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2012届高考物理专题复习课件《机械能守恒定律及其应用》


第三节 机械能守恒定律及其应用

1.重力势能 (1)公式:Ep=

mgh

.

(2)矢标性:重力势能是 标量 ,但有正、负,其意义是表示物体 的重力势能比它在 参考平面 上大还是小,这与功的正、负的物理 意义不同.

(3)特点 ①系统性:重力势能是 物体 和 地球 共有

的. ②相对性:重力势能的大小与 参考平面 的选取有关.重力势能的 变化是 绝对 的,与参考平面的选取 无关 .

(4)重力做功与重力势能变化的关系 重力做正功时,重力势能 减小 ;重力做负功时,重力势能增加; 重力做多少正(负)功,重力势能就 减小(增加) 多少,即WG= -ΔE .
p

2.弹性势能 (1)大小:弹簧的弹性势能的大小与弹簧的 形变量及 劲度系数 有关.

(2)弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做 正功
小,弹力做负功,弹性势能 增加 .

,弹性势能减

1.(2011·通州检测)将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处,
在这个过程中,下列说法中正确的是(取g=10 m/s2)( A.重力做正功,重力势能增加1.0×104 J )

B.重力做正功,重力势能减少1.0×104 J
C.重力做负功,重力势能增加1.0×104 J D.重力做负功,重力势能减少1.0×104 J 【解析】 由于重力的方向和物体上升的位移方向相反,故重力做

负功,物体的重力势能增加.由W=-mgΔh=-1.0×104 J,重力势 能增加1.0×104 J,故C正确. 【答案】 C

1.内容:在只有 重力 或 弹力 做功的情况下,物体系统内的 动能 和 势能 相互转化,机械能的总量 保持不变 .

2.守恒表达式:E1=E2,Ek1+Ep1= Ek2+Ep2

.

2.下列运动中能满足机械能守恒的是( ) A.铅球从手中抛出后的运动(不计空气阻力) B.子弹射穿木块 C.细绳一端固定,另一端拴着一个小球,使小球在光滑水平面上 做匀速圆周运动 D.吊车将货物匀速吊起 【解析】 铅球从手中抛出后,在不计空气阻力的情况下只有重力 做功,没有其他力做功,机械能守恒,A正确;子弹穿过木块的过程 中,子弹受到木块施加的摩擦力的作用,摩擦力对子弹做负功,子弹 的动能一部分转化为内能,机械能不守恒,B不正确;小球在光滑的水 平面上运动,受到重力,水平面对小球的支持力,还有细绳对小球的 拉力作用,这些力皆与小球的运动方向垂直,不做功,所以小球在运 动过程中无能量转化,保持原有的动能不变,即机械能守恒,C正确 ;吊车将货物匀速吊起的过程中,货物受到与其重力大小相等、方向 相反的拉力作用,上升过程中除重力做功外还有拉力对物体做正功, 货物的机械能增加,运动过程机械能不守恒,D不正确. 【答案】 AC

1.只受重力作用,例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动, 物体的机械能守恒. 2.受其他力,但其他力不做功,只有重力或弹力做功.例如物体 沿光滑的曲面下滑,受重力、曲面的支持力的作用,但曲面的支持力 不做功,物体的机械能守恒. 3.弹力做功伴随着弹性势能的变化,并且弹力做的功等于弹性势 能的减少量.

(2010·江苏四市联考)如图5-3-1所示,质量均为m的A、B两个 小球,用长为2L的轻质杆相连接,在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针 方向自由转动(转轴在杆的中点),不计一切摩擦,某时刻A、B球恰好 在如图5-3-1所示的位置,A、B球的线速度大小均为v,下列说法正 确的是 A.运动过程中B球机械能守恒 B.运动过程中B球速度大小不变 C.B球在运动到最高点之前,单位时间内机械能的变化量保持不 变 D.B球在运动到最高点之前,单位时间内机械能的变化量不断变 化

【自主解答】 以 A、B 球组成的系统为研究对象,两球在运动过程 中, 只有重力做功(轻杆对两球做功的代数和为零), 两球的机械能守恒. 以 1 过 O 点的水平面为重力势能的参考平面时, 系统的总机械能为 E=2× mv2 2 =mv2.假设 A 球下降 h,则 B 球上升 h,此时两球的速度大小是 v′,由 1 机械能守恒定律知 mv2= mv′2×2+mgh-mgh,得到 v′=v,故运动 2 过程中 B 球速度大小丌变. 当单独分析 B 球时, 球在运动到最高点之前, B 动能保持丌变,重力势能在丌断增加.由几何知识可得单位时间内 B 球上 升的高度丌同,因此机械能的变化量是丌断改变的.

