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人教版高一数学必修一教案


_1.1

集__合

1.1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义

集合的概念

[提出问题] 观察下列实例: (1)山东天成书业集团的所有员工; (2)平面内到定点 O 的距离等于定长 d 的所有的点;
?x+1≥3 ? (3)不等式组? 2 的整数解; ?x ≤9 ?

>
(4)方程 x2-5x+6=0 的实数根;
1

(5)某中学所有较胖的同学. 问题 1:上述实例中的研究对象各是什么? 提示:员工、点、整数解、实数根、较胖的同学. 问题 2:你能确定上述实例的研究对象吗? 提示:(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定. 问题 3:上述哪些实例的研究对象不能确定?为什么? 提示:(5)的研究对象不能确定,因为“较胖”这个标准不明确,故无法确定. [导入新知] 元素与集合的概念 定义 元素 集合 一般地,我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为 集) 表示 通常用小写拉丁字母 a,b,c,?表示 通常用大写拉丁字母 A,B,C,?表示

[化解疑难] 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明,因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念,这与 我们初中学过的点、直线等概念一样,都是用描述性语言表述的. (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛,现实生活中我们看到的、听到的、闻到 的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等,都可以看作“对象”,即集合 中的元素. 元素的特性及集合相等

[提出问题] 问题 1:上述实例(3)组成的集合的元素是什么? 提示:2,3. 问题 2:上述实例(4)组成的集合的元素是什么? 提示:2,3. 问题 3:实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系? 提示:相等. [导入新知] 1.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2.集合元素的特性
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集合元素的特性:确定性、互异性、无序性. [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性:是指作为一个集合的元素必须是明确的,不能确定的对象不能构成集合.也 就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的. (2)互异性:对于给定的集合,其中的元素一定是不同的,相同的对象归入同一个集合时 只能算作集合的一个元素. (3)无序性:对于给定的集合,其中的元素是不考虑顺序的.如 1,2,3 与 3,2,1 构成的集合 是同一个集合.

元素与集合的关系及常用数集的记法

[提出问题] 某中学 2013 年高一年级 20 个班构成一集合. 问题 1:高一(6)班、高一(16)班是这个集合的元素吗? 提示:是这个集合的元素. 问题 2:高二(3)班是这个集合中的元素吗?为什么? 提示:不是.高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素. [导入新知] 1.元素与集合的关系 (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a?A. (2)如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a?A. 2.常用的数集及其记法 常用的数集 记法 自然数集 N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

[化解疑难] 1.对∈和?的理解 (1)符号“?”“?”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素 a 与一个集合 A 而 言,只有“a?A”与“a?A”这两种结果. (2)?和?具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如 R?0 是错误的. 2.常用数集关系网

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? ? 正整数集N ? ?有理数集Q?整数集Z? {0} ?负整数集 实数集 R? ?分数集 ? ?无理数集

*

? ? ?自然数集N ? ?

集合的基本概念 [例 1] (1)下列各组对象:①接近于 0 的数的全体;②比较小的正整数的全体;③平面上 到点 a 的距离等于 1 的点的全体;④正三角形的全体;⑤ 2的近似值的全体.其中能构成集 合的组数是( A.2 C.4 ) B.3 D.5

(2)判断下列说法是否正确,并说明理由. ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合; 1 3 6 1 - ?, 组成的集合有五个元素; ②由 1, , ,? 2 4 ? 2? 2 ③由 a,b,c 组成的集合与由 b,a,c 组成的集合是同一个集合. [解析] (1)“接近于 0 的数”“比较小的正整数”标准不明确,即元素不确定,所以①

②不是集合.同样,“ 2的近似值”也不明确精确到什么程度,因此很难判定一个数,比如 2 是不是它的近似值,所以⑤也不是一个集合.③④能构成集合. [答案] A (2)[解] 成集合. 1 3 6 1 3 1 - ?= ,由集合中元素的互异性知,这个集合是由 1, , 这 ②不正确.由于 = ,? 2 4 ? 2? 2 2 2 三个元素组成的. ③正确.集合中的元素相同,只是次序不同,所以它们仍表示同一个集合. [类题通法] 判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点 (1)标准:判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象 满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合. (2)关注点: 利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合, 应注意集合中元素的特性,
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①不正确.因为“年轻人”没有确定的标准,对象不具有确定性,所以不能组

即确定性、互异性和无序性. [活学活用] 下列说法正确的是( )

A.小明身高 1.78 m,则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素 B.所有大于 0 小于 10 的实数可以组成一个集合,该集合有 9 个元素 C.平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线 D.任意改变一个集合中元素的顺序,所得集合仍和原来的集合相等 解析:选 D A 中的高个子标准不能确定,因而不能构成集合;B 中对象能构成集合, 但元素有无穷多个;C 中对象构成的是两条直线,D 反映的是集合元素的无序性. 元素与集合的关系 [例 2] (1)设集合 A 只含有一个元素 a,则下列各式正确的是( B.a?A D.a=A ) )

A.0?A C.a?A (2)下列所给关系正确的个数是( ①π?R;② A.1 C.3 [解析]

3?Q;③0?N*;④|-4|?N* B.2 D.4

(1)由元素与集合的关系可知,a∈A. 3是无理数,而 Q 表示有理数集,∴ 3?Q,正确;③N*

(2)①π∈R 显然是正确的;②

表示不含 0 的自然数集,∴0?N*,③错误;④|-4|=4∈N*,④错误,所以①②是正确的. [答案] (1)C (2)B

[类题通法] 判断元素与集合间关系的方法 判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有 的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必具有这个集合的元素的共同 特征. [活学活用] 设不等式 3-2x<0 的解集为 M,下列正确的是( A.0?M,2?M C.0?M,2?M )

B.0?M,2?M D.0?M,2?M

解析:选 B 从四个选项来看,本题是判断 0 和 2 与集合 M 间的关系,因此只需判断 0 和 2 是否是不等式 3-2x<0 的解即可.当 x=0 时,3-2x=3>0,所以 0 不属于 M,即 0?M; 当 x=2 时,3-2x=-1<0,所以 2 属于 M,即 2?M.

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集合中元素的特性及应用 [例 3] 已知集合 A 中含有两个元素 a 和 a2,若 1?A,求实数 a 的值. [解] 若 1?A,则 a=1 或 a2=1,即 a=± 1. 当 a=1 时,a=a2,集合 A 有一个元素, ∴a≠1. 当 a=-1 时, 集合 A 含有两个元素 1,-1,符合互异性. ∴a=-1. [类题通法] 关注元素的互异性 根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能取值,但要时刻关注集合中元素的 三个特性,尤其是互异性,解题后要注意进行检验. [活学活用] 设 A 表示由 a2+2a-3,2,3 构成的集合,B 表示由 2,|a+3|构成的集合,已知 5?A,且 5?B,求 a 的值. 解:∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解之得 a=2 或 a=-4. 当 a=2 时,|a+3|=5,当 a=-4 时,|a+3|=1. 又∵5?B, ∴a=-4.

1.警惕集合元素的互异性 [典例] 若集合 A 中有三个元素,x,x+1,1,集合 B 中也有三个元素 x,x+x2,x2,且 A =B,则实数 x 的值为________. [解析] ∵A=B,
?x+1=x2, ?x+1=x2+x, ? ? ∴? 或? 2 2 ?1=x +x ? ? ?1=x .

解得 x=± 1.经检验,x=1 不适合集合元素的互异性,而 x=-1 适合. ∴x=-1. [答案] -1 [易错防范] 1. 上面例题易由方程组求得 x=± 1 后, 忽视对求出的值进行检验, 从而得出错误的结论.

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2.当集合中元素含字母并要求对其求值时,求出的值一定要加以检验,看是否符合集合 元素的互异性. [成功破障] 若集合 A 中含有三个元素 a-3,2a-1,a2-4,且-3?A,则实数 a 的值为________. 解析:(1)若 a-3=-3,则 a=0,此时 A={-3,-1,-4},满足题意. (2)若 2a-1=-3,则 a=-1,此时 A={-4,-3,-3},不满足元素的互异性. (3)若 a2-4=-3,则 a=± 1.当 a=1 时,A={-2,1,-3},满足题意;当 a=-1 时, 由(2)知不合题意. 综上可知:a=0 或 a=1. 答案:0 或 1

[随堂即时演练] 1.下列说法正确的是( )

A.某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B.由 1,2,3 和 9,1, 4组成的集合不相等

C.不超过 20 的非负数组成一个集合 D.方程(x-1)(x+1)2=0 的所有解构成的集合中有 3 个元素 解析:选 C A 项中元素不确定.B 项中两个集合元素相同,因集合中的元素具有无序 性,所以两个集合相等.D 项中方程的解分别是 x1=1,x2=x3=-1.由互异性知,构成的集 合含 2 个元素. 2. 若以集合 A 的四个元素 a、 b、 c、 d 为边长构成一个四边形, 则这个四边形可能是( A.梯形 C.菱形 B.平行四边形 D.矩形 )

解析:选 A 由于 a、b、c、d 四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边都不相 等. 3.下列说法中 ①集合 N 与集合 N+是同一个集合 ②集合 N 中的元素都是集合 Z 中的元素 ③集合 Q 中的元素都是集合 Z 中的元素 ④集合 Q 中的元素都是集合 R 中的元素 其中正确的有________. 解析:因为集合 N+表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集, R 表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确. 答案:②④ 4.设由 2,4,6 构成的集合为 A,若实数 a?A 时,6-a?A,则 a=________.
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解析:代入验证,若 a=2,则 6-2=4∈A,符合题意;若 a=4,则 6-4=2∈A,符合 题意;若 a=6,则 6-6=0?A,不符合题意,舍去,所以 a=2 或 a=4. 答案:2 或 4 5.已知集合 A 中含有两个元素 x,y,集合 B 中含有两个元素 0,x2,若 A=B,求实数 x,y 的值. 解:因为集合 A,B 相等,则 x=0 或 y=0. (1)当 x=0 时,x2=0,则 B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去. (2)当 y=0 时,x=x2,解得 x=0 或 x=1.由(1)知 x=0 应舍去.综上知:x=1,y=0. [课时达标检测] 一、选择题 1.下列判断正确的个数为( )

(1)所有的等腰三角形构成一个集合. (2)倒数等于它自身的实数构成一个集合. (3)质数的全体构成一个集合. (4)由 2,3,4,3,6,2 构成含有 6 个元素的集合. A.1 C.3 B.2 D.4

1 解析:选 C (1)正确,(2)若 =a,则 a2=1,∴a=± 1,构成的集合为{1,-1},∴(2) a 正确,(3)也正确,任何一个质数都在此集合中,不是质数的都不在.(3)正确,(4)不正确,集 合中的元素具有互异性,构成的集合为{2,3,4,6},含 4 个元素,故选 C. 2.若 a?R,但 a?Q,则 a 可以是( A.3.14 3 C. 7 ) B.-5 D. 7

解析:选 D 由题意知 a 是实数但不是有理数,故 a 应为无理数. 3.下列各组中集合 P 与 Q,表示同一个集合的是( )

A.P 是由元素 1, 3,π 构成的集合,Q 是由元素 π,1,|- 3|构成的集合 B.P 是由 π 构成的集合,Q 是由 3.141 59 构成的集合 C.P 是由 2,3 构成的集合,Q 是由有序数对(2,3)构成的集合 D.P 是满足不等式-1≤x≤1 的自然数构成的集合,Q 是方程 x2=1 的解集 解析:选 A 由于 A 中 P、Q 元素完全相同,所以 P 与 Q 表示同一个集合,而 B、C、 D 中元素不相同,所以 P 与 Q 不能表示同一个集合.故选 A. 4.下列四个说法中正确的个数是( ①集合 N 中的最小数为 1;
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)

②若 a?N,则-a?N; ③若 a?N,b?N,则 a+b 的最小值为 2; ④所有小的正数组成一个集合; ⑤π?Q; ⑥0?N; ⑦-3?Z; ⑧ 5?R. A.0 C.2 B.1 D.3

解析:选 C ①错,因为 N 中最小数是 0;②错,因为 0∈N,而-0∈N;③错,当 a =1,b=0 时,a+b=1;④错,小的正数是不确定的;⑤错,因为 π 不是有理数;⑥错,因 为 0 是自然数;⑦正确,因为-3 是整数;⑧正确,因为 5是实数. 5.由实数-a,a,|a|, a2所组成的集合最多含有( A.1 C.3 B.2 D.4 )个元素.

解析: 选 B 当 a=0 时, 这四个数都是 0, 所组成的集合只有一个元素 0.当 a≠0 时, a2
? ?a,a>0, =|a|=? 所以一定与 a 或-a 中的一个一致.故组成的集合中有两个元素,故选 ?-a,a<0, ?

B. 二、填空题 6. 方程 x2-2x-3=0 的解集与集合 A 相等, 若集合 A 中的元素是 a, b, 则 a+b=________. 解析:∵方程 x2-2x-3=0 的解集与集合 A 相等, ∴a,b 是方程 x2-2x-3=0 的两个根, ∴a+b=2. 答案:2 7.已知集合 A 是由偶数组成的,集合 B 是由奇数组成的,若 a?A,b?B,则 a+ b________A,ab________A.(填?或?). 解析:∵a 是偶数,b 是奇数, ∴a+b 是奇数,ab 是偶数, 故 a+b?A,ab∈A. 答案:? ? 8.若集合 A 是不等式 x-a>0 的解集,且 2?A,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵2?A,∴2-a≤0,即 a≥2. 答案:a≥2
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三、解答题 9.设集合 A 中含有三个元素 3,x,x2-2x. (1)求实数 x 应满足的条件; (2)若-2?A,求实数 x. 解:(1)由集合中元素的互异性可知,x≠3,且 x≠x2-2x,x2-2x≠3. 解之得 x≠-1 且 x≠0,且 x≠3. (2)∵-2∈A,∴x=-2 或 x2-2x=-2. 由于 x2-2x=(x-1)2-1≥-1, ∴x=-2. 1+a 10.数集 M 满足条件:若 a?M,则 ?M(a≠± 1 且 a≠0).若 3?M,则在 M 中还有 1-a 三个元素是什么? 1+3 解:∵3∈M,∴ =-2∈M, 1-3 ∴ 1+?-2? 1 =- ∈M, 3 1-?-2?

1 2 1+?- ? 3 3 1 ∴ = = ∈M. 1 4 2 1-?- ? 3 3 1 1+ 2 又∵ =3∈M, 1 1- 2 1 1 ∴在 M 中还有元素-2,- , . 3 2 第二课时 集合的表示

列举法

[提出问题] 观察下列集合: (1)中国古代四大发明组成的集合; (2)20 的所有正因数组成的集合. 问题 1:上述两个集合中的元素能一一列举出来吗? 提示:能.(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药,(2)中的元素为:1,2,4,5,10,20. 问题 2:如何表示上述两个集合?
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提示:用列举法表示. [导入新知] 列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. [化解疑难] 使用列举法表示集合的四个注意点 (1)元素间用“,”分隔开,其一般形式为{a1,a2,?,an}; (2)元素不重复,满足元素的互异性; (3)元素无顺序,满足元素的无序性; (4)对于含有有限个元素且个数较少的集合,采取该方法较合适;若元素个数较多或有无 限个且集合中的元素呈现一定的规律,在不会产生误解的情况下,也可以列举出几个元素作 为代表,其他元素用省略号表示. 描述法

[提出问题] 观察下列集合: (1)不等式 x-2≥3 的解集; (2)函数 y=x2-1 的图象上的所有点. 问题 1:这两个集合能用列举法表示吗? 提示:不能. 问题 2:如何表示这两个集合? 提示:利用描述法. [导入新知] 描述法 (1)定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. (2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再 画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. [化解疑难] 1.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们一一列举出来,可以将集 合中元素的共同特征描述出来,即采用描述法. 2.描述法的一般形式 它的一般形式为{x?A|p(x)},其中的 x 表示集合中的代表元素,A 指的是元素的取值范 围;p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征,其中“|”将代表元素与其特征分隔开来.
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一般来说集合元素 x 的取值范围 A 需写明确,但若从上下文的关系看,x?A 是明确的, 则 x?A 可以省略,只写元素 x.

用列举法表示集合

[例 1] 若集合 A={(1,2),(3,4)},则集合 A 中元素的个数是( A.1 C.3 (2)用列举法表示下列集合. ①不大于 10 的非负偶数组成的集合; ②方程 x2=x 的所有实数解组成的集合; ③直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合;
?x+y=1, ? ④方程组? 的解. ?x-y=-1 ?

)

B.2 D.4

(1)[解析] 集合 A={(1,2),(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4). [答案] B (2)[解] ①因为不大于 10 是指小于或等于 10,非负是大于或等于 0 的意思,所以不大 于 10 的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. ②方程 x2=x 的解是 x=0 或 x=1,所以方程的解组成的集合为{0,1}. ③将 x=0 代入 y=2x+1, 得 y=1, 即交点是(0,1), 故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}.
?x+y=1, ?x=0, ? ? ④解方程组? 得? ?x-y=-1, ?y=1. ? ? ?x+y=1, ? ∴用列举法表示方程组? 的解集为{(0,1)}. ? ?x-y=-1

[类题通法] 用列举法表示集合的步骤 (1)求出集合的元素; (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次; (3)用花括号括起来. [活学活用] 已知集合 A={-2,-1,0,1,2,3},对任意 a?A,有|a|?B,且 B 中只有 4 个元素,求集 合 B.

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解:对任意 a∈A,有|a|∈B. 因为集合 A={-2,-1,0,1,2,3}, 由-1,-2,0,1,2,3∈A,知 0,1,2,3∈B. 又因为 B 中只有 4 个元素, 所以 B={0,1,2,3}. 用描述法表示集合

[例 2]

(1)用符号“?”或“?”填空:

①A={x|x2-x=0},则 1________A,-1________A; ②(1,2)________{(x,y)|y=x+1}. (2)用描述法表示下列集合: ①正偶数集; ②被 3 除余 2 的正整数的集合; ③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合. (1)[解析] ①将 1 代入方程成立,将-1 代入方程不成立,故 1∈A,-1?A. ②将 x=1,y=2 代入 y=x+1 成立,故填∈. [答案] ①? ? ②? (2)[解] ①偶数可用式子 x=2n,n∈Z 表示,但此题要求为正偶数,故限定 n∈N*,所 以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}. ②设被 3 除余 2 的数为 x,则 x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故 x=3n+2,n∈N, 所以被 3 除余 2 的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}. ③坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为 0,即 xy=0,故坐标轴上的 点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}. [类题通法] 利用描述法表示集合应关注五点 (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}. (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不 符合要求,需将 k∈Z 也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}. (3)不能出现未被说明的字母. (4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方 程 x2-2x+1=0 的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}. (5)在不引起混淆的情况下,可省去竖线及代表元素,如{直角三角形},{自然数}等. [活学活用] 下列三个集合:
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①A={x|y=x2+1}; ②B={y|y=x2+1}; ③C={(x,y)|y=x2+1}. (1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义分别是什么? 解:(1)由于三个集合的代表元素互不相同,故它们是互不相同的集合. (2)集合 A={x|y=x2+1}的代表元素是 x,且 x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即 A=R;集 合 B={y|y=x2+1}的代表元素是 y,满足条件 y=x2+1 的 y 的取值范围是 y≥1,所以{y|y= x2+1}={y|y≥1}. 集合 C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足 y=x2+1 的数对.可以认为集合 C 是坐标平面内满足 y=x2+1 的点(x,y)构成的集合,其实就是抛物线 y=x2+1 的图象. 集合表示的应用 [例 3] (1)集合 A={1,-3,5,-7,9,?}用描述法可表示为( )

A.{x|x=2n± 1,n?N} B.{x|x=(-1)n(2n-1),n?N} C.{x|x=(-1)n(2n+1),n?N} D.{x|x=(-1)n 1(2n+1),n?N}


? ? 6 ? ? (2)设集合 B=?x?N?2+x?N ?. ? ?

?

? ?

①试判断元素 1,2 与集合 B 的关系; ②用列举法表示集合 B. (1)[解析] 观察规律,其绝对值为奇数排列,且正负相间,且第一个为正数,故应选 C. [答案] C 6 (2)[解] ①当 x=1 时, =2∈N. 2+1 6 3 当 x=2 时, = ?N.所以 1∈B,2?B. 2+2 2 6 ②∵ ∈N,x∈N,∴2+x 只能取 2,3,6. 2+x ∴x 只能取 0,1,4.∴B={0,1,4}. [类题通法] 判断元素与集合间关系的方法 (1)用列举法给出的集合,判断元素与集合的关系时,观察即得元素与集合的关系. 例如,集合 A={1,9,12},则 0?A,9∈A. (2)用描述法给出的集合,判断元素与集合的关系时就比较复杂.此时,首先明确该集合

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中元素的一般符号是什么,是实数?是方程???,其次要清楚元素的共同特征是什么,最 后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征,即可确定所给元素与集 合的关系. [活学活用] 定义集合 A,B 的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中 x1?A,x2?B},若 A={1,2,3}, B={1,2},试用列举法表示出集合 A*B. 解:当 x1=1 时,x2 可以取 1 或 2,则 x1+x2=2 或 3; 当 x1=2 时,x2 可以取 1 或 2,则 x1+x2=3 或 4; 当 x1=3 时,x2 可以取 1 或 2,则 x1+x2=4 或 5. ∴A*B={2,3,4,5}.

1.集合与方程的综合应用 [典例] 集合 A={x|ax2+2x+1=0,a?R}中只有一个元素,求 a 的取值范围. [解] 当 a=0 时,原方程变为 2x+1=0, 1 此时 x=- ,符合题意; 2 当 a≠0 时,方程 ax2+2x+1=0 为一元二次方程, Δ=4-4a=0,即 a=1,原方程的解为 x=-1,符合题意. 故当 a=0 或 a=1 时,原方程只有一个解,此时 A 中只有一个元素. [多维探究] 解答上面例题时,a=0 这种情况极易被忽视,对于方程“ax2+2x+1=0”有两种情况: 一是 a=0,即它是一元一次方程;二是 a≠0,即它是一元二次方程,也只有在这种情况下, 才能用判别式 Δ 来解决问题. 求解集合与方程问题时,要注意相关问题的求解,如: (1)在本例条件下,若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围. 解:A 中至多含有一个元素,即 A 中有一个元素或没有元素. 当 A 中只有一个元素时,由本例可知,a=0 或 1. 当 A 中没有元素时,Δ=4-4a<0,即 a>1. 故当 A 中至多有一个元素时,a 的取值范围为 a=0 或 a≥1. (2)在本例条件下,若 A 中至少有一个元素,求 a 的取值范围. 解:A 中至少有一个元素,即 A 中有一个或两个元素.
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由例题可知,当 a=0 或 a=1 时,A 中有一个元素; 当 A 中有两个元素时,Δ=4-4a>0,即 a<1. ∴A 中至少有一个元素时,a 的取值范围为 a≤1. (3)若 1?A,则 a 为何值? 解:∵1∈A,∴a+2+1=0,即 a=-3. (4)是否存在实数 a,使 A={1},若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解:∵A={1},∴1∈A,∴a+2+1=0,即 a=-3. 1 又当 a=-3 时 ,由 -3x2+2x+1=0,得 x=- 或 x=1, 3 1 1 即方程 ax2+2x+1=0 存在两个根- 和 1,此时 A={- ,1},与 A={1}矛盾. 3 3 故不存在实数 a,使 A={1}.

[随堂即时演练]
?x+y=1, ? 1.方程组? 2 2 的解集是( ?x -y =9 ?

) B.(5,-4) D.{(5,-4)}

A.(-5,4) C.{(-5,4)}

? ? ?x+y=1, ?x=5, 解析:选 D 解方程组? 2 2 得? 故解集为{(5,-4)},选 D. ?x -y =9, ?y=-4, ? ?

2.下列四个集合中,不同于另外三个的是( A.{y|y=2} C.{2}

)

B.{x=2} D.{x|x2-4x+4=0}

解析:选 B 集合{x=2}表示的是由一个等式组成的集合,其它选项所表示的集合都是 含有一个元素 2. 3.给出下列说法: ①直角坐标平面内,第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}; ②方程 x-2+|y+2|=0 的解集为{2,-2}; ③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是相等的. 其中正确的是________(填写正确说法的序号). 解析:直角坐标平面内,第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的,且集合中的代表元 素为点(x,y),故①正确;
? ? ?x-2=0, ?x=2, 方程 x-2+|y+2|=0 等价于? 即? 解为有序实数对(2,-2),解集 ?y+2=0, ? ? ?y=-2, 16

? ?x=2 为{(2,-2)}或{(x,y)|? },故②不正确; ?y=-2 ?

