1? (

3 ? 3? 2 3 2 ) ?( ) ? ( 3) 2 2?? 2??

3 2??

?

3 2
.

3 2 两边平方并化简得 2? ? 5? ? 3 ? 0 ,所以 ? ? 1 或 ? ? (舍去) 2

(1)由已知条件和概率的加法公式有: , . . 所以 的分布列为: 0 0.3 于是, 2 0.4 6 0.2 ; . 故工期延误天数 又 的均值为 3,方差为 .(2)由概率的加法公式, .由条件概率,得 10 0.1



故在降水量 X 至少是
解(Ⅰ)设 A(m , m
2

mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是

) ,则 y / |x?m ? 2m ,过点 A(m , m 2 ) 处的切线方程为 y ? m2 ? 2m( x ? m) ,由 P(1 , ?1) 代
A(1 ? 2 , 3 ? 2 2) , B(1 ? 2 , 3 ? 2 2) , 由 两 点 式 得 到 直 线 AB 的 方 程 为
? y ? kx ? k ? 1 ?y ? x
2

入 切 线 方 程 得 m ? 1? 2 即 y ? 2 x ? 1 ………………5 分

(Ⅱ)设直线 l: ,C y ?1 ? ( k x ?1 ) (x1 , y1) , D (x2 , y2) , Q (x3 , y3), 由 ?
x1 ? x2 ? k ,x1 x2=k+1

得 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 。 ∴

又由 ?
PC

? y ? kx ? k ? 1 k +2 4 得到 x3= 即 1 ? x3= 。………………7 分 k -2 2?k ? y ?2x+1
PD 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 ? 1 ) ………………9 分 1 ? x2

∴ PQ ? PQ ? 1 ? x3 ? 1 ? x3 ? 1 ? x3 ( 1 ∵ 1 ? x3 , 1 ? x2 , 1 ? x1 是同号 ∴

PQ PQ 1 ? x3 1 ? x3 2 ? ( x1 ? x2 ) 1 1 ? ? ? ? 1 ? x3 ? ? 1 ? x3 PC PD 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2
PC PD 4 2?k ? 2 ………………12 分 2?k 2

即 PQ ? PQ ? ∴

1 1 2 ? ? PC PD PQ



1 1 1 成等差数列 、 、 PC PQ PD

即线段 PC 、 PQ 、 PD 的长度的倒数构成等差数列。………………

1 ? a ? ln x x2 1 a 1 由已知 f ?(e) ? ? 2 ∴ - 2 ? ? 2 得 a ? 1 ………2 分 e e e 1 ? ln x ln x ∴ f ( x) ? f ?( x) ? ? 2 ( x ? 0) x x 当 x ? (0,1)时, f ?( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数。 ∴ x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点………4 分 又 f ( x) 在 (m, m ? 1) 上存在极值 ∴ m ? 1 ? m ?1 即0 ? m ? 1 故实数 m 的取值范围是 ………5 分 (0,1 )
21.解: (1)∵ f ?( x) ?

f ( x) 2e x ?1 (2) ? e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)
即为

( x ? 1)(ln x ? 1) x [( x ? 1)(ln x ? 1)]? x ? ( x ? 1)(ln x ? 1) x ? ln x 则 g ?( x) ? ? x2 x2 1 x ?1 再令 ?(x) ? x ? ln x 则 ? ?(x) ? 1? ? x x x ? 1 ( 1 , ? ? ) ? ∵ ∴ ? ( x) ? 0 ∴ ? ( x) 在 上是增函数 ∴ ? ( x) ? ? (1) ? 1 ? 0 ∴ g ?( x) ? 0 ( 1, ? ?) ∴ g ( x) 在 上是增函数 g ( x) 2 ∴ x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 2 故 ………9 分 ? e ?1 e ?1
令 g ( x) ?

