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高二周练7教师版


2012—2013 学年容山中学高二理科数学周练(七)
(内容:1.1—3.2)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.过点(1,0)且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=0 2. 过点 P ( ? 1, 3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( A.
2x ? y ?1 ? 0

) D.
x ? 2y ? 7 ? 0

B.

2x ? y ? 5 ? 0

C.

x ? 2y ? 5 ? 0

3. 已知过点 A ( ? 2, m ) 和 B ( m , 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A.
0



B.

?8

C.

2

D.

10

4.直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 ( ) A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 5.若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( ) A、K1﹤K2﹤K3 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 D、K1﹤K3﹤K2 6.与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( ) A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0 7.若直线 ax + by + c = 0 在第一、二、三象限,则( A. ab>0,bc>0 C. ab<0,bc>0 )

B. ab>0,bc<0 D. ab<0,bc<0 ) C.
?4 2? ? , ? ?5 5?

8.原点关于 x - 2y + 1 = 0 的对称点的坐标为( A.
2? ?4 ? ,- ? 5? ?5

B.

? 2 4? ?- , ? ? 5 5?

D.

4? ?2 ? ,- ? 5? ?5

9. 若 y=a|x|的图象与直线 y=x+a(a>0)有两个不同交点,则 a 的取值范围是 ( ) A.0<a<1 B.a>1 C.a>0 且 a≠1 D.a=1 10.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ? ,切 sin ? ? cos ? ? 0 则 a,b 满足 ( A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.已知 A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线,则 a 的值为___________ 12.若直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 M,N 两点,且 MN 的中点是 P(1,-1) ,则 直线 l 的斜率是___________ 13.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是______________________ 14.经过点(-2,-3) , 在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程是 )

1

答题栏
姓名:_____________________学号:_____________________分数:_____________________
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11._____________________ 13._____________________ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

12._____________________ 14._____________________

15.已知两条直线 l1 : x ? ? 1 ? m ? y ? 2 ? m , l 2 : 2 m x ? 4 y ? ? 1 6 . (1)相交 (2)平行 (3)垂直

m 为何值时, l1与 l 2 :

16.已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) 是 BC 边上的中点。 ,M (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长(3)求 AB 边的高所在直线方程。

17.求与两坐标轴正向围成面积为 2 平方单位的三角形,并且两截距之差为 3 的直线的方程。

2

18.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线方程为:x-2y+1=0,∠A 的平分线所在直线方程为:y=0, 若点 B 的坐标为(1,2) ,求点 A 和 C 的坐标.

D 19 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C 中 , 底 面

A B C D 矩 形 . 已 知 是

AB ? 3 , AD ? 2 , PA ? 2 , PD ? 2 2 , ? PAB ? 60 .

?

(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. (Ⅰ)证明:在 ? PAD 中,由题设 PA ? 2 , PD ? 2 2 可得
PA
2

? AD

2

? PD

2

于是 AD ? PA .在矩形 ABCD 中,AD ? AB .

又 PA ? AB ? A , 所以 AD ? 平面 PAB . (Ⅱ)解:由题设, BC // AD ,所以 ? PCB (或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 ? PAB 中,由余弦定理得
PB ?
2

PA

? AB

2

? 2 PA ? AB ? cos PAB ?

7

由(Ⅰ)知 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB ,因而 BC ? PB ,于是 ? PBC 是直角三角形,故
tan PCB ? PB BC ? 7 2 7 2



所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 arctan



(Ⅲ)解:过点 P 做 PH ? AB 于 H,过点 H 做 HE ? BD 于 E,连结 PE 因为 AD ? 平面 PAB , PH ? 平面 PAB ,所以 AD ? PH .又 AD ? AB ? A , 因而 PH ? 平面 ABCD ,故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知, BD ? PE ,从而 ? PEH 是二面角 P ? BD ? A 的平面角。 由题设可得,
PH ? PA ? sin 60
?

?

3 , AH ? PA ? cos 60 AB
2

?

? 1, 13 ,

BH ? AB ? AH ? 2 , BD ? HE ? AD BD ? BH ? 4 13

? AD

2

?

于是再 RT ? PHE 中, tan PEH ?