集合{(x,y)|y=1-x}的代表元素是(x,y),集合{x|y=1-x}的代表元素是 x,前者是有序 实数对,后者是实数,因此这两个集合不相等,故③不正确. 答案:① 4.若 A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t?A},用列举法表示集合 B 为________. 解析:由题意可知集合 B 是由 A 中元素的平方构成的,故 B={4,9,16}. 答案:{4,9,16} 5.用适当的方法表示下列集合: (1)一年中有 31 天的月份的全体; (2)大于-3.5 小于 12.8 的整数的全体; (3)梯形的全体构成的集合; (4)所有能被 3 整除的数的集合; (5)方程(x-1)(x-2)=0 的解集; (6)不等式 2x-1>5 的解集. 解:(1){1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月}. (2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. (3){x|x 是梯形}或{梯形}. (4){x|x=3n,n∈Z}. (5){1,2}. (6){x|2x-1>5}. [课时达标检测] 一、选择题 1.下列各组中的两个集合 M 和 N,表示同一集合的是( A.M={π},N={3.141 59} B.M={2,3},N={(2,3)} C.M={x|-1<x≤1,x?N},N={1} D.M={1, 3,π},N={π,1,|- 3|} 解析:选 D 选项 A 中两个集合的元素互不相等,选项 B 中两个集合一个是数集,一个 是点集,选项 C 中集合 M={0,1},只有 D 是正确的. x y z |xyz| 2.已知 x,y,z 为非零实数,代数式 + + + 的值所组成的集合是 M,则下列 |x| |y| |z| xyz 判断正确的是( A.0?M ) B.2?M )

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C.-4?M

D.4?M

解析:选 D 当 x,y,z 都大于零时,代数式的值为 4,所以 4∈M,故选 D. 3.集合{x?N*|x-3<2}的另一种表示法是( A.{0,1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5}
*

)

B.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}

解析:选 B ∵x-3<2,x∈N ,∴x<5,x∈N*, ∴x=1,2,3,4.故选 B. 4.已知集合 A={x|x=2m-1,m?Z},B={x|x=2n,n?Z},且 x1、x2?A,x3?B,则 下列判断不正确的是( A.x1· x2?A C.x1+x2?B ) B.x2· x3?B D.x1+x2+x3?A

解析:选 D 集合 A 表示奇数集,B 表示偶数集, ∴x1、x2 是奇数,x3 是偶数, ∴x1+x2+x3 应为偶数,即 D 是错误的. 5.设 P={1,2,3,4},Q={4,5,6,7,8},定义 P*Q={(a,b)|a?P,b?Q,a≠b},则 P*Q 中元素的个数为( A.4 C.19 ) B.5 D.20

解析:选 C 由题意知集合 P*Q 的元素为点,当 a=1 时,集合 P*Q 的元素为:(1,4), (1,5),(1,6),(1,7),(1,8)共 5 个元素.同样当 a=2,3 时集合 P*Q 的元素个数都为 5 个,当 a =4 时,集合 P*Q 中元素为:(4,5),(4,6),(4,7),(4,8)共 4 个.因此 P*Q 中元素的个数为 19 个,故选 C. 二、填空题 6.设集合 A={1,-2,a2-1},B={1,a2-3a,0},若 A,B 相等,则实数 a=________.
?a2-1=0, ? 解析:由集合相等的概念得? 2 解得 a=1. ? ?a -3a=-2,

答案:1 7.已知集合 A={x|2x+a>0},且 1?A,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵1?{x|2x+a>0}, ∴2×1+a≤0,即 a≤-2. 答案:a≤-2 8.已知-5?{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为________. 解析:由-5∈{x|x2-ax-5=0}得(-5)2-a×(-5)-5=0,所以 a=-4,所以{x|x2-4x +4=0}={2},所以集合中所有元素之和为 2.
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答案:2 三、解答题 9.已知集合 M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若 2?M,求 x. 解:当 3x2+3x-4=2 时,即 x2+x-2=0,则 x=-2 或 x=1.经检验,x=-2,x=1 均 不合题意.当 x2+x-4=2 时,即 x2+x-6=0,则 x=-3 或 2.经检验,x=-3 或 x=2 均合 题意. ∴x=-3 或 x=2. 6 10.(1)已知集合 M={x?N| ?Z},求 M; 1+x 6 (2)已知集合 C={ ?Z|x?N},求 C. 1+x 解:(1)∵x∈N, 6 ∈Z,∴1+x 应为 6 的正约数. 1+x

∴1+x=1,2,3,6,即 x=0,1,2,5. ∴M={0,1,2,5}. (2)∵ 6 ∈Z,且 x∈N, 1+x

∴1+x 应为 6 的正约数, 6 ∴1+x=1,2,3,6,此时 分别为 6,3,2,1, 1+x ∴C={6,3,2,1}. 1.1.2 集合间的基本关系

子集

[提出问题] 具有北京市东城区户口的人组成集合 A,具有北京市户口的人组成集合 B. 问题 1:A 中元素与集合 B 有关系吗? 提示:有关系,A 中每一个元素都属于 B. 问题 2:集合 A 与集合 B 有什么关系? 提示:集合 B 包含集合 A. [导入新知] 子集的概念 定义 一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的
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元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集 记法与读法 图示 (1)任何一个集合是它本身的子集,即 A?A. (2)对于集合 A,B,C,若 A?B,且 B?C,则 A?C 记作 A?B(或 B?A),读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”)

结论

[化解疑难] 对子集概念的理解 (1)集合 A 是集合 B 的子集的含义是:集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 即由 x?A 能推出 x?B.例如{0,1}?{-1,0,1},则 0?{0,1},0?{-1,0,1}. (2)如果集合 A 中存在着不是集合 B 的元素,那么集合 A 不包含于 B,或 B 不包含 A.此 时记作 A?B 或 B?A. (3)注意符号“?”与“?”的区别:“?”只用于集合与集合之间,如{0}?N.而不能 写成{0}?N,“?”只能用于元素与集合之间.如 0?N,而不能写成 0?N.

集合相等

[提出问题] 设 A={x|x 是有三条边相等的三角形},B={x|x 是等边三角形}. 问题 1:三边相等的三角形是何三角形? 提示:等边三角形. 问题 2:两集合中的元素相同吗? 提示:相同. 问题 3:A 是 B 的子集吗?B 是 A 的子集吗? 提示:是,是. [导入新知] 集合相等的概念 如果集合 A 是集合 B 的子集(A?B),且集合 B 是集合 A 的子集(B?A),此时,集合 A 与 集合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. [化解疑难] 对两集合相等的认识 (1)若 A?B,又 B?A,则 A=B;反之,如果 A=B,则 A?B,且 B?A.这就给出了证明

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两个集合相等的方法,即欲证 A=B,只需证 A?B 与 B?A 同时成立即可. (2)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关. 真子集

[提出问题] 给出下列集合: A={a,b,c},B={a,b,c,d,e}. 问题 1:集合 A 与集合 B 有什么关系? 提示:A?B. 问题 2:集合 B 中的元素与集合 A 有什么关系? 提示:集合 B 中的元素 a,b,c 都在 A 中,但元素 d,e 不在 A 中. [导入新知] 真子集的概念 定义 记法 图示 (1)A?B 且 B?C,则 A?C; (2)A?B 且 A≠B,则 A?B 如果集合 A?B,但存在元素 x?B,且 x?A,我们称集合 A 是集合 B 的真子集 记作 A?B(或 B?A)

结论

[化解疑难] 对真子集概念的理解 (1)在真子集的定义中,A?B 首先要满足 A?B,其次至少有一个 x?B,但 x?A. (2)若 A 不是 B 的子集,则 A 一定不是 B 的真子集. 空集

[提出问题] 一个月有 32 天的月份组成集合 T. 问题 1:含有 32 天的月份存在吗? 提示:不存在. 问题 2:集合 T 存在吗?是什么集合? 提示:存在,是空集. [导入新知] 空集的概念
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定义 记法 规定 特性

我们把不含任何元素的集合,叫做空集 ? 空集是任何集合的子集,即??A (1)空集只有一个子集,即它的本身,??? (2)A≠?,则??A

[化解疑难] ?与{0}的区别 (1)?是不含任何元素的集合; (2){0}是含有一个元素的集合,??{0}.

集合间关系的判断

[例 1] (1)下列各式中,正确的个数是(

)

①{0}?{0,1,2};②{0,1,2}?{2,1,0};③??{0,1,2};④?={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0 ={0} A.1 C.3 (2)指出下列各组集合之间的关系: ①A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; ②A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; ③M={x|x=2n-1,n?N*},N={x|x=2n+1,n?N*}. (1)[解析]对于①,是集合与集合的关系,应为{0}?{0,1,2};对于②,实际为同一集合, 任何一个集合是它本身的子集;对于③,空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元素 0 的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以??{0};对于⑤, {0,1}是含有两个元素 0 与 1 的集合,而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合,所以 {0,1}与{(0,1)}不相等;对于⑥,0 与{0}是“属于与否”的关系,所以 0∈{0}.故②③是正 确的,应选 B. [答案] B (2)[解]①集合 A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是有序实数对,故 A 与 B 之间无包 含关系. ②等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故 A?B. B.2 D.4

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③法一:两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于 n∈N*,因此集合 M 含有元素“1”, 而集合 N 不含元素“1”,故 N?M. 法二:由列举法知 M={1,3,5,7,?},N={3,5,7,9,?},所以 N?M. [类题通法] 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断. 首先,判断一个集合 A 中的任意元素是否属于另一集合 B,若是,则 A?B,否则 A 不 是 B 的子集; 其次,判断另一个集合 B 中的任意元素是否属于第一个集合 A,若是,则 B?A,否则 B 不是 A 的子集; 若既有 A?B,又有 B?A,则 A=B. (2)数形结合判断. 对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点 值的取舍. [活学活用] 能正确表示集合 M={x?R|0≤x≤2}和集合 N={x?R|x2-x=0}关系的 Venn 图是( )

解析:选 B 解 x2-x=0 得 x=1 或 x=0,故 N={0,1},易得 N?M,其对应的 Venn 图 如选项 B 所示. 有限集合子集的确定 [例 2] A.6 C.8 (1)集合 M={1,2,3}的真子集个数是( B.7 D.9 )

(2)满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合 M 有________个. [解析] (1)集合 M 的真子集所含有的元素的个数可以有 0 个, 1 个或 2 个, 含有 0 个为?,

含有 1 个有 3 个真子集{1},{2},{3},含有 2 个元素有 3 个真子集{1,2}{1,3}和{2,3},共有 7 个真子集,故选 B. (2)由题意可得{1,2}?M?{1,2,3,4,5}, 可以确定集合 M 必含有元素 1,2, 且含有元素 3,4,5

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中的至少一个,因此依据集合 M 的元素个数分类如下: 含有三个元素:{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}; 含有四个元素:{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}; 含有五个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合 M 共有 7 个. [答案] (1)B (2)7

[类题通法] 公式法求有限集合的子集个数 (1)含 n 个元素的集合有 2n 个子集. (2)含 n 个元素的集合有(2n-1)个真子集. (3)含 n 个元素的集合有(2n-1)个非空子集. (4)含有 n 个元素的集合有(2n-2)个非空真子集. (5)若集合 A 有 n(n≥1)个元素,集合 C 有 m(m≥1)个元素,且 A?B?C,则符合条件的 集合 B 有 2m
-n

个.

[活学活用] 非空集合 S?{1,2,3,4,5}且满足“若 a?S,则 6-a?S”,则这样的集合 S 共有________ 个. 解析:由“若 a∈S,则 6-a∈S”知和为 6 的两个数都是集合 S 中的元素,则( 集合 S 中含有 1 个元素:{3}; 集合 S 中含有 2 个元素:{2,4},{1,5}; 集合 S 中含有 3 个元素:{2,3,4},{1,3,5}; 集合 S 中含有 4 个元素:{1,2,4,5}; 集合 S 中含有 5 个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合 S 共有 7 个. 答案:7 集合间关系的应用 [例 3] 已知集合 A={x|x<-1 或 x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若 B?A,求实数 a 的取值 范围. [解] 当 B=?时,只需 2a>a+3,即 a>3;
?a+3≥2a, ?a+3≥2a, ? ? 当 B≠?时,根据题意作出如图所示的数轴,可得? 或? 解得 a< ?a+3<-1 ? ? ?2a>4,

)

-4 或 2<a≤3.

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综上可得,实数 a 的取值范围为 a<-4 或 a>2. [类题通法] 利用集合关系求参数应关注三点 (1)分析集合关系时,首先要分析、简化每个集合. (2)此类问题通常借助数轴, 利用数轴分析法, 将各个集合在数轴上表示出来, 以形定数, 还要注意验证端点值,做到准确无误.一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表 示. (3)此类问题还要注意“空集”的情况,因为空集是任何集合的子集. [活学活用] 已知集合 A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足 A?B 的实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,A=?,满足 A?B. 1 2 (2)当 a>0 时,A={x| <x< }.又∵B={x|-1<x<1}且 A?B, a a 如图作出满足题意的数轴:

? ?1≥-1, ∴?a 2 ? ?a≤1,

a>0,

∴a≥2.

2 1 (3)当 a<0 时,A={x| <x< } a a ∵A?B,如图所示,

? ?2≥-1, ∴?a 1 ? ?a≤1,

a<0,

∴a≤-2.

综上所述,a 的取值范围是 {a|a=0 或 a≥2 或 a≤-2}.

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2.利用集合的包含关系求参数 [典例] 已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m-6≤x≤2m-1},若 A?B,求实数 m 的 取值范围. [解] ∵A?B, 2m-1>m-6, ? ? ∴?m-6≤-2, ? ?2m-1≥5, 故 3≤m≤4. ∴m 的取值范围是{m|3≤m≤4}. [多维探究] 1.本例中,若 B?A,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 B=?时,m-6>2m-1,即 m<-5 m-6≤2m-1, ? ? 当 B≠?时,?m-6≥-2, ? ?2m-1≤5, 即 m∈?. 故实数 m 的取值范围是{m|m<-5}. 2.在本例中,若将“A?B”改为“A?B”,求实数 m 的取值范围. 解:∵A≠B,∴两不等式端点不可能同时成立,故答案与本例一致. 3.若将本例中的不等式变为方程,试解决如下问题: 已知集合 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a?R},若 B?A,求实数 a 的取值范围. 解:A={x|x2+4x=0}={0,-4}, ∵B?A, ∴B=?或 B={0}或 B={-4}或 B={0,-4}. (1)当 B=?时, 方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 无实根, 则 Δ<0,即 4(a+1)2-4(a2-1)<0. ∴a<-1. (2)当 B={0}时,
? ?Δ=0, 有? 2 ∴a=-1. ?a -1=0, ?

m>-5, ? ? 解得?m≤4, ? ?m≥3,

m≥-5, ? ? ?m≥4, ? ?m≤3,

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(3)当 B={-4}时,
? ?Δ=0, 有? 2 无解. ?a -8a+7=0, ?

(4)当 B={0,-4}时,由韦达定理得 a=1. 综上所述,a=1 或 a≤-1.

[随堂即时演练] 1.给出下列四个判断: ①?={0};②空集没有子集; ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集; ④空集是任何一个集合的子集. 其中,正确的有( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个

解析:选 B 由空集的性质可知,只有④正确,①②③均不正确. 2.已知 A={x|x 是菱形},B={x|x 是正方形},C={x|x 是平行四边形},那么 A,B,C 之间的关系是( A.A?B?C C.A?B?C 解析:选 B 集合 A,B,C 关系如图. ) B.B?A?C D.A=B?C

3.已知集合 A={-1,3,m},B={3,4},若 B?A,则实数 m=________. 解析 :∵B?A,B={3,4},A={-1,3,m} ∴m∈A,∴m=4. 答案:4 4.集合 A={x|0≤x<3 且 x?N}的真子集的个数为________. 解析:由题意得 A={0,1,2},故集合 A 有 7 个真子集. 答案:7 5.已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a}. (1)若 A 是 B 的真子集,求 a 的取值范围; (2)若 B 是 A 的子集,求 a 的取值范围;

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(3)若 A=B,求 a 的取值范围. 解:(1)若 A 是 B 的真子集,即 A?B,故 a>2. (2)若 B 是 A 的子集,即 B?A,则 a≤2. (3)若 A=B,则必有 a=2. [课时达标检测] 一、选择题 1.已知集合 A={x|x=3k,k?Z},B={x|x=6k,k?Z},则 A 与 B 之间最适合的关系是 ( ) A.A?B C.A?B B.A?B D.A?B

解析:选 D 显然 B 是 A 的真子集,因为 A 中元素是 3 的整数倍,而 B 的元素是 3 的偶 数倍. 2.已知集合 M={x|- 5<x< 3,x?Z},则下列集合是集合 M 的子集的为( A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2} C.R={y|-π<y<-1,y?Z} D.S={x||x|≤ 3,x?N} 解析: 选 D 先用列举法表示集合, 再观察元素与集合的关系. 集合 M={-2, -1,0,1}, 集合 R={-3,-2},集合 S={0,1},不难发现集合 P 中的元素-3?M,集合 Q 中的元素 2? M,集合 R 中的元素-3?M,而集合 S={0,1}中的任意一个元素都在集合 M 中,所以 S?M, 且 S?M.故选 D. 3.已知集合 P={x|x2=1},Q={x|ax=1},若 Q?P,则 a 的值是( A.1 C.1 或-1 B.-1 D.0,1 或-1 ) )

解析:选 D 由题意,当 Q 为空集时,a=0;当 Q 不是空集时,由 Q?P,a=1 或 a= -1. 4. 已知集合 A?{0,1,2}, 且集合 A 中至少含有一个偶数, 则这样的集合 A 的个数为( A.6 C.4 B.5 D.3 )

解析:选 A 集合{0,1,2}的子集为:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}, 其中含有偶数的集合有 6 个.故选 A. 5.已知集合 M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和 P={(x,y)|x<0,y<0},那么( A.P?M C.M=P B.M?P D.M?P
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)

? ?x<0, ?x+y<0, ? 解析:选 C ∵? ∴? ? ?xy>0, ?y<0. ?

∴M=P. 二、填空题 6.已知 M={y|y=x2-2x-1,x?R},N={x|-2≤x≤4},则集合 M 与 N 之间的关系是 ________. 解析:∵y=(x-1)2-2≥-2, ∴M={y|y≥-2}.∴N?M. 答案:N?M 7. 图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散 文”这四个文学概念之间的关系,请作适当的选择填入下面的空 格: A 为________;B 为________; C 为________;D 为________. 解析:由 Venn 图可得 A?B,C?D?B,A 与 D 之间无包含关系,A 与 C 之间无包含关 系.由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系,可得 A 为小 说,B 为文学作品,C 为叙事散文,D 为散文. 答案:小说 文学作品 叙事散文 散文 8.已知集合 A={x|ax2+2x+a=0,a?R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值 构成的集合为________. 解析:因为集合 A 有且仅有 2 个子集,所以 A 仅有一个元素,即方程 ax2+2x+a=0(a ∈R)仅有一个根. 当 a=0 时,方程化为 2x=0, ∴x=0,此时 A={0},符合题意. 当 a≠0 时,Δ=22-4· a· a=0,即 a2=1,∴a=± 1. 此时 A={-1},或 A={1},符合题意. ∴a=0 或 a=± 1. 答案:{0,1,-1} 三、解答题 9.已知 A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且 B?A,求实数 a 组成的集合 C. 解:由 x2-3x+2=0,得 x=1,或 x=2. ∴A={1,2}. ∵B?A,∴对 B 分类讨论如下: (1)若 B=?,即方程 ax-2=0 无解,此时 a=0.
29

(2)若 B≠?, 则 B={1}或 B={2}. 当 B={1}时, 有 a-2=0,即 a=2; 当 B={2}时,有 2a-2=0,即 a=1. 综上可知,符合题意的实数 a 所组成的集合 C={0,1,2}. 10.设集合 A={x|-1≤x+1≤6},B={x|m-1<x<2m+1}. (1)当 x?Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (2)若 A?B,求 m 的取值范围. 解:化简集合 A 得 A={x|-2≤x≤5}. (1)∵x∈Z, ∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 即 A 中含有 8 个元素, ∴A 的非空真子集数为 28-2=254(个). (2)①当 m≤-2 时,B=??A; ②当 m>-2 时, B={x|m-1<x<2m+1}, 因此,要 B?A,
? ?m-1≥-2 则只要? ?-1≤m≤2. ?2m+1≤5 ?

综上所述,知 m 的取值范围是: {m|-1≤m≤2 或 m≤-2}.

1.1.3 集合的基本运算 第一课时 集合的并集、交集

并集

[提出问题] 已知下列集合: A={x|x2-1=0},B={x?N|1≤x≤4},C={-1,1,2,3,4}. 问题 1:集合 A 与集合 B 各有几个元素? 提示:A={-1,1},B={1,2,3,4},即集合 A 有 2 个元素,集合 B 有 4 个元素.

30

问题 2:若将集合 A 与集合 B 的元素放在一起,构成一个新的集合是什么? 提示:{-1,1,2,3,4}. 问题 3:集合 C 中的元素与集合 A、B 有什么关系? 提示:C 中元素属于 A 或属于 B. [导入新知] 1.并集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作 A∪B(读作“A 并 B”) A∪B={x|x?A,或 x?B}

2.并集的性质 (1)A∪B=B∪A,即两个集合的并集满足交换律. (2)A∪A=A,即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身. (3)A∪?=?∪A=A,即任何集合与空集的并集等于这个集合本身. (4)A?(A∪B),B?(A∪B),即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集. (5)若 A?B,则 A∪B=B,反之也成立,即任何集合同它的子集的并集,等于这个集合 本身. [化解疑难] 理解并集应关注三点 (1)A∪B 仍是一个集合,由所有属于 A 或属于 B 的元素组成. (2)“或”的数学内涵的形象图示如下:

(3)若集合 A 和 B 中有公共元素,根据集合元素的互异性,则在 A∪B 中仅出现一次. 交集

[提出问题] 已知 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={3,4}. 问题 1:集合 A 与集合 B 有公共元素吗?它们组成的集合是什么? 提示:有.{3,4} 问题 2:集合 C 中的元素与集合 A,B 有什么关系?
31

提示:C 中的元素既属于 A 又属于 B. [导入新知] 1.交集的概念 文字 语言 符号 语言 图形 语言 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的 交集,记作 A∩B(读作“A 交 B”) A∩B={x|x?A,且 x?B}

2.交集的性质 (1)A∩B=B∩A,即两个集合的交集满足交换律. (2)A∩A=A,即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身. (3)A∩?=?∩A=?,即任何集合与空集的交集等于空集. (4)A∩B?A,A∩B?B,即两个集合的交集是其中任一集合的子集. (5)若 A?B,则 A∩B=A,反之也成立,即若 A 是 B 的子集,则 A,B 的公共部分是 A. [化解疑难] 理解交集的概念应关注四点 (1)概念中“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元 素. (2)概念中的“所有”两字不能省, 否则将会漏掉一些元素, 一定要将相同元素全部找出. (3)当集合 A 和集合 B 无公共元素时,不能说集合 A,B 没有交集,而是 A∩B=?. (4)定义中“x?A,且 x?B”与“x?(A∩B)”是等价的,即由既属于 A,又属于 B 的元 素组成的集合为 A∩B.而只属于集合 A 或只属于集合 B 的元素,不属于 A∩B.

并集的运算

[例 1] (1)设集合 M={4,5,6,8},集合 N={3,5,7,8},那么 M∪N 等于( A.{3,4,5,6,7,8} C.{3,5,7,8} B.{5,8} D.{4,5,6,8} )

)

(2)若集合 A={x|x>-1},B={x|-2<x<2},则 A∪B 等于( A.{x|x>-2} B.{x|x>-1}
32

C.{x|-2<x<-1} [解析]

D.{x|-1<x<2}

(1)由并集的定义知,M∪N={3,4,5,6,7,8}.