【答案】

BD

2.应用机械能守恒定律解题的基本步骤
(1)根据题意,选取研究对象(物体或系统); (2)明确研究对象的运动过程,分析研究对象在运动过程中的受力情 况,弄清各力的做功情况,判断是否符合机械能守恒的条件; (3)如果符合,则根据机械能守恒定律列方程求解. 注意:所列方程 有多种形式. 如:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2,ΔEk=-ΔEp,ΔE1=-ΔE2等 ,视具体情况,灵活运用.

如图 5-3-2 所示,半径为 r,质量不计的圆盘盘面与地面垂直,圆 心处有一个垂直盘面的光滑水平定轴 O,在盘的右边缘固定有一个质量为 r m 的小球 A,在 O 点正下方离 O 点 处固定一个质量也为 m 的小球 B,放 2 开盘让其自由转动.问: (1)当 A 转动到最低点时,两小球的重力势能之和减少了多少? (2)A 球转到最低点时的线速度是多少? (3)在转动过程中半径 OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少?

【解析】

两小球重力势能之和的减少,可选取任意面为零势能参考

平面进行计算,由于圆盘转动过程中,只有两小球重力做功,根据机械能 守恒定律可列式算出 A 球的线速度和半径 OA 的最大偏角. (1)以通过转轴 O 的水平面为零势能面,开始时两球的重力势能之和 为: 1 1 Ep1=EpA+EpB=0+(- mgr)=- mgr 2 2 当小球转至最低点时两小球重力势能之和为: Ep2=EpA+EpB=-mgr+0=-mgr 故两球重力势能之和减少: 1 1 ΔEp=Ep1-Ep2=- mgr-(-mgr)= mgr. 2 2

(2)由于圆盘转动过程中,只有两球重力做功,机械能守恒,因此两球 重力势能之和的减少一定等于两球动能的增加,设 A 球转至最低点时,A、 B 的线速度分别为 vA 和 vB,则 1 1 1 mgr= mv2 + mv2 . 2 2 A 2 B 因 A、B 两球固定在同一圆盘上,转动过程中角速度相等,所以 vA= 2vB,代入上式解得 vA= 4 gr. 5

(3)设半径 OA 向左偏离竖直线的最大角度为 θ,如图所示,该位置系统的机械能不开始 时机械能分别为 r E3=Ep3=mg sin θ-mgrcos θ, 2 1 E1=Ep1=- mgr 2 对系统由机械能守恒得 E1=E3,即 1 1 - mgr= mgrsin θ-mgrcos θ, 2 2 又 sin2 θ+cos2 θ=1,所以 3 sin θ= (舍去负根),即 5 3 θ=arcsin =37° . 5
【答案】 1 (1) mgr (2) 2 4 gr (3)37° 5

图5-3-3
(2010·宿迁模拟)如图5-3-3所示,倾角为θ的光滑斜面上放有两

个质量均为m的小球A和B,两球之间用一根长为L的轻杆相连,下面
的小球B离斜面底端的高度为h.两球从静止开始下滑,不计机械能损 失,求: (1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小; (2)此过程中杆对B球所做的功.

【解析】

(1)由于丌计机械能损失,因此两球组成的系统机械能守

恒.两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等,设为 v,根据机械能守 恒定律有: 1 mgh+mg(h+Lsin θ)=2× mv2, 2 解得:v= 2gh+gLsin θ. 1 (2)根据动能定理,对 B 球有:W+mgh= mv2-0 2 1 1 则 W= mv2-mgh= mgLsin θ. 2 2

【答案】

1 (1) 2gh+gLsin θ (2) mgLsin θ 2

如图5-3-4所示,AB为光滑的水平面,BC是倾角为α的足够长 的光滑斜面(斜面体固定不动).AB、BC间用一小段光滑圆弧轨道相 连.一条长为L的均匀柔软链条开始时静止的放在ABC面上,其一 端D至B的距离为L-a.现自由释放链条,则:

图5-3-4 (1)链条下滑过程中,系统的机械能是否守恒,简述理由; (2)链条的D端滑到B点时,链条的速率为多大?

