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2014届高考数学(文)一轮复习:第1章 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件限时特训


第一章

第2讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 金版原创]设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案:A 解析:a=1 时,N?M,反过来,N?M,a 不一定为 1,为 2也可以.故选 A. 1 2. 已知 a,b∈R,命题“若 a+b=1,则 a2+b2≥ ”的否命题是( 2 1 A. 若 a+b≠1,则 a2+b2< 2 1 B. 若 a+b=1,则 a2+b2< 2 1 C. 若 a2+b2< ,则 a+b≠1 2 1 D. 若 a2+b2≥ ,则 a+b=1 2 答案:A 解析:命题“若 p,则 q”的否命题是“若綈 p,则綈 q”,故该命题的否命题为 A. 3. [2013· 大同模拟]“a<-2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 答案:A 解析:当 a<-2 时,f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0,所以函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2] 上存在零点;反过来,当函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点时,不能得知 a<-2, 如当 a=4 时,函数 f(x)=ax+3=4x+3 在区间[-1,2]上存在零点.因此,“a<-2”是“函 数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的充分不必要条件,选 A. 4. [2013· 长春四校联考]下列命题错误的是( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

A. 命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0” B. 命题 p:存在 x0∈R,使得 x2+x0+1<0,则綈 p:任意 x∈R,都有 x2+x+1≥0 0 C. 若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D. “x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件

答案:C 解析:本题考查常用逻辑用语的有关知识.依次判断易知 C 选项中,若 p 且 q 为假命 题,只需二者中有一个为假即可,不需要二者都为假. 5. [2013· 潍坊模拟]命题“?x∈[1,2],x2 -a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( ) A. a≥4 C. a≥5 答案:C 解析:∵a≥x2(x∈[1,2])恒成立,即 a≥4, ∴a≥5 是 a≥4 成立的充分不必要条件,故选 C 项. 6. [2013· 陕西五校联考]已知 p: 2x-1≤1,q:(x-a)(x-a-1)≤0.若 p 是 q 的充分不 必要条件,则实数 a 的取值范围是( 1 A. [0, ] 2 1 B. (0, ) 2 1 C. (-∞,0]∪[ ,+∞) 2 1 D. (-∞,0)∪( ,+∞) 2 答案:A
? ?2x-1≥0 1 解析:依题意可知,p: 2x-1≤1?? ? ≤x≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0? 2 ? ?2x-1≤1

B. a≤4 D. a≤5

)

?a+1≥1 ? 1 a≤x≤a+1.因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以? 1 故 0≤a≤ . 2 ?a≤2 ?
二、填空题 7. [2013· 南昌模拟]若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则 m 的最大值为 ________. 答案:-2 解析: 不等式 x2-2x-8>0 的解集为(-∞, -2)∪(4, +∞), 题目等价于(-∞, m)是(- ∞,-2)∪(4,+∞)的真子集,故 m≤-2,即 m 的最大值为-2. 8. 有三个命题:(1)“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; (2)“若 a>b,则 a2>b2”的逆否命题; (3)“若 x≤-3,则 x2+x-6>0”的否命题. 其中真命题的个数为________.

答案:1 解析:(1)真,(2)原命题假,所以逆否命题也假,(3)易判断原命题的逆命题假,则原命 题的否命题假. 9. [2013· 河源模拟]对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的序号是________. 答案:②④ 解析:①中“a=b”可得 ac=bc,但 c=0 时逆命题不成立,所以不是充要条件,②正 确,③中 a>b 时 a2>b2 不一定成立,所以③错误,④中“a<5”得不到“a<3”,但“a<3”可得出 “a<5”,“a<5”是“a<3”的必要条件,正确. 三、解答题 10. 写出命题“已知 a, b∈R, 若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解集, a2≥4b” 则 的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 解:(1)逆命题:已知 a,b∈R,若 a2≥4b,则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 有非空解 集,为真命题. (2)否命题:已知 a,b∈R,若关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集,则 a2<4b, 为真命题. (3)逆否命题: 已知 a, b∈R, a2<4b, 若 则关于 x 的不等式 x2+ax+b≤0 没有非空解集, 为真命题. 11. [2013· 宿州模拟]求证:方程 x2+ax+1=0 的两实根的平方和大于 3 的必要条件是 |a|> 3,这个条件是其充分条件吗?为什么? 解:设 x2+ax+1=0 的两实根为 x1,x2,则平方和大于 3 的等价条件是
?Δ=a2-4≥0 ? ? 2 2 2 2 ? ?x1+x2=?x1+x2? -2x1x2=?-a? -2>3

即 a> 5或 a<- 5. ∵{a|a> 5或 a<- 5}? {a||a|> 3}, ∴|a|> 3这个条件是必要条件但不是充分条件. 3 3 12.[2013· 江苏模拟]已知集合 A= {y|y=x2- x+1,x∈[ ,2]},B={x|x+m2≥1);命 2 4 题 p:x∈A,命题 q:x∈B,并且命题 p 是命题 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 解:化简集合 A,

3 3 7 由 y=x2- x+1=(x- )2+ , 2 4 16 3 7 ∵x∈[ ,2],∴ymin= ,ymax=2. 4 16 7 7 ∴y∈[ ,2],∴A={y| ≤y≤2}. 16 16 化简集合 B,由 x+m2≥1, ∴x≥1-m2,B={x|x≥1-m2}. ∵命题 p 是命题 q 的充分条件,∴A?B. 7 3 3 ∴1-m2≤ ,∴m≥ 或 m≤- . 16 4 4 3 3 ∴实数 m 的取值范围是(-∞,- ]∪[ ,+∞). 4 4


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