(2)画出数轴如图所示,故 A∪B={x|x>-2}.

[答案]

(1)A

(2)A

[类题通法] 并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限, 则直接根据并集的定义求解, 但要注意集合中元素的互异性. (2)若集合中元素个数无限,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意是否去掉端点 值. [活学活用] 若集合 A={1,4,x},B={1,x2},A∪B={1,4,x},则满足条件的实数 x 有( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 )

解析:选 C 从 A∪B={1,4,x}看它与集合 A、B 元素之间的关系,可以发现 A∪B=A, 从而 B 是 A 的子集,则 x2=4 或 x2=x,解得 x=± 2 或 1 或 0.当 x=± 2 时,符合题意;当 x= 1 时,与集合元素的互异性相矛盾(舍去);当 x=0 时,符合题意.因此,x=± 2 或 0. 交集的运算 [例 2] (1)若 A={0,1,2,3},B={x|x=3a,a?A},则 A∩B 等于( B.{0,1} D.{3} ) )

A.{1,2} C.{0,3}

(2)设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B 等于( A.{x|0≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} [解析] B.{x|1≤x≤2} D.{x|1≤x≤4}

(1)A={0,1,2,3},B={x|x=3a,a∈A},

∴B={0,3,6,9},∴A∩B={0,3}. (2)在数轴上表示出集合 A 与 B,如下图.

则由交集的定义,A∩B={x|0≤x≤2}. [答案] (1)C (2)A

[类题通法] 求交集运算应关注两点 (1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.
33

(2)利用集合的并、交求参数的值时,要检验集合元素的互异性. [活学活用] 已知 M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},求实数 a 的值. 解:∵M∩N={3},∴3∈M; ∴a2-3a-1=3,即 a2-3a-4=0, 解得 a=-1 或 4. 但当 a=-1 时,与集合中元素的互异性矛盾; 当 a=4 时,M={1,2,3},N={-1,3,4},符合题意. ∴a=4. 交集、并集的性质及应用 [例 3] 已知集合 A={x|-3<x≤4},集合 B={x|k+1≤x≤2k-1},且 A∪B=A,试求 k 的取值范围. [解] ∵A∪B=A,∴B?A, ∴B=?或 B≠?. (1)当 B=?时,k+1>2k-1,∴k<2. (2)当 B≠?,则根据题意如图所示:

根据数轴可得 k+1≤2k-1, ? ? ?-3<k+1, ? ?2k-1≤4, 5 解得 2≤k≤ . 2 5 综合(1)(2)可得{k|k≤ }. 2 [类题通法] 并集、交集的性质应用技巧 对于涉及集合运算的问题,可利用集合运算的等价性(即若 A∪B=A,则 B?A,反之也 成立;若 A∩B=B,则 B?A,反之也成立),转化为相关集合之间的关系求解. [活学活用] 把本例中的条件“A∪B=A”换为“A∩B=A”,求 k 的取值范围. 解:∵A∩B=A,∴A?B. 又 A={x|-3<x≤4},B={x|k+1≤x≤2k-1},可知 B≠?. 由数轴

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? ?k+1≤-3, 可知? ?2k-1≥4, ?

解得 k∈?, 即当 A∩B=A 时,k 的取值范围为?.

2.含字母的集合运算忽视空集或检验 [典例] 值是( ) B.2 或 4 D.1 (1)已知 M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},M∩N={2,3},则 a 的

A.1 或 2 C.2

(2)集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},A∩B=B,则 a 的取值范围为 ________. [解析] (1)∵M∩N={2,3},∴a2-3a+5=3,∴a=1 或 2.当 a=1 时,N={1,5,3},M

={2,3,5}不合题意;当 a=2 时,N={1,2,3},M={2,3,5}符合题意. (2)由题意,得 A={1,2},∵A∩B=B, ∴当 B=?时,(-2)2-4(a-1)<0,解得 a>2; 当 1∈B 时,1-2+a-1=0,解得 a=2,且此时 B={1},符合题意; 当 2∈B 时,4-4+a-1=0,解得 a=1,此时 B={0,2},不合题意. 综上所述,a≥2. [答案] (1)C (2)a≥2

[易错防范] 1.本例(1)中的 M∩N={2,3}有两层含义:①2,3 是集合 M,N 的元素;②集合 M,N 只 有这两个公共元素.因此解出字母后,要代入原集合进行检验,这一点极易被忽视. 2.在本例(2)中,A∩B=B?B?A,B 可能为空集,极易被忽视. [成功破障] 设集合 M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t?R},若 M∩N=N,则实数 t 的取值范 围为________. 解析:由 M∩N=N 得 N?M,故当 N=?,

35

1 即 2t+1≤2-t,t≤ 时,M∩N=N 成立; 3 当 N≠?时,由图得

2-t<2t+1, ? ? ?2t+1≤5, ? ?2-t≥-2,

1 解得 <t≤2. 3

综上可知,所求实数 t 的取值范围为{t|t≤2}. 答案:{t|t≤2}

[随堂即时演练] 1.设集合 M={m?Z|-3<m<2},N={n?Z|-1≤n≤3},则 M∩N=( A.{0,1} C.{0,1,2} B.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} )

解析:选 B 由题意,得 M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},∴M∩N={-1,0,1}. 2.已知 S={(x,y)|y=1,x?R},T={(x,y)|x=1,y?R},则 S∩T=( A.空集 C.(1,1) B.{1} D.{(1,1)} )

解析:选 D 集合 S 表示直线 y=1 上的点,集合 T 表示直线 x=1 上的点,S∩T 表示直 线 y=1 与直线 x=1 的交点,故选 D. 3. 若集合 A={x|-1<x<5}, B={x|x≤-1, 或 x≥4}, 则 A∪B=________, A∩B=________. 解析:借助数轴可知: A∪B=R,A∩B={x|4≤x<5}.

答案:R {x|4≤x<5} 4.已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是________. 解析:因为 A∪B=R,画出数轴(图略)可知表示实数 a 的点必须与表示 1 的点重合或在 表示 1 的点的左边,所以 a≤1. 答案:a≤1 5.设集合 A={2,-1,x2-x+1},B={2y,-4,x+4},C={-1,7},且 A∩B=C, 求实数 x,y 的值及 A∪B.

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解:由已知 A={2,-1,x2-x+1}, B={2y,-4,x+4},C={-1,7}且 A∩B=C 得: 7∈A,7∈B 且-1∈B, ∴在集合 A 中 x2-x+1=7, 解得 x=-2 或 3. 当 x=-2 时,在集合 B 中,x+4=2, 又 2∈A,故 2∈A∩B=C, 但 2?C,故 x=-2 不合题意,舍去. 当 x=3 时,在集合 B 中,x+4=7. 1 故有 2y=-1,解得 y=- , 2 经检验满足 A∩B=C. 1 综上知,所求 x=3,y=- . 2 此时,A={2,-1,7},B={-1,-4,7}, 故 A∪B={-4,-1,2,7}. [课时达标检测] 一、选择题 1.已知全集 U=R,集合 M={x|-2≤x-1≤2}和 N={x|x=2k -1,k?N*}的关系的 Venn 图如图所示,则阴影部分所示的集合 的元素共有( A.2 个 C.1 个 ) B.3 个 D.无穷多个

解析:选 A M={x|-1≤x≤3},N={x|x=2k-1,k∈N*}, ∴M∩N={1,3}. 2.设 S,T 是两个非空集合,且它们互不包含,那么 S∪(S∩T)等于( A.S∩T C.? 解析:选 B ∵(S∩T)?S, ∴(S∩T)∪S=S.故选 B. 3.集合 A={0,2,a},B={1,a2},若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 C.2 B.1 D.4 ) B.S D.T )

解析:选 D ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又 A∪B={0,1,2,4,16},∴{a,a2}={4,16},∴a =4.故选 D.
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4.设集合 A={a,b},B={a+1,5},若 A∩B={2},则 A∪B 等于( A.{1,2} C.{2,5} B.{1,5} D.{1,2,5}

)

解析:选 D ∵A∩B={2},∴2∈A,2∈B, ∴a+1=2,∴a=1,b=2, 即 A={1,2},B={2,5}. ∴A∪B={1,2,5},故选 D. 5.设集合 A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若 A∩B≠?,则 a 的取值范围是( A.a<2 B.a>-2 C.a>-1 D.-1<a≤2 解析:选 C ∵A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},要使 A∩B≠?,借助数轴 )

可知 a>-1. 二、填空题 6.若集合 A={x|x≤2},B={x|x≥a},满足 A∩B={2},则实数 a=________. 解析:∵A∩B={x|a≤x≤2}={2}, ∴a=2. 答案:2 7.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都 不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设所求人数为 x,则只喜爱乒乓球运动的人数为 10-(15-x)=x-5,故 15+x-5 =30-8?x=12. 答案:12 8.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合 A 的个数是________. 解析:由{1,3}∪A={1,3,5},知 A?{1,3,5},且 A 中至少有一个元素为 5,从而 A 中其 余元素可以是集合{1,3}的子集的元素.而{1,3}有 4 个子集,因此满足条件的 A 的个数是 4. 它们分别是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}. 答案:4 三、解答题 1 9.已知 S={x|2x2-px+q=0},T={x|6x2+(p+2)x+q+5=0},且 S∩T={ },求 S∪ 2 T. 1 1 1 解:∵S∩T={ },∴ ∈S,且 ∈T. 2 2 2

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? ? ?p-2q-1=0 ?p=-7, 因此有? ?? ?p+2q+15=0 ?q=-4. ? ?

1 从而 S={x|2x2+7x-4=0}={ ,-4}. 2 1 1 T={x|6x2-5x+1=0}={ , }. 2 3 1 1 1 1 1 ∴S∪T={ ,-4}∪{ , }={ , ,-4}. 2 2 3 2 3 10.已知 A={x|a<x≤a+8},B={x|x<-1,或 x>5}.若 A∪B=R,求 a 的取值范围. 解:在数轴上标出集合 A、B,如图.

? ?a+8≥5, 要使 A∪B=R,则? ?a<-1, ?

解得-3≤a<-1. 综上可知:a 的取值范围为-3≤a<-1. 第二课时 补集及综合应用

全集

[导入新知] 全集的定义及表示 (1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全 集. (2)符号表示:全集通常记作 U. [化解疑难] 对全集概念的理解 “全集”是一个相对的概念, 并不是固定不变的, 它是依据具体的问题来加以选择的. 例 如:我们常把实数集 R 看作全集,而当我们在整数范围内研究问题时,就把整数集 Z 看作全 集. 补集 [提出问题] A={高一(1)班参加足球队的同学},B={高一(1)班没有参加足球队的同学},U={高一 (1)班的同学}. 问题 1:集合 A,B,U 有何关系?
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提示:U=A∪B. 问题 2:B 中元素与 U 和 A 有何关系? 提示:B 中元素在 U 中,不在 A 中. [导入新知] 补集的概念及性质 文字语言 符号语言 对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称 为集合 A 相对全集 U 的补集,简称为集合 A 的补集,记作?UA ?UA={x|x?U,且 x?A}

定义

图形语言

(1)?UA?U;(2)?UU=?,?U?=U; 性质 (3)?U(?UA)=A; (4)A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?

[化解疑难] 理解补集应关注三点 (1)补集既是集合之间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算.求集合 A 的补集的前 提是 A 是全集 U 的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相 依存、不可分割的两个概念. (2)?UA 包含三层意思:①A?U;②?UA 是一个集合,且?UA?U;③?UA 是由 U 中所有 不属于 A 的元素构成的集合. (3)若 x?U,则 x?A 或 x??UA,二者必居其一.

补集的运算 [例 1] (1)设全集 U=R,集合 A={x|2<x≤5},则?UA=________. (2)设 U={x|-5≤x<-2,或 2<x≤5,x?Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则 ?UA=________,?UB=________. [解析] (1)用数轴表示集合 A 为图中阴影部分

∴?UA={x|x≤2 或 x>5}. (2)法一:在集合 U 中,
40

∵x∈Z,则 x 的值为-5,-4,-3,3,4,5, ∴U={-5,-4,-3,3,4,5}. 又 A={x|x2-2x-15=0}={-3,5}, ∴?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}. 法二:可用 Venn 图表示

则?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}. [答案] (1){x|x≤2 或 x>5} (2){-5,-4,3,4} {-5,-4,5}

[类题通法] 求补集的方法 求给定集合 A 的补集通常利用补集的定义去求,从全集 U 中去掉属于集合 A 的元素后, 由所有剩下的元素组成的集合即为 A 的补集. [活学活用] 设全集 U={1,3,5,7,9},A={1,|a-5|,9),?UA={5,7},则 a 的值为________. 解析:∵A={1,|a-5|,9},?UA={5,7}, A∪(?UA)={1,5,7,9,|a-5|}=U,∴|a-5|=3. 解得 a-5=± 3,即 a=8 或 a=2. 答案:8 或 2 集合的交、并、补的综合运算 [例 2] 已知全集 U={x|x≤4},集合 A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},求 A∩B, (?UA)∪B,A∩(?UB),?U(A∪B). [解] 如图所示.

∵A={x|-2<x<3},B={x|-3≤x≤2},U={x|x≤4}, ∴?UA={x|x≤-2,或 3≤x≤4}, ?UB={x|x<-3,或 2<x≤4}. A∩B={x|-2<x≤2},A∪B={x|-3≤x<3}. 故(?UA)∪B={x|x≤2,或 3≤x≤4}, A∩(?UB)={x|2<x<3}. ?U(A∪B)={x|x<-3,或 3≤x≤4}. [类题通法]
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解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、 补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于 Venn 图来求解.这样处理起来,相对来说比 较直观、形象且解答时不易出错. (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后 进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. [活学活用] 已知全集 U={x|x<10,x?N*},A={2,4,5,8},B={1,3,5,8},求?U(A∪B),?U(A∩B),(?
UA)∩(?UB),(?UA)∪(?UB).

解:∵A∪B={1,2,3,4,5,8},U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∴?U(A∪B)={6,7,9}. ∵A∩B={5,8}, ∴?U(A∩B)={1,2,3,4,6,7,9}. ∵?UA={1,3,6,7,9},?UB={2,4,6,7,9}. ∴(?UA)∩(?UB)={6,7,9},(?UA)∪(?UB)={1,2,3,4,6,7,9}. 作出 Venn 图,如图所示,由图形也可以直接观察出来结果.

补集的综合应用 [例 3] 设全集 U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1},若 M??UP,求实数 a 的取值范围. [解]?UP={x|x<-2,或 x>1}, ∵M??UP, ∴分 M=?,M≠?两种情况讨论. (1)M≠?时,如图可得

?3a<2a+5, ?3a<2a+5, ? ? ? 或? ?2a+5≤-2 ? ? ?3a≥1.

7 1 ∴a≤- 或 ≤a<5. 2 3 (2)M=?时,应有 3a≥2a+5?a≥5. 1 7 综上可知,a≥ 或 a≤- . 3 2 [类题通法]
42

利用补集求参数应注意两点 (1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要 忘掉空集的情形. (2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. [活学活用] 已知集合 A={x|x<a},B={x<-1,或 x>0},若 A∩(?RB)=?,求实数 a 的取值范围. 解:∵B={x|x<-1,或 x>0}, ∴?RB={x|-1≤x≤0}, 因而要使 A∩(?RB)=?,结合数轴分析(如图), 可得 a≤-1.

1.补集思想的综合应用 [典例] 已知集合 A={x|x2-4x+2m+6=0},B={x|x<0},若 A∩B≠?,求实数 m 的取 值范围. [解题流程] 欲求m 的取值范围,应建立关于m的不等式

“A∩B≠?”的对立面为“A∩B=?”因此可先求出 A∩B=?时,m 的取 值范,围,然后在 R 中取补集即可 求满足A∩B=?中的m 的取值范围→对上述m的取值范围在R上取补集→结论

43

[活学活用] 已知集合 A={x|2m-1<x<3m+2}, B={x|x≤-2, 或 x≥5}, 是否存在实数 m, 使 A∩B≠ ??若存在,求实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:若 A∩B=?,分 A=?和 A≠?讨论: (1)若 A=?,则 2m-1≥3m+2,解得 m≤-3,此时 A∩B=?. (2)若 A≠?,要使 A∩B=?,则应有 2m-1<3m+2, ? ? ?2m-1≥-2, ? ?3m+2≤5, m>-3, ? ? 1 即?m≥-2, ?m≤1. ?

1 所以- ≤m≤1. 2

1 综上,当 A∩B=?时,m≤-3 或- ≤m≤1. 2 1 所以当 m>1 或-3<m<- 时,A∩B≠?. 2

[随堂即时演练] 1.已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则?U(A∪B)=( A.{6,8} C.{4,6,7} B.{5,7} D.{1,3,5,6,8} )

解析:选 A A∪B={1,2,3,4,5,7},则?U(A∪B)={6,8},选 A. 2. 已知全集 U=R, 集合 A={x|-2≤x≤3}, B={x|x<-1, 或 x>4}, 那么集合 A∩(?UB)
44

等于(

) B.{x|x≤3,或 x≥4} D.{x|-1≤x≤3}

A.{x|-2≤x<4} C.{x|-2≤x<-1}

解析:选 D 由题意可得,?UB={x|-1≤x≤4},A={x|-2≤x≤3},所以 A∩(?UB)={x| -1≤x≤3}. 3.已知集合 A={3,4,m},集合 B={3,4},若?AB={5},则实数 m=________. 解析:∵?AB={5},∴5∈A,且 5?B. ∴m=5. 答案:5 4.已知全集 U=R,M={x|-1<x<1},?UN={x|0<x<2},那么集合 M∪N=________. 解析:∵U=R,?UN={x|0<x<2}, ∴N={x|x≤0 或 x≥2} ∴M∪N={x|-1<x<1}∪{x|x≤0 或 x≥2} ={x|x<1 或 x≥2}. 答案:{x|x<1 或 x≥2} 5.设 U=R,已知集合 A={x|-5<x<5},B={x|0≤x<7},求(1)A∩B;(2)A∪B;(3)A∪ (?UB);(4)B∩(?UA); (5)(?UA)∩(?UB). 解:如图(1). (1)A∩B={x|0≤x<5}. (2)A∪B={x|-5<x<7}.

(3)如图(2). ?UB={x|x<0,或 x≥7}, ∴A∪(?UB)={x|x<5,或 x≥7}. (4)如图(3).

(3) ?UA={x|x≤-5,或 x≥5}, B∩(?UA)={x|5≤x<7}. (5)法一:∵?UB={x|x<0,或 x≥7}, ?UA={x|x≤-5,或 x≥5},∴如下图

45

(?UA)∩(?UB)={x|x≤-5,或 x≥7}. 法二:(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={x|x≤-5,或 x≥7}. [课时达标检测] 一、选择题 1.设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,4,5},则(?UA)∩(?UB)=( A.? C.{1,5} B.{4} D.{2,5} )

解析:选 A ∵?UA={2,4},?UB={1,3}, ∴(?UA)∩(?UB)=?,故选 A. 2.设全集 U=R,集合 A={x|0<x<9},B={x?Z|-4<x<4},则集合(?UA)∩B 中的元素 的个数为( A.3 C.5 ) B.4 D.6

解析:选 B 因 U=R,A={x|0<x<9},又因 B={x∈Z|-4<x<4}, 所以?UA={x|x≤0 或 x≥9}, 所以(?UA)∩B={x∈Z|-4<x≤0}={-3,-2,-1,0}共 4 个元素. 3.已知三个集合 U,A,B 及集合间的关系如图所示,则(?UB)∩A=( )

A.{3} C.{1,2}

B.{0,1,2,4,7,8} D.{1,2,3}

解析: 选 C 由 Venn 图可知 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,2,3}, B={3,5,6}, 所以(?UB)∩A ={1,2}. 4.图中阴影部分所表示的集合是( )

A.B∩(?U(A∪C)) C.(A∪C)∩(?UB)

B.(A∪B)∪(B∪C) D.(?U(A∩C))∪B

解析:选 A 阴影部分位于集合 B 内,且位于集合 A、C 的外部,故可表示为 B∩(?U(A ∪C)).故选 A.

46

5.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a?A},则集合 ?U(A∪B)中元素的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 B A={1,2},B={x|x=2a,a∈A}={2,4}, ∴A∪B={1,2,4},∴?U(A∪B)={3,5},故选 B. 二、填空题 6.设全集 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩(?UB)=________ 解析:∵U=R,B={x|x>1}, ∴?UB={x|x≤1}. 又∵A={x|x>0}, ∴A∩(?UB)={x|x>0}∩{x|x≤1}={x|0<x≤1}. 答案:{x|0<x≤1} 7. 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, A∪(?RB)=R, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵B={x|1<x<2},∴?RB={x|x≤1 或 x≥2}. 又∵A∪(?RB)=R,A={x|x<a}. 观察?RB 与 A 在数轴上表示的区间,如图所示:

可得当 a≥2 时,A∪(?RB)=R. 答案:{a|a≥2} 8.全集 U=R,A={x|x<-3 或 x≥2},B={x|-1<x<5},则集合 C={x|-1<x<2}= ________(用 A、B 或其补集表示). 解析:如图所示,

由图可知 C??UA,且 C?B, ∴C=B∩(?UA). 答案:B∩(?UA) 三、解答题 9.已知集合 A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}. (1)求 A∪B,(?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 解:(1)因为 A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以 A∪B={x|2≤x<10}. 因为 A={x|2≤x<7},所以?RA={x|x<2,或 x≥7},则(?RA)∩B={x|7≤x<10}.
47

(2)因为 A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且 A∩C≠?,所以 a>2. 10. 已知全集 U={不大于 20 的素数}, M, N 为 U 的两个子集, 且满足 M∩(?UN)={3,5}, (?UM)∩N={7,19},(?UM)∩(?UN)={2,17},求 M,N. 解:法一:U={2,3,5,7,11,13,17,19},

如图, ∴M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}. 法二:∵M∩(?UN)={3,5}, ∴3∈M,5∈M 且 3?N,5?N. 又∵(?UM)∩N={7,19}, ∴7∈N,19∈N 且 7?M,19?M. 又∵(?UM)∩(?UN)={2,17}, ∴?U(M∪N)={2,17}, ∴M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.

_1.2

函数及其表示

1.2.1 函数的概念

函数的概念

[提出问题] 某物体从高度为 44.1 m 的空中自由下落, 物体下落的距离 s 与所用时间 t 的平方成正比, 1 这个规律用数学式子可以描述为 s= gt2,其中 g=9.8 m/s2. 2 问题 1:时间 t 和物体下落的距离 s 有何限制? 提示:0≤t≤3,0≤s≤44.1. 问题 2:时间 t(0≤t≤3)确定后,下落的距离 s 确定吗? 提示:确定. 问题 3:下落后的某一时刻,能同时对应两个距离吗? 提示:不能.
48

[导入新知] 函数的有关概念 设 A,B 是非空数集,如果按照某种对应关系 f,使对于集合 A 中任意一个数 函数的概念 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 函数的记法 定义域 值域 y=f(x),x?A x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 函数值的集合{f(x)|x?A}叫做函数的值域

[化解疑难] 理解函数的概念应关注五点 (1)“A,B 是非空的数集”,一方面强调了 A,B 只能是数集,即 A,B 中的元素只能是 实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集,也就是说定义域为空集的函数是不存在 的. (2)理解函数的概念要注意,函数的定义域是非空数集 A,但函数的值域不一定是非空数 集 B,而是集合 B 的子集. (3)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集 A 中的任意一 个(任意性)元素 x,在非空数集 B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素 y 与之对应.这三性只 要有一个不满足,便不能构成函数. (4)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”,f(x)也不一定就是解析式; (5)除 f(x)外,有时还用 g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数. 区间

[导入新知] 区间的概念及表示 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 半开半闭区间 符号 [a,b] (a,b) [a,b) (a,b] [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a]
49

数轴表示

{x|x<a} R

开区间 开区间

(-∞,a) (-∞,+∞)

[化解疑难] 1.理解区间概念的注意点 (1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开; (2)区间表示实数集的几条原则: 连续的数集, 左端点必须小于右端点, 开或闭不能混淆; (3)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别; (4)由于区间是表示数集的一种形式,因此对于集合的运算仍然成立. 2.关于无穷大的两点说明 (1)∞是一个符号,而不是一个数; (2)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号.