【解析】 (1)链条机械能守恒,因为斜面是光滑的,只有重力做功, 符合机械能守恒的条件. (2)设链条的质量为 m, 所在的平面为重力势能的零势面, AB 由机械 能守恒定律得: m a 1 L - a·sin α= mv2-mg sin α L 2 2 2 解得:v= L2-a2 gsin α L

【答案】

(1)见解析 (2)

L2-a2 gsin α L

试用能量转化的观点重解上题第(2)问. 【解析】 原题图与下图相比,长度为a的部分重力势能相当于不变, 而长度为L-a的BD段重力势能的减少量
L-a m ΔEp=- (L-a)g(a+ )sin α L 2 m =- (L2-a2)gsin α 2L 1 由 ΔEk=-ΔEp,ΔEk= mv2-0 2 1 m 得: mv2= (L2-a2)gsin α 2 2L 解得:v= L2-a2 gsin α. L

【答案】

L2-a2 gsin α L

图5-3-5 1.(2009·广东高考)游乐场中的一种滑梯如图5-3-5所示.小 朋友从轨道顶端由静止开始下滑,沿水平轨道滑动了一段距离后停 下来,则( ) A.下滑过程中支持力对小朋友做功 B.下滑过程中小朋友的重力势能增加 C.整个运动过程中小朋友的机械能守恒 D.在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功 【解析】 下滑过程中支持力的方向总与速度方向垂直,所以支 持力不做功,A错误;越往下滑动重力势能越小,B错误;摩擦力 的方向与速度方向相反,所以摩擦力做负功,机械能减少,D正确 ,C错误. 【答案】 D

图5-3-6 2.(2010·安徽高考)伽利略曾设计如图5-3-6所示的一个实验,将 摆球拉至M点放开,摆球会达到同一水平高度上的N点.如果在E或F 处钉上钉子,摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点;反过来, 如果让摆球从这些点下落,它同样会达到原水平高度上的M点.这个 实验可以说明,物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时 ,其末速度的大小( ) A.只与斜面的倾角有关 B.只与斜面的长度有关 C.只与下滑的高度有关 D.只与物体的质量有关 【解析】 由题可知摆球由同一位置释放,虽然经过的轨迹不同, 但达到的高度相同,说明到达圆弧最低端的速度大小相同,仅与高度 有关,故选项C正确,A、B、D均错. 【答案】 C

图5-3-7

3.(2008·江苏高考)如图5-3-7所示,两光滑斜面的倾角分别
为30°和45°,质量分别为2m和m的两个滑块用不可伸长的轻绳通 过滑轮连接(不计滑轮的质量和摩擦),分别置于两个斜面上并由静 止释放;若交换两滑块位置,再由静止释放.则在上述两种情形中 正确的有( ) A.质量为2m的滑块受到重力、绳的张力、沿斜面的下滑力和斜 面的支持力的作用

B.质量为m的滑块均沿斜面向上运动
C.绳对质量为m的滑块的拉力均大于该滑块对绳的拉力 D.系统在运动中机械能均守恒

【解析】

质量为2m的物体受重力、绳的张力、斜面的支持力作

用,沿斜面下滑的力是重力的一个分力,所以A错误.当2m在30° 斜面上时,2mgsin 30°>mgsin 45°,m一定沿斜面向上运动,当 2m在45°斜面上时,2mgsin 45°>mgsin 30°,m更是沿斜面向上 运动,所以B正确.绳对m滑块的拉力与滑块对绳的拉力是一对作用

力和反作用力,大小相等,所以C错误.因为斜面光滑,只有重力
做功,所以系统在运动中机械能均守恒,所以D正确.

【答案】 BD

4.(2010·上海高考)如图5-3-8,ABC和ABD为两个光滑固定轨 道,A、B、E在同一水平面上,C、D、E在同一竖直线上,D点距 水平面的高度为h,C点距水平面的高度为2h,一滑块从A点以初速 度v0分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出.

图5-3-8 (1)求滑块落到水平面上时,落点与E点间的距离sC和sD; (2)为实现sC<sD,v0应满足什么条件?