1 (x ? 1)(ln x ? 1) 2e x ?1 ? x ………6 分 e ?1 x xe ? 1

2e x ?1 令 h( x ) ? xe x ? 1
e x ?1 ( xe x ? 1) ? ( xe x ? 1)?e x ?1 2e x ?1 (1 ? e x ) ? ( xe x ? 1) 2 ( xe x ? 1) 2 ( 1, ? ?) ∵ x ? 1 ∴ 1 ? e x ? 0 ∴ h?( x) ? 0 即 h( x) 上是减函数
则 h?( x) ? 2 ∴ x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 所以

2 ………11 分 e ?1
x ?1

f ( x) 2e g ( x) ? ………12 分 ? h( x) , 即 e ?1 e ? 1 ( x ? 1)(xe x ? 1)

22.证明:(1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点, PN NA ∴ MN 2 ? PN 2 ? NA ? NB , ∴ , ? BN PN 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP . ………5 分 (2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP ,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP , ∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP ,

∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. 【知识点】直角坐标和极坐标互化、直线的参数方程的的应用 【答案解析】 (Ⅰ)设圆上任意一点坐标 , 整理得: (Ⅱ)∵ ,∴ . , ,由余弦定理得:

………10 分

将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得: , 整理得: ∴ ∴ , , ,



,∴

,∴

.

【思路点拨】 (I)利用余弦定理得到关于

的圆的极坐标方程; (II)先把圆的极坐标方程转化为普通方程,再

结合直线参数方程中参数的意义确定弦长. 1. 【命题意图】 本小题主要考查不等式证明的相关知识, 具体涉及到利用比较法等证明方法.本小题重点考查考生 的逻辑思维能力与推理论证能力. 【试题解析】解: (1)证明: (a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? (a ? b)(a ? b)2 . 因为 a , b 都是正数,所以 a ? b ? 0 . 又因为 a ? b ,所以 (a ? b)2 ? 0 . 于是 (a ? b)(a ? b)2 ? 0 ,即 (a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? 0 所以 a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ; (2)证明:因为 b2 ? c2 ? 2bc, a2 ? 0 ,所以 a2 (b2 ? c2 ) ? 2a 2bc .① 同理 b2 (a2 ? c2 ) ? 2ab2c .② c2 (a2 ? b2 ) ? 2abc 2 .③ ①②③相加得 2(a b ? b c ? c a ) ? 2a bc ? 2ab c ? 2abc
2 2 2 2 2 2 2 2 2

5分

从而 a b ? b c ? c a ? abc(a ? b ? c) .
2 2 2 2 2 2

由 a, b, c 都是正数,得 a ? b ? c ? 0 ,因此

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc . a?b?c

10 分

附加数列预测 已知数列 ?an ? 满足: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

? ... ?

? n ?1

an

? n 2 ? 2n (其中常数 ? ? 0, n ? N * ) .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 ? ? 4 时,数列 ?an ? 中是否存在不同的三项组成一个等比数列;若存在,求出满足条件的三项,若不存在, 说明理由。 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? 3, 当 n ? 2 时,因为 a1 ? 所以: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

?? ?

?

an ?1
n?2

?

?

an
n

? n 2 ? 2n

a2

?

?

?

a3
2

?? ?

?

an ?1
n?2

? (n ? 1) 2 ? 2(n ? 1)

两式相减得到:

? n ?1

an

? 2n ? 1 ,即 an ? (2n ? 1)? n?1 ,又 a1 ? 3 ? (2 ?1 ? 1)?1?1 ,
n ?1

所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? (2n ? 1)? (2)当 ? ? 4 时, an ? (2n ? 1) ? 4
n?1



,假设存在 ar , as , at 成等比数列,

则 (2r ? 1) ? 4r ?1 ? (2t ? 1) ? 4t ?1 ? (2s ? 1)2 ? 42 s ?2 . 整理得 (2r ? 1) ? (2t ? 1) ? 4r ?t ?2 s ? (2s ? 1)2 . 由奇偶性知 r ? t ? 2 s ? 0 r+t-2s=0. 所以 (2r ? 1) ? (2t ? 1) ? (r ? t ? 1)2 ,即 (r ? t )2 ? 0 ,这与 r ? t 矛盾, 故不存在这样的正整数 r , s , t ,使得 ar , as , at 成等比数列.


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