函数的判断

[例 1] (1)设 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:

其中,能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3

)

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集 R 上的一个函数?为什么? ①f:把 x 对应到 3x+1; 1 ③h:把 x 对应到 ; x ②g:把 x 对应到|x|+1; ④r:把 x 对应到 x.

(1)[解析] ①中,因为在集合 M 中当 1<x≤2 时,在 N 中无元素与之对应,所以①不是; ②中,对于集合 M 中的任意一个数 x,在 N 中都有唯一的数与之对应,所以②是;③中,x =2 对应元素 y=3?N,所以③不是;④中,当 x=1 时,在 N 中有两个元素与之对应,所以 ④不是.因此只有②是,故选 B. [答案] B (2)[解] ①是实数集 R 上的一个函数.它的对应关系 f 是:把 x 乘 3 再加 1,对于任一 x ∈R,3x+1 都有唯一确定的值与之对应,如 x=-1,则 3x+1=-2 与之对应.
50

同理,②也是实数集 R 上的一个函数. 1 ③不是实数集 R 上的函数.因为当 x=0 时, 的值不存在. x ④不是实数集 R 上的函数.因为当 x<0 时, x的值不存在. [类题通法] 1.判断所给对应是否为函数的方法 (1)首先观察两个数集 A,B 是否非空; (2)其次验证对应关系下,集合 A 中 x 的任意性,集合 B 中 y 的唯一性,即不能没有数 y 对应数 x,也不能有多于一个的数 y 对应 x. 2.根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 (1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l; (2)在定义域内平行移动直线 l; (3)若 l 与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以 上的交点,则不是函数. [活学活用] 下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是( A.A?R,B?R,x2+y2=1 B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图: )

C.A=R,B=R,f:x→y=

1 x-2

D.A=Z,B=Z,f:x→y= 2x-1 解析:选 B A 错误,x2+y2=1 可化为 y=± 1-x2,显然对任意 x?A,y 值不唯一.B 正确,符合函数的定义.C 错误,2?A,在 B 中找不到与之相对应的数.D 错误,-1?A, 在 B 中找不到与之相对应的数. 求函数的定义域 [例 2] 求下列函数的定义域: ?x+1?2 5-x (1)y= - 1-x;(2)y= . x+1 |x|-3
?x+1≠0, ? [解] (1)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足? ?1-x≥0. ?

解得 x≤1 且 x≠-1,
51

即函数定义域为{x|x≤1,且 x≠-1}.
? ?5-x≥0, (2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足? ?|x|-3≠0, ?

解得 x≤5 且 x≠± 3, 即函数定义域为{x|x≤5,且 x≠± 3}. [类题通法] 求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:①分式的分 母不为 0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0 要求 x≠0. (2)不对解析式化简变形,以免定义域变化. (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得 各式子都有意义的公共部分的集合. (4)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接, 而应该用并集符号“∪”连接. [活学活用] 求下列函数的定义域: 3 (1)y=2+ ; x-2 (2)y= 3-x· x-1; (3)y=(x-1)0+ 2 . x+1 3 有意义,所以这个函数的定义域 x-2

解:(1)当且仅当 x-2≠0,即 x≠2 时,函数 y=2+ 为{x|x≠2}.

? ?3-x≥0, (2) 函 数 有 意 义 , 当 且 仅 当 ? 解 得 1≤x≤3 , 所 以 这 个 函 数 的 定 义 域 为 ?x-1≥0. ?

{x|1≤x≤3}. x-1≠0, ? ? 2 (3)函数有意义,当且仅当?x+1≥0, ? ?x+1≠0. 解得 x>-1,且 x≠1, 所以这个函数的定义域为{x|x>-1,且 x≠1}. 求函数值和值域

52

1 [例 3] 已知 f(x)= (x?R,且 x≠-1),g(x)=x2+2(x?R). 1+x (1)求 f(2)、g(2)的值; (2)求 f[g(2)]的值; (1)求 f(x)、g(x)的值域; 1 [解] (1)∵f(x)= , 1+x 1 1 ∴f(2)= = ; 1+2 3 又∵g(x)=x2+2, ∴g(2)=22+2=6. (2)f[g(2)]=f(6)= 1 1 = . 1+6 7

1 (3)f(x)= 的定义域为{x|x≠-1}, x+1 ∴值域是(-∞,0)∪(0,+∞). g(x)=x2+2 的定义域为 R,最小值为 2, ∴值域是[2,+∞). [类题通法] 求函数值域的方法 求函数值域,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法: (1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到; (2)配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直 接看出其值域的方法; (3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的 形式,便于求值域; (4)换元法:对于一些无理函数(如 y=ax± b± cx± d),通过换元把它们转化为有理函数, 然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域. [活学活用] 求下列函数的值域: (1)y=x+1,x?{1,2,3,4,5}; (2)y=x2-2x+3,x?[0,3); 2x+1 (3)y= ; x-3 (4)y=2x- x-1. 解:(1)(观察法)因为 x∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值
53

域为{2,3,4,5,6}. (2)(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由 x∈[0,3),再结合函数的图象(如图(1)),可得函 数的值域为[2,6). 2x+1 2?x-3?+7 7 7 (3)(分离常数法)y= = =2+ ,显然 ≠0,所以 y≠2.故函数的值 x-3 x-3 x-3 x-3 域为(-∞,2)∪(2,+∞). 1 15 (4)(换元法)设 t= x-1, 则 t≥0 且 x=t2+1, 所以 y=2(t2+1)-t=2(t- )2+ , 由 t≥0, 4 8 15 再结合函数的图象(如图(2)),可得函数的值域为[ ,+∞). 8

3.相等函数的判断 [典例] 下列各组函数: x2-x ①f(x)= ,g(x)=x-1; x ②f(x)= x x ,g(x)= ; x x

③f(x)= x+1· 1-x,g(x)= 1-x2; ④f(x)= ?x+3?2,g(x)=x+3; ⑤ 汽 车 匀 速运 动 时 , 路程 与 时 间 的函 数 关系 f(t) = 80t(0≤t≤5) 与 一次 函数 g(x) = 80x(0≤x≤5). 其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号). [解析] ①不同,定义域不同,f(x)定义域为{x|x≠0},g(x)定义域为 R.②不同,对应法则 不同,f(x)= 1 ,g(x)= x.③相同,定义域、对应法则都相同.④不同,值域不同,f(x)≥0, x

g(x)∈R.⑤相同,定义域、对应法则都相同. [答案] ③⑤
54

[易错防范] 1.若只注意对应关系,忽视定义域,则易误认为①中 f(x)与 g(x)是同一函数,从而导致 解题错误. 2.若认为不同的字母表示的函数是不同的函数,则会误认为⑤中的两个函数是不同的, 从而导致解题错误. 3. 讨论函数是否为同一函数问题时, 要保持定义域优先的原则, 判断两个函数是否相等, 要先求定义域,若定义域不同,则不相等;若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关 系是否相同. [成功破障] 与函数 y=x+1 相等的函数是( x2-1 A.y= x-1 C.y= x2+2x+1 ) B.y=t+1 D.y=( x+1)2

解析:选 B A、D 与原函数的定义域不同,C 与原函数的对应关系不同,B 与原函数定 义域、对应关系都相同,故选 B.

[随堂即时演练] 1.下列说法错误的是( )

A.函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应 B.函数的定义域是无限集,则值域也是无限集 C.定义域与对应关系确定后,函数值域也就确定了 D.若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素 解析:选 B 根据函数的概念即可判断. 2.下列函数中,f(x)与 g(x)相等的是( A.f(x)=x,g(x)=( x)2 B.f(x)=x,g(x)= x2 x2-4 C.f(x)=x+2,g(x)= x-2 D.f(x)=|x|,g(x)= x2 解析:选 D 对于 A,f(x)=x 的定义域为 R,g(x)=( x)2 的定义域为{x|x≥0},两函数的 定义域不相同,所以不是相等函数;对于 B,g(x)= x2=|x|,与 f(x)=x 的对应关系不相同, x2-4 所以不是相等函数;对于 C,g(x)= =x+2(x≠2),与 f(x)=x+2 的定义域不同,所以不 x-2 )

55

是相等函数;对于 D,g(x)= x2=|x|,与 f(x)=|x|的对应关系和定义域都相同,所以是相等函 数. 3.用区间表示下列数集: (1){x|x≥1}=________; (2){x|2<x≤4}=________; (3){x|x>-1 且 x≠2}=________. 答案:(1)[1,+∞);(2)(2,4];(3)(-1,2)∪(2,+∞) 1 4.函数 y= 的定义域是 A,函数 y= 2x+6 的值域是 B,则 A∩B=________(用区 x-2 间表示). 1 解析:函数式 y= 有意义,只需 x≠2,即 A={x|x≠2};函数 y= 2x+6 ≥0,即 B x-2 ={y|y≥0}={x|x≥0},则 A∩B={x|0≤x<2,或 x>2}. 答案:[0,2)∪(2,+∞) 1-x 5.若 f(x)= (x≠-1),求 f(0),f(1),f(1-a)(a≠2),f[f(2)]. 1+x 1-0 1-1 解:f(0)= =1;f(1)= =0, 1+0 1+1 1-?1-a? a f(1-a)= = (a≠2); 1+?1-a? 2-a 1-2 1- 1+2 1-f?2? f[f(2)]= = =2. 1+f?2? 1-2 1+ 1+2 [课时达标检测] 一、选择题 1.下列式子中不能表示函数 y=f(x)的是( A.x=y2+1 C.x-2y=6
2 2

)

B.y=2x2+1 D.x= y

解析:选 A 对于 A,由 x=y +1 得 y =x-1.当 x=5 时,y=± 2,故 y 不是 x 的函数; 1 对于 B, y=2x2+1 是二次函数; 对于 C, x-2y=6?y= x-3 是一次函数; 对于 D, 由 x= y 2 得 y=x2(x≥0)是二次函数.故选 A. 2.下列各组中的两个函数为相等函数的是( A.f(x)= x+1· x-1,g(x)= ?x+1??x-1? B.f(x)=( 2x-5)2,g(x)=2x-5 )

56

1-x 1+x C.f(x)= 2 与 g(x)= 2 x +1 x +1 ? x?4 t D.f(x)= 与 g(t)=( )2 x t 解析:选 D A 中,f(x)= x+1· x-1的定义域为{x|x≥1},g(x)= ?x+1??x-1?的定义 5 域为{x|x≥1 或 x≤-1},它们的定义域不相同;B 中,f(x)=( 2x-5)2 的定义域为{x|x≥ }, 2 1-x 1+x g(x)=2x-5 的定义域为 R,定义域不同,不是相等函数.C 中,f(x)= 2 与 g(x)= 2 的 x +1 x +1 ? x?4 t 对应关系不同,不相等.D 中,f(x)= =x(x>0)与 g(x)=( )2=t(t>0)的定义域与对应关系 x t 都相同,它们相等. 3.若函数 y=f(x)的定义域 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则函数 y=f(x) 的图象可能是( )

解析:选 B A 中定义域是{x|-2≤x≤0},不是 M,C 中图象不表示函数关系,D 中值 域不是 N={y|0≤y≤2}. 4.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( A.y= x 1 C.y= x ) B.y= 1 x

D.y=x2+1

1 解析:选 B y= x的值域为[0,+∞),y= 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1 x 的值域为[1,+∞). x2-1 f?2? 5.设 f(x)= 2 ,则 =( 1 x +1 f? ? 2 A.1 3 C. 5 )

B.-1 3 D.- 5

57

1 ? ?2-1 2 22-1 3 1 3 解析:选 B ∵f(2)= 2 = ,f( )= =- , 2 12 5 2 +1 5 ? ? +1 2 ∴ f?2? 3 5 = ×(- )=-1. 1 5 3 f? ? 2

二、填空题 6.若[a,3a-1]为一确定区间,则 a 的取值范围是________. 1 解析:由题意 3a-1>a,则 a> . 2 1 答案:( ,+∞) 2 1 7.设 f(x)= ,则 f[f(x)]=________. 1-x x-1 1 1 解析:f[f(x)]= = = . 1 x 1-x-1 1- 1-x 1-x x-1 答案: (x≠0,且 x≠1) x x-1 8.若函数 f(x)= 2 的定义域为 R,则 m 的取值范围为________. mx +x+3 解析: 要使原函数有意义, 必须 mx2+x+3≠0, 由于函数的定义域是 R, 故 mx2+x+3≠0 对一切实数 x 恒成立. 当 m=0 时,x+3≠0,即 x≠-3,与 f(x)的定义域为 R 矛盾,所以 m=0 不合题意. 1 当 m≠0 时,有 Δ=12-12m<0,解得 m> . 12 1 故综上可知,m 的取值范围是{m|m> }. 12 1 答案:{m|m> } 12 三、解答题 9.试求下列函数的定义域与值域: (1)f(x)=(x-1)2+1,x?{-1,0,1,2,3}; (2)f(x)=(x-1)2+1; 5x+4 (3)f(x)= ; x-1 (4)f(x)=x- x+1. 解:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则 f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理可得 f(0)=2, 3

58

f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}. (2)函数的定义域为 R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|y≥1}. 5x+4 9 (3)函数的定义域是{x|x≠1},y= =5+ ,所以函数的值域为{y|y≠5}. x-1 x-1 (4)要使函数式有意义, 需 x+1≥0, 即 x≥-1, 故函数的定义域是{x|x≥-1}. 设 t= x+1, 1 5 5 则 x=t2-1(t≥0), 于是 f(t)=t2-1-t=(t- )2- .又 t≥0, 故 f(t)≥- .所以函数的值域是{y|y≥ 2 4 4 5 - }. 4 x2 10.已知函数 f(x)= . 1+x2 1 1 (1)求 f(2)+f( ),f(3)+f( )的值; 2 3 1 (2)求证:f(x)+f( )是定值; x 1 1 1 (3)求 f(2)+f( )+f(3)+f( )+?+f(2 012)+f( )的值. 2 3 2 012 x2 解:(1)∵f(x)= , 1+x2 1 22 ∴f(2)+f( )= + 2 1+22 1 ? ?2 2 =1, 1 1+? ?2 2

1 ? ?2 3 1 3 f(3)+f( )= + =1. 3 1+32 1 1+? ?2 3
2

1 ? ?2 x x2+1 1 x2 x2 1 (2)证明:f(x)+f( )= = = 2 =1. 2+ 2+ 2 x 1+x 1 1+x x +1 x +1 1+? ?2 x 1 (3)由(2)知 f(x)+f( )=1, x 1 1 1 1 ∴f(2)+f( )=1,f(3)+f( )=1,f(4)+f( )=1,?,f(2 012)+f( )=1. 2 3 4 2 012 1 1 1 ∴f(2)+f( )+f(3)+f( )+?+f(2 012)+f( )=2 011. 2 3 2 012 1.2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法

函数的表示法
59

[提出问题] (1)如图是我国人口出生率变化曲线:

(2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表 污染源距离 氰化物浓度 50 0.678 100 0.398 200 0.121 300 0.05 500 0.01

问题 1:实例(1)中的图能表示两个变量之间存在函数关系吗?如果能,自变量是什么? 提示:能.表示出生率是年份的函数,其中年份为自变量. 问题 2: 实例(2)中的表格能表示两个变量之间存在函数关系吗?如果能, 定义域是什么? 值域是什么? 提示: 能.表示浓度是距离的函数.其中,定义域为 {50,100,200,300,500} ,值域为 {0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}. 问题 3:实例中的函数关系能否用解析式表示? 提示:不能.并不是所有的函数都有解析式. [导入新知]

[化解疑难] 三种表示方法的优缺点比较 优 点 缺 点

一是简明、全面地概括了变量间的关 解析法 系;二是可以通过用解析式求出任意一 个自变量所对应的函数值. 列表法 图象法 不通过计算就可以直接看出与自变量 的值相对应的函数值. 直观形象地表示出函数的变化情况,有

不够形象、直观,而且并不是所有的函 数都可以用解析式表示. 它只能表示自变量取较少的有限值的对 应关系. 只能近似地求出自变量所对应的函数

60

利于通过图形研究函数的某些性质.

值,有时误差较大.

函数的表示方法

[例 1] (1)某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴 表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( )

(2)已知函数 f(x)按下表给出,满足 f[f(x)]>f(3)的 x 的值为________. x f(x) [解析] 1 2 2 3 3 1

(1)由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后

来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为 0. (2)由表格可知 f(3)=1,故 f[f(x)]>f(3)即为 f[f(x)]>1. ∴f(x)=1 或 f(x)=2, ∴x=3 或 1. [答案] (1)D (2)3 或 1

[类题通法] 理解函数的表示法应关注三点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法,无论用哪种方式表示函数,都必须满 足函数的概念. (2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义. (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际 操作中,仍以解析法为主. [活学活用] 1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行

61

驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是

解析: 选 A 由这一过程中汽车的速度变化可知, 速度由小变大→保持匀速→由大变小. 速度由小变大时,路程曲线上升得越来越快,曲线显得陡峭;匀速行驶中路程曲线上升 速度不变;速度由大变小时,路程曲线上升得越来越慢,曲线显得平缓. 2.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出. x f(x) x g(x) (1)f[g(1)]=________; (2)若 g[f(x)]=2,则 x=________. 解析:(1)由表知 g(1)=3, ∴f[g(1)]=f(3)=1; (2)由表知 g(2)=2,又 g[f(x)]=2,得 f(x)=2, 再由表知 x=1. 答案:(1)1 (2)1 函数图象的作法及应用 [例 2] 作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x?[0,2]; 2 (2)y= ,x?[2,+∞); x (3)y=x2+2x,x?[-2,2]. [解] (1)列表: x y 0 1 1 2 2 1 3 3 2 4 2 5 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 3 1

当 x∈[0,2]时,图象是直线 y=2x+1 的一部分,观察图象可知,其值域为[1,5].

62

(2)列表 x y 2 1 3 2 3 4 1 2 5 2 5 ? ?

2 当 x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数 y= 的一部分,观察图象可知其值域为(0,1]. x

(3)列表: x y -2 0 -1 -1 0 0 1 3 2 8

画图象,图象是抛物线 y=x2+2x 在-2≤x≤2 之间的部分.

由图可得函数的值域是[-1,8]. [类题通法] 1.作函数图象的三个步骤 (1)列表.先找出一些有代表性的自变量 x 的值,并计算出与这些自变量相对应的函数值 f(x),用表格的形式表示出来. (2)描点.把第(1)步表格中的点(x,f(x))一一在坐标平面上描出来.
63

(3)连线.用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来. 备注:所选的点越多画出的图象越精确,同时所选的点应该是关键处的点. 2.常见函数图象的画法技巧 (1)对于一次函数的图象,描出与坐标轴的交点,连线即得; (2)对于二次函数的图象,描出与坐标轴的交点、顶点,连线即得. [活学活用] 作出下列函数图象: (1)y=1-x(x?Z 且|x|≤2); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 解:(1)因为 x∈Z 且|x|≤2, ∴x∈{-2,-1,0,1,2}. 所以图象为一直线上的孤立点(如图(1)).

(2)∵y=2(x-1)2-5,∴当 x=0 时,y=-3; 当 x=3 时,y=3;当 x=1 时,y=-5. 所画函数图象如图(2).

3.函数解析式的求法 [典例] (1)已知函数 f(x)是一次函数,若 f[f(x)]=4x+8,求 f(x)的解析式.

(2)已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x)的解析式. [解] (1)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 又 f[f(x)]=4x+8, ∴a2x+ab+b=4x+8,

? ?a2=4, ? ? 即? ,解之得? 8 ? ?ab+b=8 ?b= , ?
3

a=2,

?a=-2, ? 或? ? ?b=-8.

64

8 ∴f(x)=2x+ 或 f(x)=-2x-8. 3 (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(0)=1,∴c=1. 又∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 整理得:2ax+(a+b)=2x. 由恒等式性质知上式中对应项系数相等.
? ?2a=2, ∴? ? ?a+b=0,

解得 a=1,b=-1, ∴f(x)=x2-x+1. [多维探究] 上例为“已知函数的类型,求函数的解析式”的问题.解决此类问题的方法是待定系数 法,即引入参数设出函数的解析式,然后利用条件确定所设的参数的具体值,即可求出其结 果. 对于函数解析式的求解还有如下几种类型,应注意掌握. 1.已知 f(x)的解析式,求 f[g(x)]的解析式 解决此类问题的方法为“直接代入法”, 直接代入法主要解决已知 f(x)的解析式, 求 f[g(x)] 的解析式的问题,其解法为用 g(x)替换 f(x)解析式中的所有自变量 x. 例: 已知 f(x)=2x2+1,求 f( x+1)的解析式. 解:因为 f(x)=2x2+1, 所以 f( x+1)=2( x+1)2+1=2x+4 x+3. 2.已知 f[g(x)]的解析式,求 f(x)的解析式 解决此类问题常见的方法有“整体代入法”和“换元法”.“整体代入法”是把 g(x)视 为一个整体,将 f[g(x)]的解析式转化为含 g(x)的表达式,然后直接整体代换 g(x),即可求出解 析式, 此种方法不必求出 x, 可以减少运算量. “换元法”是通过引入参数 t 进行式子的变形, 从而得到 f(x)的表达式,这是解此类型题的通法. 例:求下列函数的解析式: 1+x 1+x2 1 ①已知 f( )= 2 + ,求 f(x); x x x ②已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x). 解:①法一:(换元法) 1+x 1 1 令 t= = +1,得 x= , x x t-1
65

则 t≠1.把 x=

1+x 1+x2 1 1 代入 f( )= 2 + ,得 x x x t-1

1 2 1+? ? t-1 1 f(t)= + =(t-1)2+1+(t-1) 1 2 1 ? ? t-1 t-1 =t2-t+1. ∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1,x∈(-∞,1)∪(1,+∞). 法二:(配凑法) 1+x 1+x2+2x-2x 1 ∵f( )= + x x2 x 1+x 2 1+x-x =( )- x x 1+x 2 1+x =( )- +1, x x ∴f(x)=x2-x+1. 1+x 1 又∵ = +1≠1, x x ∴所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1(x≠1). ②法一:(换元法) 令 x+1=t(t≥1),则 x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2 ?t-1?2=t2-1. ∴f(x)=x2-1(x≥1). 法二:(配凑法) ∵x+2 x=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1. 又∵ x+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1). 1 3.已知的式子中含有 f(x),f( )或 f(x),f(-x)形式的函数,求 f(x)的解析式. x 1 解决此类问题的方法为“方程组法”,即用-x 替换 x,或用 替换 x,组成方程组进行 x 求解. 例:①已知 af(x)+f(-x)=bx,其中 a≠± 1, 求 f(x); 1 ②已知 f(x)-2f( )=3x+2,求 f(x). x 解:①在原式中以-x 替换 x,得 af(-x)+f(x)=-bx,
66

? ?af?x?+f?-x?=bx, 于是得? ?af?-x?+f?x?=-bx. ?

bx 消去 f(-x),得 f(x)= . a-1 b 故 f(x)的解析式为 f(x)= x. a-1 1 1 3 ②在原式中用 替换 x,得 f( )-2f(x)= +2, x x x

?f?x?-2f?x?=x+2, 于是有? 1 ?f?x?-2f?x?=3x+2.
1 2 消去 f( ),得 f(x)=-x- -2. x x

1

3

[随堂即时演练] 1.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了 一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了 终点??.用 s1,s2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图中的 st 函数图象与故 事情节相吻合的是( )

解析:选 B 由于兔子中间睡了一觉,所以有一段路程不变,而乌龟的路程始终在增加 且比兔子早到终点,故选 B. 2.函数 y=f(x)的图象如图,则 f(x)的定义域是( A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-1,0) 解析:选 C 由图象知 x≠0,即 x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
67

)

3.如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O、A、B 的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1), 则 f[f(3)]的值等于________.