39 4

3

所以二面角 P ? BD ? A 的大小为 arctan

39 4


?
4

? 20. 如图, 在四棱锥 O ? A B C D 中, 底面 A B C D 四边长为 1 的菱形, A B C ?
O A ? 2 , M 为 O A 的中点, N 为 B C 的中点

, OA ? 底 面 ABCD ,

(Ⅰ)证明:直线 M N ‖ 平 面 O C D ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE
? M E‖ AB,AB ‖ C D, M E‖ C D ?

又? N E‖ O C ,? 平 面 M N E‖ 平 面 O C D
? M N‖ 平 面 O C D

(2)? C D‖ AB,
∴ ? M D C为异面直线 A B 与 M D 所成的角(或其补角)

作 A P ? C D 于 P , 连接 M P
∵ OA ? 平 面 A B C D , CD ? MP ∴

∵ ?ADP ?

?
4

,∴ D P =

2 2

MD ?

M A ? AD
2

2

?

2 ,∴ co s ? M D P ?

DP MD

?

1 2

,?MDC ? ?MDP ?

?
3

所以 A B 与 M D 所成角的大小为

?
3

∴ (3)∵ A B‖ 平 面 OCD, 点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作
A Q ? O P 于点 Q,∵ A P ? C D , O A ? C D ,∴ C D ? 平 面 O A P ,∴ A Q ? C D

又 ∵ A Q ? O P ,∴ A Q ? 平 面 O C D ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离
1 2 3 2 2
2 2

∵ OP ?

OD ? DP
2

2

?

OA ? AD ? DP
2 2

2

?

4 ?1?

?

, AP ? DP ?

∴ AQ ?

O A ?A P OP

2? ? 2

2 2 ? 2 3

,所以点 B 到平面 OCD 的距离为

2 3

3 2

4

立体几何知识点整理
姓名:
l

一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行
l α

m α

符号表示:
α
l A

β

l

2. 线面相交

α

符号表示: 3. 线在面内
l

n

l

α

α

符号表示:

二.平行关系: 1. 线线平行: 方法一:用线面平行实现。
l ?
α β l' m' m l

?

m

? ? l? ? ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

l // ?

l

方法二:用面面平行实现。
l β γ α

β α

m

? // ?
m

? ? ? ? ? ? l ? ? l // m ? ? ? ? m? ?

方法三:用线面垂直实现。 若 l ? ? , m ? ? ,则 l // m 。 方法四:用向量方法:
5

l α A C B

若向量 l 和向量 m 共线且 l、m 不重合,则 l // m 。

2. 线面平行: 方法一:用线线平行实现。
? ? m ? ? ? ? l // ? l ? ? ? ? l // m

方法二:用面面平行实现。
? // ? ?
? ? l // ? l ? ??

方法三:用平面法向量实现。 若 n 为平面 ? 的一个法向量, n ? l 且 l ? ? ,则 l // ? 。 3. 面面平行: 方法一:用线线平行实现。
? ? m // m ' ? ? ? ? // ? 方法二:用线面平行实现。 l , m ? ? 且相交 ? l ' , m ' ? ? 且相交 ? ? l // l '
l // ? ? ? m // ? ? ? ? // ? l , m ? ? 且相交 ? ?

三.垂直关系: 1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。
l ? AC ? ? l ? AB ? ?? l ?? AC ? AB ? A ? AC , AB ? ? ? ?

方法二:用面面垂直实现。

6

β

? ? ?

l m

? ? ? ? ? ? m ?? l ?? l ? m,l ? ? ? ?

α
2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。
C
β l

l ?? ? ?? ? ? ? l ? ??

θ A B

α

方法二:计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。
l m α

l ?? ? ?? l ? m m ? ??

方法二:三垂线定理及其逆定理。

P A O l

PO ? ? ? ? l ? OA ? ? l ? PA ? l ?? ?