【解析】

(1)根据机械能守恒可得

1 2 1 mv0=2mgh+ mv2 , 2 2 C 1 2 1 mv0=mgh+ mv2 2 2 D 1 1 根据平抛运动规律:2h= gt2 ,h= gt2 2 C 2 D 又因为 sC=vCtC,sD=vDtD 综合以上式子,得 sC= sD=
2 4hv0 -16h2 , g

2hv2 0 -4h2. g

(2)为实现 sC<sD,即 得 v0< 6gh

2 4hv0 -16h2 < g

2hv2 0 -4h2, g

但滑块从 A 点以初速度 v0 沿 ABC 轨道滑行到 C 处后水平抛出,要求 1 2 mv >mg· 2h,即 2 0 v0>2 gh 所以 2 gh<v0< 6gh.
4hv2 0 -16h2 sD= g 2hv2 0 -4h2 g

【答案】

(1)sC=

(2)2 gh<v0< 6gh

机械能守恒定律与运动的分解 (2010·潍安模拟)如图5-3-21所示,半径为R的四分之一圆弧形 支架竖直放置,圆弧边缘C处有一小定滑轮,绳子不可伸长,不计一 切摩擦,开始时,m1、m2两球静止,且m1>m2,试求: (1)m1释放后沿圆弧滑至最低点A时的速度. (2)为使m1能到达A点,m1与m2之间必须满足什么关系. (3)若A点离地高度为2R,m1滑到A点时绳子突然断开,则m1落地点 离A点的水平距离是多少?

图5-3-21

【解析】 能守恒得:

(1)设 m1 滑至 A 点时的速度为 v1,此时 m2 的速度为 v2,由机械

1 1 2m2gR= m1v2+ m2v2 1 2 2 2 又 v2=v1cos 45° m1gR- 得:v1= 4?m1- 2m2?gR . 2m1+m2

(2)要使 m1 能到达 A 点,v1≥0 且 v2≥0, 必有:m1gR- 2m2gR≥0,得:m1≥ 1 (3)由 2R= gt2,x=v1t 得 2 x=4R ?m1- 2m2? 2m1+m2 . 2m2.

4?m1- 2m2?gR 【答案】 (1) 2m1+m2 ?m1- 2m2? (3)4R 2m1+m2

(2)m1≥

2m2

图5-3-22 1.如图5-3-22所示,一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点, 另一端系一小球.给小球一足够大的初速度,使小球在斜面上做圆周 运动,在此过程中( ) A.小球的机械能守恒 B.重力对小球不做功 C.绳的张力对小球不做功 D.在任何一段时间内,小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动 能的减少 【解析】 斜面粗糙,小球受到摩擦力作用,摩擦力对小球做负 功,机械能有损失,则A错误;重力对小球做功,B错误;绳的张力 始终与小球运动方向垂直,不做功,C正确;小球动能的减少应等于 克服摩擦力和重力所做的功的总和,所以D错误. 【答案】 C

图5-3-23 2.如图5-3-23所示,A、B两球质量相等,A球用不能伸长的轻 绳系于O点,B球用轻弹簧系于O′点,O与O′点在同一水平面上,分别 将A、B球拉到与悬点等高处,使绳和轻弹簧均处于水平,弹簧处于 自然状态,将两球分别由静止开始释放,当两球达到各自悬点的正下 方时两球恰好仍处在同一水平面上,则( ) A.两球到达各自悬点的正下方时,两球动能相等 B.两球到达各自悬点的正下方时,A球动能较大 C.两球到达各自悬点的正下方时,B球动能较大 D.两球到达各自悬点的正下方时,A球损失的重力势能较多

【解析】

A 球下摆过程中,因机械能守恒

1 mgL= mv2 ① 2 A B 球下摆过程中,因 B 球不弹簧组成的系统机械能守恒 1 mgL=Ep 弹+ mv2 ② 2 B 1 1 由①②得 mv2 =Ep 弹+ mv2 2 A 2 B 1 1 可见 mv2 > mv2 ,B 正确. 2 A 2 B