解析:据图象知 f(3)=1,∴f[f(3)]=f(1)=2. 答案:2 4.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)=6x+4,则 f(x)=________. 解析:设 f(x)=kx+b(k≠0),则 3f(x+1)=3[k(x+1)+b]=3kx+3k+3b=6x+4,所以
?3k=6, ? ? ?3k+3b=4, ?

k=2, ? ? 2 解得? 所以 f(x)=2x- . 2 3 ? ?b=-3, 2 答案:2x- 3 5.(1)已知函数 f(x)=x2,求 f(x-1); (2)已知函数 f(x-1)=x2,求 f(x). 解:(1)f(x-1)=(x-1)2=x2-2x+1. (2)法一(配凑法) 因为 f(x-1)=x2=(x-1)2+2(x-1)+1,所以 f(x)=x2+2x+1. 法二(换元法) 令 t=x-1,则 x=t+1,可得 f(t)=(t+1)2=t2+2t+1,即 f(x)=x2+2x+ 1. [课时达标检测] 一、选择题 1.设 f(x)=2x+3,g(x)=f(x-2),则 g(x)等于( A.2x+1 C.2x-3 B.2x-1 D.2x+7 )

解析:选 B ∵f(x)=2x+3,∴f(x-2)=2(x-2)+3=2x-1,即 g(x)=2x-1,故选 B. 2.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中, 注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正确 的是( )

68

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

解析:选 A 对于第一幅图,水面的高度 h 的增加应是均匀的,因此不正确,其他均正 确,选 A. 3.函数 y=f(x)(f(x)≠0)的图象与 x=1 的交点个数是( A.1 C.0 或 1 B.2 D.1 或 2 )

解析:选 C 结合函数的定义可知,如果 f:A→B 成立,则任意 x∈A,则有唯一确定的 B 与之对应,由于 x=1 不一定是定义域中的数,故 x=1 可能与函数 y=f(x)没有交点,故函 数 f(x)的图象与直线 x=1 至多有一个交点. 1 1 4.已知 x≠0,函数 f(x)满足 f(x- )=x2+ 2,则 f(x)的表达式为( x x 1 A.f(x)=x+ x C.f(x)=x2 B.f(x)=x2+2 1?2 D.f(x)=? ?x-x? )

1? 2 1 ? 1?2 解析:选 B ∵f? ?x-x?=x +x2=?x-x? +2, ∴f(x)=x2+2. 5.已知函数 f(x)满足 f(ab)=f(a)+f(b),且 f(2)=p,f(3)=q,那么 f(12)=( A.p+q C.p+2q B.2p+q D.p2+q )

解析:选 B 由 f(ab)=f(a)+f(b),∴f(12)=f(4)+f(3)=2f(2)+f(3)=2p+q. 二、填空题 m 6.已知函数 f(x)=x- ,且此函数图象过点(5,4),则实数 m 的值为________. x m 解析:将点(5,4)代入 f(x)=x- ,得 m=5. x 答案:5 1 7.若 f(x)- f(-x)=2x(x?R),则 f(2)=______. 2

?f?2?-2f?-2?=4, 解析:由? 1 ?f?-2?-2f?2?=-4,
69

1

2f?2?-f?-2?=8, ? ? 得? 1 ? ?f?-2?-2f?2?=-4. 3 8 相加得 f(2)=4,f(2)= . 2 3 8 答案: 3 8.某航空公司规定,乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确 定,那么乘客可免费携带行李的最大重量为________(kg).

解析:设一次函数解析式为 y=ax+b(a≠0),
?330=30a+b, ? 代入点(30,330)与点(40,630)得? ? ?630=40a+b, ? ?a=30, 解得? ?b=-570. ?

即 y=30x-570, 若要免费,则 y≤0,∴x≤19. 答案:19 三、解答题 9.如图所示,有一块边长为 a 的正方形铁皮,将其四角各截去一个边长为 x 的小正方形, 然后折成一个无盖的盒子,写出此盒子的体积 V 以 x 为自变量的函数式, 并指明这个函数的定义域. 解:由题意可知该盒子的底面是边长为(a-2x)的正方形,高为 x, ∴此盒子的体积 V=(a-2x)2· x=x(a-2x)2,
? ?a-2x>0, a 其中自变量 x 应满足? 即 0<x< . 2 ?x>0, ?

a ∴此盒子的体积 V 以 x 为自变量的函数式为 V=x(a-2x)2,定义域为(0, ). 2 b 10.某企业生产某种产品时的能耗 y 与产品件数 x 之间的关系式为:y=ax+ .且当 x=2 x 时,y=100;当 x=7 时,y=35.且此产品生产件数不超过 20 件. (1)写出函数 y 关于 x 的解析式; (2)用列表法表示此函数,并画出图象.
70

? ?x=2, 解:(1)将? ?y=100, ?

? ?x=7, b ? 代入 y=ax+ 中, x ?y=35, ?

?2a+2=100, 得? b ?7a+7=35

b

?4a+b=200, ?a=1, ? ? ?? ?? ? ? ?49a+b=245 ?b=196.

196 所以所求函数解析式为 y=x+ (x∈N,0<x≤20). x (2)当 x∈{1,2,3,4,5,?,20}时,列表: x y x y 1 197 11 28.8 2 100 12 28.3 3 68.3 13 28.1 4 53 14 28 5 44.2 15 28.1 6 38.7 16 28.25 7 35 17 28.5 8 32.5 18 28.9 9 30.8 19 29.3 10 29.6 20 29.8

依据上表,画出函数 y 的图象如图所示,是由 20 个点构成的点列.

第二课时 分段函数与映射

分段函数 [提出问题] 某市空调公共汽车的票价按下列规则判定: (1)5 千米以内,票价 2 元; (2)5 千米以上,每增加 5 千米,票价增加 1 元(不足 5 千米的按 5 千米计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距 1 千米,沿途(包括起点站和终点站)有 11 个汽车站. 问题 1:从起点站出发,公共汽车的行程 x(千米)与票价 y(元)有函数关系吗? 提示:有函数关系. 问题 2:函数的表达式是什么?

71

? ?2, 0<x≤5, 提示:y=? ?3, 5<x≤10. ?

问题 3:x 与 y 之间有何特点? 提示:x 在不同区间内取值时,与 y 所对应的关系不同. [导入新知] 如果函数 y=f(x),x?A, 根据自变量 x 在不同的取值范围内, 函数有着不同的对应关系, 称这样的函数为分段函数. [化解疑难] 分段函数的三要点 (1)分段函数是一个函数,切不可把它看成是几个函数.分段函数在书写时用大括号把各 段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围. (2)一个函数只有一个定义域,分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写 成几个集合的形式. (3)求分段函数的值域,应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合, 再求出它们的并集. 映射

[提出问题] A={x|x 是三角形},B={x|x 是圆}. 对应关系:每一个三角形都对应它的外接圆. 问题 1:从集合 A 到集合 B 能构成函数吗? 提示:不能. 问题 2:从集合 A 到集合 B 的对应有什么特点? 提示:对于集合 A 中的任何一个三角形,在集合 B 中都有唯一的外接圆与之对应. [导入新知] 映射的定义 设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. [化解疑难] 映射与函数的联系 名称 区别与联系 函数 映射

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区别

函数中的两个集合 A 和 B 必须 是非空数集

映射中的两个集合 A 和 B 可以是数 集, 也可以是其他集合, 只要非空即 可

联系

函数是一种特殊的映射;映射是函数概念的推广,但不一定是函数

分段函数求值问题

x+1, x≤-2, ? ?2 [例 1] 已知函数 f(x)=?x +2x, -2<x<2, ? ?2x-1, x≥2.

? 5?? (1)求 f(-5),f(- 3),f? ?f?-2??的值;
(2)若 f(a)=3,求实数 a 的值. [解] (1)由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2), 5 - ∈(-∞,-2],知 f(-5)=-5+1=-4, 2 f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3. 5? 5 3 3 ∵f? ?-2?=-2+1=-2,且-2<-2<2, 3 ? 5?? ? 3? ? 3?2 ? 3? 9 ∴f? ?f?-2??=f?-2?=?-2? +2×?-2?=4-3=-4. (2)当 a≤-2 时,a+1=3,即 a=2>-2,不合题意,舍去. 当-2<a<2 时,a2+2a=3,即 a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得 a=1,或 a=-3. ∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1 符合题意. 当 a≥2 时,2a-1=3,即 a=2 符合题意. 综上可得,当 f(a)=3 时,a=1,或 a=2. [类题通法] 1.求分段函数的函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现 f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值,直到求出值为止. 2.求某条件下自变量的值的方法
73

先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后相应求出自变量的值,切记代入检 验. [活学活用] 1,?n=1?, ? ? 已知函数 f(n)=?2,?n=2?, ? ?f?n-2?+f?n-1?,?n?N*,n≥3?. 求:f(3),f(4),f[f(4)]的值. 解:由题意可知 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3. f(4)=f(3)+f(2)=3+2=5. f[f(4)]=f(5)=f(4)+f(3)=5+3=8. 分段函数的图象及应用 [例 2] (1)如图为一分段函数的图象,则该函数的定义域为________,值域为________.

|x|-x (2)已知函数 f(x)=1+ (-2<x≤2). 2 ①用分段函数的形式表示该函数; ②画出该函数的图象; ③写出该函数的值域. (1)[解析] 由图象可知,第一段的定义域为[-1,0),值域为[0,1); 第二段的定义域为[0,2],值域为[-1,0].所以该分段函数的定义域为[-1,2],值域为[- 1,1). [答案] [-1,2] [-1,1)

x-x (2)[解] ①当 0≤x≤2 时,f(x)=1+ =1, 2 -x-x 当-2<x<0 时,f(x)=1+ =1-x. 2
? ?0≤x≤2?, ?1, ∴f(x)=? . ?1-x, ?-2<x<0? ?

②函数 f(x)的图象如图所示,

74

③.由②知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). [类题通法] 分段函数图象的画法 (1)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将 函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象. (2)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限 制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保 证不重不漏. [活学活用] 已知函数 y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.

解:题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象,对各段对应的函数解析式进行求 解时,一定要注意其区间的端点. 根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为 y=kx+b(x<1). ∵点(1,1),(0,2)在射线上,
? ? ?k+b=1, ?k=-1, ∴? 解得? ?b=2, ?b=2, ? ?

∴左侧射线对应的函数的解析式为 y=-x+2(x<1). 同理,x>3 时,函数的解析式为 y=x-2(x>3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为 y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a<0). ∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,a=-1. ∴1≤x≤3 时,函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3). 综上可知,函数的解析式为 -x+2,?x<1?, ? ? 2 y=?-x +4x-2,?1≤x≤3?, ? ?x-2,?x>3?.

75

映射的概念 [例 3] 判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射: (1)A=N*,B=N*,对应关系 f:x→|x-3|; (2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系 f:作圆的内接矩形; (3)A={高一(1)班的男生},B=R,对应关系 f:每个男生对应自己的身高; 1 (4)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6},对应关系 f:x→y= x. 2 [解] (1)A 中元素 3 在对应关系 f 的作用下与 3 的差的绝对值为 0, 而 0?B, 故不是映射. (2)因为一个圆有无数个内接矩形, 即集合 A 中任何一个元素在集合 B 中有无数个元素与 之对应,故不是映射. (3)对 A 中任何一个元素,按照对应关系 f,在 B 中都有唯一的元素与之对应,符合映射 定义,是映射. 1 (4)是映射,因为 A 中每一个元素在 f:x→y= x 作用下对应的元素构成的集合 C= 2 {y|0≤y≤1}?B,符合映射定义. [类题通法] 判断一个对应是否为映射的两个关键点 (1)对于 A 中的任意一个元素,在 B 中是否有元素对应; (2)B 中的对应元素是否是唯一的. 注意:“一对一”或“多对一”的对应都是映射. [活学活用] x 已知 A={1,2,3,?,9},B=R,从集合 A 到集合 B 的映射 f:x→ . 2x+1 (1)与 A 中元素 1 相对应的 B 中的元素是什么? 4 (2)与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是什么? 9 x 1 1 解:(1)A 中元素 1,即 x=1,代入对应关系得 = = ,即与 A 中元素 1 相 2x+1 2×1+1 3 1 对应的 B 中的元素是 . 3 4 x 4 4 (2)B 中元素 ,即 = ,解得 x=4,因此与 B 中元素 相对应的 A 中的元素是 4. 9 9 2x+1 9

2.函数在实际中的应用

76

[典例]

(12 分)如图所示,已知底角为 45° 的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm,腰长

为 2 2cm,当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时, 直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式,并画 出大致图象.

[解题流程] 求直线l左边部分的面积y关于x的解析式 ?1?欲求 l 左侧的面积,应先确定形状; ?2?l 在 AB 之间,l 在 DC 之间时,其左 侧的形状不同,应分类 讨论? 错误!

[活学活用]

77

某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地行驶到 260 km 远处的 B 地,在 B 地停留 1.5 h 后,再以 65 km/h 的速度返回 A 地,试将汽车离开 A 地后行驶的路程 s 表示为时间 t 的函数. 解:因为 260÷ 52=5 (h),260÷ 65=4 (h), 所以,当 0≤t≤5 时,s=52 t; 当 5<t≤6.5 时,s=260; 当 6.5<t≤10.5 时,s=260+65(t-6.5). 52t,0≤t≤5, ? ? 所以 s=?260,5<t≤6.5, ? ?260+65?t-6.5?,6.5<t≤10.5.

[随堂即时演练] 1.已知集合 A=[0,4],B=[0,2],按对应关系 f 不能构成从 A 到 B 的映射的是( 1 A.f:x→y= x 2 C.f:x→y= x B.f:x→y=x-2 D.f:x→y=|x-2| )

解析:选 B 因为在对应关系 f:x→y=x-2 的作用下,A 中元素 0 的对应元素为-2, 但-2 不在集合 B 中,故按此对应关系不能构成从 A 到 B 的映射.
? ?x+1,x?[-1,0], 2.已知函数 f(x)=? 2 则正确的函数图象是( ?x +1,x??0,1], ?

)

解析:选 A 当 x=-1 时,y=0,即图象过点(-1,0),显然 D 错;当 x=0 时,y=1, 即图象过点(0,1),C 错;当 x=1 时,y=2,即图象过点(1,2),B 错.所以选 A. 0, x>0, ? ? 3.已知 f(x)=?-1, x=0, ? ?2x-3, x<0,

则 f{f[f(5)]}等于________.

解析:f{f[f(5)]}=f[f(0)]=f(-1)=2×(-1)-3=-5. 答案:-5
? ?x+2?x≤-1? 4.函数 f(x)=? 2 ,若 f(x)=3,则 x 的值是________. ?x ?-1<x<2? ?

解析:当 x≤-1 时,x+2=3 得 x=1 舍去, 当-1<x<2 时,x2=3 得 x= 3或 x=- 3(舍去).

78

答案: 3 5.如图所示,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A、B、C 的坐标 分别为(0,4)、(2,0)、(6,4). (1)求 f[f(0)]的值; (2)求函数 f(x)的解析式. 解:(1)直接由图中观察,可得 f[f(0)]=f(4)=2. (2)设线段 AB 所对应的函数解析式为 y=kx+b,
? ? ?x=0, ?x=2, 将? 与? 代入,得 ?y=4 ?y=0 ? ? ?4=b, ?b=4, ? ? ? ∴? ? ? ?0=2k+b. ?k=-2.

∴y=-2x+4(0≤x≤2). 同理,线段 BC 所对应的函数解析式为 y=x-2(2<x≤6).
? ?-2x+4, 0≤x≤2, ∴f(x)=? ?x-2, 2<x≤6. ?

[课时达标检测] 一、选择题 1.给出如图所示的对应:

其中构成从 A 到 B 的映射的个数为( A.3 C.5

) B.4 D.6

解析:选 A ①是映射,是一对一;②③是映射,满足对于集合 A 中的任意一个元素在 集合 B 中都有唯一的元素和它对应;④⑤不是映射,是一对多;⑥不是映射,a3、a4 在集合 B 中没有元素与之对应. 2.映射 f:A→B,在 f 作用下 A 中元素(x,y)与 B 中元素(x-1,3-y)对应,则与 B 中元
79

素(0,1)对应的 A 中元素是( A.(-1,2) C.(1,2)

) B.(0,3) D.(-1,3)

?x-1=0, ?x=1, ? ? 解析:选 C 由题意知? 解得? 所以与 B 中元素(0,1)对应的 A 中元素 ?3-y=1, ? ? ?y=2,

是(1,2).
? ?x-5, 3.已知 f(x)=? ?f?x+2?, ?

x≥6, x<6,

则 f(3)为( B.3 D.5

)

A.2 C.4 解析:选 A f(3)=f(3+2)=f(5),

f(5)=f(5+2)=f(7). ∵f(7)=7-5=2,故 f(3)=2.

?2x-1, x≥0, 4.设函数 f(x)=? 1 ?x, x<0
1 解析:当 a≥0 时,f(a)= a-1>1, 2 解得 a>4,符合 a≥0; 1 当 a<0 时,f(a)= >1,无解. a 答案:(4,+∞)

1

若 f(a)>1,则实数 a 的取值范围是________.

?3.71,0<m≤4, ? 5. 拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的话费符合 f(m)=? 其中[m] ? ?1.06?0.5×[m]+2?,m>4,

表示不超过 m 的最大整数,从甲地到乙地通话 5.2 分钟的话费是( A.3.71 C.4.77 解析:选 C 二、填空题 B.4.24 D.7.95 f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=1.06×(2.5+2)=4.77.

)

6.已知集合 A={1,2,3,4},集合 B={3,4}.若令 M=A∩B,N=?AB,那么从 M 到 N 的 映射有________个. 解析:M=A∩B={3,4},N=?AB={1,2},从 M 到 N 可构成 4 个不同的映射,它们分别 是①3→1,4→2;②3→2,4→1;③3→1,4→1;④3→2,4→2. 答案:4

80

? ?b,a≥b, 7.若定义运算 a⊙b=? 则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域为________. ?a,a<b. ? ?2-x,x≥1, ? 解析:由题意得 f(x)=? 画出函数 f(x)的图象得值域是(-∞,1]. ?x,x<1, ?

答案:(-∞,1]
?x2+bx+c,x≤0 ? 8.设函数 f(x)=? ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x) ?2, x>0 ?

=x 的解的个数是________. 解析: 由 f(-4)=f(0)?(-4)2+b×(-4)+c=c, f(-2)=-2?(-2)2+b×(-2)+c=-2, 解得 b=4,c=2.
2 ? ?x +4x+2,x≤0, 则 f(x)=? ?2,x>0. ?

由 f(x)=x,得 x2+4x+2=x?x2+3x+2=0?x=-2 或 x=-1,即当 x≤0 时,有两个 解.当 x>0 时,有一个解 x=2.综上,f(x) =x 有 3 个解. 答案:3 三、解答题 x+4,x≤0, ? ?2 9.已知函数 f(x)=?x -2x,0<x≤4, ? ?-x+2,x>4. (1)求 f{f[f(5)]}的值; (2)画出函数的图象. 解:(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3. ∵-3<0, ∴f[f(5)]=f(-3)=-3+4=1. ∵0<1<4, ∴f{f[f(5)]}=f(1)=12-2×1=-1, 即 f{f[f(5)]}=-1. (2)图象如右图所示. 10.如图所示,在边长为 4 的正方形 ABCD 上有一点 P,沿着折线 BCDA 由 B 点(起点)

81

向 A 点(终点)移动.设 P 点移动的路程为 x,△ABP 的面积为 y=f(x).

(1)求△ABP 的面积与 P 移动的路程的函数关系式; (2)作出函数的图象,并根据图象求 f(x)的最大值. 1 解:(1)函数的定义域为(0,12).当 0<x≤4 时,S=f(x)= ×4×x=2x;当 4<x≤8 时,S 2 1 1 =f(x)= ×4×4=8;当 8<x<12 时,S=f(x)= ×4×(12-x)=24-2x. 2 2 2x,x∈?0,4], ? ? ∴函数解析式为 f(x)=?8,x∈?4,8], ? ?24-2x,x∈?8,12?. (2)图象如图所示.从图象可以看出[f(x)]max=8.

1.3

函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性

函数的单调性 [提出问题] 观察下列函数图象:

问题 1:从图象上看,自变量 x 增大时,函数 f(x)的值如何变化?
82

提示:甲图中,函数 f(x)的值随 x 增大而增大. 乙图中,函数 f(x)的值随 x 增大而减小. 丙图中,在 y 轴左侧函数 f(x)的值随 x 的增大而减小; 在 y 轴右侧,函数 f(x)的值随 x 的增大而增大. 问题 2:甲、乙图中,若 x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是什么? 提示:甲图中,若 x1<x2,则 f(x1)<f(x2); 乙图中,若 x1<x2,则 f(x1)>f(x2). 问题 3:丙图中,若 x1<x2,f(x1)<f(x2),则自变量 x 属于哪个区间? 提示:[0,+∞). [导入新知] 1.定义域为 I 的函数 f(x)的增减性

2.单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. [化解疑难] 1.x1,x2 的三个特征 (1)任意性,即 x1,x2 是在某一区间上的任意两个值,不能以特殊值代换; (2)有大小,即确定的两个值 x1,x2 必须区分大小,一般令 x1<x2; (3)同属一个单调区间. 2.理解函数的单调性应注意的问题 (1)函数的单调性是函数的局部性质,体现在函数的定义域或其子区间上,所以函数的单 调区间是其定义域的子集. (2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性. (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和” 1 1 连接.如函数 y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数 y= 在(-∞, x x

83

0)∪(0,+∞)上单调递减.
? ?1,?x是有理数?, (4)并非所有的函数都具有单调性.如函数 f(x)=? 就不具有单调性. ?0,?x是无理数? ?

由函数图象说明函数的单调性

[例 1] (1)函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是(

)

A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] (2)画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函数的单调区间. (1)[解析] 根据函数单调性定义及函数图象知 f(x)在[-3,1]上单调递增.

[答案] C (2)[解]
2 ? ?-x +2x+1 y=? 2 ?-x -2x+1 ?

?x≥0? ?x<0?



?-?x-1?2+2 ?x≥0? ? 即 y=? , 2 ?-?x+1? +2 ?x<0? ?

函数图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调减区间为[-1,0],[1,+∞). [类题通法] 由图象确定函数单调性的方法及注意事项 (1)图象从左向右上升,叫函数递增;图象从左向右下降,则函数递减. (2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将它 们隔开或用“和”字连接. [活学活用] 求下列函数的单调区间.

84

(1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|.
?3x,x≥0, ? 解:(1)f(x)=3|x|=? ?-3x,x<0. ?

图象如图所示.

f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为[0,+∞). (2)令 g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出 g(x)的图象,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分,把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴上 方就得到 f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示.

由图象易得:函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞);函数的递减区间是(-∞,-3],[- 1,1]. 函数单调性的证明 1 [例 2] 求证:函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数. x 1 1 [证明] 对于任意的 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,有 f(x1)-f(x2)= 2- 2 x1 x2 =
2 x2 -x2 ?x2-x1??x2+x1? 1 . 2 2 = 2 x1x2 x2 1x2

∵x1<x2<0,∴x2-x1>0,
2 x1+x2<0,x2 1x2>0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 1 ∴函数 f(x)= 2在(-∞,0)上是增函数. x 对于任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,有

85

?x2-x1??x2+x1? f(x1)-f(x2)= . 2 x2 1x2
2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x2 1x2>0.

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 ∴函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数. x [类题通法] 利用定义证明函数单调性的步骤

[活学活用] x+2 利用单调性的定义,证明函数 y= 在(-1,+∞)上是减函数. x+1 x1+2 x2+2 证明:设 x1,x2 是区间(-1,+∞)上任意两个实数且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= - x1+1 x2+1 = x2-x1 , ?x1+1??x2+1?

∵-1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0. ∴ x2-x1 >0. ?x1+1??x2+1?

即 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2). x+2 ∴y= 在(-1,+∞)上是减函数. x+1 由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范 围是________. (2)已知函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上单调,求实数 a 的取值范围.
? ?-1<1-a<1, (1)[解析]由题意可知? ?-1<2a-1<1 ?

解得 0<a<1. ① 又 f(x)在(-1,1)上是减函数, 且 f(1-a)<f(2a-1), 2 ∴1-a>2a-1.即 a< . 3 ②
86

2 由①②可知,0<a< , 3 2 即所求 a 的取值范围是(0, ). 3 [答案] 2 (0, ) 3

(2)[解] 函数 f(x)=x2-2ax-3 的图象开口向上,对称轴为直线 x=a,画出草图如图所 示.