α

方法三:用向量方法: 若向量 l 和向量 m 的数量积为 0,则 l ? m 。 三.夹角问题。 (一) 异面直线所成的角: (1) 范围: ( 0 ? , 90 ? ] (2)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。
α A P θ O

n

步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理)
7

余弦定理:
a
cos ? ? a ?b ?c
2 2 2

c b

θ

2 ab

(计算结果可能是其补角) 方法二:向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角):
cos ? ? AB ? AC AB ? AC

(二) 线面角 (1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外) ,作 PO ? ? 于 O,连结 AO,则 AO 为斜线 PA 在面 ? 内 的射影, ? P A O (图中 ? )为直线 l 与面 ? 所成的角。
P A θ

α

O

(2)范围: [ 0 ? , 90 ? ] 当 ? ? 0 ? 时, l ? ? 或 l // ? 当 ? ? 90 ? 时, l ? ? (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:作出线面角,并证明。 步骤 2:解三角形,求出线面角。 方法二:向量法( n 为平面 ? 的一个法向量)。
sin ? ? cos ? n , AP ?
n ? AP ? n ? AP

(三) 二面角及其平面角 (1)定义:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角 ? 为
8

二面角 ? —l— ? 的平面角。
? ? ? m P n l

(2)范围: [ 0 ? ,180 ? ] (3)求法: 方法一:定义法。 步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。 步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。 方法二:截面法。 步骤 1:如图,若平面 POA 同时垂直于平面 ? 和 ? ,则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面角。 步骤 2:解三角形,求出二面角。
β P θ α O A

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

n1 θ

n2

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n 2 步骤一:计算 co s ? n1 ? n 2 ? ? ?? ?? ? n1 ? n 2

步骤二:判断 ? 与 ? n1 ? n 2 ? 的关系,可能相等或者互补。 四.距离问题。 1.点面距。 方法一:几何法。

?? ?? ?

9

P

? A

O

步骤 1:过点 P 作 PO ? ? 于 O,线段 PO 即为所求。 步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法) 方法二:坐标法。
n θ α A P O
? n

d ? AP ? cos ? n ? AP ?
n ? AP

2.线面距、面面距均可转化为点面距。 3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。
m

?

n

如图,m 和 n 为两条异面直线, n ? ? 且 m // ? ,则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面 ? 之间的距离。 方法二:直接计算公垂线段的长度。 方法三:公式法。
B c a A m

d n ? b D m'

C

如图,AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段, m // m ' ,则异面直线 m 和 n 之间的距离为:
d ? c ? a ? b ? 2 ab cos ?
2 2 2

五.空间向量 (一)空间向量基本定理 若向量 a , b , c 为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量 p ,都存在唯一的有序实数对
x 、 y 、 z ,使得 p ? x a ? y b ? z c 。

(二) 三点共线,四点共面问题
10

1. A,B,C 三点共线 ?
??? ? ??? ? ???? O A ? xO B ? y O C ,且 x ? y ? 1

当x ? y ?

1 2

时,A 是线段 BC 的

A,B,C 三点共线 ? AB ? ? AC 2. A,B,C,D 四点共面 ?
??? ? ??? ? ???? ???? O A ? x O B ? y O C ? z O D ,且 x ? y ? z ? 1

当x ? y ? z ?

1 3

时,A 是△BCD 的

A,B,C,D 四点共面 ? AB ? x AC ? y AD (三)空间向量的坐标运算 1. 已知空间中 A、B 两点的坐标分别为:
A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则:
??? ? AB ?

; d A,B ? A B ?
?

??? ?

2. 若空间中的向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则a ? b ?
? ? a ?b ? ? ? ? ? a?b ? ? ? co s ? a ? b ? ?

六.常见几何体的特征及运算 (一) 长方体 1. 长方体的对角线相等且互相平分。 2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为 ? 、 ? 、 ? ,则 cos ? +cos
2 2

? +cos

2

? ?

α β

γ

β α γ
2 2 2

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为 ? 、 ? 、 ? ,则 co s ? + co s ? + co s ? ? 3.若长方体的长宽高分别为 a、b、c,则体对角线长为 ,表面积为 ,体积为 。

(二) 正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
11

(三) 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。 (四) 正多面体:每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体) (五) 棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的 平方比。 正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 (六) 体积: V 棱柱 ? (七) 球 1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。 2. 设球半径为 R,小圆的半径为 r,小圆圆心为 O1,球心 O 到小圆的距离为 d,则它们三者之间的 数量关系是 。
V 棱锥 ?

3. 球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。 4.球的表面积公式: 体积公式:

12


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