【答案】 B

图5-3-24 3.(2010·泰州模拟)在空军演习中,某空降兵从飞机上跳下,他从 跳离飞机到落地的过程中沿竖直方向运动的v-t图象如图5-3-24所 示,则下列说法正确的是( ) A.0~10 s内空降兵和伞整体所受重力大于空气阻力 B.第10 s末空降兵打开降落伞,此后做匀减速运动至第15 s 末 C.10 s~15 s空降兵竖直方向的加速度向上,加速度大小在逐渐减 小 D.15 s后空降兵保持匀速下落,此过程中机械能守恒 【解析】 0~10 s内,速度一直变大,属于加速,重力大于阻力, A对;10 s末到15 s末,做加速度变小的减速运动,B错C对;15 s后空 降兵保持匀速下落,重力势能减小,动能不变,此过程中机械能减小 ,不守恒,D错. 【答案】 AC

4. (2010· 杭州模拟)如图 5-3-25 所示, 在倾 角为 θ 的光滑斜面上,有一长为 l 的细线,细线的 一端固定在 O 点,另一端拴一质量为 m 的小球, 现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动,则 ( ) A.小球通过最高点 A 时的速度 vA= glsin θ B.小球通过最高点 A 时的速度 vA= gl C.小球通过最低点 B 时, 细线对小球的拉力 FT=6mgsin θ D. 小球通过最低点 B 时的速度 vB= 5glsin θ
2 vA 【解析】 小球恰好通过最高点时, mgsin θ=m , vA= 得: l

glsin θ,

1 A 正确,B 错误;因斜面光滑,小球由 A 运动到 B 机械能守恒,得: mv2 2 B 2 vB 1 2 = mvA+mg2lsin θ,在 B 点:FT-mgsin θ=m ,可得:vB= 5glsin θ, 2 l FT=6mgsin θ,故 C、D 均正确. 【答案】 ACD

5.(2010·滨州模拟)如图5-3-26所示,半径R=0.9 m的四分之一 圆弧形光滑轨道竖直放置,圆弧最低点B与长为L=1 m的水平面相切 于B点,BC离地面高h=0.8 m,质量m=1.0 kg的小滑块从圆弧顶点 D由静止释放,已知滑块与水平面间的动摩擦因数μ=0.1,(不计空气 阻力,取g=10 m/s2)求:

图5-3-26
(1)小滑块刚到达圆弧轨道的B点时对轨道的压力; (2)小滑块落地点距C点的距离.

【解析】

(1)设小滑块运动到 B 点的速度为 vB,圆弧轨道对小滑块

的支持力为 FN,由机械能守恒定律得: 1 mgR= mv2 ① 2 B 由牛顿第二定律得: v2 B FN-mg=m ② R 联立①②解得小滑块在 B 点所受支持力 FN=30 N. 由牛顿第三定律得,小滑块在 B 点时对轨道的压力为 30 N

(2)设小滑块运动到 C 点的速度为 vC,由动能定理得: 1 mgR-μmgL= mv2 2 C 解得小滑块在 C 点的速度 vC=4 m/s 小滑块从 C 点运动到地面做平抛运动 水平方向:x=vCt 1 竖直方向:h= gt2 2 滑块落地点距 C 点的距离 s= x2+h2=0.8 5 m≈1.8 m.

【答案】

(1)30 N

(2)1.8 m

图5-3-27 6.如图5-3-27所示,光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在 B点相接,导轨半径为R.一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由 静止释放,在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧,当它 经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍,之后向上运动 恰能完成半个圆周运动到达C点.试求:

(1)弹簧开始时的弹性势能;
(2)物体从B点运动至C点克服阻力做的功; (3)物体离开C点后落回水平面时的动能.

【解析】

(1)物块在 B 点时,由牛顿第二定律得:

v2 B FN-mg=m ,FN=7mg R 1 EkB= mv2 =3mgR 2 B 在物体从 A 点至 B 点的过程中, 根据机械能守恒定律, 弹簧的弹性势 能 Ep=EkB=3mgR. (2)物体到达 C 点仅受重力 mg,根据牛顿第二定律有 v2 C mg=m R 1 1 EkC= mv2 = mgR 2 C 2

物体从B点到C点只有重力和阻力做功,根据动能定理有: W阻-mg·2R=EkC-EkB 解得W阻=-0.5mgR 所以物体从B点运动至C点克服阻力做的功为W=0.5mgR.

(3)物体离开轨道后做平抛运动,仅有重力做功,根据机械能守恒
定律有: Ek=EkC+mg·2R=2.5mgR. 【答案】 (1)3mgR (2)0.5mgR (3)2.5mgR


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