由图象可知函数在(-∞,a]和[a,+∞)上分别单调,因此要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调, 只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增;当 a≥2 时,函数 f(x)在 区间[1,2]上单调递减),从而 a∈(-∞,1]∪[2,+∞). [类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是 I,指的是函数递减的最大范围为 区间 I.而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函 数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义. [活学活用] a 若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( x A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) B.(-1,0)∩(0,1) D.(0,1] )

a 解析:选 D 因为 g(x)= 在区间[1,2]上是减函数,所以 a>0.因为函数 f(x)=-x2+2ax 的 x 图象开口向下,对称轴为直线 x=a,且函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以 a≤1.故满足题 意的 a 的取值范围是(0,1].

4.研究函数的单调性易忽视定义域

87

[典例] 已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x),则 x 的取值范围 为________.
?-1≤x-2≤1 ? [解析] 由题意,得? ,解得 1≤x≤2 ①. ?-1≤1-x≤1 ?

3 因为 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x),所以 x-2<1-x,解得 x< 2 ②. 3 由①②得 1≤x< . 2 3 1, ? [答案] ? ? 2? [类题通法] 1.上题易忽视函数的定义域为[-1,1],直接利用单调性得到不等式 x-2<1-x,从而得 3 出 x< 的错误答案. 2 2 .解决此类问题的关键是利用单调性 “ 脱去 ”函数符号 “f” ,从而转化为熟悉的不等 式.若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1<x2;若函 数 y=f(x)在区间 D 上是减函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1>x2.需要注意的是, 不要忘记函数的定义域. [成功破障] 函数 y= x+1的单调递增区间为________. 解析:∵x+1≥0,∴x≥-1, ∴函数 y= x+1的单调递增区间为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)

[随堂即时演练] f?x1?-f?x2? 1.下列函数中,满足“对任意 x1,x2?(0,+∞),都有 >0”的是( x1-x2 2 A.f(x)= x C.f(x)=x2+4x+3 解析: 选C B.f(x)=-3x+1 1 D.f(x)=x+ x )

f?x1?-f?x2? 2 >0?f(x)在(0, +∞)上为增函数, 而 f(x)= 及 f(x)=-3x+1 在(0, x x1-x2

1 +∞)上均为减函数,故 A,B 错误;f(x)=x+ 在(0,1)上递减,在[1,+∞)上递增,故 D 错 x

88

误;f(x)=x2+4x+3=x2+4x+4-1=(x+2)2-1,所以 f(x)在[-2,+∞)上递增,故只有 C 正确. 2.函数 f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( A.(-∞,0],(-∞,1] C.[0,+∞),(-∞,1] )

B.(-∞,0],(1,+∞) D.[0,+∞),[1,+∞)

解析:选 C 分别作出 f(x) 与 g(x)的图象得:f(x)在[0,+∞)上递增,g(x)在(-∞,1]上递 增,选 C. 3.若 f(x)在 R 上是减函数,则 f(-1)________f(a2+1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”). 解析:∵f(x)在 R 上是减函数,∴对任意 x1,x2,若 x1<x2 均有 f(x1)>f(x2).又∵-1<a2+ 1,∴f(-1)>f(a2+1). 答案:> 4.已知函数 f(x)=x2-2(1-a)x+2 在(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围为 ________. 解析:∵f(x)=x2-2(1-a)x+2 =[x-(1-a)]2+2-(1-a)2, ∴f(x)的减区间是(-∞,1-a]. 又∵已知 f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴1-a≥4,即 a≤-3. ∴所求实数 a 的取值范围是(-∞,-3]. 答案:(-∞,-3] 1 5.求证:函数 y= 在区间(1,+∞)上为单调减函数. x-1 证明: 任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,则 1 1 y1-y2= - x1-1 x2-1 = = ?x2-1?-?x1-1? ?x1-1??x2-1? x2-x1 . ?x1-1??x2-1?

∵x2>x1>1, ∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0, ∴ x2-x1 >0 ?x1-1??x2-1?

∴y1>y2 ∴函数 y= 1 在区间(1,+∞)上为单调减函数. x-1
89

[课时达标检测] 一、选择题 1.若函数 f(x)在区间(a,b)上是增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数 f(x)在区间 (a,b)∪(b,c)上( A.必是增函数 C.是增函数或减函数 ) B.必是减函数 D.无法确定单调性

1 解析:选 D 函数在区间(a,b)∪(b,c)上无法确定单调性.如 y=- 在(0,+∞)上是 x 增函数,在(-∞,0)上也是增函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不具有单调性. 2.设(a,b),(c,d)都是 f(x)的单调增区间,且 x1?(a,b),x2?(c,d),x1<x2,则 f(x1) 与 f(x2)的大小关系为( A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) ) B.f(x1)>f(x2) D.不能确定

解析:选 D 根据单调函数的定义,所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个 自变量,才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小,而本题中的 x1,x2 不在同一 单调区间,故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定,选 D. 3.若函数 f(x)的定义域为 R,且在(0,+∞)上是减函数,则下列不等式成立的是( 3 A.f( )>f(a2-a+1) 4 3 B.f( )≥f(a2-a+1) 4 3 C.f( )<f(a2-a+1) 4 3 D.f( )≤f(a2-a+1) 4 1 3 3 解析:选 B ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 a2-a+1=(a- )2+ ≥ >0,∴f(a2-a 2 4 4 3 +1)≤f( ). 4 4.设 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是减函数,则有( 1 A.a≥ 2 1 C.a>- 2 1 B.a≤ 2 1 D.a< 2 ) )

1 解析:选 D ∵f(x)在 R 上是减函数,故 2a-1<0,即 a< . 2 5.下列四个函数在(-∞,0)上为增函数的是( |x| x2 x ①y=|x|+1;②y= ;③y=- ;④y=x+ . x |x| |x|
90

)

A.①② C.③④

B.②③ D.①④

|x| 解析:选 C ①y=|x|+1=-x+1(x<0)在(-∞,0)上为减函数;②y= =-1(x<0)在(- x x2 ∞,0)上既不是增函数,也不是减函数;③y=- =x(x<0)在(-∞,0)上是增函数;④y=x |x| x + =x-1(x<0)在(-∞,0)上也是增函数. |x| 二、填空题 6.函数 f(x)=|x-1|+2 的单调递增区间为________.
?x+1,x≥1, ? 解析:f(x)=? 显然函数 f(x)在 x≥1 时单调递增. ? ?3-x,x<1,

答案:[1,+∞) 1 7.如果二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间( ,1)上是增函数,则实数 a 的取值范围为 2 ________. a-1 1 解析:∵函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 的对称轴为 x= 且在区间( ,1)上是增函数 2 2 ∴ a-1 1 ≤ ,即 a≤2. 2 2

答案:(-∞,2] 8.函数 f(x)是定义域上的单调递减函数,且过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2 的自变 量 x 的取值范围是________. 解析:∵f(x)是定义域上的减函数,f(-3)=2,f(1)=-2,∴当 x>-3 时,f(x)<2,当 x<1 时,f(x)>-2,则当-3<x<1 时,|f(x)|<2. 答案:(-3,1) 三、解答题
?-x+3-3a,x<0 ? 9.已知函数 f(x)=? 2 满足对任意的 x1,x2?R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0, ? ?-x +a,x≥0

求 a 的取值范围. 解:由对任意的 x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 知函数 f(x)在 R 上为减函数.当 x<0 时,函数 f(x)=-x+3-3a 为一次函数,且为减函数,则此时 f(x)>f(0)=3-3a;当 x≥0 时, 函数 f(x)=-x2+a 为二次函数,也为减函数,且有 f(x)≤f(0)=a.要使函数 f(x)在 R 上为减函 3 数,则有 a≤3-3a,解得 a≤ . 4 10.讨论函数 f(x)= ax (-1<x<1,a≠0)的单调性. x2-1

91

解:设-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)= ax1 ax2 - 2 x1 -1 x2 2-1

2 ax1?x2 2-1?-ax2?x1-1? = 2 ?x2 1-1??x2-1?

= =

ax1x2?x2-x1?+a?x1-x2? 2 ?x1 -1??x2 2-1? a?x2-x1??x1x2-1? . 2 ?x1 -1??x2 2-1?

∵-1<x1<x2<1,
2 ∴x1 -1<0,x2 2-1<0,x2-x1>0,x1x2-1<0,



?x2-x1??x1x2-1? <0, 2 ?x1 -1??x2 2-1?

∴当 a>0 时,f(x1)<f(x2),f(x)为增函数. 当 a<0 时,f(x1)>f(x2),f(x)为减函数. 第二课时 函数的最大(小)值

函数的最大值与最小值

[提出问题] 观察下列函数图象:

问题 1:该函数 f(x)的定义域是什么? 提示:[-4,7]. 问题 2:该函数 f(x)图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么? 提示:3,-2. 问题 3:函数 y=f(x)的值域是什么? 提示:[-2,3]. [导入新知] 1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:
92

(1)对于任意的 x?I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0?I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 2.最小值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x?I,都有 f(x)≥M; (2)存在 x0?I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最小值. [化解疑难] 1.函数最大(小)值的几何意义 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标;函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. 2.函数的最大(小)值与值域、单调性之间的关系 1 (1)对一个函数来说,一定有值域,但不一定有最值,如函数 y= .如果有最值,则最值 x 一定是值域中的一个元素. (2)若函数 f(x)在闭区间[a, b]上单调, 则 f(x)的最值必在区间端点处取得, 即最大值是 f(a) 或 f(b),最小值是 f(b)或 f(a).

图象法求函数的最值

[例 1] (1)函数 f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 ( )

A.-2,f(2) B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5) 1 ? ?x ?0<x<1? (2)求函数 f(x)=? 的最值. ?x?1≤x≤2? ?

93

(1)[解析] 由函数的图象知,当 x=-2 时,有最小值-2; 当 x=5 时,有最大值 f(5). [答案] C (2)[解] 函数 f(x)的图象如图

由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)=1.无最大值. [类题通法] 用图象法求最值的一般步骤

[活学活用] 作出函数 y=|x-2|(x+1)的图象,说明函数的单调性,并判断是否存在最大值和最小值. 1 9 解:当 x≥2,即 x-2≥0 时,y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x- )2- ; 2 4 1 9 当 x<2,即 x-2<0 时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x- )2+ . 2 4

??x-2? -4,x≥2, 所以 y=? 1 9 ?-?x-2? +4,x<2.
2 2

1

9

画出该分段函数的图象,如图.由图象可知,函数 y=|x-2|(x 1 1 +1)在(-∞, ],[2,+∞)上是增函数;在[ ,2]上是减函数. 2 2 观察函数图象,可知函数不存在最大值,也不存在最小值. 利用单调性求函数的最值 1 [例 2] 已知函数 f(x)=x+ . x (1)证明:f(x)在(1,+∞)内是增函数; (2)求 f(x)在[2,4]上的最值. 1 1 [解] (1)证明:设任意两个 x1,x2∈(1,+∞),并且 x1<x2.则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- x1 x2 ?x1-x2?· ?x1x2-1? 1 =(x1-x2)· (1- )= . x1x2 x1x2
94

∵x2>x1>1,∴x1-x2<0, ?x1x2-1? 又∵x1x2>1,∴x1x2-1>0,故(x1-x2)· <0,即 f(x1)<f(x2),所以 f(x)在(1,+∞)内 x1x2 是增函数. (2)由(1)可知 f(x)在[2,4]上是增函数, ∴当 x∈[2,4]时,f(2)≤f(x)≤f(4). 1 5 1 17 又 f(2)=2+ = ,f(4)=4+ = , 2 2 4 4 17 5 ∴f(x)在[2,4]上的最大值为 ,最小值为 . 4 2 [类题通法] 函数的最值与单调性的关系 (1)如果函数 y=f(x)在区间(a,b]上是增函数,在区间[b,c)上是减函数,则函数 y=f(x), x∈(a,c)在 x=b 处有最大值 f(b). (2)如果函数 y=f(x)在区间(a,b]上是减函数,在区间[b,c)上是增函数,则函数 y=f(x), x∈(a,c)在 x=b 处有最小值 f(b). (3)如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则在区间[a,b]的左、右端点处分别取 得最小(大)值、最大(小)值. [活学活用] 1 在题设条件不变的情况下,求 f(x)在[ ,2]上的最值. 3 1 1 解:设 x1x2∈[ ,1],并且 x1<x2,同理可证 f(x1)>f(x2),即 f(x)在[ ,1]上是减函数. 3 3 1 结合例题可知,函数 f(x)在[ ,1]上单调递减,在(1,2)上单调递增. 3 ∴当 x=1 时,f(x)取得最小值 f(1)=2; 1 1 10 5 又 f( )= +3= >f(2)= , 3 3 3 2 1 10 ∴f(x)在[ ,2]上的最大值为 ,最小值为 2. 3 3 函数最值的应用 [例 3] 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已知总收益满足函数: 1 ? ?400x-2x2,0≤x≤400, R(x)=? 其中 x 是仪器的月产量. ?80 000,x>400. ? (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利
95

润) [解] (1)设月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,从而 1 ? ?-2x2+300x-20 000,0≤x≤400, f(x)=? ?60 000-100x,x>400. ? (2)当 0≤x≤400 时, 1 f(x)=- (x-300)2+25 000, 2 ∴当 x=300 时,[f(x)]max=25 000. 当 x>400 时, f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当 x=300 时,[f(x)]max=25 000. 即每月生产 300 台仪器时利润最大,最大利润为 25 000 元. [类题通法] 解决函数最值应用题的方法 (1)解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学问题解决. (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键. [活学活用] 商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料,根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若每瓶售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶.在每月的进货当月 销售完的前提下, 请你给该商店设计一个方案: 销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时, 才可获得最大的利润? 解:设销售价为 x 元/瓶(3≤x≤4),则根据题意(销售量等于进货量),正好当月销售完的 4-x 进货量为 ×40+400(瓶),即 400(9-2x)瓶. 0.05 此时所得的利润为 f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27)(元), 15 根据函数性质,当 x= 时,f(x)取得最大值 450. 4 15 这时进货量为 400(9-2x)=400(9-2× )=600(瓶). 4 15 答:销售价定为每瓶 元,并且从工厂购进 600 瓶时,才可获得最大利润 450 元. 4

96

4.二次函数的最值问题 [典例] 求 f(x)=x2-2ax-1 在区间[0,2]上的最大值和最小值. [解] f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为 x=a. (1)当 a<0 时,由图①可知,f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以 f(x)min=f(0)=-1,f(x)max =f(2)=3-4a. (2)当 0≤a≤1 时, 由图②可知, 对称轴在区间[0,2]内, 所以 f(x)min=f(a)=-1-a2, f(x)max =f(2)=3-4a. (3)当 1<a≤2 时,由图③可知,对称轴在区间[0,2]内,所以 f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max =f(0)=-1. (4)当 a>2 时, 由图④可知, f(x)在[0,2]上为减函数, 所以 f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f(0) =-1.

[多维探究] 上题由于对称轴 x=a,而 a 的取值不定,从而导致了分类讨论.由于抛物线的对称轴在 区间[0,2]所对应的区域时, 最小值是在顶点处取得, 但最大值却有可能是 f(0), 也有可能是 f(2), 故应分四类讨论. 与二次函数有关的最值问题还有以下三类: 例:(1)求二次函数在某定区间上的最小(大)值. 求二次函数 f(x)=x2-2ax+2 在[2,4]上的最小值. 解:∵函数图象的对称轴是 x=a, ∴当 a<2 时, f(x)在[2,4]上是增函数, ∴f(x)min=f(2)=6-4a. 当 a>4 时, f(x)在[2,4]上是减函数,
97

∴f(x)min=f(4)=18-8a. 当 2≤a≤4 时, f(x)min=f(a)=2-a2. 6-4a,a<2, ? ? 2 ∴f(x)min=?2-a ,2≤a≤4, ? ?18-8a,a>4. (2)已知二次函数的最大(小)值,求参数. 例:已知函数 y=-x2-2ax(0≤x≤1),且 ymax=a2,求实数 a 的取值范围. 解:∵y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2(0≤x≤1), ∴函数图象是开口向下的抛物线,且对称轴为 x=-a. 又∵ymax=a2,且 0≤x≤1, ∴0≤-a≤1?-1≤a≤0. ∴实数 a 的取值范围是[-1,0]. (3)求二次函数在某动区间上的最大(小)值. 例:设 f(x)=x2-4x-4,x?[a,a+1](a?R),求函数 f(x)的最小值 g(a)的解析式. 解:∵f(x)=(x-2)2-8,x∈[a,a+1], ∴当 2∈[a,a+1]时,即 1≤a≤2 时, g(a)=f(2)=-8. 当 a+1<2,即 a<1 时,f(x)在[a,a+1]上是减函数, ∴g(a)=f(a+1)=a2-2a-7. 当 a>2 时,f(x)在[a,a+1]上是增函数, ∴g(a)=f(a)=a2-4a-4. a -2a-7, a<1, ? ? 综上可知,g(a)=?-8, 1≤a≤2, ? ?a2-4a-4, a>2.
2

[随堂即时演练] 1.函数 f(x)的图象如图,则其最大值、最小值分别为( 3 3 A.f( ),f(- ) 2 2 3 B.f(0),f( ) 2 )

98

3 C.f(- ),f(0) 2 D.f(0),f(3) 3 解析:选 B 观察函数图象,f(x)最大值、最小值分别为 f(0),f( ),故选 B. 2 2.函数 f(x)=x2+3x+2 在区间(-5,5)上的最大值、最小值分别为( A.42,12 1 C.12,- 4 解析:选 D 1 B.42,- 4 1 D.无最大值,最小值- 4 3 1 f(x)=x2+3x+2=(x+ )2- , 2 4 )

3 ∵-5<- <5, 2 3 1 ∴f(x)min=f(- )=- ,无最大值,故选 D. 2 4 3.若函数 y=ax+1 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 2,则实数 a 的值是________. 解析:a>0 时,由题意得 2a+1-(a+1)=2,即 a=2; a<0 时,a+1-(2a+1)=2,∴a=-2. 综上,a=± 2. 答案:± 2. 1 ? ?x,x≥1 4.函数 f(x)=? 的最大值为________. 2 ? ?-x +2,x<1 1 解析:当 x≥1 时, 函数 f(x)= 为减函数, 所以在 x=1 处取得最大值,为 f(1)=1;当 x<1 x 时,易知函数 f(x)=-x2+2 在 x=0 处取得最大值,为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2. 答案:2 x-1 5.已知函数 f(x)= ,x?[3,5]. x+2 (1)判断函数 f(x)的单调性; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)任取 x1,x2∈[3,5]且 x1<x2,则 x1-1 x2-1 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 = ?x1-1??x2+2?-?x2-1??x1+2? ?x1+2??x2+2?

99

= =

x1x2+2x1-x2-2-x1x2-2x2+x1+2 ?x1+2??x2+2? 3?x1-x2? . ?x1+2??x2+2?

∵x1,x2∈ [3,5]且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x1)<f(x2). x-1 ∴函数 f(x)= 在[3,5]上为增函数. x+2 2 (2)由(1)知,当 x=3 时,函数 f(x)取得最小值,为 f(3)= ;当 x=5 时,函数 f(x)取得最 5 4 大值,为 f(5)= . 7 [课时达标检测] 一、选择题 1.下列函数在[1,4]上最大值为 3 的是( 1 A.y= +2 x C.y=x2 ) B.y=3x-2 D.y=1-x

解析:选 A B、C 在[1,4]上均为增函数,A、D 在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即 可求得最值,故选 A.
? ?x+7 x?[-1,1?, 2.函数 f(x)=? 则 f(x)的最大值、最小值分别为( ? ?2x+6 x?[1,2],

)

A.10,6 C.8,6

B.10,8 D.以上都不对

解析:选 A 当-1≤x<1 时,6≤x+7<8, 当 1≤x≤2 时,8≤2x+6≤10. ∴f(x)min=f(-1)=6, f(x)max=f(2)=10. 故选 A. 3.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x?[0,1],若 f(x)有最小值-2,则 f(x)的最大值为( A.-1 C.1 B.0 D.2 )

解析:选 C ∵f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a, ∴函数 f(x)图象的对称轴为 x=2.
100

∴f(x)在[0,1]上单调递增. 又∵f(x)min=-2,∴f(0)=-2,即 a=-2. ∴f(x)max=f(1)=-1+4-2=1. 4.当 0≤x≤2 时,a<-x2+2x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,1] C.(-∞,0) B.(-∞,0] D.(0,+∞) )

解析:选 C 令 f(x)=-x2+2x,则 f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1. 又∵x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0. ∴a<0. 5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,销售 x 辆该品牌车的利润(单位:万元)分 别为 L1=-x2+21x 和 L2=2x.若该公司在两地共销售 15 辆,则能获得的最大利润为( A.90 万元 C.120 万元 B.60 万元 D.120.25 万元 )

解析:选 C 设公司在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)辆,公司获利为 L=-x2+ 19 192 21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-(x- )2+30+ , 2 4 ∴当 x=9 或 10 时,L 最大为 120 万元. 二、填空题 1 6.函数 y= 在[2,3]上的最小值为________. x-1 解析:作出图象可知 y= 1 答案: 2 7.已知函数 f(x)=x2-6x+8,x?[1,a],并且 f(x)的最小值为 f(a),则实数 a 的取值范 围是________. 解析:如图可知 f(x)在[1,a]内是单调递减的, 又∵f(x)的单调递减区间为(-∞,3], ∴1<a≤3. 1 1 1 在[2,3]上是减函数,ymin= = . x-1 3-1 2

答案:(1,3]

101

8.对于函数 f(x)=x2+2x,在使 f(x)≥M 成立的所有实数 M 中,我们把 M 的最大值 Mmax =-1 叫做函数 f(x)=x2+2x 的下确界, 则对于 a?R, 且 a≠0, a2-4a+6 的下确界为________. 解析:a2-4a+6=(a-2)2+2≥2, 则 a2-4a+6 的下确界为 2. 答案:2 三、解答题 2x+1 9.已知函数 f(x)= . x+1 (1)用定义证明函数在区间[1,+∞)上是增函数; (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值与最小值. 解: (1) 证明:任取 x1 , x2 ∈ [1 ,+ ∞) ,且 x1<x2 ,则 f(x1) - f(x2) = x1-x2 . ?x1+1??x2+1? ∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数 f(x)在区间[2,4]上是增函数, ∴f(x)max=f(4)= f(x)min=f(2)= 2×4+1 9 = , 5 4+1 2x1+1 2x2+1 - = x1+1 x2+1

2×2+1 5 = . 3 2+ 1

10. 有甲、 乙两种商品, 经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 P(万元)和 Q(万元), x 3 它们与投入资金 x(万元)的关系有经验公式:P= ,Q= x.今有 3 万元资金投入经营甲、乙 5 5 两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得的最大利 润是多少? 解:设对甲种商品投资 x 万元,则对乙种商品投资(3-x)万元,总利润为 y 万元,根据题 1 3 意得 y= x+ 3-x(0≤x≤3). 5 5 令 3-x=t,则 x=3-t2,0≤t≤ 3. 1 3 1 3 21 所以 y= (3-t2)+ t=- (t- )2+ , 5 5 5 2 20 t∈[0, 3 ]. 3 21 当 t= 时,ymax= ,此时 x=0.75,3-x=2.25. 2 20 由此可知, 为获得最大利润, 对甲、 乙两种商品的资金投入分别为 0.75 万元和 2.25 万元,
102

获得的最大利润为 1.05 万元. 1.3.2 奇偶性

奇、偶函数的定义

[提出问题] 1 函数(1)f(x)=x2-1,(2)f(x)=- ,(3)f(x)=2x 的图象分别如图所示 : x

问题 1:各个图象有怎样的对称性? 提示:图(1)关于 y 轴对称;图(2)(3)关于坐标原点对称. 问题 2:对于以上三个函数,分别计算 f(-x),观察对定义域内的每一个 x,f(-x)与 f(x) 有怎样的关系? 提示:(1)f(-x)=f(x);(2)f(-x)=-f(x); (3)f(-x)=-f(x). [导入新知] 偶函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内 定义 任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函 数 f(x)就叫做偶函数 定义域 图象 特征 奇函数 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内 任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数 f(x)就叫做奇函数 关于原点对称

[化解疑难] 理解函数的奇偶性应关注四点 (1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定 义域内的每一个 x,都有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)),才能说 f(x)是奇(偶)函数. (2)函数 y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件: 定义域关于原点对称. 换言之, 若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数 y=x2 在
103

区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言. (3)若奇函数在原点处有定义,则必有 f(0)=0. (4)若 f(-x)=-f(x),且 f(-x)=f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有 且只有一类,即 f(x)=0,x?D,D 是关于原点对称的实数集.

判断函数的奇偶性

[例 1] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x+1; (2)f(x)=x3+3x,x?[-4,4); (3)f(x)=|x-2|-|x+2|;

?2x +1,x>0, (4)f(x)=? 1 ?-2x -1,x<0.
2 2

1

[解] (1)函数 f(x)=x+1 的定义域为实数集 R,关于原点对称. 因为 f(-x)=-x+1=-(x-1),-f(x)=-(x+1),即 f(-x)≠-f(x),f(-x)≠f(x),所以 函数 f(x)=x+1 既不是奇函数又不是偶函数. (2)因为函数的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而 4?[-4,4),所以函数 f(x) =x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数又不是偶函数. (3)函数 f(x)=|x-2|-|x+2|的定义域为实数集 R,关于原点对称. 因为 f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-(|x-2|-|x+2|)=-f(x), 所以函数 f(x) =|x-2|-|x+2|是奇函数. (4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 1 1 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=- (-x)2-1=-( x2+1)=-f(x); 2 2 1 1 1 当 x<0 时,-x>0,f(-x)= (-x)2+1= x2+1=-(- x2-1)=-f(x). 2 2 2

?2x +1,x>0, 综上可知,函数 f(x)=? 1 ?-2x -1,x<0
2 2

1

是奇函数.

[类题通法] 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法:

104

根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数 f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数 f(x)为非奇非偶函数,若 对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x). ③下结论.若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数; 若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)≠-f(x),且 f(-x)≠f(x),则 f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法: f(x)是奇(偶)函数的充要条件是 f(x)的图象关于原点(y 轴)对称. (3)性质法: ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. [活学活用] 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x-2|+|x+2|;

(2)f(x)=

? ? x -x+4 ?- x ,x<0.
2

x2+x+4 ,x>0, x

解:(1)函数 f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为 R. 因为对于任意的 x∈R,都有 f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x), 所以函数 f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数. (2)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当 x>0 时,-x<0,则 ?-x?2-?-x?+4 x2+x+4 f(-x)=- = =f(x); x -x 当 x<0 时,-x>0,则 ?-x?2+?-x?+4 x2-x+4 f(-x)= =- =f(x). x -x

综上可知,函数 f(x)=

? ? x -x+4 ?- x ,x<0
2

x2+x+4 ,x>0, x

是偶函数.

利用函数奇偶性的定义求参数 [例 2] (1)若函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则 a=________,
105

b=________; (2)已知函数 f(x)=ax2+2x 是奇函数,则实数 a=________. 1 [解析](1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 a-1=-2a,解得 a= . 3 1 又函数 f(x)= x2+bx+b+1 为二次函数,结合偶函数图象的特点,易得 b=0. 3 (2)由奇函数定义有 f(-x)+f(x)=0,得 a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故 a=0. [答案] 1 (1) 3 0 (2)0

[类题通法] 由函数的奇偶性求参数应关注两点 (1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时可以 运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用. (2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数. [活学活用]
2 ? ?-x +x,x>0, 已知函数 f(x)=? 2 是奇函数,则 a=________. ?ax +x,x<0 ?

解析:当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x. 又 f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2+x, 即 ax2+x=x2+x,∴a=1. 答案:1 利用函数的奇偶性求解析式 [例 3] f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x2+3x+1,求 f(x)的解析式.

[解] 当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x),所以 f(x)=2x2+3x-1. 即当 x<0 时,f(x)=2x2+3x-1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数,故 f(0)=0. 综上可得 f(x)的解析式为 -2x +3x+1,x>0, ? ? f(x)=?0,x=0, ? ?2x2+3x-1,x<0. [类题通法] 利用奇偶性求解析式的方法 首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转
2

106

化到已知的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可. [活学活用] 已知 f(x)是 R 上的偶函数,当 x?(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,求 x?(-∞,0)时,f(x) 的解析式. 解:设 x<0,则-x>0. ∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1. ∴f(-x)=x2-x-1. ∵函数 f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x). ∴f(x)=x2-x-1. ∴当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.

3.函数的单调性与奇偶性的综合问题 [典例] (12 分)设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-

1)>0,求实数 m 的取值范围. [解题流程] 求实数m的取值范围,需建立关于m的不等式

?1?定义域为[-2, 2], 所以不等式中 m, m-1 均应属于区间[-2, 2]; ,?2? 要由不等式 f?m?+f?m-1?>0 求得 m,应利用单调性及奇偶性去掉 “f”,建立关于 m 的的不等式? f?m?+f?m-1?>0→f?1-m?<f?m?→列不等式组→结果

107

[活学活用] 设函数 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), 求 a 的取值范围. 解:由 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,可知 f(x)在(0,+∞)上递减. 1 7 ∵2a2+a+1=2(a+ )2+ >0, 4 8 1 5 2a2-2a+3=2(a- )2+ >0, 2 2 且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3), ∴2a2+a+1>2a2-2a+3, 2 即 3a-2>0,解得 a> , 3 2 ∴a 的取值范围为{a|a> }. 3

[随堂即时演练] 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )

解析:选 B 选项 A 中的图象关于原点或 y 轴均不对称,故排除;选项 C、D 中的图象 所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项 B 中的图象关于 y 轴对 称,其表示的函数是偶函数.故选 B. 2.定义在 R 上的偶函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则( A.f(3)>f(-4)<f(-π) B.f(-π)<f(-4)<f(3) )

108

C.f(3)<f(-π)<f(-4) 解析:选 C ∵f(x)在 R 上是偶函数, ∴f(-π)=f(π),f(-4)=f(4).

D.f(-4)<f(-π)<f(3)

而 3<π<4,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f(3)<f(π)<f(4), 即 f(3)<f(-π)<f(-4). 3.若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析:∵函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数, ∴f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|, ∴|-x+a|=|x+a|,∴a=0. 答案:0 4.设偶函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x?[0,5]时,f(x)的图象如图所示, 则不等式 f(x)<0 的解集是________. 解析:因为偶函数的图象关于 y 轴对称,所以可根据对称性确定不等式 f(x)<0 的解集. ∵当 x∈[0,5]时,f(x)<0 的解集为 2<x≤5, 所以当 x∈[-5,0]时,f(x)<0 的解集为-5≤x<-2. ∴f(x)<0 的解集是-5≤x<-2,或 2<x≤5. 答案:{x|-5≤x<-2,或 2<x≤5} 5.判断下列函数的奇偶性: 1 (1)f(x)= 2+x2,x?(-1,0)∪(0,1]; x 1-x2 (2)f(x)= . |x+2|-2 解:(1)因为函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1],不关于原点对称,故此函数为非奇非偶 函数. (2)由 1-x2≥0,得-1≤x≤1, 又|x+2|-2≠0, ∴x≠0, ∴-1≤x≤1 且 x≠0, ∴定义域关于原点对称,且 x+2>0, 1-x2 1-x2 ∴f(x)= = , x x+2-2 ∵f(-x)= 1-?-x?2 1-x2 =- x -x
109

=-f(x), ∴f(x)为奇函数. [课时达标检测] 一、选择题 1.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( 1 A.y= 2 x C.y=x2 1 B.y= x 1 D.y=x 3 )

解析:选 A 易判断 A,C 为偶函数,B,D 为奇函数,但函数 y=x2 在(0,+∞)上单调 递增,所以选 A. 2.若 y=f(x)(x?R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在 y=f(x)图象上的是( A.(a,-f(a)) C.(-a,-f(-a)) B.(-a,-f(a)) D.(a,f(-a)) )

解析:选 B ∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a), ∴点(-a,-f(a))在函数 y=f(x)图象上. 3.如果奇函数 f(x)在区间[-7,-3]上是减函数且最大值为 5,那么函数 f(x)在区间[3,7] 上是( ) B.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值为-5

A.增函数且最小值为-5 C.减函数且最小值为-5

解析:选 C f(x)为奇函数,∴f(x)在[3,7]上的单调性与[-7,-3]上一致,且 f(7)为最小 值.又已知 f(-7)=5,∴f(7)=-f(-7)=-5,选 C. 4.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)等于( A.-26 C.-10 解析:选 A 令 g(x)=x +ax +bx, 则 g(-x)=-g(x),∴g(x)为奇函数. 又 f(x)=g(x)-8, ∴f(-2)=g(-2)-8=10?g(-2)=18. ∴g(2)=-18. ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 5. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( A.3 B.1 C.-1 D.-3 解析:选 D 因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数,所以有 f(0)=20+2×0+b=0,解得 b=
110
5 3

)

B.-18 D.10

)

-1,所以当 x≥0 时,f(x)=2x+2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3. 二、填空题 6.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 R 上的解析 式为________. 解析:令 x<0,则-x>0. ∴f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x. 又∵f(x)为奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
2 ? ?x -2x, ? ∴f(x)= 2 ?-x -2x, ?

x≥0, x<0. x≥0 x<0

?x2-2x, ? 答案:f(x)=? 2 ?-x -2x, ?

1 7.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x-1)<f( )的 x 取值范围是 3 ________. 解析: 偶函数 f(x)在区间[0, +∞)上单调增加, 所以函数 f(x)在区间(-∞, 0]上单调递减. 由 1 1 于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),则 f(- )=f( ). 3 3 2x-1≥0, ? ? 1 由 f(2x-1)<f( ),得? 1 3 2x-1< ? 3 ? 1 2 1 1 解①得 ≤x< ,解②得 <x< . 2 3 3 2 1 2 1 2 综上,得 <x< ,故 x 的取值范围是( , ). 3 3 3 3 1 2 答案:( , ) 3 3 1 8.设函数 f(x)(x?R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=________. 2 解析:令 x=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2). 1 1 故 =- +f(2),则 f(2)=1. 2 2 1 3 令 x=1,得 f(3)=f(1)+f(2)= +1= . 2 2 3 5 令 x=3,得 f(5)=f(3)+f(2)= +1= . 2 2 5 答案: 2
111

2x-1<0, ? ? ①或? 1 ②, 2x-1>- ? 3 ?

三、解答题 ax+b 1 2 9.函数 f(x)= 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f( )= . 2 5 1+x (1)确定函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明:f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.

f?0?=0, ? ? a 解:(1)由题意知? 1 2 即 +b 2 2 f ? ? = , ? ? 2 5 = , 1 5 x ∴f(x)= . 1+x2 (2)证明:任取-1<x1<x2<1,则 x2-x1>0, ?x2-x1??1-x1x2? x2 x1 f(x2)-f(x1)= 2- 2= 2 . 1+x2 1+x1 ?1+x2 1??1+x2? ∵-1<x1<x2<1, ∴-1<x1x2<1,1-x1x2>0. 于是 f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)为(-1,1)上的增函数. (3)f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵f(x)在(-1,1)上是增函数, 1 ∴-1<t-1<-t<1,解得 0<t< . 2

? ? ? ? ?1+4

b =0, 1+02
?a=1, ? 解得? ?b=0, ?

10.已知 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是减函数.求证:f(x)在(-∞,0)上是减函数. 证明:设 x1,x2 是(-∞,0)上的任意两个值,且 x1<x2,则-x1>-x2>0. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, ∴f(-x1)<f(-x2). 又 f(x)是奇函数,∴-f(x1)<-f(x2), 即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-∞,0)上是减函数.

集合与函数概念

112

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 设全集 U={x?Z|-1≤x≤5}, A={1,2,5}, B={x?N|-1<x<4}, 则 B∩(?UA)=( A.{3} C.{0,4} B.{0,3} D.{0,3,4} )

解析:选 B ∵U={-1,0,1,2,3,4,5},B={0,1,2,3}, ∴?UA={-1,0,3,4}. ∴B∩(?UA)={0,3}. 2.如图所示,阴影部分表示的集合是( )

A.(?UB)∩A C.?U(A∩B)

B.(?UA)∩B D.?U(A∪B)

解析:选 A 由图可知阴影部分属于 A,不属于 B,故阴影部分为(?UB)∩A,所以选 A.

? ?1 3.已知 f(x)=?x,x?[-1,1?, ?x,x?[1,6]. ?
A. 2 2 C.7 解析:选 B ∵1< 2<6, ∴f( 2)= 2.

2x2+3,x??-6,-1?, 则 f( 2)等于( )

B. 2 D.无法确定

4.对于定义域为 R 的偶函数 f(x),定义域为 R 的奇函数 g(x),都有( A.f(-x)-f(x)>0 B.g(-x)-g(x)>0 C.g(-x)g(x)≥0 D.f(-x)g(-x)+f(x)g(x)=0 解析:选 D 由于 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), ∴A 中:f(-x)-f(x)=f(x)-f(x)=0; B 中:g(-x)-g(x)=-2g(x),与 0 大小不确定; C 中:g(-x)g(x)=-[g(x)]2≤0; D 中:f(-x)g(-x)+f(x)g(x)
113

)

=-f(x)g(x)+f(x)g(x)=0. ∴A、B、C 错,D 正确.故选 D. 1? 2 1 5.已知函数 f? ?x-x?=x +x2,则 f(3)=( A.8 C.11 1 1 x- ?=?x- ?2+2, 解析:选 C ∵f? x ? ? ? x? ∴f(3)=9+2=11. 1 6.函数 f(x)对于任意实数 x 满足 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则 f(f(5))等于( f?x? A.2 C.-5 解析:选 D 1 f(5)= =f(1)=-5, f?3? B.5 1 D.- 5 ) ) B.9 D.10

1 1 1 f(-5)= =f(-1)= =- . 5 f?-3? f?1? 7.函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如下图,则函数 y=f(x)· g(x)的图象可能是( )

解析:选 A 由于函数 y=f(x)· g(x)的定义域是函数 y=f(x)与 y=g(x)的定义域的交集(- ∞,0)∪(0,+∞),所以函数图象在 x=0 处是断开的,故可以排除 C,D; 由于当 x 为很小的正数时,f(x)>0 且 g(x)<0,故 f(x)· g(x)<0,可排除 B,故选 A. 8.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0)上为减函数,若 x1<0,且 x1+x2>0,则( A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)=f(x2) C.f(x1)<f(x2) D.无法比较 f(x1)与 f(x2)的大小 解析:选 C ∵x1<0 且 x1+x2>0,∴-x2<x1<0. 又 f(x)在(-∞,0)上为减函数, ∴f(-x2)>f(x1). 而 f(x)又是偶函数,∴f(-x2)=f(x2).
114

)

∴f(x1)<f(x2). f?x?-f?-x? 9. 设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 且 f(1)=0, 则不等式 <0 的解集为( x A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1) )

f?x?-f?-x? 2f?x? 解析:选 D 由 f(x)为奇函数可知, = <0. x x 而 f(1)=0,则 f(-1)=-f(1)=0. 当 x>0 时,f(x)<0=f(1); 当 x<0 时,f(x)>0=f(-1). 又∵f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴奇函数 f(x)在(-∞,0)上为增函数. 所以,0<x<1,或-1<x<0. 10.设奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f(-1)=-1,若对所有的 x?[-1,1]及任意的 a?[-1,1]都满足 f(x)≤t2-2at+1,则 t 的取值范围是( A.-2≤t≤2 1 1 B.- ≤t≤ 2 2 C.t≥2,或 t≤-2,或 t=0 1 1 D.t≥ ,或 t≤- ,或 t=0 2 2 解析:选 C 由题意,得 f(1)=-f(-1)=1. 又∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴当 x∈[-1,1]时,有 f(x)≤f(1)=1. ∴t2-2at+1≥1 在 a∈[-1,1]时恒成立. 得 t≥2,或 t≤-2,或 t=0. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.当 A,B 是非空集合,定义运算 A-B={x|x?A,且 x?B},若 M={x|y= 1-x},N ={y|y=x2,-1≤x≤1},则 M-N=________. 解析:集合 M:{x|x≤1}, 集合 N:{y|0≤y≤1}, ∴M-N={x|x∈M 且 x?N} ={x|x<0}. 答案:{x|x<0} 12.已知 f(x)=ax3+bx-4,其中 a,b 为常数,若 f(-2)=2,则 f(2)=________. )

115

解析:设 g(x)=ax3+bx,显然 g(x)为奇函数,则 f(x)=ax3+bx-4=g(x)-4,于是 f(-2) =g(-2)-4=-g(2)-4=2,所以 g(2)=-6,所以 f(2)=g(2)-4=-6-4=-10. 答案:-10
?2x-x2,0≤x≤3, ? 13.函数 f(x)=? 2 的值域是________. ?x +6x,-2≤x≤0 ?

解析: 设 g(x)=2x-x2,0≤x≤3,结合二次函数的单调性可知:g(x)min=g(3)=-3,g(x)max =g(1)=1; 同理,设 h(x)=x2+6x,-2≤x≤0,则 h(x)min=h(-2)=-8,h(x)max=h(0)=0. 所以 f(x)max=g(1)=1,f(x)min=h(-2)=-8. 答案:[-8,1] 14.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则不等式 f(x)<0 的解集为________. 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2)=0,所以 f(-2)=0. 又 f(x)在(-∞,0]上是减函数,故 f(x)在[0,+∞)上是增函数. 故满足 f(x)<0 的 x 的取值范围应为(-2,2),即 f(x)<0 的解集为{x|-2<x<2}. 答案:{x|-2<x<2} 三、 解答题(本大题共 4 小题, 共 50 分. 解答时应写出文字说明, 证明过程或运算步骤. ) 15.(12 分)设集合 A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0 或 x≥3},分别求满足下列条件的实数 m 的取值范围: (1)A∩B=?; (2)A∪B=B. 解:因为 A={x|0<x-m<3},所以 A={x|m<x<m+3},
?m≥0, ? (1)当 A∩B=?时,有? 解得 m=0. ? ?m+3≤3,

(2)A∪B=B 时,有 A?B,所以 m≥3 或 m+3≤0,解得 m≥3 或 m≤-3. x 16.(12 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f( )=f(x)-f(y). y (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( )<2. 3 x 解:(1)在 f( )=f(x)-f(y)中,令 x=y=1, y 则有 f(1)=f(1)-f(1),∴f(1)=0. (2)∵f(6)=1, 1 ∴f(x+3)-f( )<2=f(6)+f(6). 3
116

∴f(3x+9)-f(6)<f(6), x+3 即 f( )<f(6). 2 ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, x+3>0, ? ? ∴?x+3 解得-3<x<9, <6. ? ? 2 即不等式的解集为(-3,9). -x +2x,?x>0?, ? ? 17.(12 分)已知奇函数 f(x)=?0,?x=0?, ? ?x2+mx,?x<0?. (1)求实数 m 的值,并在给出的平面直角坐标系中画出函数 f(x)的图象;
2

(2)若函数 f(x)在区间[-1, a-2]上是增函数, 结合函数 f(x)的图象, 求实数 a 的取值范围; (3)结合图象,求函数 f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值. 解:(1)当 x<0 时,-x>0, 则 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又函数 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=f(-x)=-(-x2-2x)=x2+2x. 又当 x<0 时,f(x)=x2+mx, ∵对任意 x<0,总有 x2+2x=x2+mx,∴m=2. 函数 f(x)的图象如图所示.

-x +2x,x>0, ? ? (2)由(1)知 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+2x,x<0. 由图象可知,函数 f(x)的图象在区间[-1,1]上的图象是“上升的”,

2

117

∴函数 f(x)在区间[-1,1]上是增函数. 要使 f(x)在[-1,a-2]上是增函数,
?a-2>-1, ? 需有? 解得 1<a≤3, ?a-2≤1, ?

即实数 a 的取值范围是(1,3]. (3)由图象可知,函数 f(x)的图象在区间[-2,2]上的最高点是(1,f(1)),最低点是(-1,f(- 1)), 又 f(1)=-1+2=1,f(-1)=1-2=-1, 所以函数 f(x)在区间[-2,2]上的最大值是 1,最小值是-1. m 18.(14 分)已知函数 f(x)=x+ ,且此函数的图象过点(1,5). x (1)求实数 m 的值; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)讨论函数 f(x)在[2,+∞)上的单调性,证明你的结论. 解:(1)∵f(x)过点(1,5), ∴1+m=5?m=4. 4 (2)对于 f(x)=x+ ,∵x≠0, x ∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 4 ∴f(-x)=-x+ =-f(x). -x ∴f(x)为奇函数. (3)证明:设 x1,x2∈[2,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2) 4 4 =x1+ -x2- x1 x2 4?x2-x1? =(x1-x2)+ x1x2 = ?x1-x2??x1x2-4? . x1x2

∵x1,x2∈[2,+∞)且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1x2>4,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x)在[2,+∞)上单调递增.

118

2.1

指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算 第一课时 根式

根式

[提出问题] (1)若 x2=9,则 x 是 9 的平方根,且 x=± 3; (2)若 x3=64,则 x 是 64 的立方根,且 x=4; (3)若 x4=81,则 x 是 81 的 4 次方根,且 x=± 3; (4)若 x5=-32,则 x 是-32 的 5 次方根,且 x=-2. 问题 1:观察(1)(3),你认为正数的偶次方根都是两个吗? 提示:是. 问题 2:一个数的奇次方根有几个? 提示:1 个. 问题 3:由于 22=4,小明说,2 是 4 的平方根;小李说,4 的平方根是 2,你认为谁说 的正确? 提示:小明. [导入新知] 根式及相关概念 (1)a 的 n 次方根定义: 如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n?N*. (2)a 的 n 次方根的表示:

n 的奇偶性

a 的 n 次方根的 表示符号

a 的取值范围

119

n 为奇数 n 为偶数

n n

a

R [0,+∞)

± a

(3)根式: n 式子 a叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. [化解疑难] 根式记号的注意点 (1)根式的概念中要求 n>1,且 n?N*. (2)当 n 为大于 1 的奇数时,a 的 n 次方根表示为 a(a?R);当 n 为大于 1 的偶数时, a
n n ?n (a≥0)表示 a 在实数范围内的一个 n 次方根,另一个是- a,从而? ?± a? =a. n n

根式的性质

[提出问题]

?3 ? ?4 ?3 ? 问题 1:? ? 2? ,? -2? ,? 2? 分别等于多少?
3 3 4

提示:2,-2,2. 问题 2: ?-2?3, 23, 提示:-2,2,2,2. 问题 3:等式 a2=a 及( a)2=a 恒成立吗? 提示:当 a≥0 时,两式恒成立;当 a<0 时, a2=-a,( a)2 无意义. [导入新知] 根式的性质 n (1)( a)n=a(n 为奇数时,a?R;n 为偶数时,a≥0,且 n>1).
?a?n为奇数,且n>1?, ? n (2) an=? ? ?|a|?n为偶数,且n>1?.
3 3 4

?-2?4, 24分别等于多少?

4

n (3) 0=0. (4)负数没有偶次方根. [化解疑难] n n ( a)n 与 an的区别

120

n n (1)当 n 为奇数,且 a?R 时,有 an=( a)n=a; n n (2)当 n 为偶数,且 a≥0 时,有 an=( a)n=a.

根式的概念 4 [例 1] (1)下列说法:①16 的 4 次方根是 2;② 16的运算结果是± 2;③当 n 为大于 n n 1 的奇数时, a对任意 a?R 都有意义;④当 n 为大于 1 的偶数时, a只有当 a≥0 时才有 意义.其中说法正确的序号为________. (2)若
3

1 有意义,则实数 a 的取值范围是________. a-3 4 (1)①16 的 4 次方根应是± 2;② 16=2,所以正确的应为③④. 3 1 有意义,则 a-3≠0,即 a≠3. a-3

[解析] (2)要使

∴a 的取值范围是{a|a≠3}. [答案] (1)③④ (2){a|a≠3}

[类题通法] 判断关于 n 次方根的结论应关注两点 (1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数; (2)n 为奇数时,a 的正负决定着 n 次方根的符号. [活学活用] 已知 m10=2,则 m 等于( A. 10 2 ) B.- 10 2

C. 210

10 D.± 2

解析:选 D ∵m10=2,∴m 是 2 的 10 次方根. 又∵10 是偶数, ∴2 的 10 次方根有两个,且互为相反数. 10 ∴m=± 2. 利用根式的性质化简求值

121

[例 2] 化简: n (1) ?x-π?n(x<π,n?N*); 1? (2) 4a2-4a+1? ?a≤2?. [解] (1)∵x<π,∴x-π<0, n 当 n 为偶数时, ?x-π?n=|x-π|=π-x; n 当 n 为奇数时, ?x-π?n=x-π.
?π-x, n为偶数,n∈N*, ? n 综上, ?x-π?n=? * ? ?x-π, n为奇数,n∈N .

1 (2)∵a≤ ,∴1-2a≥0. 2 ∴ 4a2-4a+1= ?2a-1?2=|2a-1|=1-2a. [类题通法]

根式化简应注意的问题 n n ?n (1)? ? a? 已暗含了 a有意义,据 n 的奇偶性不同可知 a 的取值范围. n n (2) an中的 a 可以是全体实数, an的值取决于 n 的奇偶性. [活学活用] 求下列各式的值: 3 8 (1) ?x-2?8;(2) 3-2 2+( 1- 2)3.
?x-2,x≥2, ? 8 解:(1) ?x-2?8=|x-2|=? ? ?2-x,x<2.

(2)因为 3-2 2=12-2 2+( 2)2=( 2-1)2, 3 所以 3-2 2+( 1- 2)3= ? 2-1?2+1- 2= 2-1+1- 2=0.

条件根式的化简

[例 3]

(1)若 xy≠0,则使 4x2y2=-2xy 成立的条件可能是( B.x>0,y<0 D.x<0,y<0

)

A.x>0,y>0 C.x≥0,y≥0

(2)设-3<x<3,求 x2-2x+1- x2+6x+9的值.
122

(1)[解析] ∵ 4x2y2=2|xy|=-2xy, ∴xy≤0. 又∵xy≠0,∴xy<0,故选 B. [答案] B (2)[解] 原式= ?x-1?2- ?x+3?2=|x-1|-|x+3|. ∵-3<x<3, ∴当-3<x<1 时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2. 当 1≤x<3 时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
? ?-2x-2 ?-3<x<1?, ∴原式=? ? ?-4 ?1≤x<3?.

[类题通法] 有条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式 进行化简. (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时,在利用公式化简时,要 考虑被开方数或被开方的表达式的正负. [活学活用] 若 n<m<0,则 m2+2mn+n2- m2-2mn+n2等于( A.2m C.-2m B.2n D.-2n )

解析:选 C 原式= ?m+n?2- ?m-n?2 =|m+n|-|m-n|, ∵n<m<0,∴m+n<0,m-n>0, ∴原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.

n 5.忽略n的范围导致式子 an?a∈R?化简出错 3 4 [典例] 化简 ?1+ 2?3+ ?1- 2?4=________. [解析] 3 4 ?1+ 2?3+ ?1- 2?4=(1+ 2)+|1- 2|=1+ 2+ 2-1=2 2.
123

[答案]

2 2

[易错防范] 4 4 1.本题易忽视 ?1- 2?4>0,而误认为 ?1- 2?4=1- 2而导致解题错误. n n 2.对于根式 an的化简一定要注意 n 为正奇数还是正偶数,因为 an=a(a?R)成立的条 n 件是 n 为正奇数,如果 n 为正偶数,那么 an=|a|. [活学活用] 当 a,b?R 时,下列各式恒成立的是( 4 4 A.( a- b)4=a-b 4 B.( a+b)4=a+b 4 4 C. a4- b4=a-b 4 D. ?a+b?4=a+b 4 4 解析:选 B 当且仅当 a=b≥0 时,( a- b)4=a-b; 4 4 当且仅当 a≥0,b≥0 时, a4- b4=a-b; 4 当且仅当 a+b≥0 时, ?a+b?4=a+b. 由于 a,b 符号未知,因此选项 A,C,D 均不一定恒成立. 4 4 选项 B 中,由 a+b可知 a+b≥0,所以( a+b)4=a+b.故选 B. )

[随堂即时演练] 1? 1.化简 ?1-2x?2? ?x>2?的结果是( A.1-2x C.2x-1 ) B.0 D.(1-2x)2

1 解析:选 C ∵ ?1-2x?2=|1-2x|,x> , 2 ∴1-2x<0, ∴ ?1-2x?2=2x-1. 2.下列式子中成立的是( )

124

A.a -a= -a3 C.a -a=- -a3

B.a -a=- a3 D.a -a= a3

解析:选 C 要使 a -a有意义,则 a≤0, 故 a -a=-(-a) -a=- ?-a?2?-a?=- -a3,故选 C. 3.若 x>3,则 x2-6x+9-|2-x|=________. 解析: x2-6x+9-|2-x|= ?x-3?2-|2-x|=|x-3|-|2-x|=x-3-(x-2)=-1. 答案:-1 3 4.化简( a-1)2+ ?1-a?2+ ?1-a?3=________. 解析:由根式 a-1有意义可得 a-1≥0,即 a≥1, ∴原式=(a-1)+(a-1)+(1-a)=a-1. 答案:a-1 n n 5.已知 a<b<0,n>1,n?N*,化简 ?a-b?n+ ?a+b?n. 解:∵a<b<0,∴a-b<0,a+b<0. 当 n 是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a; 当 n 是偶数时,原式=|a-b|+|a+b| =(b-a)+(-a-b)=-2a. n n ∴ ?a-b?n+ ?a+b?n
? ?2a,n为奇数, =? ?-2a,n为偶数. ?

[课时达标检测] 一、选择题 4 1. a-2+(a-4)0 有意义,则 a 的取值范围是( A.a≠2 C.a≠4 )

B.a≥2 D.2≤a<4 或 a>4

? ?a-2≥0, 解析:选 D 要使原式有意义,只需? 即 a≥2 且 a≠4. ?a-4≠0, ?

4 3 3 2. ?-6?3+ ? 5-4?4+ ? 5-4?3的值为( A.-6 C.2 5 解析:选 A 3 ?-6?3=-6,
125

) B.2 5-2 D.6

4 3

? 5-4?4=| 5-4|=4- 5, ? 5-4?3= 5-4,

∴原式=-6+4- 5+ 5-4=-6. 3 3.化简 ?x+3?2- ?x-3?3得( A.6 C.6 或-2x ) B.2x D.6 或 2x 或-2x

3 解析:选 C 注意开偶次方根要加绝对值, ?x+3?2- ?x-3?3
?6,x≥-3, ? =|x+3|-(x-3)=? 故选 C. ?-2x,x<-3, ?

4. 7+4 3+ 7-4 3等于( A.-4 C.-2 3 解析:选 D

) B.2 3 D.4

7+4 3+ 7-4 3= ?2+ 3?2+ ?2- 3?2

=(2+ 3)+(2- 3)=4. 4 5.已知二次函数 y=ax2+bx+0.1 的图象如图所示,则 ?a-b?4的值为 ( ) A.a+b C.a-b B.-(a+b) D.b-a

解析:选 D 由图象知 a(-1)2+b×(-1)+0.1<0, 4 ∴a<b,∴ ?a-b?4=|a-b|=b-a. 二、填空题 6.设 m<0,则( -m)2=________. 解析:∵m<0,∴-m>0,∴( -m)2=-m. 答案:-m 7.若 x2-8x+16=x-4,则实数 x 的取值范围是________. 解析:∵ x2-8x+16= ?x-4?2=|x-4| 又 x2-8x+16=x-4, ∴|x-4|=x-4,∴x≥4. 答案:x≥4

126

1? 8.设 f(x)= x2-4,若 0<a≤1,则 f? ?a+a?=________. 1? 解析:f? ?a+a?= = 1 a2+ 2-2= a

?a+1?2-4 ? a? ?a-1?2=?a-1?, ? a? ? a?

1? 1 1 由于 0<a≤1,所以 a≤ ,故 f? ?a+a?=a-a. a 1 答案: -a a 9.写出使下列等式成立的 x 的取值范围: (1) 3

? 1 ?3 = 1 ; ?x-3? x-3

(2) ?x-5??x2-25?=(5-x) x+5. 解:(1)要使 3

? 1 ?3= 1 成立, ?x-3? x-3

只需 x-3≠0 即可, 即 x≠3. (2) ?x-5??x2-25?= ?x-5?2?x+5?. 要使 ?x-5?2?x+5?=(5-x) x+5
?x+5≥0, ? 成立,只需? ?x-5≤0, ?

即-5≤x≤5. 7 10.化简( a-1)2+ ?1-a?2+ ?a-1?7. 解:由题意可知 a-1有意义,∴a≥1. ∴原式=(a-1)+|1-a|+(a-1) =a-1+a-1+a-1=3a-3. 第二课时 指数幂及运算

分数指数幂的意义 [提出问题] 问题 1:判断下列运算是否正确.

127

(1) 3

5

a = ?a ? =a
12

10

5

2 5

2

=a4
12 3

10 5

(a>0);

(2) a = ?a ? =a =a 提示:正确.

3

4 3

4

(a>0).

4 3 4 问题 2:能否把 a3, b2, c5 写成下列形式: 4 3 4 a =a b =b c =c
5 2 3
3 4 2 3
5 4

(a>0); (b>0); (c>0).

提示:能. [导入新知] 分数指数幂的意义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是: a
m n

n = am(a>0,m,n?N*,且 n>1).
m n

(2)规定正 a
m ? n

数的负分数指数幂的意义是: 1 n am (a>0,m,n?N*,且 n>1).

= a

1

n m

)=

(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. [化解疑难] 对分数指数幂的理解 m m (1)指数幂 a 不可以理解为 个 a 相乘,它是根式的一种新写法.在定义的规定下,根式 n n 与分数指数幂是表示相同意义的量,只是形式上不同而已,这种写法更便于指数运算,所以 分数指数幂与根式可以相互转化; 1 4 (2)通常规定分数指数幂的底数 a>0,但要注意在像(-a) = -a中的 a,则需要 a≤0. 4

有理指数幂的运算性质

[导入新知] 有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar s(a>0,r,s?Q);


128

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s?Q); (3)(ab)r=ar· br(a>0,b>0,r?Q). [化解疑难] 有理指数幂的运算性质的理解与巧记 (1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来,可以用文字语言叙述 为:①同底数幂相乘,底数不变,指数相加;②幂的幂,底数不变,指数相乘;③积的幂等 于幂的积. (2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循:乘相加,除相减,幂相乘.

根式与分数指数幂的互化

[例 1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(
1

)
1

A.- x=(-x) 2 (x>0) C.x
? 3 4

6 B. y2=y 3 (y<0) D.x
- 1 3

4 13 = ? ? (x>0) x

3 =- x(x≠0)

(2)用分数指数幂的形式表示下列各式. ①a2· a(a>0); ② a a(a>0); ③?
2 ? ?4 3 2? (b>0); ? b- 3? ?



y2 x

x3 3 y6 (x>0,y>0). y x3
1

(1)[解析] - x=-x 2 (x>0); 6 y2=[(y)2]
? 3 4
1 6

1

=-y 3 (y<0); = 4

x

=(x )
1

-3

1 4

?1?3(x>0); ?x ?

x

?

1 3

3 1 1? 3 =? = (x≠0). ? x? x

[答案] C (2)[解] ①a · a=a · a =a2+ =a .
129
2 2
1 2 1 2 5 2

1



a a=

a· a2 =
2

2 ?2 a 2 =? ?a 2 ? =a . 3

3

1

3

b ?2 ③原式=? 3 ?

( )

1 4

? ? 3 =b ?

2 1 ? 2? ? ? ?? ? ? 3 4 ? 3?

1 =b . 9

④法一:从外向里化为分数指数幂. y2 x x3 3 y6 ?y2 = y x3 ? ?x x3 3 y6? 2 y x3?

?1

?y2?x3 3 y6? 1 ?1 2 2 =? ? ? ? ? x ? y x3? ?
? ?y2?x3 y6 =? ? ? 3? ? x ? y ?x ? ?
1 1 2

? ?? ?? 2 ?? ?
1

1

y2? 2 ?x3? 4 ?y6? 12 =? ?x? · ?y? · ?x3?
3 1 3 2

1

y x4 y2 x4 · y3 = 1 · 1 · 1 = 3 1 =y 4 . x2 y4 x4 x4 · y4 法二:从里向外化为分数指数幂. y2 x = y2 x
1

5

x3 3 y6 = y x3 x3 y2 ·= y x
5

y2 x

6 x3?y ? 3 y ?x ?
1

1 3

y2 2 2 ?x · y? x

y2 1? 2 4 xy =? 2? =y . ?x· [类题通法] 根式与分数指数幂的互化技巧 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时,关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子: a
m n ? 1 1 n = am和 a n = m = ,其中字母 a 要使式子有意义. n m an a m

(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条:一是由里向外化为分数指数 幂;二是由外向里化为分数指数幂. [活学活用] 将下列根式化为分数指数幂的形式: (1) 1 a 1 (a>0); a

130

(2)

1 3 5 x· ? x2?2

(x>0);

(3)

ab3 ab5(a>0,b>0). 1?1? 2 = a?a? 1 3 =
2 1

解:(1)原式= (2)原式=

?1? 2 =?1? 4 =a ? 4 . ?a? ?a?

4 5

3

3

3

1 3 x· x

1 3
9

? 5 ?2 x· ?x ?
1
3 5

x5



1

? 9 ?3 ?x 5 ?

1



=x

?

3 5

.

x

(3)原式=[ab3(ab5) =a b
3 4
11 4

1 2

1

1

] 2 =[a· a 2 b3(b5)

1 2

] 2 =? ?a 2 b
3

1

11 2

?2 ?

1

.

指数幂的运算

[例 2] 计算下列各式: 3?0 -2 0.5 ? 1? ? 2 (1)? ?25? +2 ×?24? -0.01 ; (2)0.064 1? (3)? ?4?
?
? 1 3

1

7?0 3 -? ?-8? +[(-2) ] ? 4ab 1?3
- -2

?

4 3

+16

-0.75



1 2

·

0.1 ?a b ?

3

-3

1 2

(a>0,b>0).
1 1

1 4? 2 ? 1 ? 2 1 1 16 [解] (1)原式=1+ ×? -?100? =1+ - = . 4 ?9? 6 10 15 5 1 1 27 - - - (2)原式=0.4 1-1+(-2) 4+2 3= -1+ + = . 2 16 8 16
- - 4 · 4 4 4 (3)原式= · a2 · a 2· b 2· b 2 = a0b0= . 100 25 25

1 2

3 2

3

3

3

3

[类题通法] 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时, 一般化负指数为正指数, 化根式为分数指数幂, 化小数为分数, 同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行
131

化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示. [活学活用] 计算下列各式的值: (1)0.027
- 1 3

1?-2 ? 7? 2 0 -? ?-7? +?29? -( 2-1) ;
1 3

1

8 ? (2)? ?125?



3?0 0.75 2 -? ?-5? +16 +0.25 ;

1

1?-2 3+ 2 6?3 ? 0 (3)? ?4? + 3- 2-1.03 ×?- 2 ? . 27 ? - 3 ?1?-2 ?25? 2 10 5 解:(1)原式=? - + - 1 = - 49 + -1=-45. 1 000 7 9 ? ? ? ? ? ? 3 3 5 5 (2)原式= -1+16 4 +0.5= -1+8+0.5=10. 2 2 ? 3+ 2?2 ? 3 (3)原式=42+ -1×?-? ? 3 -2 ? ? 2?
1 2 3
1

1

3 11 ?3 ? =16+5+2 6+4 6=21+ 4 6. ?

4.含附加条件的幂的求值问题 [典例]
1

(12 分)已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求:
1

(1)x 2 +y 2 ;
1 1

(2)x 2 -y 2 ; (3)x-y. [解题流程]

求x +y ,x -y ,x-y的值,应建立其与x+y及xy的关系后求解

1 2

1 2

1 2

1 2

1

1

1

1

?1?将 x 2 +y 2 ,x 2 -y 2 平方后即可建立其与 x+y 及 xy 的关系;?? ?2?可利用平方差公式将 x-y 分解成?x +y ??x -y ?求解?
1 2 1 2 1 2 1 2

132

?x +y ? =x+y+2 xy ↓
1 1

1 2

1 2 2

?x 2 -y 2 ?2=x+y-2 xy ↓
1 1 1 1 1 1

x-y=?x 2 ?2-?y 2 ?2=?x 2 +y 2 ??x 2 -y 2 ?

[规范解答]

?2 (1)? ?x 2 +y 2 ? =x+y+
1 1

2 xy=18,(2 分)
1 1

∴x 2 +y 2 =3 2.(4 分)

?2 (2)? ?x 2 -y 2 ? =x+y-2 xy=6,(6 分)
1 1

1

1

又 x<y,∴x 2 -y 2 =- 6.(8 分)

?2 ? ?2 (3)x-y=? ?x 2 ? -?y 2 ?
1 1 1 ?? 1 ? =? 2 2 2 ?x +y ??x -y 2 ? (10 分) 1 1 1 1 1

=3 2×(- 6)=-3×2 2 ×2 2 ×3 2 =-6 3.(12 分) [名师批注] 由x与x , y与y 都具有平方关系, 故可先求
1 ? 1 ?2 ?x 2 +y 2 ? ,然后 1 1 1 2 1 2

求x 2 +y 2 的值, 解题时常因找不到 此关系而使问题不能得以正确求解. 易忽视条件x<y,而得出错误答案.
133

此处巧妙利用了?1??2?的结论使问题得以解决. [活学活用] 已知 a+a 1=5,求下列各式的值;


(1)a2+a 2;


1

(2)a 2 -a

?

1 2

.


解:(1)法一:由 a+a 1=5 两边平方得: a2+2aa 1+a 2=25,
- -

即:a2+a 2=23;


法二:a2+a 2=a2+2aa 1+a 2-2aa
- - -

-1

=(a+a 1)2-2=25-2=23;


1

(2)∵(a 2 -a
1

?

1 2 2

) =a+a 1-2=5-2=3,


∴|a 2 -a

?

1 2

1

|= 3.∴a 2 -a

?

1 2

=± 3.

[随堂即时演练] 4 1.若 2<a<3,化简 ?2-a?2+ ?3-a?4的结果是( A.5-2a C.1 解析:选 C 由于 2<a<3, 所以 2-a<0,3-a>0, 所以原式=a-2+3-a=1.
1

)

B.2a-5 D.-1

2.(-2a 3 b
? 2 A. a 3 b 2 3 8 5

?

3 4

1

· (-a 2 b

?

1 3 6

2

)÷ (-3a 3 b

?

1 4

)等于(
8

)

2 B.- a 3 3
5 ? 2 D. a 6 b 2 3
1

? 2 C.- a 6 b 6 3

1

5

1

解析:选 A 原式=(-2)×(-1)6÷ (-3)· (a 3 b
1 2

?

3 4

2

)· (a3· b 2)÷ (a 3 b


?

1 4

)=

_ ? ? 2 3 +3- 3 4-2-? ? 4? 2 3 a b = a b 2 注意符号不能弄错. 3 3

3

? 1?

8

5

3.若 10x=3,10y=4,则 102x y=________.


解析:∵10x=3,∴102x=9,

134

102x 9 - ∴102x y= y = . 10 4 9 答案: 4 3 4.化简 a a的结果是________. 解析: 答案:a 3
1 2 2 ?3 ? ?3 a a=(a a) 3 =? ? a· a 2 ? =?a 2 ? =a .
1 3

1

1

1

1

5.计算(或化简)下列各式: (1)4
2+1

· 2

3-2

2



· 64

2 3


1 1

(2)

a-b
1 2 1 2



a+b-2a 2 · b2 a -b
2+1
1 2 1 2

.

a +b

解:(1)原式=(22) =22 =22
2+2

· 23

-2

2

· (26)



2 3

· 23

-2

2

· 2

-4

2+2+3-2
1 2

2-4

=21=2.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

?a +b ?a -b ? ?a -b ?2 (2)原式= - 1 1 1 1 a 2 +b 2 a 2 -b 2
1 2 1 2

? =a -b -? ?a 2 -b 2 ?=0.
1 1

[课时达标检测] 一、选择题 1. a3 5 a· a4 (a>0)的值是( ) B.a 17 D.a 10

A.1 1 C.a 5

1 4 1 4 17 解析:选 D 原式=a3· a- · a- =a3- - =a . 2 5 2 5 10 3 3 2.化简[ ?-5?2] 的结果为( 4 A.5 C.- 5 ) B. 5 D.-5
135

解析:选 B

3 3 23 1 [ ?-5?2] =[(-5) ] =5 = 5. 4 34 2 ) 1 B. 3 7 D. 3

1?0 -2 ?27?2的值为( 3.? ?12? -(1-0.5 )÷ ? 8 ?3 1 A.- 3 4 C. 3

?3?2=1-(-3)×4=7.故选 D. 解析:选 D 原式=1-(1-22)÷ ?2? 9 3
4.若 a>1,b>0,ab+a b=2 2,则 ab-a
- -b

等于(

)

A. 6 C.-2


B.2 或-2 D.2
- -

解析:选 D ∵a>1,b>0,∴ab>a b,(ab-a b)2=(ab+a b)2-4=(2 2)2-4=4, ∴ab-a b=2.


5.设 x,y 是正数,且 xy=yx,y=9x,则 x 的值为( 1 A. 9 C.1 解析:选 B 4 B. 3 3 D. 9 x9x=(9x)x,(x9)x=(9x)x,

)

8 4 ∴x9=9x.∴x8=9.∴x= 9= 3. 二、填空题 3 a3b2 ab2

6.化简

?a1b1?4 3 b ? 4 2? a

(a>0,b>0)的结果是________.

1 21 ?a3· b2· a · b ? 3 32 3 1 1 1 1 a 解析:原式= =a + -1+ · b1+ -2- = . 1 1 2 6 3 3 3 b a· b2 · a- · b 3 3 a 答案: b 1 1 1 7.已知 x= (5 -5- ),n?N*,则(x+ 1+x2)n 的值为________. 2 n n 1 2 2 1 1 1 解析:因为 1+x2= (5 +2+5- )= (5 +5- )2, 4 n n 4 n n 1 1 1 1 1 1 ?n 所以(x+ 1+x2)n=? ?2?5n-5-n?+2?5n+5-n?? =

136

?51?n=5. ? n?
答案:5 8.设 a2=b4=m(a>0,b>0),且 a+b=6,则 m 等于________. 解析:∵a2=b4=m(a>0,b>0), 1 1 ∴a=m ,b=m ,a=b2. 2 4 由 a+b=6 得 b2+b-6=0,解得 b=2 或 b=-3(舍去). 1 ∴m =2,m=24=16. 4 答案:16 三、解答题 9.化简求值: 7 10 2 37 2 ?0.5+0.1-2+?2 ?- -3π0+ ; (1)? ? 9? ? 27? 3 48 3? 2 1 -1 0 (2)? ?-38?-3+(0.002)-2-10( 5-2) +( 2- 3) ; (3)(a 2b 3)· (-4a 1b)÷ (12a 4b 2c);
- - - - -

3 6 (4)2 a÷ 4 a· b×3 b3. 25?1 1 37 ?64? 2 解:(1)原式=? ? 9 ?2+0.12+?27?-3-3+48 5 9 37 = +100+ -3+ =100. 3 16 48 3 2 1 2 1 10 3 ?- +? ?- - (2)原式=(-1)- ×? +1 3 ? 8? 3 ?500? 2 5- 2 27? 2 1 =? ? 8 ?-3+(500)2-10( 5+2)+1 4 167 = +10 5-10 5-20+1=- . 9 9 (3)原式=-4a
-2-1 -3+1

b

÷ (12a 4b 2c)
- -

1 - -- - -- - 1 - a =- a 3 ( 4)b 2 ( 2)c 1=- ac 1=- . 3 3 3c 1 1 1 3 (4)原式=2a ÷ (4a b )×(3b ) 3 6 6 2 1 1 1 1 3 3 1 4 = a - b- · 3b = a b . 2 3 6 6 2 2 6 3 1 1 2 4 10.已知 a=3,求 + + + 的值. 1 1 1 1+a 1+a 1-a 1+a 4 4 2

137

1 1 2 4 解: + + + 1 1 1 1+a 1+a 1-a 1+a 4 4 2 = 2 2 4 + + 1 1 1 1 + a ?1+a ??1-a ? 1+a 4?? 4? 2 ? 2 4 + + 1 1 1+a 1-a 1+a 2 2 4 + 1 1 1+a ?1-a ??1+a ? 2 2 4 4 8 + = =-1. 1-a 1+a 1-a2 2.1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质 4 2







指数函数

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